Theorem hmoplin 32000

Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmoplin	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 31932	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
3		hvmulcl 31071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
6	5	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
9		hmop 31980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ·ih (𝑇‘𝑤)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ·ih (𝑇‘𝑤)))
11	2, 7, 8, 10	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ·ih (𝑇‘𝑤)))
12		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
16		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
17	1	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
18	17	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
19	18	adantllr 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
20		hiassdi 31149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)) → (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ·ih (𝑇‘𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤))))
21	13, 15, 16, 19, 20	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ·ih (𝑇‘𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤))))
22	1	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
23	22	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
25	1	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
27	26	adantllr 720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
28		hiassdi 31149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤)))
29	13, 24, 27, 8, 28	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤)))
30		hmop 31980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤))
31	30	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤)))
32	31	3expa 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤)))
33	32	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))))
34	33	adantlrl 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))))
35	34	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))))
36		hmop 31980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤)) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤))
37	36	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤)))
38	37	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤)))
39	38	adantllr 720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤)))
40	35, 39	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤))))
41	29, 40	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇‘𝑤))) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤))
42	11, 21, 41	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤))
43	42	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤))
44		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
45	5, 44	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
46	45	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
47		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
48		hvmulcl 31071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) ∈ ℋ)
49	47, 48	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) ∈ ℋ)
50	49	an12s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) ∈ ℋ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) ∈ ℋ)
52		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
53	52	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
54		hvaddcl 31070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ∈ ℋ)
55	51, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ∈ ℋ)
56		hial2eq 31164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
57	46, 55, 56	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
58	1, 57	sylanl1 681	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
59	43, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
60	59	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
61	60	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
62		ellnop 31916	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑦)) +ℎ (𝑇‘𝑧))))
63	1, 61, 62	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028   + caddc 11033   · cmul 11035   ℋchba 30977   +_ℎ cva 30978   ·_ℎ csm 30979   ·_ih csp 30980  LinOpclo 31005  HrmOpcho 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31057  ax-hfvadd 31058  ax-hvcom 31059  ax-hvass 31060  ax-hv0cl 31061  ax-hvaddid 31062  ax-hfvmul 31063  ax-hvmulid 31064  ax-hvdistr2 31067  ax-hvmul0 31068  ax-hfi 31137  ax-his2 31141  ax-his3 31142  ax-his4 31143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-hvsub 31029  df-lnop 31899  df-hmop 31902

This theorem is referenced by:  0lnop  32042  hmopbdoptHIL  32046  leoptri  32194  leopnmid  32196  nmopleid  32197  opsqrlem1  32198  opsqrlem6  32203  pjlnopi  32205  hmopidmchi  32209  hmopidmpji  32210