Theorem toponmax 22864

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22852	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22851	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22844	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6531  Topctop 22831  TopOnctopon 22848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-top 22832  df-topon 22849

This theorem is referenced by:  topgele  22868  eltpsg  22881  en2top  22923  resttopon  23099  ordtrest  23140  ordtrest2lem  23141  ordtrest2  23142  lmfval  23170  cnpfval  23172  iscn  23173  iscnp  23175  lmbrf  23198  cncls  23212  cnconst2  23221  cnrest2  23224  cndis  23229  cnindis  23230  cnpdis  23231  lmfss  23234  lmres  23238  lmff  23239  ist1-3  23287  connsuba  23358  unconn  23367  kgenval  23473  elkgen  23474  kgentopon  23476  pttoponconst  23535  tx1cn  23547  tx2cn  23548  ptcls  23554  xkoccn  23557  txlm  23586  cnmpt2res  23615  xkoinjcn  23625  qtoprest  23655  ordthmeolem  23739  pt1hmeo  23744  xkocnv  23752  flimclslem  23922  flfval  23928  flfnei  23929  isflf  23931  flfcnp  23942  txflf  23944  supnfcls  23958  fclscf  23963  fclscmp  23968  fcfval  23971  isfcf  23972  uffcfflf  23977  cnpfcf  23979  mopnm  24383  isxms2  24387  prdsxmslem2  24468  bcth2  25282  dvmptid  25913  dvmptc  25914  dvtaylp  26330  taylthlem1  26333  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  pige3ALT  26481  dvcxp1  26701  cxpcn3  26710  ordtrestNEW  33952  ordtrest2NEWlem  33953  ordtrest2NEW  33954  topjoin  36383  areacirclem1  37732