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Theorem kgentopon 22905
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables 𝑦 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4878 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
2 kgenval 22902 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))})
3 ssrab2 4042 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} βŠ† 𝒫 𝑋
42, 3eqsstrdi 4003 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋)
5 sspwuni 5065 . . . . . . . 8 ((π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
64, 5sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝑋)
71, 6sylan9ssr 3963 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋)
8 iunin2 5036 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
9 uniiun 5023 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
109ineq2i 4174 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (π‘˜ ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
11 incom 4166 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∩ βˆͺ π‘₯) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
128, 10, 113eqtr2i 2771 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) = (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜)
13 cmptop 22762 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
1413ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
15 incom 4166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∩ π‘˜) = (π‘˜ ∩ 𝑦)
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
1716sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
18 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
19 kgeni 22904 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2115, 20eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
23 iunopn 22263 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2414, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (π‘˜ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2512, 24eqeltrrid 2843 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
2625expr 458 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
2726ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
28 elkgen 22903 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
2928adantr 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (βˆͺ π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
307, 27, 29mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
3130ex 414 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
3231alrimiv 1931 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
33 inss1 4193 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
34 elssuni 4903 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
3534ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
36 ssidd 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
37 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
39 sseqin2 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) = π‘˜)
4137adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
42 resttopon 22528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
4341, 42sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
44 toponmax 22291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4640, 45eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4746expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
4847ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
49 elkgen 22903 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝑋 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
5036, 48, 49mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
51 elssuni 4903 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5352, 6eqssd 3966 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5453adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
5535, 54sseqtrrd 3990 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
5633, 55sstrid 3960 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋)
57 inindir 4192 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) = ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜))
5813ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
59 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
60 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
61 kgeni 22904 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6259, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
63 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
6463, 60, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
65 inopn 22264 . . . . . . . . 9 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∧ (𝑦 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6658, 62, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∩ (𝑦 ∩ π‘˜)) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6757, 66eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
6867expr 458 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) ∧ π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
6968ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
70 elkgen 22903 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7170adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
7256, 69, 71mpbir2and 712 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
7372ralrimivva 3198 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
74 fvex 6860 . . . 4 (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V
75 istopg 22260 . . . 4 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))))
7674, 75ax-mp 5 . . 3 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)βˆ€π‘¦ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7732, 73, 76sylanbrc 584 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
78 istopon 22277 . 2 ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)))
7977, 53, 78sylanbrc 584 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   β†Ύt crest 17309  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Compccmp 22753  π‘˜Genckgen 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9354  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-kgen 22901
This theorem is referenced by:  kgenuni  22906  kgenftop  22907  kgenhaus  22911  kgenidm  22914  kgencn  22923  kgencn3  22925  kgen2cn  22926
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