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Theorem kgenidm 23050
Description: The compact generator is idempotent on compactly generated spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenidm (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
Proof of Theorem kgenidm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenf 23044 . . . 4 π‘˜Gen:Top⟢Top
2 ffn 6717 . . . 4 (π‘˜Gen:Top⟢Top β†’ π‘˜Gen Fn Top)
3 fvelrnb 6952 . . . 4 (π‘˜Gen Fn Top β†’ (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
5 toptopon2 22419 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ Top ↔ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
6 kgentopon 23041 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
8 kgentopon 23041 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
10 toponss 22428 . . . . . . . . 9 (((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
119, 10sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗)
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)))
13 kgencmp2 23049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ Top β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ↔ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
1413biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
1514ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
16 kgeni 23040 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) ∧ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
18 kgencmp 23048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ Top ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
1918ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑗 β†Ύt π‘˜) = ((π‘˜Genβ€˜π‘—) β†Ύt π‘˜))
2017, 19eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗 ∧ (𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜))
2120expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗) β†’ ((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
2221ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))
23 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ Top)
2423, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗))
25 elkgen 23039 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑗) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑗 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑗((𝑗 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝑗 β†Ύt π‘˜)))))
2711, 22, 26mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—))
2827ex 413 . . . . . 6 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π‘—)))
2928ssrdv 3988 . . . . 5 (𝑗 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—))
30 fveq2 6891 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) = (π‘˜Genβ€˜π½))
31 id 22 . . . . . 6 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽)
3230, 31sseq12d 4015 . . . . 5 ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ ((π‘˜Genβ€˜(π‘˜Genβ€˜π‘—)) βŠ† (π‘˜Genβ€˜π‘—) ↔ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3329, 32syl5ibcom 244 . . . 4 (𝑗 ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
3433rexlimiv 3148 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ Top (π‘˜Genβ€˜π‘—) = 𝐽 β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
354, 34sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
36 kgentop 23045 . . 3 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
37 kgenss 23046 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3836, 37syl 17 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
3935, 38eqssd 3999 1 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Compccmp 22889  π‘˜Genckgen 23036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-kgen 23037
This theorem is referenced by:  iskgen2  23051  kgencn3  23061  txkgen  23155
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