MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iskgen3 23053
Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iskgen3.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
iskgen3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem iskgen3
StepHypRef Expression
1 iskgen2 23052 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
2 iskgen3.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32toptopon 22419 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 elkgen 23040 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
53, 4sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
6 vex 3479 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
76elpw 4607 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑋)
87anbi1i 625 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
95, 8bitr4di 289 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
109imbi1d 342 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
11 impexp 452 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1210, 11bitrdi 287 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
1312albidv 1924 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))))
14 dfss2 3969 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽))
15 df-ral 3063 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1613, 14, 153bitr4g 314 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
1716pm5.32i 576 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
181, 17bitri 275 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Compccmp 22890  π‘˜Genckgen 23037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-kgen 23038
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator