Theorem iskgen3 23514

Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iskgen3.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iskgen3	⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem iskgen3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iskgen2 23513	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
2		iskgen3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	toptopon 22882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		elkgen 23501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
5	3, 4	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
6		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	elpw 4545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8	7	anbi1i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	5, 8	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10	9	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
11		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
12	10, 11	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽))))
13	12	albidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽))))
14		df-ss 3906	. . . 4 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽))
15		df-ral 3052	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
16	13, 14, 15	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
17	16	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))
18	1, 17	bitri 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383  Topctop 22858  TopOnctopon 22875  Compccmp 23351  𝑘Genckgen 23498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cmp 23352  df-kgen 23499

This theorem is referenced by: (None)