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Theorem kgenidm 23271
Description: The compact generator is idempotent on compactly generated spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenidm (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
Proof of Theorem kgenidm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenf 23265 . . . 4 π‘˜Gen:Top⟢Top
2 ffn 6716 . . . 4 (π‘˜Gen:Top⟢Top β†’ π‘˜Gen Fn Top)
3 fvelrnb 6951 . . . 4 (π‘˜Gen Fn Top β†’ (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
5 toptopon2 22640 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ Top ↔ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
6 kgentopon 23262 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
8 kgentopon 23262 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
10 toponss 22649 . . . . . . . . 9 (((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
119, 10sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
12 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)))
13 kgencmp2 23270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ Top β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ↔ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
1413biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
1514ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
16 kgeni 23261 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∧ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1712, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
18 kgencmp 23269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1918ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
2017, 19eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜))
2120expr 455 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗) β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
23 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ Top)
2423, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
25 elkgen 23260 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2711, 22, 26mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—))
2827ex 411 . . . . . 6 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—)))
2928ssrdv 3987 . . . . 5 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—))
30 fveq2 6890 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) = (π‘˜Genβ€˜π½))
31 id 22 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
3230, 31sseq12d 4014 . . . . 5 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ ((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3329, 32syl5ibcom 244 . . . 4 (𝑗 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3433rexlimiv 3146 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
354, 34sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
36 kgentop 23266 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
37 kgenss 23267 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3836, 37syl 17 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3935, 38eqssd 3998 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Compccmp 23110  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-kgen 23258
This theorem is referenced by:  iskgen2  23272  kgencn3  23282  txkgen  23376
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