Theorem toponmax 22870

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22858	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22857	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22850	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  Topctop 22837  TopOnctopon 22854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-top 22838  df-topon 22855

This theorem is referenced by:  topgele  22874  eltpsg  22887  en2top  22929  resttopon  23105  ordtrest  23146  ordtrest2lem  23147  ordtrest2  23148  lmfval  23176  cnpfval  23178  iscn  23179  iscnp  23181  lmbrf  23204  cncls  23218  cnconst2  23227  cnrest2  23230  cndis  23235  cnindis  23236  cnpdis  23237  lmfss  23240  lmres  23244  lmff  23245  ist1-3  23293  connsuba  23364  unconn  23373  kgenval  23479  elkgen  23480  kgentopon  23482  pttoponconst  23541  tx1cn  23553  tx2cn  23554  ptcls  23560  xkoccn  23563  txlm  23592  cnmpt2res  23621  xkoinjcn  23631  qtoprest  23661  ordthmeolem  23745  pt1hmeo  23750  xkocnv  23758  flimclslem  23928  flfval  23934  flfnei  23935  isflf  23937  flfcnp  23948  txflf  23950  supnfcls  23964  fclscf  23969  fclscmp  23974  fcfval  23977  isfcf  23978  uffcfflf  23983  cnpfcf  23985  mopnm  24388  isxms2  24392  prdsxmslem2  24473  bcth2  25286  dvmptid  25917  dvmptc  25918  dvtaylp  26334  taylthlem1  26337  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  pige3ALT  26485  dvcxp1  26705  cxpcn3  26714  ordtrestNEW  34078  ordtrest2NEWlem  34079  ordtrest2NEW  34080  topjoin  36559  areacirclem1  37905