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Theorem chtub 25790

Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
chtub	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
2		2re 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		1lt2 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
4		rplogcl 25189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ⁺
6		elrp 12394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ⁺ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
7	5, 6	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
8	7	simpli 486	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
9	8	recni 10657	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
10	9	mulid1i 10647	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) · 1) = (log‘2)
11		cht2 25751	. . . . . 6 ⊢ (θ‘2) = (log‘2)
12	10, 11	eqtr4i 2849	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
13	1, 12	syl6reqr 2877	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14		chtfl 25728	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
15	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
16	13, 15	sylan9eqr 2880	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17		2t2e4 11804	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
18		df-4 11705	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 18	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
20		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		2pos 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23	2, 22	pm3.2i 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltmul2 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
26	2, 21, 24, 25	mp3an2ani 1464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
27	20, 26	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
28	19, 27	eqbrtrrid 5104	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29		3re 11720	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31		1red 10644	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32		remulcl 10624	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	2, 21, 32	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
34	33	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
35	30, 31, 34	ltaddsub2d 11243	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
36	28, 35	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37		resubcl 10952	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
38	33, 29, 37	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
39	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
40	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41		ltmul2 11493	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
42	31, 39, 40, 41	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
43	36, 42	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
44	16, 43	eqbrtrrd 5092	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45		chtcl 25688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47		reflcl 13169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49		remulcl 10624	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
50	2, 48, 49	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51		resubcl 10952	. . . . 5 ⊢ (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
52	50, 29, 51	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53		remulcl 10624	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
54	8, 52, 53	sylancr 589	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
55	38	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56		remulcl 10624	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancr 589	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
58	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1)))
60		df-3 11704	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
61	60	fveq2i 6675	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘3) = (ℤ_≥‘(2 + 1))
62	59, 61	eleqtrrdi 2926	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3))
63		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64		oveq2 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
65	64	oveq1d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
66	65	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
67	63, 66	breq12d 5081	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
69	68	raleqdv 3417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
71	70	raleqdv 3417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
73	72	raleqdv 3417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
75	74	raleqdv 3417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76		6lt8 11833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 < 8
77		6re 11730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℝ
78		6pos 11750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
79	77, 78	elrpii 12395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
80		8re 11736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℝ
81		8pos 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 8
82	80, 81	elrpii 12395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
83		logltb 25185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℝ⁺ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
84	79, 82, 83	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
85	76, 84	mpbi 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘6) < (log‘8)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87		elfz1eq 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
88	87	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89		cht3 25752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
90	88, 89	syl6eq 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
91	87	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
92	91	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93		3cn 11721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
94	93	2timesi 11778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
95	93, 93, 94	mvrraddi 10905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) − 3) = 3
96	92, 95	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
97	96	oveq2d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98		2rp 12397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
99		relogcl 25161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
101	100	recni 10657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
102	101, 93	mulcomi 10651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103		3z 12018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℤ
104		relogexp 25181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
105	98, 103, 104	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106	102, 105	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107		cu2 13566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑3) = 8
108	107	fveq2i 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109	106, 108	eqtri 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘8)
110	97, 109	syl6eq 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
111	86, 90, 110	3brtr4d 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112	111	rgen 3150	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113		df-2 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
114		2div2e1 11781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 / 2) = 1
115		eluzle 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑛)
116	60, 115	eqbrtrrid 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117		2z 12017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
118		eluzelz 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120	117, 118, 119	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121	116, 120	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 < 𝑛)
122		eluzelre 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123		ltdiv1 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
124	2, 23, 123	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126	121, 125	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127	114, 126	eqbrtrrid 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128	122	rehalfcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129		1re 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
130		ltadd1 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131	129, 129, 130	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133	127, 132	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134	113, 133	eqbrtrid 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135	134	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136		peano2z 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137	136	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139	117, 137, 138	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140	135, 139	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
141	60, 140	eqbrtrid 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142		1red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
143		ltle 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144	129, 128, 143	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145	127, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146	142, 128, 128, 145	leadd2dd 11257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147	122	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
148	147	2halvesd 11886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149	146, 148	breqtrd 5094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150	149	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151		elfz 12901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152	103, 151	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153	136, 118, 152	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154	141, 150, 153	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157	156	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158	157	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159	155, 158	breq12d 5081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160	159	rspcv 3620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161	154, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162	128	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163	162	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164		2cn 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℂ
165		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
166		adddi 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167	164, 165, 166	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168	163, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169	147	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170		2ne0 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≠ 0
171		divcan2 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172	164, 170, 171	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173	169, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174	164	mulid1i 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176	173, 175	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177	168, 176	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178	177	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179		2p1e3 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
180	93, 164, 165, 179	subaddrii 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 − 2) = 1
181	180	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
182		subsub3 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
183	93, 164, 182	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
184	169, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
185	181, 184	syl5reqr 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186	178, 185	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187	186	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188	187	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189	137	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190		chtcl 25688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192	122	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195		remulcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196	100, 194, 195	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197		remulcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198	100, 192, 197	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199	191, 196, 198	ltadd1d 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201	194	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202	200, 201, 169	adddid 10667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203		adddi 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204	164, 165, 203	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205	169, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206	174	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207	205, 206	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208	207	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209		zmulcl 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210	117, 118, 209	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211	210	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212	211	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213		subsub3 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
214	93, 164, 213	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215	212, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216	180	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
217	169	2timesd 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218	217	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220	169, 169, 219	addsubd 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221	218, 220	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222	216, 221	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223	208, 215, 222	3eqtr2rd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224	223	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225	202, 224	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226	225	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227	188, 199, 226	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228		3nn 11719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
229		elfzuz 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
230	154, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
231		eluznn 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232	228, 230, 231	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233		chtublem 25789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234	232, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235	177	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236		addsubass 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237	164, 165, 236	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238	169, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239		2m1e1 11766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
240	239	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241	238, 240	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242	235, 241	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243	242	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244		pncan 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245	163, 165, 244	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246	245	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247		relogexp 25181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
248	98, 117, 247	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249		sq2 13563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2↑2) = 4
250	249	fveq2i 6675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251	164, 101	mulcomi 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252	248, 250, 251	3eqtr3i 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253	252	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255	200, 254, 163	mulassd 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256	253, 255	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257	173	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258	246, 256, 257	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259	258	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260	234, 243, 259	3brtr3d 5099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261		peano2uz 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3))
262		eluzelz 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264	263	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265	264	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266		chtcl 25688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268	191, 198	readdcld 10672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269		zmulcl 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270	117, 263, 269	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271	270	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272		resubcl 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273	271, 29, 272	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274	273	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275		remulcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276	100, 274, 275	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277		lelttr 10733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278	267, 268, 276, 277	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279	260, 278	mpand 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280	227, 279	sylbid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281	161, 280	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282		eluzfz2 12918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285	284	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286	285	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287	283, 286	breq12d 5081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288	287	rspcv 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289	282, 288	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290	289	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291	210	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
292	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℝ)
293	122	ltp1d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
294	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295		ltmul2 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296	122, 264, 294, 295	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297	293, 296	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298	291, 271, 292, 297	ltsub1dd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299		resubcl 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300	291, 29, 299	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
301	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302		ltmul2 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303	300, 273, 301, 302	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304	298, 303	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305		chtcl 25688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306	122, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307		remulcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308	100, 300, 307	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309	100, 273, 275	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310		lttr 10719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311	306, 308, 309, 310	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312	304, 311	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313	312	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314		evend2 15708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315	263, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316		2lt3 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 < 3
317	2, 29	ltnlei 10763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318	316, 317	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
319		breq2 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320	318, 319	mtbii 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321		eluzle 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322	261, 321	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323	320, 322	nsyl3 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324	323	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325		uzid 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
326	117, 325	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
327		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328		dvdsprm 16049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329	326, 327, 328	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330	324, 329	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331	330	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332	331	con2d 136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333	315, 332	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334	333	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335		chtnprm 25733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336	118, 334, 335	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337	336	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338	313, 337	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339	290, 338	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340		zeo 12071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341	118, 340	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342	281, 339, 341	mpjaodan 955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343		ovex 7191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 + 1) ∈ V
344		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346	345	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347	346	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348	344, 347	breq12d 5081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349	343, 348	ralsn 4621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350	342, 349	syl6ibr 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351	350	ancld 553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352		ralun 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353		fzsuc 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354	353	raleqdv 3417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355	352, 354	syl5ibr 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356	351, 355	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
357	69, 71, 73, 75, 112, 356	uzind4i 12313	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358		eluzfz2 12918	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
359	67, 357, 358	rspcdva 3627	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
360	62, 359	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
361	58, 360	eqbrtrrd 5092	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
362	33	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
363	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364		flle 13172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365	364	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
366	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
367	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368		lemul2 11495	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
369	48, 366, 367, 368	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370	365, 369	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
371	50, 362, 363, 370	lesub1dd 11258	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
372	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373		lemul2 11495	. . . . 5 ⊢ ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
374	52, 55, 372, 373	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375	371, 374	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
376	46, 54, 57, 361, 375	ltletrd 10802	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377	117	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378		flcl 13168	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379	378	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380		ltle 10731	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
381	2, 380	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382		flge 13178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383	117, 382	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384	381, 383	sylibd 241	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385	384	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386		eluz2 12252	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387	377, 379, 385, 386	syl3anbrc 1339	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
388		uzp1 12282	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))))
389	387, 388	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(2 + 1))))
390	44, 376, 389	mpjaodan 955	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∀wral 3140 ∪ cun 3936 {csn 4569 class class class wbr 5068 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 ℂcc 10537 ℝcr 10538 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 / cdiv 11299 ℕcn 11640 2c2 11695 3c3 11696 4c4 11697 6c6 11699 8c8 11701 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 ℝ⁺crp 12392 ...cfz 12895 ⌊cfl 13163 ↑cexp 13432 ∥ cdvds 15609 ℙcprime 16017 logclog 25140 θccht 25670

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-inf2 9106 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617 ax-addf 10618 ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-se 5517 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-isom 6366 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-of 7411 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-supp 7833 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-2o 8105 df-oadd 8108 df-er 8291 df-map 8410 df-pm 8411 df-ixp 8464 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-fsupp 8836 df-fi 8877 df-sup 8908 df-inf 8909 df-oi 8976 df-card 9370 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-5 11706 df-6 11707 df-7 11708 df-8 11709 df-9 11710 df-n0 11901 df-z 11985 df-dec 12102 df-uz 12247 df-q 12352 df-rp 12393 df-xneg 12510 df-xadd 12511 df-xmul 12512 df-ioo 12745 df-ioc 12746 df-ico 12747 df-icc 12748 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-fl 13165 df-mod 13241 df-seq 13373 df-exp 13433 df-fac 13637 df-bc 13666 df-hash 13694 df-shft 14428 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597 df-limsup 14830 df-clim 14847 df-rlim 14848 df-sum 15045 df-ef 15423 df-sin 15425 df-cos 15426 df-pi 15428 df-dvds 15610 df-gcd 15846 df-prm 16018 df-pc 16176 df-struct 16487 df-ndx 16488 df-slot 16489 df-base 16491 df-sets 16492 df-ress 16493 df-plusg 16580 df-mulr 16581 df-starv 16582 df-sca 16583 df-vsca 16584 df-ip 16585 df-tset 16586 df-ple 16587 df-ds 16589 df-unif 16590 df-hom 16591 df-cco 16592 df-rest 16698 df-topn 16699 df-0g 16717 df-gsum 16718 df-topgen 16719 df-pt 16720 df-prds 16723 df-xrs 16777 df-qtop 16782 df-imas 16783 df-xps 16785 df-mre 16859 df-mrc 16860 df-acs 16862 df-mgm 17854 df-sgrp 17903 df-mnd 17914 df-submnd 17959 df-mulg 18227 df-cntz 18449 df-cmn 18910 df-psmet 20539 df-xmet 20540 df-met 20541 df-bl 20542 df-mopn 20543 df-fbas 20544 df-fg 20545 df-cnfld 20548 df-top 21504 df-topon 21521 df-topsp 21543 df-bases 21556 df-cld 21629 df-ntr 21630 df-cls 21631 df-nei 21708 df-lp 21746 df-perf 21747 df-cn 21837 df-cnp 21838 df-haus 21925 df-tx 22172 df-hmeo 22365 df-fil 22456 df-fm 22548 df-flim 22549 df-flf 22550 df-xms 22932 df-ms 22933 df-tms 22934 df-cncf 23488 df-limc 24466 df-dv 24467 df-log 25142 df-cht 25676

This theorem is referenced by: bposlem6 25867 chto1ub 26054

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