Theorem toponmax 21138

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 21126	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 21125	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 21118	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2859	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4671  ‘cfv 6135  Topctop 21105  TopOnctopon 21122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-top 21106  df-topon 21123

This theorem is referenced by:  topgele  21142  eltpsg  21155  en2top  21197  resttopon  21373  ordtrest  21414  ordtrest2lem  21415  ordtrest2  21416  lmfval  21444  cnpfval  21446  iscn  21447  iscnp  21449  lmbrf  21472  cncls  21486  cnconst2  21495  cnrest2  21498  cndis  21503  cnindis  21504  cnpdis  21505  lmfss  21508  lmres  21512  lmff  21513  ist1-3  21561  connsuba  21632  unconn  21641  kgenval  21747  elkgen  21748  kgentopon  21750  pttoponconst  21809  tx1cn  21821  tx2cn  21822  ptcls  21828  xkoccn  21831  txlm  21860  cnmpt2res  21889  xkoinjcn  21899  qtoprest  21929  ordthmeolem  22013  pt1hmeo  22018  xkocnv  22026  flimclslem  22196  flfval  22202  flfnei  22203  isflf  22205  flfcnp  22216  txflf  22218  supnfcls  22232  fclscf  22237  fclscmp  22242  fcfval  22245  isfcf  22246  uffcfflf  22251  cnpfcf  22253  mopnm  22657  isxms2  22661  prdsxmslem2  22742  bcth2  23536  dvmptid  24157  dvmptc  24158  dvtaylp  24561  taylthlem1  24564  taylthlem2  24565  pige3  24707  dvcxp1  24921  cxpcn3  24929  ordtrestNEW  30565  ordtrest2NEWlem  30566  ordtrest2NEW  30567  topjoin  32948  areacirclem1  34127