MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenss 23551
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4937 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 𝐽))
3 elrestr 17473 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
433expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
54an32s 652 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
76ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
87ex 412 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
92, 8jcad 512 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
10 toptopon2 22924 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 elkgen 23544 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
1210, 11sylbi 217 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
139, 12sylibrd 259 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
1413ssrdv 3989 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  Compccmp 23394  𝑘Genckgen 23541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17467  df-top 22900  df-topon 22917  df-kgen 23542
This theorem is referenced by:  kgenhaus  23552  kgencmp  23553  kgencmp2  23554  kgenidm  23555  iskgen2  23556  kgencn3  23566  kgen2cn  23567
  Copyright terms: Public domain W3C validator