HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmoplin 30926
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 30858 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
2 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
3 hvmulcl 29997 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
4 hvaddcl 29996 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
53, 4sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
65adantll 713 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
9 hmop 30906 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
109eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
112, 7, 8, 10syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
16 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
171ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
1918adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)
20 hiassdi 30075 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
221ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2322adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
251ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
2726adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
28 hiassdi 30075 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)))
30 hmop 30906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค))
3130eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
32313expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3332oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3433adantlrl 719 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
36 hmop 30906 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
38373expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
3938adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค) = (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค)))
4035, 39oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ค)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ง) ยทih ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))))
4129, 40eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) + (๐‘ง ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ค))) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4211, 21, 413eqtrd 2781 . . . . . 6 ((((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
4342ralrimiva 3144 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค))
44 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
455, 44sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
4645anassrs 469 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
47 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
48 hvmulcl 29997 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
4947, 48sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5049an12s 648 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
5150adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
52 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
5352adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
54 hvaddcl 29996 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹)
56 hial2eq 30090 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5746, 55, 56syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
581, 57sylanl1 679 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) = (((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)) ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5943, 58mpbid 231 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6059ralrimiva 3144 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
6160ralrimivva 3198 . 2 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
62 ellnop 30842 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
631, 61, 62sylanbrc 584 1 (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทโ„Ž csm 29905   ยทih csp 29906  LinOpclo 29931  HrmOpcho 29934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-neg 11395  df-hvsub 29955  df-lnop 30825  df-hmop 30828
This theorem is referenced by:  0lnop  30968  hmopbdoptHIL  30972  leoptri  31120  leopnmid  31122  nmopleid  31123  opsqrlem1  31124  opsqrlem6  31129  pjlnopi  31131  hmopidmchi  31135  hmopidmpji  31136
  Copyright terms: Public domain W3C validator