MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspprss 20603
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprss.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspprss.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprss.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lspprss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lspprss (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspprss.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
3 lspprss.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4 lspprss.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
53, 4prssd 4826 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† π‘ˆ)
6 lspprss.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 lspprss.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspssp 20599 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
91, 2, 5, 8syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  20761  dvh3dim2  40319  dvh3dim3N  40320  lclkrlem2n  40391
  Copyright terms: Public domain W3C validator