Theorem toponmax 22839

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22827	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22826	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22819	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4859  ‘cfv 6481  Topctop 22806  TopOnctopon 22823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-top 22807  df-topon 22824

This theorem is referenced by:  topgele  22843  eltpsg  22856  en2top  22898  resttopon  23074  ordtrest  23115  ordtrest2lem  23116  ordtrest2  23117  lmfval  23145  cnpfval  23147  iscn  23148  iscnp  23150  lmbrf  23173  cncls  23187  cnconst2  23196  cnrest2  23199  cndis  23204  cnindis  23205  cnpdis  23206  lmfss  23209  lmres  23213  lmff  23214  ist1-3  23262  connsuba  23333  unconn  23342  kgenval  23448  elkgen  23449  kgentopon  23451  pttoponconst  23510  tx1cn  23522  tx2cn  23523  ptcls  23529  xkoccn  23532  txlm  23561  cnmpt2res  23590  xkoinjcn  23600  qtoprest  23630  ordthmeolem  23714  pt1hmeo  23719  xkocnv  23727  flimclslem  23897  flfval  23903  flfnei  23904  isflf  23906  flfcnp  23917  txflf  23919  supnfcls  23933  fclscf  23938  fclscmp  23943  fcfval  23946  isfcf  23947  uffcfflf  23952  cnpfcf  23954  mopnm  24357  isxms2  24361  prdsxmslem2  24442  bcth2  25255  dvmptid  25886  dvmptc  25887  dvtaylp  26303  taylthlem1  26306  taylthlem2  26307  taylthlem2OLD  26308  pige3ALT  26454  dvcxp1  26674  cxpcn3  26683  ordtrestNEW  33929  ordtrest2NEWlem  33930  ordtrest2NEW  33931  topjoin  36398  areacirclem1  37747