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Theorem chtub 27139

Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
chtub	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1lt2 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
3		rplogcl 26532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ⁺
5		elrp 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ⁺ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
6	4, 5	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
7	6	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
8	7	recni 11253	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
9	8	mulridi 11243	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) · 1) = (log‘2)
10		cht2 27098	. . . . . 6 ⊢ (θ‘2) = (log‘2)
11	9, 10	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
12		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
13	11, 12	eqtr4id 2787	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14		chtfl 27075	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
16	13, 15	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17		2t2e4 12401	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
18		df-4 12302	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 18	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
20		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		2pos 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23	1, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltmul2 12090	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
26	1, 21, 24, 25	mp3an2ani 1465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
27	20, 26	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
28	19, 27	eqbrtrrid 5179	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29		3re 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32		remulcl 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	1, 21, 32	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
35	30, 31, 34	ltaddsub2d 11840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
36	28, 35	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37		resubcl 11549	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
38	33, 29, 37	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
40	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41		ltmul2 12090	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
42	31, 39, 40, 41	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
43	36, 42	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
44	16, 43	eqbrtrrd 5167	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45		chtcl 27035	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47		reflcl 13788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49		remulcl 11218	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
50	1, 48, 49	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51		resubcl 11549	. . . . 5 ⊢ (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
52	50, 29, 51	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53		remulcl 11218	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
54	7, 52, 53	sylancr 586	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
55	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56		remulcl 11218	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
57	7, 55, 56	sylancr 586	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
58	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1)))
60		df-3 12301	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
61	60	fveq2i 6895	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘3) = (ℤ_≥‘(2 + 1))
62	59, 61	eleqtrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3))
63		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64		oveq2 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
65	64	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
66	65	oveq2d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
67	63, 66	breq12d 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
69	68	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
71	70	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
73	72	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
75	74	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76		6lt8 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 < 8
77		6re 12327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℝ
78		6pos 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
79	77, 78	elrpii 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
80		8re 12333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℝ
81		8pos 12349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 8
82	80, 81	elrpii 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
83		logltb 26528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℝ⁺ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
84	79, 82, 83	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
85	76, 84	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘6) < (log‘8)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87		elfz1eq 13539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
88	87	fveq2d 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89		cht3 27099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
90	88, 89	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
91	87	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
92	91	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93		3cn 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
94	93	2timesi 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
95	93, 93, 94	mvrraddi 11502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) − 3) = 3
96	92, 95	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
97	96	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98		2rp 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
99		relogcl 26503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
101	100	recni 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
102	101, 93	mulcomi 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103		3z 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℤ
104		relogexp 26524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
105	98, 103, 104	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106	102, 105	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107		cu2 14190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑3) = 8
108	107	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109	106, 108	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘8)
110	97, 109	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
111	86, 90, 110	3brtr4d 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112	111	rgen 3059	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113		df-2 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
114		2div2e1 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 / 2) = 1
115		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑛)
116	60, 115	eqbrtrrid 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117		2z 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
118		eluzelz 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119		zltp1le 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120	117, 118, 119	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121	116, 120	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 < 𝑛)
122		eluzelre 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123		ltdiv1 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
124	1, 23, 123	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126	121, 125	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127	114, 126	eqbrtrrid 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128	122	rehalfcld 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129		1re 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
130		ltadd1 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131	129, 129, 130	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133	127, 132	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134	113, 133	eqbrtrid 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136		peano2z 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137	136	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138		zltp1le 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139	117, 137, 138	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140	135, 139	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
141	60, 140	eqbrtrid 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142		1red 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
143		ltle 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144	129, 128, 143	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145	127, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146	142, 128, 128, 145	leadd2dd 11854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147	122	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
148	147	2halvesd 12483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149	146, 148	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151		elfz 13517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152	103, 151	mp3an2 1446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153	136, 118, 152	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154	141, 150, 153	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157	156	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158	157	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159	155, 158	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160	159	rspcv 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161	154, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162	128	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164		2cn 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℂ
165		ax-1cn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
166		adddi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167	164, 165, 166	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168	163, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170		2ne0 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≠ 0
171		divcan2 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172	164, 170, 171	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173	169, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174	164	mulridi 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176	173, 175	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177	168, 176	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178	177	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179		subsub3 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
180	93, 164, 179	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
181	169, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
182		2p1e3 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
183	93, 164, 165, 182	subaddrii 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 − 2) = 1
184	183	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
185	181, 184	eqtr3di 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186	178, 185	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187	186	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188	187	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189	137	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190		chtcl 27035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193		peano2rem 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195		remulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196	100, 194, 195	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197		remulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198	100, 192, 197	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199	191, 196, 198	ltadd1d 11832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201	194	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202	200, 201, 169	adddid 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203		adddi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204	164, 165, 203	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205	169, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206	174	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207	205, 206	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208	207	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209		zmulcl 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210	117, 118, 209	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211	210	zcnd 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212	211	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213		subsub3 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
214	93, 164, 213	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215	212, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216	183	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
217	169	2timesd 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218	217	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220	169, 169, 219	addsubd 11617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221	218, 220	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222	216, 221	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223	208, 215, 222	3eqtr2rd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224	223	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225	202, 224	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226	225	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227	188, 199, 226	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228		3nn 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
229		elfzuz 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
230	154, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
231		eluznn 12927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232	228, 230, 231	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233		chtublem 27138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234	232, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235	177	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236		addsubass 11495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237	164, 165, 236	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238	169, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239		2m1e1 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
240	239	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241	238, 240	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242	235, 241	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243	242	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244		pncan 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245	163, 165, 244	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246	245	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247		relogexp 26524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
248	98, 117, 247	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249		sq2 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2↑2) = 4
250	249	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251	164, 101	mulcomi 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252	248, 250, 251	3eqtr3i 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253	252	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255	200, 254, 163	mulassd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256	253, 255	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257	173	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258	246, 256, 257	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259	258	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260	234, 243, 259	3brtr3d 5174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261		peano2uz 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
262		eluzelz 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264	263	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265	264	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266		chtcl 27035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268	191, 198	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269		zmulcl 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270	117, 263, 269	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271	270	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272		resubcl 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273	271, 29, 272	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274	273	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275		remulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276	100, 274, 275	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277		lelttr 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278	267, 268, 276, 277	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279	260, 278	mpand 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280	227, 279	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281	161, 280	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282		eluzfz2 13536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285	284	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286	285	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287	283, 286	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288	287	rspcv 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289	282, 288	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290	289	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291	210	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
292	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℝ)
293	122	ltp1d 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
294	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295		ltmul2 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296	122, 264, 294, 295	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297	293, 296	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298	291, 271, 292, 297	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299		resubcl 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300	291, 29, 299	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
301	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302		ltmul2 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303	300, 273, 301, 302	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304	298, 303	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305		chtcl 27035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306	122, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307		remulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308	100, 300, 307	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309	100, 273, 275	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310		lttr 11315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311	306, 308, 309, 310	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312	304, 311	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313	312	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314		evend2 16328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315	263, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316		2lt3 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 < 3
317	1, 29	ltnlei 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318	316, 317	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
319		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320	318, 319	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322	261, 321	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323	320, 322	nsyl3 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324	323	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325		uzid 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
326	117, 325	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
327		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328		dvdsprm 16668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329	326, 327, 328	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330	324, 329	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331	330	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332	331	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333	315, 332	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334	333	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335		chtnprm 27080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336	118, 334, 335	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337	336	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338	313, 337	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339	290, 338	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340		zeo 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341	118, 340	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342	281, 339, 341	mpjaodan 957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343		ovex 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 + 1) ∈ V
344		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346	345	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347	346	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348	344, 347	breq12d 5156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349	343, 348	ralsn 4682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350	342, 349	imbitrrdi 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351	350	ancld 550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352		ralun 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353		fzsuc 13575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354	353	raleqdv 3321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355	352, 354	imbitrrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356	351, 355	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
357	69, 71, 73, 75, 112, 356	uzind4i 12919	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358		eluzfz2 13536	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
359	67, 357, 358	rspcdva 3609	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
360	62, 359	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
361	58, 360	eqbrtrrd 5167	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
362	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
363	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364		flle 13791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365	364	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
366	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
367	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368		lemul2 12092	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
369	48, 366, 367, 368	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370	365, 369	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
371	50, 362, 363, 370	lesub1dd 11855	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
372	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373		lemul2 12092	. . . . 5 ⊢ ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
374	52, 55, 372, 373	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375	371, 374	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
376	46, 54, 57, 361, 375	ltletrd 11399	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377	117	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378		flcl 13787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379	378	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380		ltle 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
381	1, 380	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382		flge 13797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383	117, 382	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384	381, 383	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385	384	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386		eluz2 12853	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387	377, 379, 385, 386	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
388		uzp1 12888	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))))
389	387, 388	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))))
390	44, 376, 389	mpjaodan 957	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 846 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2936 ∀wral 3057 ∪ cun 3943 {csn 4625 class class class wbr 5143 ‘cfv 6543 (class class class)co 7415 ℂcc 11131 ℝcr 11132 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 · cmul 11138 < clt 11273 ≤ cle 11274 − cmin 11469 / cdiv 11896 ℕcn 12237 2c2 12292 3c3 12293 4c4 12294 6c6 12296 8c8 12298 ℤcz 12583 ℤ_≥cuz 12847 ℝ⁺crp 13001 ...cfz 13511 ⌊cfl 13782 ↑cexp 14053 ∥ cdvds 16225 ℙcprime 16636 logclog 26482 θccht 27017

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 ax-addf 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7680 df-om 7866 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8161 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8481 df-2o 8482 df-er 8719 df-map 8841 df-pm 8842 df-ixp 8911 df-en 8959 df-dom 8960 df-sdom 8961 df-fin 8962 df-fsupp 9381 df-fi 9429 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-xneg 13119 df-xadd 13120 df-xmul 13121 df-ioo 13355 df-ioc 13356 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-fl 13784 df-mod 13862 df-seq 13994 df-exp 14054 df-fac 14260 df-bc 14289 df-hash 14317 df-shft 15041 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-limsup 15442 df-clim 15459 df-rlim 15460 df-sum 15660 df-ef 16038 df-sin 16040 df-cos 16041 df-pi 16043 df-dvds 16226 df-gcd 16464 df-prm 16637 df-pc 16800 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17398 df-topn 17399 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-topgen 17419 df-pt 17420 df-prds 17423 df-xrs 17478 df-qtop 17483 df-imas 17484 df-xps 17486 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-submnd 18735 df-mulg 19018 df-cntz 19262 df-cmn 19731 df-psmet 21265 df-xmet 21266 df-met 21267 df-bl 21268 df-mopn 21269 df-fbas 21270 df-fg 21271 df-cnfld 21274 df-top 22790 df-topon 22807 df-topsp 22829 df-bases 22843 df-cld 22917 df-ntr 22918 df-cls 22919 df-nei 22996 df-lp 23034 df-perf 23035 df-cn 23125 df-cnp 23126 df-haus 23213 df-tx 23460 df-hmeo 23653 df-fil 23744 df-fm 23836 df-flim 23837 df-flf 23838 df-xms 24220 df-ms 24221 df-tms 24222 df-cncf 24792 df-limc 25789 df-dv 25790 df-log 26484 df-cht 27023

This theorem is referenced by: bposlem6 27216 chto1ub 27403

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