Theorem elrpii 12940

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  1rp  12941  2rp  12942  3rp  12943  5rp  12944  iexpcyc  14164  discr  14197  epr  16170  aaliou3lem1  26323  aaliou3lem2  26324  aaliou3lem3  26325  pirp  26442  pigt3  26499  efif1olem2  26524  cxpsqrtlem  26683  log2cnv  26925  chtublem  27192  chtub  27193  bposlem6  27270  lgsdir2lem1  27306  lgsdir2lem4  27309  lgsdir2lem5  27310  2sqlem11  27410  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  pntlemg  27579  pntlemr  27583  pntlemf  27586  minvecolem3  30966  dp2lt10  32962  ballotlem2  34653  cntotbnd  38137  heiborlem5  38156  heiborlem7  38158  4rp  42752  6rp  42753  7rp  42754  8rp  42755  9rp  42756  isosctrlem1ALT  45384  sineq0ALT  45387  limclner  46103  stoweidlem5  46457  stoweidlem28  46480  stoweidlem59  46511  stoweid  46515  stirlinglem12  46537  fourierswlem  46682  fouriersw  46683  goldrarp  47352