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Theorem unoplin 31853
Description: A unitary operator is linear. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unoplin (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)

Proof of Theorem unoplin
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 31849 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 f1of 6843 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ UniOp)
5 hvmulcl 30946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
6 hvaddcl 30945 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
75, 6sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
87adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
10 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
11 unopadj 31852 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
124, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
13 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
15 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
17 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
18 cnvunop 31851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)
19 unopf1o 31849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
20 f1of 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2221ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
2322adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
2423adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
25 hiassdi 31024 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ)) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
2614, 16, 17, 24, 25syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
273ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2827adantrl 714 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
303ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
3231adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
33 hiassdi 31024 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
3414, 29, 32, 10, 33syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
35 unopadj 31852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
36353expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
3736oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3837adantlrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3938adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
40 unopadj 31852 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
41403expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
4241adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
4339, 42oveq12d 7442 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
4434, 43eqtr2d 2767 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4512, 26, 443eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4645ralrimiva 3136 . . . . 5 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
47 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
487, 47sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
4948anassrs 466 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
50 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
51 hvmulcl 30946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5250, 51sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5352an12s 647 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5453adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
55 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
5655adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
57 hvaddcl 30945 . . . . . . . 8 (((𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
5854, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
59 hial2eq 31039 . . . . . . 7 (((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
6049, 58, 59syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
613, 60sylanl1 678 . . . . 5 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
6246, 61mpbid 231 . . . 4 (((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6362ralrimiva 3136 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6463ralrimivva 3191 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
65 ellnop 31791 . 2 (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
663, 64, 65sylanbrc 581 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ccnv 5681  wf 6550  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156   + caddc 11161   · cmul 11163  chba 30852   + cva 30853   · csm 30854   ·ih csp 30855  LinOpclo 30880  UniOpcuo 30882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-2 12327  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-hvsub 30904  df-lnop 31774  df-unop 31776
This theorem is referenced by:  unopadj2  31871  idlnop  31925  elunop2  31946  nmopun  31947  unopbd  31948
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