Theorem toponmax 22409

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22397	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22396	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22389	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6539  Topctop 22376  TopOnctopon 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fv 6547  df-top 22377  df-topon 22394

This theorem is referenced by:  topgele  22413  eltpsg  22426  eltpsgOLD  22427  en2top  22469  resttopon  22646  ordtrest  22687  ordtrest2lem  22688  ordtrest2  22689  lmfval  22717  cnpfval  22719  iscn  22720  iscnp  22722  lmbrf  22745  cncls  22759  cnconst2  22768  cnrest2  22771  cndis  22776  cnindis  22777  cnpdis  22778  lmfss  22781  lmres  22785  lmff  22786  ist1-3  22834  connsuba  22905  unconn  22914  kgenval  23020  elkgen  23021  kgentopon  23023  pttoponconst  23082  tx1cn  23094  tx2cn  23095  ptcls  23101  xkoccn  23104  txlm  23133  cnmpt2res  23162  xkoinjcn  23172  qtoprest  23202  ordthmeolem  23286  pt1hmeo  23291  xkocnv  23299  flimclslem  23469  flfval  23475  flfnei  23476  isflf  23478  flfcnp  23489  txflf  23491  supnfcls  23505  fclscf  23510  fclscmp  23515  fcfval  23518  isfcf  23519  uffcfflf  23524  cnpfcf  23526  mopnm  23931  isxms2  23935  prdsxmslem2  24019  bcth2  24828  dvmptid  25455  dvmptc  25456  dvtaylp  25863  taylthlem1  25866  taylthlem2  25867  pige3ALT  26010  dvcxp1  26227  cxpcn3  26235  ordtrestNEW  32838  ordtrest2NEWlem  32839  ordtrest2NEW  32840  topjoin  35187  areacirclem1  36513