Theorem chtub 27334

Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtub	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Proof of Theorem chtub

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1lt2 12404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
3		rplogcl 26727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
5		elrp 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
6	4, 5	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
7	6	simpli 488	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
8	7	recni 11211	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
9	8	mulridi 11201	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) · 1) = (log‘2)
10		cht2 27294	. . . . . 6 ⊢ (θ‘2) = (log‘2)
11	9, 10	eqtr4i 2791	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) · 1) = (θ‘2)
12		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘2))
13	11, 12	eqtr4id 2819	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) = 2 → ((log‘2) · 1) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
14		chtfl 27271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
16	13, 15	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) = (θ‘𝑁))
17		2t2e4 12395	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
18		df-4 12296	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 18	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = (3 + 1)
20		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 2 < 𝑁)
21		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		2pos 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23	1, 22	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltmul2 12057	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
26	1, 21, 24, 25	mp3an2ani 1492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 < 𝑁 ↔ (2 · 2) < (2 · 𝑁)))
27	20, 26	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 2) < (2 · 𝑁))
28	19, 27	eqbrtrrid 5141	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (3 + 1) < (2 · 𝑁))
29		3re 12312	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 ∈ ℝ)
32		remulcl 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	1, 21, 32	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
35	30, 31, 34	ltaddsub2d 11803	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((3 + 1) < (2 · 𝑁) ↔ 1 < ((2 · 𝑁) − 3)))
36	28, 35	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → 1 < ((2 · 𝑁) − 3))
37		resubcl 11510	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
38	33, 29, 37	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
40	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
41		ltmul2 12057	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
42	31, 39, 40, 41	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (1 < ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
43	36, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → ((log‘2) · 1) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
44	16, 43	eqbrtrrd 5129	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) = 2) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
45		chtcl 27231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
47		reflcl 13820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
49		remulcl 11173	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
50	1, 48, 49	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ)
51		resubcl 11510	. . . . 5 ⊢ (((2 · (⌊‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
52	50, 29, 51	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ)
53		remulcl 11173	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
54	7, 52, 53	sylancr 598	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ∈ ℝ)
55	38	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ)
56		remulcl 11173	. . . 4 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
57	7, 55, 56	sylancr 598	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)) ∈ ℝ)
58	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) = (θ‘𝑁))
59		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
60		df-3 12295	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
61	60	fveq2i 6874	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(2 + 1))
62	59, 61	eleqtrrdi 2876	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))
63		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (θ‘𝑘) = (θ‘(⌊‘𝑁)))
64		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · (⌊‘𝑁)))
65	64	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))
66	65	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
67	63, 66	breq12d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑁) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3))))
68		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → (3...𝑥) = (3...3))
69	68	raleqdv 3323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
70		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (3...𝑥) = (3...𝑛))
71	70	raleqdv 3323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
72		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (3...𝑥) = (3...(𝑛 + 1)))
73	72	raleqdv 3323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
74		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (3...𝑥) = (3...(⌊‘𝑁)))
75	74	raleqdv 3323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑁) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑥)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
76		6lt8 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 < 8
77		6re 12322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℝ
78		6pos 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
79	77, 78	elrpii 13010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ+
80		8re 12328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℝ
81		8pos 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 8
82	80, 81	elrpii 13010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ+
83		logltb 26723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8)))
84	79, 82, 83	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 < 8 ↔ (log‘6) < (log‘8))
85	76, 84	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘6) < (log‘8)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (log‘6) < (log‘8))
87		elfz1eq 13554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → 𝑘 = 3)
88	87	fveq2d 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (θ‘3))
89		cht3 27295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
90	88, 89	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) = (log‘6))
91	87	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (2 · 𝑘) = (2 · 3))
92	91	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 3) − 3))
93		3cn 12313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
94	93	2timesi 12369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
95	93, 93, 94	mvrraddi 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) − 3) = 3
96	92, 95	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((2 · 𝑘) − 3) = 3)
97	96	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · 3))
98		2rp 13012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
99		relogcl 26698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
101	100	recni 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
102	101, 93	mulcomi 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) · 3) = (3 · (log‘2))
103		3z 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℤ
104		relogexp 26719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2)))
105	98, 103, 104	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(2↑3)) = (3 · (log‘2))
106	102, 105	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘(2↑3))
107		cu2 14227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑3) = 8
108	107	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑3)) = (log‘8)
109	106, 108	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) · 3) = (log‘8)
110	97, 109	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = (log‘8))
111	86, 90, 110	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (3...3) → (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
112	111	rgen 3081	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ (3...3)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))
113		df-2 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
114		2div2e1 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 / 2) = 1
115		eluzle 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑛)
116	60, 115	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑛)
117		2z 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℤ
118		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℤ)
119		zltp1le 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
120	117, 118, 119	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑛))
121	116, 120	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑛)
122		eluzelre 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℝ)
123		ltdiv1 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
124	1, 23, 123	mp3an13 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
125	122, 124	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑛 ↔ (2 / 2) < (𝑛 / 2)))
126	121, 125	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 / 2) < (𝑛 / 2))
127	114, 126	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (𝑛 / 2))
128	122	rehalfcld 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
129		1re 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
130		ltadd1 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
131	129, 129, 130	mp3an13 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℝ → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
132	128, 131	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) ↔ (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1)))
133	127, 132	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 + 1) < ((𝑛 / 2) + 1))
134	113, 133	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
135	134	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 < ((𝑛 / 2) + 1))
136		peano2z 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
137	136	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ)
138		zltp1le 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
139	117, 137, 138	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 < ((𝑛 / 2) + 1) ↔ (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1)))
140	135, 139	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
141	60, 140	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1))
142		1red 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
143		ltle 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℝ) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
144	129, 128, 143	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 < (𝑛 / 2) → 1 ≤ (𝑛 / 2)))
145	127, 144	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ≤ (𝑛 / 2))
146	142, 128, 128, 145	leadd2dd 11817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)))
147	122	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ ℂ)
148	147	2halvesd 12481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑛 / 2) + (𝑛 / 2)) = 𝑛)
149	146, 148	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
150	149	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)
151		elfz 13532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
152	103, 151	mp3an2 1473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
153	136, 118, 152	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) ↔ (3 ≤ ((𝑛 / 2) + 1) ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ≤ 𝑛)))
154	141, 150, 153	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛))
155		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘((𝑛 / 2) + 1)))
156		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · ((𝑛 / 2) + 1)))
157	156	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))
158	157	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)))
159	155, 158	breq12d 5118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑛 / 2) + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
160	159	rspcv 3580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
161	154, 160	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3))))
162	128	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
163	162	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 / 2) ∈ ℂ)
164		2cn 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℂ
165		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
166		adddi 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
167	164, 165, 166	mp3an13 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
168	163, 167	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)))
169	147	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
170		2ne0 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≠ 0
171		divcan2 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
172	164, 170, 171	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
173	169, 172	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
174	164	mulridi 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 1) = 2)
176	173, 175	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 / 2)) + (2 · 1)) = (𝑛 + 2))
177	168, 176	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑛 / 2) + 1)) = (𝑛 + 2))
178	177	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = ((𝑛 + 2) − 3))
179		subsub3 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
180	93, 164, 179	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
181	169, 180	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − (3 − 2)) = ((𝑛 + 2) − 3))
182		2p1e3 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
183	93, 164, 165, 182	subaddrii 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 − 2) = 1
184	183	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 − (3 − 2)) = (𝑛 − 1)
185	181, 184	eqtr3di 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 3) = (𝑛 − 1))
186	178, 185	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3) = (𝑛 − 1))
187	186	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) = ((log‘2) · (𝑛 − 1)))
188	187	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1))))
189	137	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ)
190		chtcl 27231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℝ → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
191	189, 190	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((𝑛 / 2) + 1)) ∈ ℝ)
192	122	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
193		peano2rem 11513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
194	192, 193	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
195		remulcl 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
196	100, 194, 195	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
197		remulcl 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
198	100, 192, 197	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · 𝑛) ∈ ℝ)
199	191, 196, 198	ltadd1d 11795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · (𝑛 − 1)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛))))
200	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (log‘2) ∈ ℂ)
201	194	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
202	200, 201, 169	adddid 11221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
203		adddi 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
204	164, 165, 203	mp3an13 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
205	169, 204	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
206	174	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑛) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑛) + 2)
207	205, 206	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + 2))
208	207	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
209		zmulcl 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
210	117, 118, 209	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
211	210	zcnd 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
212	211	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
213		subsub3 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
214	93, 164, 213	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
215	212, 214	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = (((2 · 𝑛) + 2) − 3))
216	183	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((2 · 𝑛) − 1)
217	169	2timesd 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
218	217	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 + 𝑛) − 1))
219	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
220	169, 169, 219	addsubd 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
221	218, 220	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − 1) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
222	216, 221	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) − (3 − 2)) = ((𝑛 − 1) + 𝑛))
223	208, 215, 222	3eqtr2rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1) + 𝑛) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
224	223	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((𝑛 − 1) + 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
225	202, 224	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
226	225	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < (((log‘2) · (𝑛 − 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
227	188, 199, 226	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) ↔ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
228		3nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
229		elfzuz 13539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ (3...𝑛) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
230	154, 229	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
231		eluznn 12933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 / 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
232	228, 230, 231	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ)
233		chtublem 27333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 / 2) + 1) ∈ ℕ → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
234	232, 233	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))))
235	177	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = ((𝑛 + 2) − 1))
236		addsubass 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
237	164, 165, 236	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
238	169, 237	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + (2 − 1)))
239		2m1e1 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
240	239	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 + (2 − 1)) = (𝑛 + 1)
241	238, 240	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛 + 2) − 1) = (𝑛 + 1))
242	235, 241	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1) = (𝑛 + 1))
243	242	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 1)) = (θ‘(𝑛 + 1)))
244		pncan 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
245	163, 165, 244	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛 / 2) + 1) − 1) = (𝑛 / 2))
246	245	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘4) · (𝑛 / 2)))
247		relogexp 26719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
248	98, 117, 247	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
249		sq2 14224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2↑2) = 4
250	249	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
251	164, 101	mulcomi 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · (log‘2)) = ((log‘2) · 2)
252	248, 250, 251	3eqtr3i 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (log‘4) = ((log‘2) · 2)
253	252	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2))
254	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
255	200, 254, 163	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((log‘2) · 2) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
256	253, 255	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (𝑛 / 2)) = ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))))
257	173	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · (2 · (𝑛 / 2))) = ((log‘2) · 𝑛))
258	246, 256, 257	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1)) = ((log‘2) · 𝑛))
259	258	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘4) · (((𝑛 / 2) + 1) − 1))) = ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
260	234, 243, 259	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)))
261		peano2uz 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
262		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
263	261, 262	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
264	263	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
265	264	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
266		chtcl 27231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
267	265, 266	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
268	191, 198	readdcld 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ)
269		zmulcl 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
270	117, 263, 269	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
271	270	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
272		resubcl 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
273	271, 29, 272	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
274	273	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ)
275		remulcl 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
276	100, 274, 275	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
277		lelttr 11288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((θ‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
278	267, 268, 276, 277	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘(𝑛 + 1)) ≤ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) ∧ ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
279	260, 278	mpand 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) + ((log‘2) · 𝑛)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
280	227, 279	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘((𝑛 / 2) + 1)) < ((log‘2) · ((2 · ((𝑛 / 2) + 1)) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
281	161, 280	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
282		eluzfz2 13551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 ∈ (3...𝑛))
283		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (θ‘𝑘) = (θ‘𝑛))
284		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
285	284	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · 𝑛) − 3))
286	285	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)))
287	283, 286	breq12d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
288	287	rspcv 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (3...𝑛) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
289	282, 288	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
290	289	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3))))
291	210	zred 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
292	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ ℝ)
293	122	ltp1d 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
294	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
295		ltmul2 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
296	122, 264, 294, 295	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1))))
297	293, 296	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 · 𝑛) < (2 · (𝑛 + 1)))
298	291, 271, 292, 297	ltsub1dd 11814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
299		resubcl 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
300	291, 29, 299	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ)
301	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
302		ltmul2 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
303	300, 273, 301, 302	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (((2 · 𝑛) − 3) < ((2 · (𝑛 + 1)) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
304	298, 303	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
305		chtcl 27231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
306	122, 305	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (θ‘𝑛) ∈ ℝ)
307		remulcl 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
308	100, 300, 307	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ)
309	100, 273, 275	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ)
310		lttr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((θ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ∈ ℝ) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
311	306, 308, 309, 310	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
312	304, 311	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
313	312	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
314		evend2 16405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
315	263, 314	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
316		2lt3 12405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 < 3
317	1, 29	ltnlei 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
318	316, 317	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
319		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → (3 ≤ 2 ↔ 3 ≤ (𝑛 + 1)))
320	318, 319	mtbii 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 = (𝑛 + 1) → ¬ 3 ≤ (𝑛 + 1))
321		eluzle 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
322	261, 321	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ (𝑛 + 1))
323	320, 322	nsyl3 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
324	323	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 = (𝑛 + 1))
325		uzid 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
326	117, 325	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
327		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
328		dvdsprm 16752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
329	326, 327, 328	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝑛 + 1) ↔ 2 = (𝑛 + 1)))
330	324, 329	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1))
331	330	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑛 + 1) ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ (𝑛 + 1)))
332	331	con2d 135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 ∥ (𝑛 + 1) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
333	315, 332	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ))
334	333	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ)
335		chtnprm 27276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
336	118, 334, 335	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (θ‘(𝑛 + 1)) = (θ‘𝑛))
337	336	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)) ↔ (θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
338	313, 337	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((θ‘𝑛) < ((log‘2) · ((2 · 𝑛) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
339	290, 338	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
340		zeo 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
341	118, 340	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
342	281, 339, 341	mpjaodan 973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
343		ovex 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 + 1) ∈ V
344		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (θ‘𝑘) = (θ‘(𝑛 + 1)))
345		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑛 + 1)))
346	345	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 3) = ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))
347	346	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) = ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
348	344, 347	breq12d 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3))))
349	343, 348	ralsn 4643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ (θ‘(𝑛 + 1)) < ((log‘2) · ((2 · (𝑛 + 1)) − 3)))
350	342, 349	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
351	350	ancld 559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))))
352		ralun 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
353		fzsuc 13590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (3...(𝑛 + 1)) = ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
354	353	raleqdv 3323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ↔ ∀𝑘 ∈ ((3...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
355	352, 354	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ((∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) ∧ ∀𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
356	351, 355	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → (∀𝑘 ∈ (3...𝑛)(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)) → ∀𝑘 ∈ (3...(𝑛 + 1))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3))))
357	69, 71, 73, 75, 112, 356	uzind4i 12925	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑘 ∈ (3...(⌊‘𝑁))(θ‘𝑘) < ((log‘2) · ((2 · 𝑘) − 3)))
358		eluzfz2 13551	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3) → (⌊‘𝑁) ∈ (3...(⌊‘𝑁)))
359	67, 357, 358	rspcdva 3585	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
360	62, 359	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (θ‘(⌊‘𝑁)) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
361	58, 360	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)))
362	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
363	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
364		flle 13823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
365	364	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
366	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
367	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
368		lemul2 12059	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
369	48, 366, 367, 368	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((⌊‘𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁)))
370	365, 369	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (2 · (⌊‘𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
371	50, 362, 363, 370	lesub1dd 11818	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3))
372	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
373		lemul2 12059	. . . . 5 ⊢ ((((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − 3) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
374	52, 55, 372, 373	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (((2 · (⌊‘𝑁)) − 3) ≤ ((2 · 𝑁) − 3) ↔ ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3))))
375	371, 374	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → ((log‘2) · ((2 · (⌊‘𝑁)) − 3)) ≤ ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
376	46, 54, 57, 361, 375	ltletrd 11358	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) ∧ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))
377	117	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
378		flcl 13819	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
379	378	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
380		ltle 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
381	1, 380	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
382		flge 13829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
383	117, 382	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
384	381, 383	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 < 𝑁 → 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
385	384	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ≤ (⌊‘𝑁))
386		eluz2 12859	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌊‘𝑁)))
387	377, 379, 385, 386	syl3anbrc 1360	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
388		uzp1 12890	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
389	387, 388	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → ((⌊‘𝑁) = 2 ∨ (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
390	44, 376, 389	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑁) → (θ‘𝑁) < ((log‘2) · ((2 · 𝑁) − 3)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∪ cun 3905  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  6c6 12290  8c8 12292  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ...cfz 13526  ⌊cfl 13814  ↑cexp 14088   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719  logclog 26677  θccht 27213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cht 27219

This theorem is referenced by:  bposlem6  27411  chto1ub  27598