Theorem genpcl 10695

Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3	⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ𝐺𝑓) <Q (ℎ𝐺𝑔)))
genpcl.4	⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5	⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,ℎ

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2		genp.2	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genpn0 10690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
4	1, 2	genpss 10691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
7		genpcl.3	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ𝐺𝑓) <Q (ℎ𝐺𝑔)))
8	5, 6, 7	caovord 7461	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9		genpcl.4	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
10	1, 2, 8, 9	genpnnp 10692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11		dfpss2 4016	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
12	4, 10, 11	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13		genpcl.5	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
14	1, 2, 13	genpcd 10693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
15	14	alrimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑤 ∈ V
18	16, 17, 7	caovord 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
19	16, 17, 9	caovcom 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
20	1, 2, 18, 19	genpnmax 10694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
21	15, 20	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
22	21	ralrimiv 3106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
23		elnp 10674	. 2 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
24	3, 12, 22, 23	syl21anbrc 1342	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Qcnq 10539   <_Q cltq 10545  Pcnp 10546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-mi 10561  df-lti 10562  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-ltnq 10605  df-np 10668

This theorem is referenced by:  addclpr  10705  mulclpr  10707