MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgencn 23380
Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((π‘˜Genβ€˜π½) Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Proof of Theorem kgencn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 23362 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 iscn 23059 . . 3 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((π‘˜Genβ€˜π½) Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))))
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((π‘˜Genβ€˜π½) Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))))
4 cnvimass 6080 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝐹
5 fdm 6726 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
65adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
74, 6sseqtrid 4034 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑋)
8 elkgen 23360 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
98ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
107, 9mpbirand 704 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
1110ralbidv 3176 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
12 ralcom 3285 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
14 elpwi 4609 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
15 fssres 6757 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆπ‘Œ)
1613, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆπ‘Œ)
17 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
18 resttopon 22985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
1917, 14, 18syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
20 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
21 iscn 23059 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
2219, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
2316, 22mpbirand 704 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
24 cnvresima 6229 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜)
2524eleq1i 2823 . . . . . . . . . 10 ((β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2625ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘˜) β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2723, 26bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
2827imbi2d 340 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)) ↔ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
29 r19.21v 3178 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
3028, 29bitr4di 289 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
3130ralbidva 3174 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
3212, 31bitr4id 290 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾))))
3311, 32bitrd 279 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾))))
3433pm5.32da 578 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)))))
353, 34bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((π‘˜Genβ€˜π½) Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐹 β†Ύ π‘˜) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) Cn 𝐾)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17373  TopOnctopon 22732   Cn ccn 23048  Compccmp 23210  π‘˜Genckgen 23357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-en 8946  df-fin 8949  df-fi 9412  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cn 23051  df-cmp 23211  df-kgen 23358
This theorem is referenced by:  kgencn2  23381
  Copyright terms: Public domain W3C validator