HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjlnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjlnop 30914
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 30723 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
2 dmadjop 30716 . . 3 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
4 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
5 adjcl 30760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
6 hvmulcl 29841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
75, 6sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
87an12s 647 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
98adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
1093adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
11 adjcl 30760 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1211adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
13123adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
14 his7 29918 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
154, 10, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
16 adj2 30762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
17163adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)))
1817oveq2d 7369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
19 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
20 dmadjop 30716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2120ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
22213adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
23 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
24 his5 29914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)))
2519, 22, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ฆ)))
26 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
275adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
28273adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
29 his5 29914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) = ((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
3118, 25, 303eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
32313adant3r 1181 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))))
33 adj2 30762 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
34333adant3l 1180 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
3532, 34oveq12d 7371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)) = ((๐‘ค ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ))) + (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
36213adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
37 hvmulcl 29841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
39383ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
40 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
41 his7 29918 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)))
4236, 39, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)))
43 hvaddcl 29840 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
4437, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
45 adj2 30762 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4644, 45syl3an3 1165 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4742, 46eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ค) ยทih ๐‘ง)) = (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
4815, 35, 473eqtr2rd 2783 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
49483com23 1126 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
50493expa 1118 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5150ralrimiva 3141 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
52 adjcl 30760 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5344, 52sylan2 593 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
54 hvaddcl 29840 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
558, 11, 54syl2an 596 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5655anandis 676 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
57 hial2eq2 29935 . . . . . . 7 ((((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5853, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ (๐‘ค ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ค ยทih ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))) โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
5951, 58mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
6059exp32 421 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))))
6160ralrimdv 3147 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
6261ralrimivv 3193 . 2 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
63 ellnop 30686 . 2 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
643, 62, 63sylanbrc 583 1 (๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  dom cdm 5631  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  โ„‚cc 11045   + caddc 11050   ยท cmul 11052  โˆ—ccj 14973   โ„‹chba 29747   +โ„Ž cva 29748   ยทโ„Ž csm 29749   ยทih csp 29750  LinOpclo 29775  adjโ„Žcado 29783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-hvsub 29799  df-lnop 30669  df-adjh 30677
This theorem is referenced by:  adjsslnop  30915
  Copyright terms: Public domain W3C validator