MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 21462
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 21450 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
2 topontop 21449 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2818 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43topopn 21442 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽𝐽)
61, 5eqeltrd 2910 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   cuni 4830  cfv 6348  Topctop 21429  TopOnctopon 21446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-top 21430  df-topon 21447
This theorem is referenced by:  topgele  21466  eltpsg  21479  en2top  21521  resttopon  21697  ordtrest  21738  ordtrest2lem  21739  ordtrest2  21740  lmfval  21768  cnpfval  21770  iscn  21771  iscnp  21773  lmbrf  21796  cncls  21810  cnconst2  21819  cnrest2  21822  cndis  21827  cnindis  21828  cnpdis  21829  lmfss  21832  lmres  21836  lmff  21837  ist1-3  21885  connsuba  21956  unconn  21965  kgenval  22071  elkgen  22072  kgentopon  22074  pttoponconst  22133  tx1cn  22145  tx2cn  22146  ptcls  22152  xkoccn  22155  txlm  22184  cnmpt2res  22213  xkoinjcn  22223  qtoprest  22253  ordthmeolem  22337  pt1hmeo  22342  xkocnv  22350  flimclslem  22520  flfval  22526  flfnei  22527  isflf  22529  flfcnp  22540  txflf  22542  supnfcls  22556  fclscf  22561  fclscmp  22566  fcfval  22569  isfcf  22570  uffcfflf  22575  cnpfcf  22577  mopnm  22981  isxms2  22985  prdsxmslem2  23066  bcth2  23860  dvmptid  24481  dvmptc  24482  dvtaylp  24885  taylthlem1  24888  taylthlem2  24889  pige3ALT  25032  dvcxp1  25248  cxpcn3  25256  ordtrestNEW  31063  ordtrest2NEWlem  31064  ordtrest2NEW  31065  topjoin  33610  areacirclem1  34863
  Copyright terms: Public domain W3C validator