MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 21527
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 21515 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
2 topontop 21514 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2824 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43topopn 21507 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽𝐽)
61, 5eqeltrd 2916 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   cuni 4824  cfv 6343  Topctop 21494  TopOnctopon 21511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fv 6351  df-top 21495  df-topon 21512
This theorem is referenced by:  topgele  21531  eltpsg  21544  en2top  21586  resttopon  21762  ordtrest  21803  ordtrest2lem  21804  ordtrest2  21805  lmfval  21833  cnpfval  21835  iscn  21836  iscnp  21838  lmbrf  21861  cncls  21875  cnconst2  21884  cnrest2  21887  cndis  21892  cnindis  21893  cnpdis  21894  lmfss  21897  lmres  21901  lmff  21902  ist1-3  21950  connsuba  22021  unconn  22030  kgenval  22136  elkgen  22137  kgentopon  22139  pttoponconst  22198  tx1cn  22210  tx2cn  22211  ptcls  22217  xkoccn  22220  txlm  22249  cnmpt2res  22278  xkoinjcn  22288  qtoprest  22318  ordthmeolem  22402  pt1hmeo  22407  xkocnv  22415  flimclslem  22585  flfval  22591  flfnei  22592  isflf  22594  flfcnp  22605  txflf  22607  supnfcls  22621  fclscf  22626  fclscmp  22631  fcfval  22634  isfcf  22635  uffcfflf  22640  cnpfcf  22642  mopnm  23047  isxms2  23051  prdsxmslem2  23132  bcth2  23930  dvmptid  24556  dvmptc  24557  dvtaylp  24961  taylthlem1  24964  taylthlem2  24965  pige3ALT  25108  dvcxp1  25325  cxpcn3  25333  ordtrestNEW  31189  ordtrest2NEWlem  31190  ordtrest2NEW  31191  topjoin  33738  areacirclem1  35055
  Copyright terms: Public domain W3C validator