MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcl 11048
Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
genpcl.4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcl ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2 genp.2 . . 3 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
31, 2genpn0 11043 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
41, 2genpss 11044 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5 vex 3484 . . . . 5 𝑥 ∈ V
6 vex 3484 . . . . 5 𝑦 ∈ V
7 genpcl.3 . . . . 5 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
85, 6, 7caovord 7644 . . . 4 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9 genpcl.4 . . . 4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
101, 2, 8, 9genpnnp 11045 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11 dfpss2 4088 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
124, 10, 11sylanbrc 583 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13 genpcl.5 . . . . . 6 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
141, 2, 13genpcd 11046 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1514alrimdv 1929 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16 vex 3484 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 vex 3484 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
1816, 17, 7caovord 7644 . . . . 5 (𝑣Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
1916, 17, 9caovcom 7630 . . . . 5 (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
201, 2, 18, 19genpnmax 11047 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
2115, 20jcad 512 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2221ralrimiv 3145 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
23 elnp 11027 . 2 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
243, 12, 22, 23syl21anbrc 1345 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  wpss 3952  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Qcnq 10892   <Q cltq 10898  Pcnp 10899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-ltnq 10958  df-np 11021
This theorem is referenced by:  addclpr  11058  mulclpr  11060
  Copyright terms: Public domain W3C validator