HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem6 31014
Description: Lemma for cnlnadji 31018. 𝐹 is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4 𝐵 = (𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem6 𝐹 ∈ LinOp
Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem6
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.5 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
2 cnlnadjlem.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . 4 𝑇 ∈ ContOp
4 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
5 cnlnadjlem.4 . . . 4 𝐵 = (𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
62, 3, 4, 5cnlnadjlem3 31011 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)
71, 6fmpti 7060 . 2 𝐹: ℋ⟶ ℋ
82lnopfi 30911 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
98ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℋ → (𝑇𝑡) ∈ ℋ)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇𝑡) ∈ ℋ)
11 hvmulcl 29955 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑓) ∈ ℋ)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑓) ∈ ℋ)
13 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
14 his7 30032 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑡) ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = (((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) + ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧)))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = (((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) + ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧)))
16 hvaddcl 29954 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧) ∈ ℋ)
1711, 16sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧) ∈ ℋ)
182, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31013 . . . . . . . 8 ((((𝑥 · 𝑓) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))))
1917, 18sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih ((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))))
20 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
219adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇𝑡) ∈ ℋ)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑓 ∈ ℋ)
23 his5 30028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑡) ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓)))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓)))
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
262, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℋ → (𝐹𝑓) ∈ ℋ)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹𝑓) ∈ ℋ)
28 his5 30028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑓) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹𝑓))))
2920, 25, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹𝑓))))
302, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹𝑓)))
3130adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹𝑓)))
3231oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹𝑓))))
3329, 32eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑡) ·ih 𝑓)))
3424, 33eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))))
3534adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))))
362, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 31013 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹𝑧)))
3736adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹𝑧)))
3835, 37oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) + ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧)) = ((𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹𝑧))))
39 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
40 hvmulcl 29955 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑓) ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝐹𝑓)) ∈ ℋ)
4126, 40sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝐹𝑓)) ∈ ℋ)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝐹𝑓)) ∈ ℋ)
432, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31012 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐹𝑧) ∈ ℋ)
4443ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹𝑧) ∈ ℋ)
45 his7 30032 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · (𝐹𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹𝑧))))
4639, 42, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 · (𝐹𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹𝑧))))
4738, 46eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑡) ·ih (𝑥 · 𝑓)) + ((𝑇𝑡) ·ih 𝑧)) = (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
4815, 19, 473eqtr3d 2784 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
4948ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
502, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 31012 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑓) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) ∈ ℋ)
5117, 50syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) ∈ ℋ)
52 hvaddcl 29954 . . . . . . 7 (((𝑥 · (𝐹𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧)) ∈ ℋ)
5341, 43, 52syl2an 596 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧)) ∈ ℋ)
54 hial2eq2 30049 . . . . . 6 (((𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
5551, 53, 54syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
5649, 55mpbid 231 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧)))
5756ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧)))
5857rgen2 3194 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))
59 ellnop 30800 . 2 (𝐹 ∈ LinOp ↔ (𝐹: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 · 𝑓) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐹𝑓)) + (𝐹𝑧))))
607, 58, 59mpbir2an 709 1 𝐹 ∈ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  cc 11049   + caddc 11054   · cmul 11056  ccj 14981  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   ·ih csp 29864  ContOpccop 29888  LinOpclo 29889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-nmop 30781  df-cnop 30782  df-lnop 30783  df-nmfn 30787  df-nlfn 30788  df-cnfn 30789  df-lnfn 30790
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  31016  cnlnadjlem9  31017
  Copyright terms: Public domain W3C validator