MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprss 19757
Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprss.x (𝜑𝑋𝑈)
lspprss.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspprss (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss
StepHypRef Expression
1 lspprss.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspprss.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
3 lspprss.x . . 3 (𝜑𝑋𝑈)
4 lspprss.y . . 3 (𝜑𝑌𝑈)
53, 4prssd 4715 . 2 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6 lspprss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7 lspprss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssp 19753 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
91, 2, 5, 8syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  {cpr 4527  cfv 6324  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737
This theorem is referenced by:  lsppratlem2  19913  dvh3dim2  38744  dvh3dim3N  38745  lclkrlem2n  38816
  Copyright terms: Public domain W3C validator