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Theorem kgentopon 23049
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables 𝑦 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4916 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
2 kgenval 23046 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))})
3 ssrab2 4077 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} βŠ† 𝒫 𝑋
42, 3eqsstrdi 4036 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋)
5 sspwuni 5103 . . . . . . . 8 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
64, 5sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
71, 6sylan9ssr 3996 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋)
8 iunin2 5074 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
9 uniiun 5061 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
109ineq2i 4209 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
11 incom 4201 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
128, 10, 113eqtr2i 2766 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
13 cmptop 22906 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
1413ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
15 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∩ π‘˜) = (π‘˜ ∩ 𝑦)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
1716sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
18 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
19 kgeni 23048 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2115, 20eqeltrrid 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2221ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
23 iunopn 22407 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2414, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2512, 24eqeltrrid 2838 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2625expr 457 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
2726ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
28 elkgen 23047 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
307, 27, 29mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
3130ex 413 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
3231alrimiv 1930 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
33 inss1 4228 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
34 elssuni 4941 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
3534ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
36 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
37 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
39 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
42 resttopon 22672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
4341, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
44 toponmax 22435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4640, 45eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4746expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
4847ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
49 elkgen 23047 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
5036, 48, 49mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
51 elssuni 4941 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5352, 6eqssd 3999 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5535, 54sseqtrrd 4023 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
5633, 55sstrid 3993 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋)
57 inindir 4227 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) = ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜))
5813ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
59 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
60 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
61 kgeni 23048 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6259, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
63 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
6463, 60, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
65 inopn 22408 . . . . . . . . 9 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∧ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6658, 62, 64, 65syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6757, 66eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6867expr 457 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
6968ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
70 elkgen 23047 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7170adantr 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7256, 69, 71mpbir2and 711 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
7372ralrimivva 3200 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
74 fvex 6904 . . . 4 (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V
75 istopg 22404 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))))
7674, 75ax-mp 5 . . 3 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7732, 73, 76sylanbrc 583 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
78 istopon 22421 . 2 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7977, 53, 78sylanbrc 583 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Compccmp 22897  π‘˜Genckgen 23044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-kgen 23045
This theorem is referenced by:  kgenuni  23050  kgenftop  23051  kgenhaus  23055  kgenidm  23058  kgencn  23067  kgencn3  23069  kgen2cn  23070
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