HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmoplin 31772
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 31704 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
3 hvmulcl 30843 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
4 hvaddcl 30842 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
53, 4sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
65adantll 712 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
8 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
9 hmop 31752 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
109eqcomd 2734 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
112, 7, 8, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
12 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
16 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
171ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1817adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1918adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
20 hiassdi 30921 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
221ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322adantrl 714 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
251ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2625adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2726adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
28 hiassdi 30921 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
30 hmop 31752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค))
3130eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
32313expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3332oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3433adantlrl 718 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3534adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
36 hmop 31752 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค))
3736eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
38373expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3938adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
4035, 39oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
4129, 40eqtr2d 2769 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4211, 21, 413eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4342ralrimiva 3143 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
44 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
455, 44sylan2 591 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
4645anassrs 466 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
47 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
48 hvmulcl 30843 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
4947, 48sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5049an12s 647 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5150adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
52 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5352adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
54 hvaddcl 30842 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5551, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
56 hial2eq 30936 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5746, 55, 56syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
581, 57sylanl1 678 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5943, 58mpbid 231 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6059ralrimiva 3143 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6160ralrimivva 3198 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
62 ellnop 31688 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
631, 61, 62sylanbrc 581 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โ„‹chba 30749   +โ„Ž cva 30750   ยทโ„Ž csm 30751   ยทih csp 30752  LinOpclo 30777  HrmOpcho 30780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-hvsub 30801  df-lnop 31671  df-hmop 31674
This theorem is referenced by:  0lnop  31814  hmopbdoptHIL  31818  leoptri  31966  leopnmid  31968  nmopleid  31969  opsqrlem1  31970  opsqrlem6  31975  pjlnopi  31977  hmopidmchi  31981  hmopidmpji  31982
  Copyright terms: Public domain W3C validator