MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2ss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgen2ss 23279
Description: The compact generator preserves the subset (fineness) relationship on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2ss ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
Proof of Theorem kgen2ss
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
3 resttopon 22885 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
5 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 resttopon 22885 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
75, 2, 6syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
8 toponuni 22636 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜))
109fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (TopOnβ€˜π‘˜) = (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))
114, 10eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))
12 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
13 topontop 22635 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
15 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐾)
16 ssrest 22900 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) βŠ† (𝐾 β†Ύt π‘˜))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) βŠ† (𝐾 β†Ύt π‘˜))
18 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)
1918sscmp 23129 . . . . . . . . 9 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)) ∧ (𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) βŠ† (𝐾 β†Ύt π‘˜)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
20193com23 1126 . . . . . . . 8 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) βŠ† (𝐾 β†Ύt π‘˜) ∧ (𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
21203expia 1121 . . . . . . 7 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐾 β†Ύt π‘˜)) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) βŠ† (𝐾 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
2211, 17, 21syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp))
2317sseld 3981 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))
2422, 23imim12d 81 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜))))
2524ralimdva 3167 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜))))
2625anim2d 612 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))))
27 elkgen 23260 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
28273ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
29 elkgen 23260 . . . 4 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))))
30293ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐾 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐾 β†Ύt π‘˜)))))
3126, 28, 303imtr4d 293 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
3231ssrdv 3988 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Compccmp 23110  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-kgen 23258
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator