MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 21464
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 21452 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
2 topontop 21451 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2821 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43topopn 21444 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽𝐽)
61, 5eqeltrd 2913 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   cuni 4832  cfv 6349  Topctop 21431  TopOnctopon 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-top 21432  df-topon 21449
This theorem is referenced by:  topgele  21468  eltpsg  21481  en2top  21523  resttopon  21699  ordtrest  21740  ordtrest2lem  21741  ordtrest2  21742  lmfval  21770  cnpfval  21772  iscn  21773  iscnp  21775  lmbrf  21798  cncls  21812  cnconst2  21821  cnrest2  21824  cndis  21829  cnindis  21830  cnpdis  21831  lmfss  21834  lmres  21838  lmff  21839  ist1-3  21887  connsuba  21958  unconn  21967  kgenval  22073  elkgen  22074  kgentopon  22076  pttoponconst  22135  tx1cn  22147  tx2cn  22148  ptcls  22154  xkoccn  22157  txlm  22186  cnmpt2res  22215  xkoinjcn  22225  qtoprest  22255  ordthmeolem  22339  pt1hmeo  22344  xkocnv  22352  flimclslem  22522  flfval  22528  flfnei  22529  isflf  22531  flfcnp  22542  txflf  22544  supnfcls  22558  fclscf  22563  fclscmp  22568  fcfval  22571  isfcf  22572  uffcfflf  22577  cnpfcf  22579  mopnm  22983  isxms2  22987  prdsxmslem2  23068  bcth2  23862  dvmptid  24483  dvmptc  24484  dvtaylp  24887  taylthlem1  24890  taylthlem2  24891  pige3ALT  25034  dvcxp1  25248  cxpcn3  25256  ordtrestNEW  31064  ordtrest2NEWlem  31065  ordtrest2NEW  31066  topjoin  33611  areacirclem1  34864
  Copyright terms: Public domain W3C validator