MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprss 20438
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprss.x (𝜑𝑋𝑈)
lspprss.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspprss (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspprss.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
3 lspprss.x . . 3 (𝜑𝑋𝑈)
4 lspprss.y . . 3 (𝜑𝑌𝑈)
53, 4prssd 4780 . 2 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6 lspprss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7 lspprss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssp 20434 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
91, 2, 5, 8syl3anc 1371 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  {cpr 4586  cfv 6493  LModclmod 20307  LSubSpclss 20377  LSpanclspn 20417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  20594  dvh3dim2  39878  dvh3dim3N  39879  lclkrlem2n  39950
  Copyright terms: Public domain W3C validator