Theorem ellspsn4 21090

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 31559 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ellspsn4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn4.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ellspsn4.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ellspsn4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
ellspsn4.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		ellspsn4.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		ellspsn4.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21069	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		ellspsn4.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		ellspsn4.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
12	1, 2, 6, 8, 9, 11	ellspsn3 20953	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
13	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
14	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16		ellspsn4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		ellspsn4.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18	17, 2	lspsnid 20955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
19	5, 16, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20		ellspsn4.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		ellspsn4.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
22	17, 20, 2, 3, 16, 10, 21	lspsneleq 21081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
23	19, 22	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
25	1, 2, 13, 14, 15, 24	ellspsn3 20953	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {csn 4606  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933  LVecclvec 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066

This theorem is referenced by:  lshpdisj  39010