Theorem toponmax 22841

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22829	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22828	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22821	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-top 22809  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  topgele  22845  eltpsg  22858  en2top  22900  resttopon  23076  ordtrest  23117  ordtrest2lem  23118  ordtrest2  23119  lmfval  23147  cnpfval  23149  iscn  23150  iscnp  23152  lmbrf  23175  cncls  23189  cnconst2  23198  cnrest2  23201  cndis  23206  cnindis  23207  cnpdis  23208  lmfss  23211  lmres  23215  lmff  23216  ist1-3  23264  connsuba  23335  unconn  23344  kgenval  23450  elkgen  23451  kgentopon  23453  pttoponconst  23512  tx1cn  23524  tx2cn  23525  ptcls  23531  xkoccn  23534  txlm  23563  cnmpt2res  23592  xkoinjcn  23602  qtoprest  23632  ordthmeolem  23716  pt1hmeo  23721  xkocnv  23729  flimclslem  23899  flfval  23905  flfnei  23906  isflf  23908  flfcnp  23919  txflf  23921  supnfcls  23935  fclscf  23940  fclscmp  23945  fcfval  23948  isfcf  23949  uffcfflf  23954  cnpfcf  23956  mopnm  24359  isxms2  24363  prdsxmslem2  24444  bcth2  25257  dvmptid  25888  dvmptc  25889  dvtaylp  26305  taylthlem1  26308  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  pige3ALT  26456  dvcxp1  26676  cxpcn3  26685  ordtrestNEW  33934  ordtrest2NEWlem  33935  ordtrest2NEW  33936  topjoin  36409  areacirclem1  37758