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Theorem adjlnop 30167
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 29976 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 dmadjop 29969 . . 3 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4 simp2 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
5 adjcl 30013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
6 hvmulcl 29094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
75, 6sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
87an12s 649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
98adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
1093adant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ)
11 adjcl 30013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
1211adantrl 716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
13123adant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ)
14 his7 29171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
154, 10, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
16 adj2 30015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
17163adant3l 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦)))
1817oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
19 simp3l 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
20 dmadjop 29969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120ffvelrnda 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
22213adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
23 simp3r 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
24 his5 29167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
2519, 22, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
26 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑤 ∈ ℋ)
275adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
28273adant2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ)
29 his5 29167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) = ((∗‘𝑥) · (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑦))))
3118, 25, 303eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
32313adant3r 1183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) = (𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))))
33 adj2 30015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
34333adant3l 1182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧)))
3532, 34oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = ((𝑤 ·ih (𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦))) + (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘𝑧))))
36213adant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
37 hvmulcl 29094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
39383ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simp3r 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
41 his7 29171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
4236, 39, 40, 41syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)))
43 hvaddcl 29093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
4437, 43sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
45 adj2 30015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4644, 45syl3an3 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑤) ·ih ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4742, 46eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑤) ·ih (𝑥 · 𝑦)) + ((𝑇𝑤) ·ih 𝑧)) = (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
4815, 35, 473eqtr2rd 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ dom adj𝑤 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
49483com23 1128 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
50493expa 1120 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5150ralrimiva 3105 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
52 adjcl 30013 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
5344, 52sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
54 hvaddcl 29093 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
558, 11, 54syl2an 599 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ (𝑇 ∈ dom adj𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
5655anandis 678 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ)
57 hial2eq2 29188 . . . . . . 7 ((((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5853, 56, 57syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (∀𝑤 ∈ ℋ (𝑤 ·ih ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (𝑤 ·ih ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))) ↔ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
5951, 58mpbid 235 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
6059exp32 424 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ → ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))))
6160ralrimdv 3109 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
6261ralrimivv 3111 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧)))
63 ellnop 29939 . 2 ((adj𝑇) ∈ LinOp ↔ ((adj𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((adj𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((adj𝑇)‘𝑦)) + ((adj𝑇)‘𝑧))))
643, 62, 63sylanbrc 586 1 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  dom cdm 5551  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   + caddc 10732   · cmul 10734  ccj 14659  chba 29000   + cva 29001   · csm 29002   ·ih csp 29003  LinOpclo 29028  adjcado 29036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-hvsub 29052  df-lnop 29922  df-adjh 29930
This theorem is referenced by:  adjsslnop  30168
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