MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcl 10118
Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
genpcl.4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcl ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2 genp.2 . . . 4 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
31, 2genpn0 10113 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
41, 2genpss 10114 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5 vex 3401 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
6 vex 3401 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
7 genpcl.3 . . . . . 6 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
85, 6, 7caovord 7078 . . . . 5 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9 genpcl.4 . . . . 5 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
101, 2, 8, 9genpnnp 10115 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11 dfpss2 3897 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
124, 10, 11sylanbrc 574 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13 genpcl.5 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
141, 2, 13genpcd 10116 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1514alrimdv 2020 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16 vex 3401 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
17 vex 3401 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
1816, 17, 7caovord 7078 . . . . . 6 (𝑣Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
1916, 17, 9caovcom 7064 . . . . . 6 (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
201, 2, 18, 19genpnmax 10117 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
2115, 20jcad 504 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2221ralrimiv 3160 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
233, 12, 22jca31 506 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
24 elnp 10097 . 2 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2523, 24sylibr 225 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1635   = wceq 1637  wcel 2157  {cab 2799  wral 3103  wrex 3104  wss 3776  wpss 3777  c0 4123   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  cmpt2 6879  Qcnq 9962   <Q cltq 9968  Pcnp 9969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ni 9982  df-mi 9984  df-lti 9985  df-ltpq 10020  df-enq 10021  df-nq 10022  df-ltnq 10028  df-np 10091
This theorem is referenced by:  addclpr  10128  mulclpr  10130
  Copyright terms: Public domain W3C validator