Theorem toponmax 22916

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22904	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22903	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22896	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ∪ cuni 4845  ‘cfv 6492  Topctop 22883  TopOnctopon 22900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-top 22884  df-topon 22901

This theorem is referenced by:  topgele  22920  eltpsg  22933  en2top  22975  resttopon  23151  ordtrest  23192  ordtrest2lem  23193  ordtrest2  23194  lmfval  23222  cnpfval  23224  iscn  23225  iscnp  23227  lmbrf  23250  cncls  23264  cnconst2  23273  cnrest2  23276  cndis  23281  cnindis  23282  cnpdis  23283  lmfss  23286  lmres  23290  lmff  23291  ist1-3  23339  connsuba  23410  unconn  23419  kgenval  23525  elkgen  23526  kgentopon  23528  pttoponconst  23587  tx1cn  23599  tx2cn  23600  ptcls  23606  xkoccn  23609  txlm  23638  cnmpt2res  23667  xkoinjcn  23677  qtoprest  23707  ordthmeolem  23791  pt1hmeo  23796  xkocnv  23804  flimclslem  23974  flfval  23980  flfnei  23981  isflf  23983  flfcnp  23994  txflf  23996  supnfcls  24010  fclscf  24015  fclscmp  24020  fcfval  24023  isfcf  24024  uffcfflf  24029  cnpfcf  24031  mopnm  24434  isxms2  24438  prdsxmslem2  24519  bcth2  25322  dvmptid  25949  dvmptc  25950  dvtaylp  26360  taylthlem1  26363  taylthlem2  26364  pige3ALT  26509  dvcxp1  26729  cxpcn3  26737  ordtrestNEW  34112  ordtrest2NEWlem  34113  ordtrest2NEW  34114  topjoin  36600  areacirclem1  38082