Theorem kgenss 23522

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenss	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽))
3		elrestr 17386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
4	3	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
5	4	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
6	5	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
7	6	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
8	7	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	2, 8	jcad 512	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10		toptopon2 22897	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		elkgen 23515	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
12	10, 11	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
13	9, 12	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
14	13	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↾_t crest 17378  Topctop 22872  TopOnctopon 22889  Compccmp 23365  𝑘Genckgen 23512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-rest 17380  df-top 22873  df-topon 22890  df-kgen 23513

This theorem is referenced by:  kgenhaus  23523  kgencmp  23524  kgencmp2  23525  kgenidm  23526  iskgen2  23527  kgencn3  23537  kgen2cn  23538