Theorem iskgen3 23464

Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iskgen3.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iskgen3	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem iskgen3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iskgen2 23463	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
2		iskgen3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	toptopon 22832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		elkgen 23451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
5	3, 4	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
6		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	elpw 4551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8	7	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	5, 8	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10	9	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
11		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
12	10, 11	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽))))
13	12	albidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽))))
14		df-ss 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
15		df-ral 3048	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
16	13, 14, 15	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
17	16	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
18	1, 17	bitri 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↾_t crest 17324  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  Compccmp 23301  𝑘Genckgen 23448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cmp 23302  df-kgen 23449

This theorem is referenced by: (None)