HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem6 31063
Description: Lemma for cnlnadji 31067. ๐น is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
cnlnadjlem.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
cnlnadjlem.3 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
cnlnadjlem.4 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
cnlnadjlem.5 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem6 ๐น โˆˆ LinOp
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐‘”,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ค,๐น   ๐‘‡,๐‘”,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฃ,๐บ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘”)

Proof of Theorem cnlnadjlem6
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ง ๐‘ก ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.5 . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
2 cnlnadjlem.1 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
4 cnlnadjlem.3 . . . 4 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
5 cnlnadjlem.4 . . . 4 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
62, 3, 4, 5cnlnadjlem3 31060 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
71, 6fmpti 7064 . 2 ๐น: โ„‹โŸถ โ„‹
82lnopfi 30960 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
98ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„‹)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„‹)
11 hvmulcl 30004 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) โˆˆ โ„‹)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) โˆˆ โ„‹)
13 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
14 his7 30081 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง)))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง)))
16 hvaddcl 30003 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1711, 16sylan 581 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
182, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31062 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))))
1917, 18sylan 581 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))))
20 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
219adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„‹)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„‹)
23 his5 30077 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“)))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“)))
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
262, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31061 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐นโ€˜๐‘“) โˆˆ โ„‹)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐นโ€˜๐‘“) โˆˆ โ„‹)
28 his5 30077 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘“) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘“))))
2920, 25, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘“))))
302, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘“)))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘“)))
3231oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘“))))
3329, 32eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘“)))
3424, 33eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) = (๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))))
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) = (๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))))
362, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31062 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘ง)))
3736adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘ง)))
3835, 37oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง)) = ((๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) + (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘ง))))
39 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
40 hvmulcl 30004 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐นโ€˜๐‘“) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) โˆˆ โ„‹)
4126, 40sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) โˆˆ โ„‹)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) โˆˆ โ„‹)
432, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31061 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
45 his7 30081 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) + (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘ง))))
4639, 42, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ก ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“))) + (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜๐‘ง))))
4738, 46eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ก) ยทih ๐‘ง)) = (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
4815, 19, 473eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
4948ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ก โˆˆ โ„‹ (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
502, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31061 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5117, 50syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
52 hvaddcl 30003 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5341, 43, 52syl2an 597 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
54 hial2eq2 30098 . . . . . 6 (((๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ก โˆˆ โ„‹ (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ก โˆˆ โ„‹ (๐‘ก ยทih (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ก ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
5649, 55mpbid 231 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง)))
5756ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง)))
5857rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))
59 ellnop 30849 . 2 (๐น โˆˆ LinOp โ†” (๐น: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘“) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐นโ€˜๐‘“)) +โ„Ž (๐นโ€˜๐‘ง))))
607, 58, 59mpbir2an 710 1 ๐น โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โ†ฆ cmpt 5192  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โˆ—ccj 14990   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913  ContOpccop 29937  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076  ax-hcompl 30193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-dip 29692  df-ssp 29713  df-ph 29804  df-cbn 29854  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964  df-sh 30198  df-ch 30212  df-oc 30243  df-ch0 30244  df-nmop 30830  df-cnop 30831  df-lnop 30832  df-nmfn 30836  df-nlfn 30837  df-cnfn 30838  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  31065  cnlnadjlem9  31066
  Copyright terms: Public domain W3C validator