Theorem kgenss 23463

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenss	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽))
3		elrestr 17367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
4	3	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
5	4	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
6	5	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
7	6	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
8	7	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	2, 8	jcad 512	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10		toptopon2 22838	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		elkgen 23456	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
12	10, 11	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
13	9, 12	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
14	13	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17359  Topctop 22813  TopOnctopon 22830  Compccmp 23306  𝑘Genckgen 23453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-rest 17361  df-top 22814  df-topon 22831  df-kgen 23454

This theorem is referenced by:  kgenhaus  23464  kgencmp  23465  kgencmp2  23466  kgenidm  23467  iskgen2  23468  kgencn3  23478  kgen2cn  23479