MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iskgen3 23403
Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iskgen3.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
iskgen3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem iskgen3
StepHypRef Expression
1 iskgen2 23402 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
2 iskgen3.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32toptopon 22769 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 elkgen 23390 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
53, 4sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
6 vex 3472 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
76elpw 4601 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑋)
87anbi1i 623 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
95, 8bitr4di 289 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
109imbi1d 341 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
11 impexp 450 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1210, 11bitrdi 287 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
1312albidv 1915 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
14 dfss2 3963 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))
15 df-ral 3056 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1613, 14, 153bitr4g 314 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1716pm5.32i 574 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
181, 17bitri 275 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύt crest 17372  Topctop 22745  TopOnctopon 22762  Compccmp 23240  π‘˜Genckgen 23387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-kgen 23388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator