Theorem elrpii 12961

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 12960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  1rp  12962  2rp  12963  3rp  12964  5rp  12965  iexpcyc  14179  discr  14212  epr  16183  aaliou3lem1  26257  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem3  26259  pirp  26377  pigt3  26434  efif1olem2  26459  cxpsqrtlem  26618  log2cnv  26861  chtublem  27129  chtub  27130  bposlem6  27207  lgsdir2lem1  27243  lgsdir2lem4  27246  lgsdir2lem5  27247  2sqlem11  27347  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  pntlemg  27516  pntlemr  27520  pntlemf  27523  minvecolem3  30812  dp2lt10  32811  ballotlem2  34487  cntotbnd  37797  heiborlem5  37816  heiborlem7  37818  4rp  42295  6rp  42296  7rp  42297  8rp  42298  9rp  42299  isosctrlem1ALT  44930  sineq0ALT  44933  limclner  45656  stoweidlem5  46010  stoweidlem28  46033  stoweidlem59  46064  stoweid  46068  stirlinglem12  46090  fourierswlem  46235  fouriersw  46236