Theorem toponmax 23152

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 23140	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 23139	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 23132	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  Topctop 23119  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-top 23120  df-topon 23137

This theorem is used by:  topgele  23156  eltpsg  23169  en2top  23211  resttopon  23387  ordtrest  23428  ordtrest2lem  23429  ordtrest2  23430  lmfval  23458  cnpfval  23460  iscn  23461  iscnp  23463  lmbrf  23486  cncls  23500  cnconst2  23509  cnrest2  23512  cndis  23517  cnindis  23518  cnpdis  23519  lmfss  23522  lmres  23526  lmff  23527  ist1-3  23575  connsuba  23646  unconn  23655  kgenval  23762  elkgen  23763  kgentopon  23765  pttoponconst  23824  tx1cn  23836  tx2cn  23837  ptcls  23843  xkoccn  23846  txlm  23875  cnmpt2res  23904  xkoinjcn  23914  qtoprest  23944  ordthmeolem  24028  pt1hmeo  24033  xkocnv  24041  flimclslem  24211  flfval  24217  flfnei  24218  isflf  24220  flfcnp  24231  txflf  24233  supnfcls  24247  fclscf  24252  fclscmp  24257  fcfval  24260  isfcf  24261  uffcfflf  24266  cnpfcf  24268  mopnm  24671  isxms2  24675  prdsxmslem2  24756  bcth2  25559  dvmptid  26185  dvmptc  26186  dvtaylp  26607  taylthlem1  26610  taylthlem2  26611  pige3ALT  26758  dvcxp1  26978  cxpcn3  26986  ordtrestNEW  34432  ordtrest2NEWlem  34433  ordtrest2NEW  34434  topjoin  36985  areacirclem1  38458