Theorem toponmax 22428

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22416	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22415	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22408	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  Topctop 22395  TopOnctopon 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-top 22396  df-topon 22413

This theorem is referenced by:  topgele  22432  eltpsg  22445  eltpsgOLD  22446  en2top  22488  resttopon  22665  ordtrest  22706  ordtrest2lem  22707  ordtrest2  22708  lmfval  22736  cnpfval  22738  iscn  22739  iscnp  22741  lmbrf  22764  cncls  22778  cnconst2  22787  cnrest2  22790  cndis  22795  cnindis  22796  cnpdis  22797  lmfss  22800  lmres  22804  lmff  22805  ist1-3  22853  connsuba  22924  unconn  22933  kgenval  23039  elkgen  23040  kgentopon  23042  pttoponconst  23101  tx1cn  23113  tx2cn  23114  ptcls  23120  xkoccn  23123  txlm  23152  cnmpt2res  23181  xkoinjcn  23191  qtoprest  23221  ordthmeolem  23305  pt1hmeo  23310  xkocnv  23318  flimclslem  23488  flfval  23494  flfnei  23495  isflf  23497  flfcnp  23508  txflf  23510  supnfcls  23524  fclscf  23529  fclscmp  23534  fcfval  23537  isfcf  23538  uffcfflf  23543  cnpfcf  23545  mopnm  23950  isxms2  23954  prdsxmslem2  24038  bcth2  24847  dvmptid  25474  dvmptc  25475  dvtaylp  25882  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  pige3ALT  26029  dvcxp1  26248  cxpcn3  26256  ordtrestNEW  32901  ordtrest2NEWlem  32902  ordtrest2NEW  32903  topjoin  35250  areacirclem1  36576