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Theorem kgenidm 22921
Description: The compact generator is idempotent on compactly generated spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenidm (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)

Proof of Theorem kgenidm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenf 22915 . . . 4 π‘˜Gen:Top⟢Top
2 ffn 6672 . . . 4 (π‘˜Gen:Top⟢Top β†’ π‘˜Gen Fn Top)
3 fvelrnb 6907 . . . 4 (π‘˜Gen Fn Top β†’ (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
5 toptopon2 22290 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ Top ↔ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
6 kgentopon 22912 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
8 kgentopon 22912 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
10 toponss 22299 . . . . . . . . 9 (((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
119, 10sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
12 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)))
13 kgencmp2 22920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ Top β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ↔ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
1413biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
1514ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
16 kgeni 22911 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∧ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
18 kgencmp 22919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1918ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
2017, 19eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜))
2120expr 458 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗) β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
2221ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
23 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ Top)
2423, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
25 elkgen 22910 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2711, 22, 26mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—))
2827ex 414 . . . . . 6 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—)))
2928ssrdv 3954 . . . . 5 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—))
30 fveq2 6846 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) = (π‘˜Genβ€˜π½))
31 id 22 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
3230, 31sseq12d 3981 . . . . 5 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ ((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3329, 32syl5ibcom 244 . . . 4 (𝑗 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3433rexlimiv 3142 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
354, 34sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
36 kgentop 22916 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
37 kgenss 22917 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3836, 37syl 17 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3935, 38eqssd 3965 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  Compccmp 22760  π‘˜Genckgen 22907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-kgen 22908
This theorem is referenced by:  iskgen2  22922  kgencn3  22932  txkgen  23026
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