MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenss 21755
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4702 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 𝐽))
3 elrestr 16475 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
433expa 1108 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
54an32s 642 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
76ralrimiva 3148 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
87ex 403 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
92, 8jcad 508 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
10 eqid 2778 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
1110toptopon 21129 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
12 elkgen 21748 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
1311, 12sylbi 209 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
149, 13sylibrd 251 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
1514ssrdv 3827 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wral 3090  cin 3791  wss 3792  𝒫 cpw 4379   cuni 4671  cfv 6135  (class class class)co 6922  t crest 16467  Topctop 21105  TopOnctopon 21122  Compccmp 21598  𝑘Genckgen 21745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-rest 16469  df-top 21106  df-topon 21123  df-kgen 21746
This theorem is referenced by:  kgenhaus  21756  kgencmp  21757  kgencmp2  21758  kgenidm  21759  iskgen2  21760  kgencn3  21770  kgen2cn  21771
  Copyright terms: Public domain W3C validator