MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcl 10423
Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
genpcl.4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcl ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . 3 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2 genp.2 . . 3 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
31, 2genpn0 10418 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
41, 2genpss 10419 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5 vex 3447 . . . . 5 𝑥 ∈ V
6 vex 3447 . . . . 5 𝑦 ∈ V
7 genpcl.3 . . . . 5 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
85, 6, 7caovord 7343 . . . 4 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9 genpcl.4 . . . 4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
101, 2, 8, 9genpnnp 10420 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11 dfpss2 4016 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
124, 10, 11sylanbrc 586 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13 genpcl.5 . . . . . 6 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
141, 2, 13genpcd 10421 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1514alrimdv 1930 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16 vex 3447 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 vex 3447 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
1816, 17, 7caovord 7343 . . . . 5 (𝑣Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
1916, 17, 9caovcom 7329 . . . . 5 (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
201, 2, 18, 19genpnmax 10422 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
2115, 20jcad 516 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2221ralrimiv 3151 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
23 elnp 10402 . 2 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
243, 12, 22, 23syl21anbrc 1341 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  wpss 3885  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cmpo 7141  Qcnq 10267   <Q cltq 10273  Pcnp 10274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10287  df-mi 10289  df-lti 10290  df-ltpq 10325  df-enq 10326  df-nq 10327  df-ltnq 10333  df-np 10396
This theorem is referenced by:  addclpr  10433  mulclpr  10435
  Copyright terms: Public domain W3C validator