Theorem lspprss 21008

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspprss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspprss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprss.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspprss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspprss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
5	3, 4	prssd 4827	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
6		lspprss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lspprss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspssp 21004	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  {cpr 4633  ‘cfv 6563  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988

This theorem is referenced by:  lsppratlem2  21168  dvh3dim2  41431  dvh3dim3N  41432  lclkrlem2n  41503