Theorem kgenss 22394

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenss	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽))
3		elrestr 16887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
4	3	3expa 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
5	4	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
6	5	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
7	6	ralrimiva 3095	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
8	7	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	2, 8	jcad 516	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10		toptopon2 21769	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		elkgen 22387	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
12	10, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
13	9, 12	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
14	13	ssrdv 3893	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499  ∪ cuni 4805  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↾_t crest 16879  Topctop 21744  TopOnctopon 21761  Compccmp 22237  𝑘Genckgen 22384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-rest 16881  df-top 21745  df-topon 21762  df-kgen 22385

This theorem is referenced by:  kgenhaus  22395  kgencmp  22396  kgencmp2  22397  kgenidm  22398  iskgen2  22399  kgencn3  22409  kgen2cn  22410