Theorem toponmax 23120

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 23108	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 23107	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 23100	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  Topctop 23087  TopOnctopon 23104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-top 23088  df-topon 23105

This theorem is used by:  topgele  23124  eltpsg  23137  en2top  23179  resttopon  23355  ordtrest  23396  ordtrest2lem  23397  ordtrest2  23398  lmfval  23426  cnpfval  23428  iscn  23429  iscnp  23431  lmbrf  23454  cncls  23468  cnconst2  23477  cnrest2  23480  cndis  23485  cnindis  23486  cnpdis  23487  lmfss  23490  lmres  23494  lmff  23495  ist1-3  23543  connsuba  23614  unconn  23623  kgenval  23729  elkgen  23730  kgentopon  23732  pttoponconst  23791  tx1cn  23803  tx2cn  23804  ptcls  23810  xkoccn  23813  txlm  23842  cnmpt2res  23871  xkoinjcn  23881  qtoprest  23911  ordthmeolem  23995  pt1hmeo  24000  xkocnv  24008  flimclslem  24178  flfval  24184  flfnei  24185  isflf  24187  flfcnp  24198  txflf  24200  supnfcls  24214  fclscf  24219  fclscmp  24224  fcfval  24227  isfcf  24228  uffcfflf  24233  cnpfcf  24235  mopnm  24638  isxms2  24642  prdsxmslem2  24723  bcth2  25526  dvmptid  26153  dvmptc  26154  dvtaylp  26570  taylthlem1  26573  taylthlem2  26574  pige3ALT  26722  dvcxp1  26942  cxpcn3  26950  ordtrestNEW  34342  ordtrest2NEWlem  34343  ordtrest2NEW  34344  topjoin  36917  areacirclem1  38400