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Theorem chtub 25721
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6669 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
2 2re 11705 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
3 1lt2 11802 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
4 rplogcl 25119 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (log‘2) ∈ ℝ+
6 elrp 12386 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
75, 6mpbi 231 . . . . . . . . 9 ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
87simpli 484 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ
98recni 10649 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℂ
109mulid1i 10639 . . . . . 6 ((log‘2) · 1) = (log‘2)
11 cht2 25682 . . . . . 6 (θ‘2) = (log‘2)
1210, 11eqtr4i 2852 . . . . 5 ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
131, 12syl6reqr 2880 . . . 4 ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14 chtfl 25659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
1613, 15sylan9eqr 2883 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17 2t2e4 11795 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
18 df-4 11696 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
1917, 18eqtri 2849 . . . . . 6 (2 · 2) = (3 + 1)
20 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 2pos 11734 . . . . . . . . . 10 0 < 2
232, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltmul2 11485 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
262, 21, 24, 25mp3an2ani 1461 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
2720, 26mpbid 233 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
2819, 27eqbrtrrid 5099 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29 3re 11711 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10636 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32 remulcl 10616 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
332, 21, 32sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3530, 31, 34ltaddsub2d 11235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
3628, 35mpbid 233 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37 resubcl 10944 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3833, 29, 37sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
3938adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
407a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41 ltmul2 11485 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4231, 39, 40, 41syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
4336, 42mpbid 233 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
4416, 43eqbrtrrd 5087 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45 chtcl 25619 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 722 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47 reflcl 13161 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49 remulcl 10616 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
502, 48, 49sylancr 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51 resubcl 10944 . . . . 5 (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
5250, 29, 51sylancl 586 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53 remulcl 10616 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
548, 52, 53sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
5538adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56 remulcl 10616 . . . 4 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
578, 55, 56sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
5815adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
60 df-3 11695 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
6160fveq2i 6672 . . . . . 6 (ℤ‘3) = (ℤ‘(2 + 1))
6259, 61syl6eleqr 2929 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
63 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
6564oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
6665oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
6763, 66breq12d 5076 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
6968raleqdv 3421 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
7170raleqdv 3421 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
7372raleqdv 3421 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
7574raleqdv 3421 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76 6lt8 11824 . . . . . . . . . . 11 6 < 8
77 6re 11721 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℝ
78 6pos 11741 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 6
7977, 78elrpii 12387 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ+
80 8re 11727 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℝ
81 8pos 11743 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 8
8280, 81elrpii 12387 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℝ+
83 logltb 25115 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
8479, 82, 83mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
8576, 84mpbi 231 . . . . . . . . . 10 (log‘6) < (log‘8)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87 elfz1eq 12913 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
8887fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89 cht3 25683 . . . . . . . . . 10 (θ‘3) = (log‘6)
9088, 89syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
9187oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
9291oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93 3cn 11712 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
94932timesi 11769 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = (3 + 3)
9593, 93, 94mvrraddi 10897 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) − 3) = 3
9692, 95syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
9796oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98 2rp 12389 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
99 relogcl 25091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) ∈ ℝ
101100recni 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℂ
102101, 93mulcomi 10643 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103 3z 12009 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
104 relogexp 25111 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
10598, 103, 104mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106102, 105eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . 11 ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107 cu2 13558 . . . . . . . . . . . 12 (2↑3) = 8
108107fveq2i 6672 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109106, 108eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) · 3) = (log‘8)
11097, 109syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
11186, 90, 1103brtr4d 5095 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112111rgen 3153 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113 df-2 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
114 2div2e1 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 / 2) = 1
115 eluzle 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑛)
11660, 115eqbrtrrid 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117 2z 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
118 eluzelz 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119 zltp1le 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120117, 118, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121116, 120mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑛)
122 eluzelre 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123 ltdiv1 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
1242, 23, 123mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126121, 125mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127114, 126eqbrtrrid 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128122rehalfcld 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129 1re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
130 ltadd1 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131129, 129, 130mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133127, 132mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134113, 133eqbrtrid 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136 peano2z 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138 zltp1le 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139117, 137, 138sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140135, 139mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
14160, 140eqbrtrid 5098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
143 ltle 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144129, 128, 143sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145127, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146142, 128, 128, 145leadd2dd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147122recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
1481472halvesd 11877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149146, 148breqtrd 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151 elfz 12893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152103, 151mp3an2 1442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153136, 118, 152syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154141, 150, 153mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157156oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158157oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159155, 158breq12d 5076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160159rspcv 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161154, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162128recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164 2cn 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
165 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
166 adddi 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167164, 165, 166mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168163, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170 2ne0 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
171 divcan2 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172164, 170, 171mp3an23 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174164mulid1i 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176173, 175oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177168, 176eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178177oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179 2p1e3 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
18093, 164, 165, 179subaddrii 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 − 2) = 1
181180oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
182 subsub3 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
18393, 164, 182mp3an23 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
184169, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
185181, 184syl5reqr 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186178, 185eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187186oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188187breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189137zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190 chtcl 25619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193 peano2rem 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195 remulcl 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196100, 194, 195sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197 remulcl 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198100, 192, 197sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199191, 196, 198ltadd1d 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201194recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202200, 201, 169adddid 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203 adddi 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204164, 165, 203mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205169, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206174oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207205, 206syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208207oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209 zmulcl 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210117, 118, 209sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211210zcnd 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213 subsub3 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
21493, 164, 213mp3an23 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215212, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216180oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
2171692timesd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218217oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220169, 169, 219addsubd 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221218, 220eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222216, 221syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223208, 215, 2223eqtr2rd 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224223oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225202, 224eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226225breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227188, 199, 2263bitrd 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228 3nn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
229 elfzuz 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
230154, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3))
231 eluznn 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232228, 230, 231sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233 chtublem 25720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235177oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236 addsubass 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237164, 165, 236mp3an23 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238169, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239 2m1e1 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
240239oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241238, 240syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242235, 241eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243242fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244 pncan 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245163, 165, 244sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246245oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247 relogexp 25111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
24898, 117, 247mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249 sq2 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑2) = 4
250249fveq2i 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251164, 101mulcomi 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252248, 250, 2513eqtr3i 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253252oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255200, 254, 163mulassd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256253, 255syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257173oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258246, 256, 2573eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259258oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260234, 243, 2593brtr3d 5094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261 peano2uz 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3))
262 eluzelz 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264263zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266 chtcl 25619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268191, 198readdcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269 zmulcl 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270117, 263, 269sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271270zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272 resubcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273271, 29, 272sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274273adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275 remulcl 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276100, 274, 275sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277 lelttr 10725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278267, 268, 276, 277syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279260, 278mpand 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280227, 279sylbid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281161, 280syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282 eluzfz2 12910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285284oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286285oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287283, 286breq12d 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288287rspcv 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289282, 288syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290289adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291210zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
29229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℝ)
293122ltp1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
29423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295 ltmul2 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296122, 264, 294, 295syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297293, 296mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298291, 271, 292, 297ltsub1dd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299 resubcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300291, 29, 299sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
3017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302 ltmul2 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303300, 273, 301, 302syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304298, 303mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305 chtcl 25619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306122, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307 remulcl 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308100, 300, 307sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309100, 273, 275sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310 lttr 10711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311306, 308, 309, 310syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312304, 311mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313312adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314 evend2 15701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315263, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316 2lt3 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 < 3
3172, 29ltnlei 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318316, 317mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ¬ 3 ≤ 2
319 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320318, 319mtbii 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321 eluzle 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322261, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323320, 322nsyl3 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324323adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325 uzid 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
326117, 325ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ (ℤ‘2)
327 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328 dvdsprm 16042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329326, 327, 328sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330324, 329mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331330ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332331con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333315, 332sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334333imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335 chtnprm 25664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336118, 334, 335syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337336breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338313, 337sylibrd 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339290, 338syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (ℤ‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340 zeo 12062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341118, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342281, 339, 341mpjaodan 954 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343 ovex 7183 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 + 1) ∈ V
344 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346345oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347346oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348344, 347breq12d 5076 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349343, 348ralsn 4618 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350342, 349syl6ibr 253 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351350ancld 551 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352 ralun 4172 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353 fzsuc 12949 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354353raleqdv 3421 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355352, 354syl5ibr 247 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356351, 355syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
35769, 71, 73, 75, 112, 356uzind4i 12304 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358 eluzfz2 12910 . . . . . 6 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
35967, 357, 358rspcdva 3629 . . . . 5 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36062, 359syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36158, 360eqbrtrrd 5087 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
36233adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36329a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364 flle 13164 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365364ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
36621adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
36723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368 lemul2 11487 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
36948, 366, 367, 368syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370365, 369mpbid 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
37150, 362, 363, 370lesub1dd 11250 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
3727a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373 lemul2 11487 . . . . 5 ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
37452, 55, 372, 373syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375371, 374mpbid 233 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
37646, 54, 57, 361, 375ltletrd 10794 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377117a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378 flcl 13160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379378adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380 ltle 10723 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
3812, 380mpan 686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382 flge 13170 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383117, 382mpan2 687 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384381, 383sylibd 240 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385384imp 407 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386 eluz2 12243 . . . 4 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387377, 379, 385, 386syl3anbrc 1337 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2))
388 uzp1 12273 . . 3 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
389387, 388syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
39044, 376, 389mpjaodan 954 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  cun 3938  {csn 4564   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  6c6 11690  8c8 11692  cz 11975  cuz 12237  +crp 12384  ...cfz 12887  cfl 13155  cexp 13424  cdvds 15602  cprime 16010  logclog 25070  θccht 25601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-prm 16011  df-pc 16169  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-cht 25607
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