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Theorem chtub 25228
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
2 2re 11346 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
3 1lt2 11449 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
4 rplogcl 24641 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (log‘2) ∈ ℝ+
6 elrp 12030 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
75, 6mpbi 221 . . . . . . . . 9 ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
87simpli 476 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ
98recni 10308 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℂ
109mulid1i 10298 . . . . . 6 ((log‘2) · 1) = (log‘2)
11 cht2 25189 . . . . . 6 (θ‘2) = (log‘2)
1210, 11eqtr4i 2790 . . . . 5 ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
131, 12syl6reqr 2818 . . . 4 ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14 chtfl 25166 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1613, 15sylan9eqr 2821 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17 2t2e4 11442 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
18 df-4 11337 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
1917, 18eqtri 2787 . . . . . 6 (2 · 2) = (3 + 1)
20 simplr 785 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 2pos 11382 . . . . . . . . . 10 0 < 2
232, 22pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltmul2 11128 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
262, 21, 24, 25mp3an2ani 1592 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
2720, 26mpbid 223 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
2819, 27syl5eqbrr 4845 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29 3re 11352 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10294 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32 remulcl 10274 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
332, 21, 32sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3433adantr 472 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3530, 31, 34ltaddsub2d 10882 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
3628, 35mpbid 223 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37 resubcl 10599 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3833, 29, 37sylancl 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3938adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
407a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41 ltmul2 11128 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4231, 39, 40, 41syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4336, 42mpbid 223 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
4416, 43eqbrtrrd 4833 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45 chtcl 25126 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 717 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47 reflcl 12805 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49 remulcl 10274 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
502, 48, 49sylancr 581 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51 resubcl 10599 . . . . 5 (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
5250, 29, 51sylancl 580 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53 remulcl 10274 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
548, 52, 53sylancr 581 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
5538adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56 remulcl 10274 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
578, 55, 56sylancr 581 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
5815adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
60 df-3 11336 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
6160fveq2i 6378 . . . . . 6 (ℤ‘3) = (ℤ‘(2 + 1))
6259, 61syl6eleqr 2855 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
63 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64 oveq2 6850 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
6564oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
6665oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
6763, 66breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
6968raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
7170raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
7372raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
7574raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76 6lt8 11471 . . . . . . . . . . 11 6 < 8
77 6re 11365 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℝ
78 6pos 11389 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 6
7977, 78elrpii 12031 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ+
80 8re 11373 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℝ
81 8pos 11391 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 8
8280, 81elrpii 12031 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℝ+
83 logltb 24637 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
8479, 82, 83mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
8576, 84mpbi 221 . . . . . . . . . 10 (log‘6) < (log‘8)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87 elfz1eq 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
8887fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89 cht3 25190 . . . . . . . . . 10 (θ‘3) = (log‘6)
9088, 89syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
9187oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
9291oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93 3cn 11353 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
94932timesi 11417 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = (3 + 3)
9593, 93, 94mvrraddi 10552 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) − 3) = 3
9692, 95syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
9796oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
99 relogcl 24613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) ∈ ℝ
101100recni 10308 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℂ
102101, 93mulcomi 10302 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103 3z 11657 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
104 relogexp 24633 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
10598, 103, 104mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106102, 105eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . 11 ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107 cu2 13170 . . . . . . . . . . . 12 (2↑3) = 8
108107fveq2i 6378 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109106, 108eqtri 2787 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) · 3) = (log‘8)
11097, 109syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
11186, 90, 1103brtr4d 4841 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112111rgen 3069 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113 df-2 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
114 2div2e1 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 / 2) = 1
115 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑛)
11660, 115syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117 2z 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
118 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119 zltp1le 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120117, 118, 119sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121116, 120mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑛)
122 eluzelre 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123 ltdiv1 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
1242, 23, 123mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126121, 125mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127114, 126syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128122rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
130 ltadd1 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131129, 129, 130mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133127, 132mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134113, 133syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136 peano2z 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137136adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138 zltp1le 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139117, 137, 138sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140135, 139mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
14160, 140syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
143 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144129, 128, 143sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145127, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146142, 128, 128, 145leadd2dd 10896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147122recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
1481472halvesd 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149146, 148breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150149adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151 elfz 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152103, 151mp3an2 1573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153136, 118, 152syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154141, 150, 153mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157156oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158157oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159155, 158breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160159rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161154, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162128recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164 2cn 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
165 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
166 adddi 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167164, 165, 166mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168163, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
171 divcan2 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172164, 170, 171mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174164mulid1i 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176173, 175oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177168, 176eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178177oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179 2p1e3 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
18093, 164, 165, 179subaddrii 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 − 2) = 1
181180oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
182 subsub3 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
18393, 164, 182mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
184169, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
185181, 184syl5reqr 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186178, 185eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187186oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188187breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189137zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190 chtcl 25126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192122adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193 peano2rem 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196100, 194, 195sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198100, 192, 197sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199191, 196, 198ltadd1d 10874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201194recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202200, 201, 169adddid 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203 adddi 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204164, 165, 203mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205169, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206174oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207205, 206syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208207oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209 zmulcl 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210117, 118, 209sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211210zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213 subsub3 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
21493, 164, 213mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215212, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216180oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
2171692timesd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218217oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220169, 169, 219addsubd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221218, 220eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222216, 221syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223208, 215, 2223eqtr2rd 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224223oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225202, 224eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226225breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227188, 199, 2263bitrd 296 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228 3nn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
229 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
230154, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
231 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232228, 230, 231sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233 chtublem 25227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235177oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236 addsubass 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237164, 165, 236mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238169, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
240239oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241238, 240syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242235, 241eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243242fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244 pncan 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245163, 165, 244sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246245oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247 relogexp 24633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
24898, 117, 247mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249 sq2 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑2) = 4
250249fveq2i 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251164, 101mulcomi 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252248, 250, 2513eqtr3i 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253252oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255200, 254, 163mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256253, 255syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257173oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258246, 256, 2573eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259258oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260234, 243, 2593brtr3d 4840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261 peano2uz 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3))
262 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264263zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265264adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266 chtcl 25126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268191, 198readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269 zmulcl 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270117, 263, 269sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271270zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273271, 29, 272sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276100, 274, 275sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277 lelttr 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278267, 268, 276, 277syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279260, 278mpand 686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280227, 279sylbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281161, 280syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282 eluzfz2 12556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285284oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286285oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287283, 286breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288287rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289282, 288syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290289adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291210zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
29229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℝ)
293122ltp1d 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
29423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295 ltmul2 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296122, 264, 294, 295syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297293, 296mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298291, 271, 292, 297ltsub1dd 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300291, 29, 299sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
3017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302 ltmul2 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303300, 273, 301, 302syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304298, 303mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305 chtcl 25126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306122, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308100, 300, 307sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309100, 273, 275sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310 lttr 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311306, 308, 309, 310syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312304, 311mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313312adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314 evend2 15363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315263, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316 2lt3 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 < 3
3172, 29ltnlei 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318316, 317mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ¬ 3 ≤ 2
319 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320318, 319mtbii 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322261, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323320, 322nsyl3 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324323adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
326117, 325ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ (ℤ‘2)
327 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328 dvdsprm 15694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329326, 327, 328sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330324, 329mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331330ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332331con2d 131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333315, 332sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334333imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335 chtnprm 25171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336118, 334, 335syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337336breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338313, 337sylibrd 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339290, 338syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340 zeo 11710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341118, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342281, 339, 341mpjaodan 981 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 + 1) ∈ V
344 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346345oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347346oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348344, 347breq12d 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349343, 348ralsn 4379 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350342, 349syl6ibr 243 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351350ancld 546 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352 ralun 3957 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353 fzsuc 12595 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354353raleqdv 3292 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355352, 354syl5ibr 237 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356351, 355syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
35769, 71, 73, 75, 112, 356uzind4i 11950 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358 eluzfz2 12556 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
35967, 357, 358rspcdva 3467 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36062, 359syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36158, 360eqbrtrrd 4833 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36233adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36329a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364 flle 12808 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365364ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
36621adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
36723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368 lemul2 11130 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
36948, 366, 367, 368syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370365, 369mpbid 223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
37150, 362, 363, 370lesub1dd 10897 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
3727a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373 lemul2 11130 . . . . 5 ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
37452, 55, 372, 373syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375371, 374mpbid 223 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
37646, 54, 57, 361, 375ltletrd 10451 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377117a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378 flcl 12804 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379378adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380 ltle 10380 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
3812, 380mpan 681 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382 flge 12814 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383117, 382mpan2 682 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384381, 383sylibd 230 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385384imp 395 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386 eluz2 11892 . . . 4 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387377, 379, 385, 386syl3anbrc 1443 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2))
388 uzp1 11921 . . 3 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
389387, 388syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
39044, 376, 389mpjaodan 981 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cun 3730  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  6c6 11331  8c8 11333  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533  cfl 12799  cexp 13067  cdvds 15265  cprime 15665  logclog 24592  θccht 25108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cht 25114
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