Theorem ellspsn3 21299

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn3 32207 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ellspsn3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
ellspsn3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ellspsn3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		ellspsn3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspsnss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	lspsnss 21298	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
8		ellspsn3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9	7, 8	sseldd 3914	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6561  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  LSpanclspn 21279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280

This theorem is used by:  ellspsn4  21435