MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenss 22976
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4934 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 𝐽))
3 elrestr 17356 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
433expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
54an32s 650 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
76ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
87ex 413 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
92, 8jcad 513 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
10 toptopon2 22349 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 elkgen 22969 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
1210, 11sylbi 216 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
139, 12sylibrd 258 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
1413ssrdv 3984 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3060  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4596   cuni 4901  cfv 6532  (class class class)co 7393  t crest 17348  Topctop 22324  TopOnctopon 22341  Compccmp 22819  𝑘Genckgen 22966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-rest 17350  df-top 22325  df-topon 22342  df-kgen 22967
This theorem is referenced by:  kgenhaus  22977  kgencmp  22978  kgencmp2  22979  kgenidm  22980  iskgen2  22981  kgencn3  22991  kgen2cn  22992
  Copyright terms: Public domain W3C validator