Theorem toponmax 22820

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22808	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22807	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22800	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6514  Topctop 22787  TopOnctopon 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-top 22788  df-topon 22805

This theorem is referenced by:  topgele  22824  eltpsg  22837  en2top  22879  resttopon  23055  ordtrest  23096  ordtrest2lem  23097  ordtrest2  23098  lmfval  23126  cnpfval  23128  iscn  23129  iscnp  23131  lmbrf  23154  cncls  23168  cnconst2  23177  cnrest2  23180  cndis  23185  cnindis  23186  cnpdis  23187  lmfss  23190  lmres  23194  lmff  23195  ist1-3  23243  connsuba  23314  unconn  23323  kgenval  23429  elkgen  23430  kgentopon  23432  pttoponconst  23491  tx1cn  23503  tx2cn  23504  ptcls  23510  xkoccn  23513  txlm  23542  cnmpt2res  23571  xkoinjcn  23581  qtoprest  23611  ordthmeolem  23695  pt1hmeo  23700  xkocnv  23708  flimclslem  23878  flfval  23884  flfnei  23885  isflf  23887  flfcnp  23898  txflf  23900  supnfcls  23914  fclscf  23919  fclscmp  23924  fcfval  23927  isfcf  23928  uffcfflf  23933  cnpfcf  23935  mopnm  24339  isxms2  24343  prdsxmslem2  24424  bcth2  25237  dvmptid  25868  dvmptc  25869  dvtaylp  26285  taylthlem1  26288  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  pige3ALT  26436  dvcxp1  26656  cxpcn3  26665  ordtrestNEW  33918  ordtrest2NEWlem  33919  ordtrest2NEW  33920  topjoin  36360  areacirclem1  37709