Theorem ellspsn3 20984

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn3 31663 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ellspsn3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
ellspsn3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ellspsn3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		ellspsn3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspsnss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	lspsnss 20983	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
8		ellspsn3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9	7, 8	sseldd 3917	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  {csn 4557  ‘cfv 6488  LModclmod 20853  LSubSpclss 20924  LSpanclspn 20964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965

This theorem is referenced by:  ellspsn4  21120