Theorem kgenss 23862

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenss	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenss

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽))
3		elrestr 17599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
4	3	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
5	4	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))
6	5	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽) → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
7	6	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))
8	7	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘))))
9	2, 8	jcad 522	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
10		toptopon2 23236	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		elkgen 23855	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
12	10, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↔ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝐽 ↾t 𝑘)))))
13	9, 12	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)))
14	13	ssrdv 3914	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17591  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  Compccmp 23704  𝑘Genckgen 23852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rest 17593  df-top 23212  df-topon 23229  df-kgen 23853

This theorem is used by:  kgenhaus  23863  kgencmp  23864  kgencmp2  23865  kgenidm  23866  iskgen2  23867  kgencn3  23877  kgen2cn  23878