Theorem elrpii 13147

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 13146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11223  0cc0 11224   < clt 11367  ℝ⁺crp 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-rp 13145

This theorem is used by:  1rp  13148  2rp  13149  3rp  13150  5rp  13151  iexpcyc  14375  discr  14408  epr  16402  aaliou3lem1  26696  aaliou3lem2  26697  aaliou3lem3  26698  pirp  26817  pigt3  26873  efif1olem2  26898  cxpsqrtlem  27057  log2cnv  27299  chtublem  27565  chtub  27566  bposlem6  27643  lgsdir2lem1  27679  lgsdir2lem4  27682  lgsdir2lem5  27683  2sqlem11  27783  chebbnd1lem3  27825  chebbnd1  27826  pntlemg  27952  pntlemr  27956  pntlemf  27959  minvecolem3  31505  dp2lt10  33517  ballotlem2  35188  cntotbnd  38921  heiborlem5  38940  heiborlem7  38942  4rp  43548  6rp  43549  7rp  43550  8rp  43551  9rp  43552  isosctrlem1ALT  46105  sineq0ALT  46108  limclner  46864  stoweidlem5  47218  stoweidlem28  47241  stoweidlem59  47272  stoweid  47276  stirlinglem12  47298  fourierswlem  47443  fouriersw  47444  goldrarp  48134