MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprss 19398
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprss.x (𝜑𝑋𝑈)
lspprss.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspprss (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspprss.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
3 lspprss.x . . 3 (𝜑𝑋𝑈)
4 lspprss.y . . 3 (𝜑𝑌𝑈)
53, 4prssd 4586 . 2 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6 lspprss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7 lspprss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssp 19394 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
91, 2, 5, 8syl3anc 1439 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  {cpr 4400  cfv 6137  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  LSpanclspn 19377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  19556  dvh3dim2  37611  dvh3dim3N  37612  lclkrlem2n  37683
  Copyright terms: Public domain W3C validator