Theorem lspprss 20904

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspprss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspprss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprss.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspprss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspprss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
5	3, 4	prssd 4788	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6		lspprss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lspprss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspssp 20900	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  {cpr 4593  ‘cfv 6513  LModclmod 20772  LSubSpclss 20843  LSpanclspn 20883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884

This theorem is referenced by:  lsppratlem2  21064  dvh3dim2  41437  dvh3dim3N  41438  lclkrlem2n  41509