MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 22298
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 22286 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
2 topontop 22285 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
43topopn 22278 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
61, 5eqeltrd 2834 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  TopOnctopon 22282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-top 22266  df-topon 22283
This theorem is referenced by:  topgele  22302  eltpsg  22315  eltpsgOLD  22316  en2top  22358  resttopon  22535  ordtrest  22576  ordtrest2lem  22577  ordtrest2  22578  lmfval  22606  cnpfval  22608  iscn  22609  iscnp  22611  lmbrf  22634  cncls  22648  cnconst2  22657  cnrest2  22660  cndis  22665  cnindis  22666  cnpdis  22667  lmfss  22670  lmres  22674  lmff  22675  ist1-3  22723  connsuba  22794  unconn  22803  kgenval  22909  elkgen  22910  kgentopon  22912  pttoponconst  22971  tx1cn  22983  tx2cn  22984  ptcls  22990  xkoccn  22993  txlm  23022  cnmpt2res  23051  xkoinjcn  23061  qtoprest  23091  ordthmeolem  23175  pt1hmeo  23180  xkocnv  23188  flimclslem  23358  flfval  23364  flfnei  23365  isflf  23367  flfcnp  23378  txflf  23380  supnfcls  23394  fclscf  23399  fclscmp  23404  fcfval  23407  isfcf  23408  uffcfflf  23413  cnpfcf  23415  mopnm  23820  isxms2  23824  prdsxmslem2  23908  bcth2  24717  dvmptid  25344  dvmptc  25345  dvtaylp  25752  taylthlem1  25755  taylthlem2  25756  pige3ALT  25899  dvcxp1  26116  cxpcn3  26124  ordtrestNEW  32566  ordtrest2NEWlem  32567  ordtrest2NEW  32568  topjoin  34890  areacirclem1  36216
  Copyright terms: Public domain W3C validator