MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenss 23566
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4941 . . . . 5 (𝑥𝐽𝑥 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 𝐽))
3 elrestr 17474 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
433expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
54an32s 652 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
76ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))
87ex 412 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘))))
92, 8jcad 512 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 → (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
10 toptopon2 22939 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 elkgen 23559 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
1210, 11sylbi 217 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽((𝐽t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝐽t 𝑘)))))
139, 12sylibrd 259 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
1413ssrdv 4000 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wral 3058  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604   cuni 4911  cfv 6562  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914  TopOnctopon 22931  Compccmp 23409  𝑘Genckgen 23556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-rest 17468  df-top 22915  df-topon 22932  df-kgen 23557
This theorem is referenced by:  kgenhaus  23567  kgencmp  23568  kgencmp2  23569  kgenidm  23570  iskgen2  23571  kgencn3  23581  kgen2cn  23582
  Copyright terms: Public domain W3C validator