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Theorem adjlnop 29559
 Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 29368 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 dmadjop 29361 . . 3 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 simp2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
5 adjcl 29405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
6 hvmulcl 28486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
75, 6sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
87an12s 645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
98adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
1093adant2 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
11 adjcl 29405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
1211adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
13123adant2 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
14 his7 28563 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
154, 10, 13, 14syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
16 adj2 29407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
17163adant3l 1173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1817oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
19 simp3l 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
20 dmadjop 29361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120ffvelrnda 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
22213adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
23 simp3r 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
24 his5 28559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
2519, 22, 23, 24syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
26 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
275adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
28273adant2 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
29 his5 28559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3118, 25, 303eqtr4d 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
32313adant3r 1174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
33 adj2 29407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
34333adant3l 1173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
3532, 34oveq12d 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
36213adant3 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
37 hvmulcl 28486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
39383ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simp3r 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
41 his7 28563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
4236, 39, 40, 41syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
43 hvaddcl 28485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
4437, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
45 adj2 29407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4644, 45syl3an3 1158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4742, 46eqtr3d 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4815, 35, 473eqtr2rd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
49483com23 1119 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
50493expa 1111 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5150ralrimiva 3149 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
52 adjcl 29405 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
5344, 52sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
54 hvaddcl 28485 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
558, 11, 54syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
5655anandis 674 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
57 hial2eq2 28580 . . . . . . 7 ((((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5853, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5951, 58mpbid 233 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
6059exp32 421 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))))
6160ralrimdv 3155 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
6261ralrimivv 3157 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
63 ellnop 29331 . 2 ((adj𝑇) ∈ LinOp ↔ ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
643, 62, 63sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  dom cdm 5448  ⟶wf 6226  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386   + caddc 10391   · cmul 10393  ∗ccj 14294   ℋchba 28392   +ℎ cva 28393   ·ℎ csm 28394   ·ih csp 28395  LinOpclo 28420  adjℎcado 28428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483  ax-hfi 28552  ax-his1 28555  ax-his2 28556  ax-his3 28557  ax-his4 28558 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-2 11553  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-hvsub 28444  df-lnop 29314  df-adjh 29322 This theorem is referenced by:  adjsslnop  29560
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