MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iskgen3 23473
Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iskgen3.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
iskgen3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem iskgen3
StepHypRef Expression
1 iskgen2 23472 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
2 iskgen3.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32toptopon 22839 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 elkgen 23460 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
53, 4sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
6 vex 3477 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
76elpw 4610 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑋)
87anbi1i 622 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
95, 8bitr4di 288 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
109imbi1d 340 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
11 impexp 449 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1210, 11bitrdi 286 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
1312albidv 1915 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
14 dfss2 3969 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))
15 df-ral 3059 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1613, 14, 153bitr4g 313 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1716pm5.32i 573 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
181, 17bitri 274 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύt crest 17409  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  Compccmp 23310  π‘˜Genckgen 23457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-kgen 23458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator