Theorem elrpii 12893

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 12892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  1rp  12894  2rp  12895  3rp  12896  5rp  12897  iexpcyc  14114  discr  14147  epr  16117  aaliou3lem1  26277  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem3  26279  pirp  26397  pigt3  26454  efif1olem2  26479  cxpsqrtlem  26638  log2cnv  26881  chtublem  27149  chtub  27150  bposlem6  27227  lgsdir2lem1  27263  lgsdir2lem4  27266  lgsdir2lem5  27267  2sqlem11  27367  chebbnd1lem3  27409  chebbnd1  27410  pntlemg  27536  pntlemr  27540  pntlemf  27543  minvecolem3  30856  dp2lt10  32864  ballotlem2  34502  cntotbnd  37835  heiborlem5  37854  heiborlem7  37856  4rp  42392  6rp  42393  7rp  42394  8rp  42395  9rp  42396  isosctrlem1ALT  45025  sineq0ALT  45028  limclner  45748  stoweidlem5  46102  stoweidlem28  46125  stoweidlem59  46156  stoweid  46160  stirlinglem12  46182  fourierswlem  46327  fouriersw  46328