HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjlnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjlnop 31606
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 31415 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
2 dmadjop 31408 . . 3 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
4 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
5 adjcl 31452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
6 hvmulcl 30533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
75, 6sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
87an12s 645 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
98adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
1093adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
11 adjcl 31452 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1211adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
13123adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
14 his7 30610 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
154, 10, 13, 14syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
16 adj2 31454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
17163adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1817oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
19 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
20 dmadjop 31408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2120ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
22213adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
23 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
24 his5 30606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)))
2519, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)))
26 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
275adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
28273adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
29 his5 30606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3118, 25, 303eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
32313adant3r 1179 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
33 adj2 31454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
34333adant3l 1178 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
3532, 34oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
36213adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
37 hvmulcl 30533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
39383ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
40 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
41 his7 30610 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)))
4236, 39, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)))
43 hvaddcl 30532 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
4437, 43sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
45 adj2 31454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4644, 45syl3an3 1163 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4742, 46eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4815, 35, 473eqtr2rd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
49483com23 1124 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
50493expa 1116 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5150ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
52 adjcl 31452 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5344, 52sylan2 591 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
54 hvaddcl 30532 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
558, 11, 54syl2an 594 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5655anandis 674 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
57 hial2eq2 30627 . . . . . . 7 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5853, 56, 57syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5951, 58mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
6059exp32 419 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))))
6160ralrimdv 3150 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
6261ralrimivv 3196 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
63 ellnop 31378 . 2 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
643, 62, 63sylanbrc 581 1 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  dom cdm 5675  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โˆ—ccj 15047   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440   ยทโ„Ž csm 30441   ยทih csp 30442  LinOpclo 30467  adjโ„Žcado 30475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30491  df-lnop 31361  df-adjh 31369
This theorem is referenced by:  adjsslnop  31607
  Copyright terms: Public domain W3C validator