Theorem cnlnadjlem6 32365

Description: Lemma for cnlnadji 32369. 𝐹 is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem6	⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem6

Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
2		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6	2, 3, 4, 5	cnlnadjlem3 32362	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)
7	1, 6	fmpti 7108	. 2 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
8	2	lnopfi 32262	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelcdmi 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
11		hvmulcl 31306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
13		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
14		his7 31383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
16		hvaddcl 31305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
17	11, 16	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
18	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 32364	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
19	17, 18	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
20		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	9	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
22		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑓 ∈ ℋ)
23		his5 31379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
26	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 32363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
27	26	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
28		his5 31379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
29	20, 25, 27, 28	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
30	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 32364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
31	30	adantll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
32	31	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
33	29, 32	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
34	24, 33	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
35	34	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
36	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 32364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
37	36	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
38	35, 37	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
39		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
40		hvmulcl 31306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
41	26, 40	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
43	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 32363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
44	43	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
45		his7 31383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
46	39, 42, 44, 45	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
47	38, 46	eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
48	15, 19, 47	3eqtr3d 2812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
49	48	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
50	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 32363	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
51	17, 50	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
52		hvaddcl 31305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
53	41, 43, 52	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
54		hial2eq2 31400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
55	51, 53, 54	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
56	49, 55	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
57	56	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
58	57	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))
59		ellnop 32151	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ LinOp ↔ (𝐹: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
60	7, 58, 59	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   + caddc 11103   · cmul 11105  ∗ccj 15147   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213   ·_ℎ csm 31214   ·_ih csp 31215  ContOpccop 31239  LinOpclo 31240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvdistr1 31301  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378  ax-hcompl 31495

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-lm 23355  df-t1 23440  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cfil 25383  df-cau 25384  df-cmet 25385  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-gdiv 30789  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-vs 30892  df-nmcv 30893  df-ims 30894  df-dip 30994  df-ssp 31015  df-ph 31106  df-cbn 31156  df-hnorm 31261  df-hba 31262  df-hvsub 31264  df-hlim 31265  df-hcau 31266  df-sh 31500  df-ch 31514  df-oc 31545  df-ch0 31546  df-nmop 32132  df-cnop 32133  df-lnop 32134  df-nmfn 32138  df-nlfn 32139  df-cnfn 32140  df-lnfn 32141

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  32367  cnlnadjlem9  32368