HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmoplin 31699
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31631 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
3 hvmulcl 30770 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
4 hvaddcl 30769 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
53, 4sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
65adantll 711 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
9 hmop 31679 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
109eqcomd 2732 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
12 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
16 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
171ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1918adantllr 716 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
20 hiassdi 30848 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
221ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322adantrl 713 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
251ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2726adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
28 hiassdi 30848 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
30 hmop 31679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค))
3130eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
32313expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3332oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3433adantlrl 717 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3534adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
36 hmop 31679 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค))
3736eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
38373expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3938adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
4035, 39oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
4129, 40eqtr2d 2767 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4211, 21, 413eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4342ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
44 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
455, 44sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
4645anassrs 467 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
47 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
48 hvmulcl 30770 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
4947, 48sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5049an12s 646 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
52 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5352adantlr 712 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
54 hvaddcl 30769 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5551, 53, 54syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
56 hial2eq 30863 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5746, 55, 56syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
581, 57sylanl1 677 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5943, 58mpbid 231 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6059ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6160ralrimivva 3194 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
62 ellnop 31615 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
631, 61, 62sylanbrc 582 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทโ„Ž csm 30678   ยทih csp 30679  LinOpclo 30704  HrmOpcho 30707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30728  df-lnop 31598  df-hmop 31601
This theorem is referenced by:  0lnop  31741  hmopbdoptHIL  31745  leoptri  31893  leopnmid  31895  nmopleid  31896  opsqrlem1  31897  opsqrlem6  31902  pjlnopi  31904  hmopidmchi  31908  hmopidmpji  31909
  Copyright terms: Public domain W3C validator