MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iskgen3 21646
Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of 𝑋 that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iskgen3.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
iskgen3 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem iskgen3
StepHypRef Expression
1 iskgen2 21645 . 2 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽))
2 iskgen3.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝐽
32toptopon 21015 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 elkgen 21633 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
53, 4sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
6 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
76elpw 4323 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
87anbi1i 617 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
95, 8syl6bbr 280 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
109imbi1d 332 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))) → 𝑥𝐽)))
11 impexp 441 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))) → 𝑥𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
1210, 11syl6bb 278 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽))))
1312albidv 2015 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽))))
14 dfss2 3751 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) → 𝑥𝐽))
15 df-ral 3060 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
1613, 14, 153bitr4g 305 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
1716pm5.32i 570 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ⊆ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
181, 17bitri 266 1 (𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑋((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)) → 𝑥𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cin 3733  wss 3734  𝒫 cpw 4317   cuni 4596  ran crn 5280  cfv 6070  (class class class)co 6846  t crest 16361  Topctop 20991  TopOnctopon 21008  Compccmp 21483  𝑘Genckgen 21630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-fin 8168  df-fi 8528  df-rest 16363  df-topgen 16384  df-top 20992  df-topon 21009  df-bases 21044  df-cmp 21484  df-kgen 21631
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator