Theorem ellspsn4 21382

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 32157 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ellspsn4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn4.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ellspsn4.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ellspsn4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
ellspsn4.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		ellspsn4.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		ellspsn4.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21361	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		ellspsn4.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		ellspsn4.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
12	1, 2, 6, 8, 9, 11	ellspsn3 21246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
13	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
14	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16		ellspsn4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		ellspsn4.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18	17, 2	lspsnid 21248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
19	5, 16, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20		ellspsn4.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		ellspsn4.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
22	17, 20, 2, 3, 16, 10, 21	lspsneleq 21373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
23	19, 22	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
25	1, 2, 13, 14, 15, 24	ellspsn3 21246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {csn 4584  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358

This theorem is used by:  lshpdisj  40012