HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmoplin 29729
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 29661 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
3 hvmulcl 28800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 28799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
53, 4sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
65adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
9 hmop 29709 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤))
109eqcomd 2807 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
16 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
171ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
1918adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
20 hiassdi 28878 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ)) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
221ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2322adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
251ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
2625adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
2726adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
28 hiassdi 28878 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
30 hmop 29709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤))
3130eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
32313expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
3332oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3433adantlrl 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
36 hmop 29709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤))
3736eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
38373expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
3938adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
4035, 39oveq12d 7157 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
4129, 40eqtr2d 2837 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4211, 21, 413eqtrd 2840 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4342ralrimiva 3152 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
44 ffvelrn 6830 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
455, 44sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
4645anassrs 471 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
47 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
48 hvmulcl 28800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
4947, 48sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5049an12s 648 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5150adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
52 ffvelrn 6830 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
5352adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
54 hvaddcl 28799 . . . . . . . 8 (((𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
5551, 53, 54syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
56 hial2eq 28893 . . . . . . 7 (((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
5746, 55, 56syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
581, 57sylanl1 679 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
5943, 58mpbid 235 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6059ralrimiva 3152 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6160ralrimivva 3159 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
62 ellnop 29645 . 2 (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
631, 61, 62sylanbrc 586 1 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528   + caddc 10533   · cmul 10535  chba 28706   + cva 28707   · csm 28708   ·ih csp 28709  LinOpclo 28734  HrmOpcho 28737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-hvsub 28758  df-lnop 29628  df-hmop 29631
This theorem is referenced by:  0lnop  29771  hmopbdoptHIL  29775  leoptri  29923  leopnmid  29925  nmopleid  29926  opsqrlem1  29927  opsqrlem6  29932  pjlnopi  29934  hmopidmchi  29938  hmopidmpji  29939
  Copyright terms: Public domain W3C validator