Theorem toponmax 21983

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 21971	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 21970	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 21963	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836  ‘cfv 6418  Topctop 21950  TopOnctopon 21967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-top 21951  df-topon 21968

This theorem is referenced by:  topgele  21987  eltpsg  22000  eltpsgOLD  22001  en2top  22043  resttopon  22220  ordtrest  22261  ordtrest2lem  22262  ordtrest2  22263  lmfval  22291  cnpfval  22293  iscn  22294  iscnp  22296  lmbrf  22319  cncls  22333  cnconst2  22342  cnrest2  22345  cndis  22350  cnindis  22351  cnpdis  22352  lmfss  22355  lmres  22359  lmff  22360  ist1-3  22408  connsuba  22479  unconn  22488  kgenval  22594  elkgen  22595  kgentopon  22597  pttoponconst  22656  tx1cn  22668  tx2cn  22669  ptcls  22675  xkoccn  22678  txlm  22707  cnmpt2res  22736  xkoinjcn  22746  qtoprest  22776  ordthmeolem  22860  pt1hmeo  22865  xkocnv  22873  flimclslem  23043  flfval  23049  flfnei  23050  isflf  23052  flfcnp  23063  txflf  23065  supnfcls  23079  fclscf  23084  fclscmp  23089  fcfval  23092  isfcf  23093  uffcfflf  23098  cnpfcf  23100  mopnm  23505  isxms2  23509  prdsxmslem2  23591  bcth2  24399  dvmptid  25026  dvmptc  25027  dvtaylp  25434  taylthlem1  25437  taylthlem2  25438  pige3ALT  25581  dvcxp1  25798  cxpcn3  25806  ordtrestNEW  31773  ordtrest2NEWlem  31774  ordtrest2NEW  31775  topjoin  34481  areacirclem1  35792