Theorem efif1olem2 26871

Description: Lemma for efif1o 26874. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efif1olem1.1	⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 12417	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		pire 26783	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11325	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5		readdcl 11283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7		resubcl 11622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ)
8		2pos 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		pipos 26787	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
10	2, 3, 8, 9	mulgt0ii 11443	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
11	4, 10	elrpii 13123	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12		modcl 14013	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
14	6, 13	resubcld 11744	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
15	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16		modlt 14020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
17	7, 11, 16	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
18	13, 15, 1, 17	ltadd2dd 11469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
19	1, 13, 6	ltaddsubd 11916	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
20	18, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))))
21		modge0 14019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
22	7, 11, 21	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
23	6, 13	subge02d 11908	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
24	22, 23	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25		rexr 11355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26		elioc2 13540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
27	25, 6, 26	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
28	14, 20, 24, 27	mpbir3and 1361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
29		efif1olem1.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
30	28, 29	eleqtrrdi 2872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
31		modval 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
32	7, 11, 31	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
33	32	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
34	6	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
35	7	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
36	4, 10	gt0ne0ii 11852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		redivcl 12036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
38	4, 36, 37	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
39	7, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
40	39	flcld 13938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
41	40	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
42		remulcl 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
43	4, 41, 42	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
45	34, 35, 44	subsubd 11697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
46	1	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	4	recni 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
50	49	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
51	46, 48, 50	pnncand 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
52	51	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
53	33, 45, 52	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
54	53	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
55		addcl 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
56	47, 50, 55	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
57	50, 56, 44	subsub4d 11700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
58	56, 50	negsubdi2d 11685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
59	48, 50	pncand 11670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
60	59	negeqd 11551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
61	58, 60	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
62		neg1cn 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
63	47	mulm1i 11761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1 · (2 · π)) = -(2 · π)
64	62, 47, 63	mulcomli 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
65	61, 64	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
66	65	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
67	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
68	40	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
69	48, 67, 68	subdid 11772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
70	66, 69	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
71	54, 57, 70	3eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
72	71	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
73		neg1z 12732	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
74		zsubcl 12738	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
75	73, 40, 74	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
76	75	zcnd 12804	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
77		divcan3 12000	. . . . . 6 ⊢ ((( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
78	47, 36, 77	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
79	76, 78	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
80	72, 79	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = ( -1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
81	80, 75	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
82		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
83	82	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
84	83	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
85	84	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	30, 81, 85	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120  (,]cioc 13477  ⌊cfl 13930   mod cmo 14009  πcpi 16232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by:  efif1o  26874  eff1o  26877