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Theorem chtub 27270
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12337 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2 1lt2 12434 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3 rplogcl 26660 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (log‘2) ∈ ℝ+
5 elrp 13033 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
64, 5mpbi 230 . . . . . . . . 9 ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
76simpli 483 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ
87recni 11272 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℂ
98mulridi 11262 . . . . . 6 ((log‘2) · 1) = (log‘2)
10 cht2 27229 . . . . . 6 (θ‘2) = (log‘2)
119, 10eqtr4i 2765 . . . . 5 ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
12 fveq2 6906 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
1311, 12eqtr4id 2793 . . . 4 ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14 chtfl 27206 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1613, 15sylan9eqr 2796 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17 2t2e4 12427 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
18 df-4 12328 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
1917, 18eqtri 2762 . . . . . 6 (2 · 2) = (3 + 1)
20 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 2pos 12366 . . . . . . . . . 10 0 < 2
231, 22pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltmul2 12115 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
261, 21, 24, 25mp3an2ani 1467 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
2720, 26mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
2819, 27eqbrtrrid 5183 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29 3re 12343 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31 1red 11259 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32 remulcl 11237 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
331, 21, 32sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3530, 31, 34ltaddsub2d 11861 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
3628, 35mpbid 232 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37 resubcl 11570 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3833, 29, 37sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
406a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41 ltmul2 12115 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4231, 39, 40, 41syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4336, 42mpbid 232 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
4416, 43eqbrtrrd 5171 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45 chtcl 27166 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 726 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47 reflcl 13832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49 remulcl 11237 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
501, 48, 49sylancr 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51 resubcl 11570 . . . . 5 (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
5250, 29, 51sylancl 586 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53 remulcl 11237 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
547, 52, 53sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
5538adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56 remulcl 11237 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
577, 55, 56sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
5815adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
60 df-3 12327 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
6160fveq2i 6909 . . . . . 6 (ℤ‘3) = (ℤ‘(2 + 1))
6259, 61eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
63 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
6564oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
6665oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
6763, 66breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
6968raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
7170raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
7372raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
7574raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76 6lt8 12456 . . . . . . . . . . 11 6 < 8
77 6re 12353 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℝ
78 6pos 12373 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 6
7977, 78elrpii 13034 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ+
80 8re 12359 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℝ
81 8pos 12375 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 8
8280, 81elrpii 13034 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℝ+
83 logltb 26656 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
8479, 82, 83mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
8576, 84mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (log‘6) < (log‘8)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87 elfz1eq 13571 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
8887fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89 cht3 27230 . . . . . . . . . 10 (θ‘3) = (log‘6)
9088, 89eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
9187oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
9291oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93 3cn 12344 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
94932timesi 12401 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = (3 + 3)
9593, 93, 94mvrraddi 11522 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) − 3) = 3
9692, 95eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
9796oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98 2rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
99 relogcl 26631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) ∈ ℝ
101100recni 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℂ
102101, 93mulcomi 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103 3z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
104 relogexp 26652 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
10598, 103, 104mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106102, 105eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . 11 ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107 cu2 14235 . . . . . . . . . . . 12 (2↑3) = 8
108107fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109106, 108eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) · 3) = (log‘8)
11097, 109eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
11186, 90, 1103brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112111rgen 3060 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113 df-2 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
114 2div2e1 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 / 2) = 1
115 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑛)
11660, 115eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
118 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120117, 118, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121116, 120mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑛)
122 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123 ltdiv1 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
1241, 23, 123mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126121, 125mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127114, 126eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128122rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
130 ltadd1 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131129, 129, 130mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133127, 132mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134113, 133eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136 peano2z 12655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139117, 137, 138sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140135, 139mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
14160, 140eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
143 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144129, 128, 143sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145127, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146142, 128, 128, 145leadd2dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147122recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
1481472halvesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149146, 148breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151 elfz 13549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152103, 151mp3an2 1448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153136, 118, 152syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154141, 150, 153mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157156oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158157oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159155, 158breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160159rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161154, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162128recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
165 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
166 adddi 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167164, 165, 166mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168163, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
171 divcan2 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172164, 170, 171mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174164mulridi 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176173, 175oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177168, 176eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178177oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179 subsub3 11538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
18093, 164, 179mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
181169, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
182 2p1e3 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
18393, 164, 165, 182subaddrii 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 − 2) = 1
184183oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
185181, 184eqtr3di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186178, 185eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187186oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188187breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189137zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190 chtcl 27166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196100, 194, 195sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198100, 192, 197sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199191, 196, 198ltadd1d 11853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201194recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202200, 201, 169adddid 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203 adddi 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204164, 165, 203mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205169, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206174oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207205, 206eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208207oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210117, 118, 209sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211210zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213 subsub3 11538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
21493, 164, 213mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215212, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216183oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
2171692timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218217oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220169, 169, 219addsubd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221218, 220eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222216, 221eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223208, 215, 2223eqtr2rd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224223oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225202, 224eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226225breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227188, 199, 2263bitrd 305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228 3nn 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
229 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
230154, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
231 eluznn 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232228, 230, 231sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233 chtublem 27269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235177oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236 addsubass 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237164, 165, 236mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238169, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
240239oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241238, 240eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242235, 241eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243242fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244 pncan 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245163, 165, 244sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246245oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247 relogexp 26652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
24898, 117, 247mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249 sq2 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑2) = 4
250249fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251164, 101mulcomi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252248, 250, 2513eqtr3i 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253252oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255200, 254, 163mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256253, 255eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257173oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258246, 256, 2573eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259258oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260234, 243, 2593brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261 peano2uz 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3))
262 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264263zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266 chtcl 27166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268191, 198readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270117, 263, 269sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271270zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273271, 29, 272sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276100, 274, 275sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278267, 268, 276, 277syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279260, 278mpand 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280227, 279sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281161, 280syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282 eluzfz2 13568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285284oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286285oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287283, 286breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288287rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289282, 288syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290289adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291210zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
29229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℝ)
293122ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
29423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295 ltmul2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296122, 264, 294, 295syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297293, 296mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298291, 271, 292, 297ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300291, 29, 299sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
3016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302 ltmul2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303300, 273, 301, 302syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304298, 303mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305 chtcl 27166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306122, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308100, 300, 307sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309100, 273, 275sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310 lttr 11334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311306, 308, 309, 310syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312304, 311mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314 evend2 16390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315263, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316 2lt3 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 < 3
3171, 29ltnlei 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318316, 317mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ¬ 3 ≤ 2
319 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320318, 319mtbii 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322261, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323320, 322nsyl3 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325 uzid 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
326117, 325ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ (ℤ‘2)
327 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328 dvdsprm 16736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329326, 327, 328sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330324, 329mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331330ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332331con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333315, 332sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334333imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335 chtnprm 27211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336118, 334, 335syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337336breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338313, 337sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339290, 338syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340 zeo 12701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341118, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342281, 339, 341mpjaodan 960 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 + 1) ∈ V
344 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346345oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347346oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348344, 347breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349343, 348ralsn 4685 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350342, 349imbitrrdi 252 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351350ancld 550 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352 ralun 4207 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353 fzsuc 13607 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354353raleqdv 3323 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355352, 354imbitrrid 246 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356351, 355syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
35769, 71, 73, 75, 112, 356uzind4i 12949 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358 eluzfz2 13568 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
35967, 357, 358rspcdva 3622 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36062, 359syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36158, 360eqbrtrrd 5171 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36233adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36329a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364 flle 13835 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365364ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
36621adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
36723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368 lemul2 12117 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
36948, 366, 367, 368syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370365, 369mpbid 232 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
37150, 362, 363, 370lesub1dd 11876 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
3726a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373 lemul2 12117 . . . . 5 ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
37452, 55, 372, 373syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375371, 374mpbid 232 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
37646, 54, 57, 361, 375ltletrd 11418 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377117a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378 flcl 13831 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379378adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380 ltle 11346 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
3811, 380mpan 690 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382 flge 13841 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383117, 382mpan2 691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384381, 383sylibd 239 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385384imp 406 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386 eluz2 12881 . . . 4 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387377, 379, 385, 386syl3anbrc 1342 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2))
388 uzp1 12916 . . 3 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
389387, 388syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
39044, 376, 389mpjaodan 960 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  cun 3960  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  6c6 12322  8c8 12324  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cfl 13826  cexp 14098  cdvds 16286  cprime 16704  logclog 26610  θccht 27148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cht 27154
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