MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspprss 20881
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprss.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspprss.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprss.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lspprss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lspprss (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspprss.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
3 lspprss.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4 lspprss.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
53, 4prssd 4828 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† π‘ˆ)
6 lspprss.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 lspprss.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspssp 20877 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
91, 2, 5, 8syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3947  {cpr 4632  β€˜cfv 6551  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  21041  dvh3dim2  40925  dvh3dim3N  40926  lclkrlem2n  40997
  Copyright terms: Public domain W3C validator