Theorem efif1olem2 24727

Description: Lemma for efif1o 24730. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efif1olem1.1	⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 11449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		pire 24648	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 10393	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5		readdcl 10355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7		resubcl 10687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ)
8		2pos 11485	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		pipos 24650	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
10	2, 3, 8, 9	mulgt0ii 10509	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
11	4, 10	elrpii 12140	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12		modcl 12991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
14	6, 13	resubcld 10803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
15	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16		modlt 12998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
17	7, 11, 16	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
18	13, 15, 1, 17	ltadd2dd 10535	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
19	1, 13, 6	ltaddsubd 10975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
20	18, 19	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))))
21		modge0 12997	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
22	7, 11, 21	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
23	6, 13	subge02d 10967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
24	22, 23	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25		rexr 10422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		elioc2 12548	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
28	26, 6, 27	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
29	14, 20, 24, 28	mpbir3and 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
30		efif1olem1.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
31	29, 30	syl6eleqr 2870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
32		modval 12989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
33	7, 11, 32	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
34	33	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
35	6	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
36	7	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
37	4, 10	gt0ne0ii 10911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · π) ≠ 0
38		redivcl 11094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
39	4, 37, 38	mp3an23 1526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
40	7, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
41	40	flcld 12918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
42	41	zred 11834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
43		remulcl 10357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
44	4, 42, 43	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
46	35, 36, 45	subsubd 10762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
47	1	recnd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48	4	recni 10391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
50		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
51	50	recnd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
52	47, 49, 51	pnncand 10773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
53	52	oveq1d 6937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
54	34, 46, 53	3eqtrd 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
55	54	oveq2d 6938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
56		addcl 10354	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
57	48, 51, 56	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
58	51, 57, 45	subsub4d 10765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
59	57, 51	negsubdi2d 10750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
60	49, 51	pncand 10735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
61	60	negeqd 10616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
62	59, 61	eqtr3d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
63		neg1cn 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
64	48	mulm1i 10820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
65	63, 48, 64	mulcomli 10386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
66	62, 65	syl6eqr 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
67	66	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
68	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
69	41	zcnd 11835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
70	49, 68, 69	subdid 10831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
71	67, 70	eqtr4d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
72	55, 58, 71	3eqtr2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
73	72	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
74		neg1z 11765	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		zsubcl 11771	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
76	74, 41, 75	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
77	76	zcnd 11835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
78		divcan3 11059	. . . . . 6 ⊢ (((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
79	48, 37, 78	mp3an23 1526	. . . . 5 ⊢ ((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
80	77, 79	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
81	73, 80	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
82	81, 76	eqeltrd 2859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
83		oveq2 6930	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
84	83	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
85	84	eleq1d 2844	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
86	85	rspcev 3511	. 2 ⊢ ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	31, 82, 86	syl2anc 579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  ℝ^*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  2c2 11430  ℤcz 11728  ℝ⁺crp 12137  (,]cioc 12488  ⌊cfl 12910   mod cmo 12987  πcpi 15199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068

This theorem is referenced by:  efif1o  24730  eff1o  24733