Theorem toponmax 22891

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22879	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22878	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22871	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-top 22859  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  topgele  22895  eltpsg  22908  en2top  22950  resttopon  23126  ordtrest  23167  ordtrest2lem  23168  ordtrest2  23169  lmfval  23197  cnpfval  23199  iscn  23200  iscnp  23202  lmbrf  23225  cncls  23239  cnconst2  23248  cnrest2  23251  cndis  23256  cnindis  23257  cnpdis  23258  lmfss  23261  lmres  23265  lmff  23266  ist1-3  23314  connsuba  23385  unconn  23394  kgenval  23500  elkgen  23501  kgentopon  23503  pttoponconst  23562  tx1cn  23574  tx2cn  23575  ptcls  23581  xkoccn  23584  txlm  23613  cnmpt2res  23642  xkoinjcn  23652  qtoprest  23682  ordthmeolem  23766  pt1hmeo  23771  xkocnv  23779  flimclslem  23949  flfval  23955  flfnei  23956  isflf  23958  flfcnp  23969  txflf  23971  supnfcls  23985  fclscf  23990  fclscmp  23995  fcfval  23998  isfcf  23999  uffcfflf  24004  cnpfcf  24006  mopnm  24409  isxms2  24413  prdsxmslem2  24494  bcth2  25297  dvmptid  25924  dvmptc  25925  dvtaylp  26335  taylthlem1  26338  taylthlem2  26339  pige3ALT  26484  dvcxp1  26704  cxpcn3  26712  ordtrestNEW  34065  ordtrest2NEWlem  34066  ordtrest2NEW  34067  topjoin  36547  areacirclem1  38029