MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem2 25699
Description: Lemma for efif1o 25702. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 12047 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 25615 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 10991 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 readdcl 10954 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7 resubcl 11285 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℝ)
8 2pos 12076 . . . . . . . 8 0 < 2
9 pipos 25617 . . . . . . . 8 0 < π
102, 3, 8, 9mulgt0ii 11108 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
114, 10elrpii 12733 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ+
12 modcl 13593 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
146, 13resubcld 11403 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
154a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16 modlt 13600 . . . . . . 7 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
177, 11, 16sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
1813, 15, 1, 17ltadd2dd 11134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
191, 13, 6ltaddsubd 11575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))))
21 modge0 13599 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
227, 11, 21sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
236, 13subge02d 11567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
2422, 23mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25 rexr 11021 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26 elioc2 13142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2725, 6, 26syl2an2r 682 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2814, 20, 24, 27mpbir3and 1341 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
29 efif1olem1.1 . . 3 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
3028, 29eleqtrrdi 2850 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
31 modval 13591 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
327, 11, 31sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
3332oveq2d 7291 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
346recnd 11003 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
357recnd 11003 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
364, 10gt0ne0ii 11511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) ≠ 0
37 redivcl 11694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
384, 36, 37mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
397, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4039flcld 13518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
4140zred 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
42 remulcl 10956 . . . . . . . . . . 11 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
434, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
4443recnd 11003 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
4534, 35, 44subsubd 11360 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
461recnd 11003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
474recni 10989 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
49 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
5049recnd 11003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
5146, 48, 50pnncand 11371 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
5251oveq1d 7290 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5333, 45, 523eqtrd 2782 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5453oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
55 addcl 10953 . . . . . . . 8 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5647, 50, 55sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5750, 56, 44subsub4d 11363 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
5856, 50negsubdi2d 11348 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
5948, 50pncand 11333 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
6059negeqd 11215 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
6158, 60eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
62 neg1cn 12087 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
6347mulm1i 11420 . . . . . . . . . 10 (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
6462, 47, 63mulcomli 10984 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
6561, 64eqtr4di 2796 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
6665oveq1d 7290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
6762a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
6840zcnd 12427 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
6948, 67, 68subdid 11431 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7066, 69eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7154, 57, 703eqtr2d 2784 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7271oveq1d 7290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
73 neg1z 12356 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
74 zsubcl 12362 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7573, 40, 74sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7675zcnd 12427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
77 divcan3 11659 . . . . . 6 (((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7847, 36, 77mp3an23 1452 . . . . 5 ((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8072, 79eqtrd 2778 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8180, 75eqeltrd 2839 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
82 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
8382oveq1d 7290 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
8483eleq1d 2823 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
8584rspcev 3561 . 2 ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
8630, 81, 85syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  cz 12319  +crp 12730  (,]cioc 13080  cfl 13510   mod cmo 13589  πcpi 15776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  efif1o  25702  eff1o  25705
  Copyright terms: Public domain W3C validator