Theorem toponmax 23249

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 23237	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 23236	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 23229	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  Topctop 23216  TopOnctopon 23233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-top 23217  df-topon 23234

This theorem is used by:  topgele  23253  eltpsg  23266  en2top  23308  resttopon  23484  ordtrest  23525  ordtrest2lem  23526  ordtrest2  23527  lmfval  23555  cnpfval  23557  iscn  23558  iscnp  23560  lmbrf  23583  cncls  23597  cnconst2  23606  cnrest2  23609  cndis  23614  cnindis  23615  cnpdis  23616  lmfss  23619  lmres  23623  lmff  23624  ist1-3  23672  connsuba  23743  unconn  23752  kgenval  23859  elkgen  23860  kgentopon  23862  pttoponconst  23921  tx1cn  23933  tx2cn  23934  ptcls  23940  xkoccn  23943  txlm  23972  cnmpt2res  24001  xkoinjcn  24011  qtoprest  24041  ordthmeolem  24125  pt1hmeo  24130  xkocnv  24138  flimclslem  24308  flfval  24314  flfnei  24315  isflf  24317  flfcnp  24328  txflf  24330  supnfcls  24344  fclscf  24349  fclscmp  24354  fcfval  24357  isfcf  24358  uffcfflf  24363  cnpfcf  24365  mopnm  24768  isxms2  24772  prdsxmslem2  24853  bcth2  25656  dvmptid  26282  dvmptc  26283  dvtaylp  26702  taylthlem1  26705  taylthlem2  26706  pige3ALT  26853  dvcxp1  27073  cxpcn3  27081  ordtrestNEW  34599  ordtrest2NEWlem  34600  ordtrest2NEW  34601  topjoin  37245  areacirclem1  38719