HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmoplin 30436
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 30368 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
3 hvmulcl 29507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 29506 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
53, 4sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
65adantll 711 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
9 hmop 30416 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤))
109eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
112, 7, 8, 10syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)))
12 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑦 ∈ ℋ)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
16 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
171ffvelcdmda 7000 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
1918adantllr 716 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
20 hiassdi 29585 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ)) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
221ffvelcdmda 7000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2322adantrl 713 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
251ffvelcdmda 7000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
2726adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
28 hiassdi 29585 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) = ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)))
30 hmop 30416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤))
3130eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
32313expa 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑤)))
3332oveq2d 7332 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3433adantlrl 717 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
3534adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) = (𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))))
36 hmop 30416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤))
3736eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
38373expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
3938adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤) = (𝑧 ·ih (𝑇𝑤)))
4035, 39oveq12d 7334 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑇𝑦) ·ih 𝑤)) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑤)) = ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))))
4129, 40eqtr2d 2777 . . . . . . 7 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑦 ·ih (𝑇𝑤))) + (𝑧 ·ih (𝑇𝑤))) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4211, 21, 413eqtrd 2780 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
4342ralrimiva 3139 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤))
44 ffvelcdm 6998 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
455, 44sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
4645anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ)
47 ffvelcdm 6998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
48 hvmulcl 29507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
4947, 48sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5049an12s 646 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
52 ffvelcdm 6998 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
5352adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
54 hvaddcl 29506 . . . . . . . 8 (((𝑥 · (𝑇𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
5551, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ)
56 hial2eq 29600 . . . . . . 7 (((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
5746, 55, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
581, 57sylanl1 677 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) ·ih 𝑤) = (((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
5943, 58mpbid 231 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6059ralrimiva 3139 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
6160ralrimivva 3193 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧)))
62 ellnop 30352 . 2 (𝑇 ∈ LinOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇𝑦)) + (𝑇𝑧))))
631, 61, 62sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948   + caddc 10953   · cmul 10955  chba 29413   + cva 29414   · csm 29415   ·ih csp 29416  LinOpclo 29441  HrmOpcho 29444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-hilex 29493  ax-hfvadd 29494  ax-hvcom 29495  ax-hvass 29496  ax-hv0cl 29497  ax-hvaddid 29498  ax-hfvmul 29499  ax-hvmulid 29500  ax-hvdistr2 29503  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his2 29577  ax-his3 29578  ax-his4 29579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-ltxr 11093  df-sub 11286  df-neg 11287  df-hvsub 29465  df-lnop 30335  df-hmop 30338
This theorem is referenced by:  0lnop  30478  hmopbdoptHIL  30482  leoptri  30630  leopnmid  30632  nmopleid  30633  opsqrlem1  30634  opsqrlem6  30639  pjlnopi  30641  hmopidmchi  30645  hmopidmpji  30646
  Copyright terms: Public domain W3C validator