Theorem elrpii 12912

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 12911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ℝcr 11029  0cc0 11030   < clt 11170  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  1rp  12913  2rp  12914  3rp  12915  5rp  12916  iexpcyc  14134  discr  14167  epr  16137  aaliou3lem1  26310  aaliou3lem2  26311  aaliou3lem3  26312  pirp  26430  pigt3  26487  efif1olem2  26512  cxpsqrtlem  26671  log2cnv  26914  chtublem  27182  chtub  27183  bposlem6  27260  lgsdir2lem1  27296  lgsdir2lem4  27299  lgsdir2lem5  27300  2sqlem11  27400  chebbnd1lem3  27442  chebbnd1  27443  pntlemg  27569  pntlemr  27573  pntlemf  27576  minvecolem3  30955  dp2lt10  32967  ballotlem2  34648  cntotbnd  37999  heiborlem5  38018  heiborlem7  38020  4rp  42622  6rp  42623  7rp  42624  8rp  42625  9rp  42626  isosctrlem1ALT  45241  sineq0ALT  45244  limclner  45962  stoweidlem5  46316  stoweidlem28  46339  stoweidlem59  46370  stoweid  46374  stirlinglem12  46396  fourierswlem  46541  fouriersw  46542