Theorem toponmax 22953

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22941	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22940	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22933	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-top 22921  df-topon 22938

This theorem is referenced by:  topgele  22957  eltpsg  22970  eltpsgOLD  22971  en2top  23013  resttopon  23190  ordtrest  23231  ordtrest2lem  23232  ordtrest2  23233  lmfval  23261  cnpfval  23263  iscn  23264  iscnp  23266  lmbrf  23289  cncls  23303  cnconst2  23312  cnrest2  23315  cndis  23320  cnindis  23321  cnpdis  23322  lmfss  23325  lmres  23329  lmff  23330  ist1-3  23378  connsuba  23449  unconn  23458  kgenval  23564  elkgen  23565  kgentopon  23567  pttoponconst  23626  tx1cn  23638  tx2cn  23639  ptcls  23645  xkoccn  23648  txlm  23677  cnmpt2res  23706  xkoinjcn  23716  qtoprest  23746  ordthmeolem  23830  pt1hmeo  23835  xkocnv  23843  flimclslem  24013  flfval  24019  flfnei  24020  isflf  24022  flfcnp  24033  txflf  24035  supnfcls  24049  fclscf  24054  fclscmp  24059  fcfval  24062  isfcf  24063  uffcfflf  24068  cnpfcf  24070  mopnm  24475  isxms2  24479  prdsxmslem2  24563  bcth2  25383  dvmptid  26015  dvmptc  26016  dvtaylp  26430  taylthlem1  26433  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  pige3ALT  26580  dvcxp1  26800  cxpcn3  26809  ordtrestNEW  33867  ordtrest2NEWlem  33868  ordtrest2NEW  33869  topjoin  36331  areacirclem1  37668