Theorem toponmax 22948

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22936	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22935	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22928	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Topctop 22915  TopOnctopon 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-topon 22933

This theorem is referenced by:  topgele  22952  eltpsg  22965  eltpsgOLD  22966  en2top  23008  resttopon  23185  ordtrest  23226  ordtrest2lem  23227  ordtrest2  23228  lmfval  23256  cnpfval  23258  iscn  23259  iscnp  23261  lmbrf  23284  cncls  23298  cnconst2  23307  cnrest2  23310  cndis  23315  cnindis  23316  cnpdis  23317  lmfss  23320  lmres  23324  lmff  23325  ist1-3  23373  connsuba  23444  unconn  23453  kgenval  23559  elkgen  23560  kgentopon  23562  pttoponconst  23621  tx1cn  23633  tx2cn  23634  ptcls  23640  xkoccn  23643  txlm  23672  cnmpt2res  23701  xkoinjcn  23711  qtoprest  23741  ordthmeolem  23825  pt1hmeo  23830  xkocnv  23838  flimclslem  24008  flfval  24014  flfnei  24015  isflf  24017  flfcnp  24028  txflf  24030  supnfcls  24044  fclscf  24049  fclscmp  24054  fcfval  24057  isfcf  24058  uffcfflf  24063  cnpfcf  24065  mopnm  24470  isxms2  24474  prdsxmslem2  24558  bcth2  25378  dvmptid  26010  dvmptc  26011  dvtaylp  26427  taylthlem1  26430  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  pige3ALT  26577  dvcxp1  26797  cxpcn3  26806  ordtrestNEW  33882  ordtrest2NEWlem  33883  ordtrest2NEW  33884  topjoin  36348  areacirclem1  37695