Theorem lspprss 20943

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspprss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspprss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprss.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspprss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspprss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
5	3, 4	prssd 4778	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6		lspprss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lspprss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspssp 20939	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {cpr 4582  ‘cfv 6492  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923

This theorem is referenced by:  lsppratlem2  21103  dvh3dim2  41704  dvh3dim3N  41705  lclkrlem2n  41776