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Theorem kgentopon 23397
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables 𝑦 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4910 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
2 kgenval 23394 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))})
3 ssrab2 4072 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} βŠ† 𝒫 𝑋
42, 3eqsstrdi 4031 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋)
5 sspwuni 5096 . . . . . . . 8 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
64, 5sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
71, 6sylan9ssr 3991 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋)
8 iunin2 5067 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
9 uniiun 5054 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
109ineq2i 4204 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
11 incom 4196 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
128, 10, 113eqtr2i 2760 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
13 cmptop 23254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
1413ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
15 incom 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∩ π‘˜) = (π‘˜ ∩ 𝑦)
16 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
1716sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
18 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
19 kgeni 23396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2017, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2115, 20eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2221ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
23 iunopn 22755 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2414, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2512, 24eqeltrrid 2832 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2625expr 456 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
2726ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
28 elkgen 23395 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
307, 27, 29mpbir2and 710 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
3130ex 412 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
3231alrimiv 1922 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
33 inss1 4223 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
34 elssuni 4934 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
3534ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
36 ssidd 4000 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
37 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
3837ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
39 sseqin2 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
42 resttopon 23020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
4341, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
44 toponmax 22783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4640, 45eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4746expr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
4847ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
49 elkgen 23395 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
5036, 48, 49mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
51 elssuni 4934 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5352, 6eqssd 3994 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5453adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5535, 54sseqtrrd 4018 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
5633, 55sstrid 3988 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋)
57 inindir 4222 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) = ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜))
5813ad2antll 726 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
59 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
60 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
61 kgeni 23396 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6259, 60, 61syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
63 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
6463, 60, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
65 inopn 22756 . . . . . . . . 9 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∧ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6658, 62, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6757, 66eqeltrid 2831 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6867expr 456 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
6968ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
70 elkgen 23395 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7170adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7256, 69, 71mpbir2and 710 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
7372ralrimivva 3194 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
74 fvex 6898 . . . 4 (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V
75 istopg 22752 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))))
7674, 75ax-mp 5 . . 3 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7732, 73, 76sylanbrc 582 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
78 istopon 22769 . 2 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7977, 53, 78sylanbrc 582 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17375  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  Compccmp 23245  π‘˜Genckgen 23392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-kgen 23393
This theorem is referenced by:  kgenuni  23398  kgenftop  23399  kgenhaus  23403  kgenidm  23406  kgencn  23415  kgencn3  23417  kgen2cn  23418
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