MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgenss 23268
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
Proof of Theorem kgenss
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4941 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
21a1i 11 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽))
3 elrestr 17379 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
433expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
54an32s 649 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
65a1d 25 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
76ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
87ex 412 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
92, 8jcad 512 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
10 toptopon2 22641 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
11 elkgen 23261 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
1210, 11sylbi 216 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
139, 12sylibrd 259 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
1413ssrdv 3988 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  Topctop 22616  TopOnctopon 22633  Compccmp 23111  π‘˜Genckgen 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rest 17373  df-top 22617  df-topon 22634  df-kgen 23259
This theorem is referenced by:  kgenhaus  23269  kgencmp  23270  kgencmp2  23271  kgenidm  23272  iskgen2  23273  kgencn3  23283  kgen2cn  23284
  Copyright terms: Public domain W3C validator