Theorem toponmax 23044

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 23032	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 23031	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 23024	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4868  ‘cfv 6525  Topctop 23011  TopOnctopon 23028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-top 23012  df-topon 23029

This theorem is referenced by:  topgele  23048  eltpsg  23061  en2top  23103  resttopon  23279  ordtrest  23320  ordtrest2lem  23321  ordtrest2  23322  lmfval  23350  cnpfval  23352  iscn  23353  iscnp  23355  lmbrf  23378  cncls  23392  cnconst2  23401  cnrest2  23404  cndis  23409  cnindis  23410  cnpdis  23411  lmfss  23414  lmres  23418  lmff  23419  ist1-3  23467  connsuba  23538  unconn  23547  kgenval  23653  elkgen  23654  kgentopon  23656  pttoponconst  23715  tx1cn  23727  tx2cn  23728  ptcls  23734  xkoccn  23737  txlm  23766  cnmpt2res  23795  xkoinjcn  23805  qtoprest  23835  ordthmeolem  23919  pt1hmeo  23924  xkocnv  23932  flimclslem  24102  flfval  24108  flfnei  24109  isflf  24111  flfcnp  24122  txflf  24124  supnfcls  24138  fclscf  24143  fclscmp  24148  fcfval  24151  isfcf  24152  uffcfflf  24157  cnpfcf  24159  mopnm  24562  isxms2  24566  prdsxmslem2  24647  bcth2  25450  dvmptid  26077  dvmptc  26078  dvtaylp  26491  taylthlem1  26494  taylthlem2  26495  pige3ALT  26643  dvcxp1  26863  cxpcn3  26871  ordtrestNEW  34228  ordtrest2NEWlem  34229  ordtrest2NEW  34230  topjoin  36738  areacirclem1  38219