MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenss 22152
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4833 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 𝐽))
3 elrestr 16698 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
433expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
54an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
76ralrimiva 3152 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
87ex 416 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
92, 8jcad 516 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
10 toptopon2 21527 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 elkgen 22145 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
1210, 11sylbi 220 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
139, 12sylibrd 262 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
1413ssrdv 3924 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112  wral 3109  cin 3883  wss 3884  𝒫 cpw 4500   cuni 4803  cfv 6328  (class class class)co 7139  t crest 16690  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  Compccmp 21995  𝑘Genckgen 22142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-rest 16692  df-top 21503  df-topon 21520  df-kgen 22143
This theorem is referenced by:  kgenhaus  22153  kgencmp  22154  kgencmp2  22155  kgenidm  22156  iskgen2  22157  kgencn3  22167  kgen2cn  22168
  Copyright terms: Public domain W3C validator