Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ๐ด โ
โ) |
2 | | 2re 12232 |
. . . . . . 7
โข 2 โ
โ |
3 | | pire 25831 |
. . . . . . 7
โข ฯ
โ โ |
4 | 2, 3 | remulcli 11176 |
. . . . . 6
โข (2
ยท ฯ) โ โ |
5 | | readdcl 11139 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง (2
ยท ฯ) โ โ) โ (๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
6 | 1, 4, 5 | sylancl 587 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
7 | | resubcl 11470 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ด โ ๐ง) โ โ) |
8 | | 2pos 12261 |
. . . . . . . 8
โข 0 <
2 |
9 | | pipos 25833 |
. . . . . . . 8
โข 0 <
ฯ |
10 | 2, 3, 8, 9 | mulgt0ii 11293 |
. . . . . . 7
โข 0 < (2
ยท ฯ) |
11 | 4, 10 | elrpii 12923 |
. . . . . 6
โข (2
ยท ฯ) โ โ+ |
12 | | modcl 13784 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ ๐ง) โ โ โง (2 ยท ฯ)
โ โ+) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
13 | 7, 11, 12 | sylancl 587 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
14 | 6, 13 | resubcld 11588 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
โ) |
15 | 4 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (2
ยท ฯ) โ โ) |
16 | | modlt 13791 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ ๐ง) โ โ โง (2 ยท ฯ)
โ โ+) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) < (2 ยท
ฯ)) |
17 | 7, 11, 16 | sylancl 587 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) < (2 ยท
ฯ)) |
18 | 13, 15, 1, 17 | ltadd2dd 11319 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ด + ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) < (๐ด + (2 ยท
ฯ))) |
19 | 1, 13, 6 | ltaddsubd 11760 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) < (๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))))) |
20 | 18, 19 | mpbid 231 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) |
21 | | modge0 13790 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ ๐ง) โ โ โง (2 ยท ฯ)
โ โ+) โ 0 โค ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) |
22 | 7, 11, 21 | sylancl 587 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ 0 โค
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท
ฯ))) |
23 | 6, 13 | subge02d 11752 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (0 โค
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โค
(๐ด + (2 ยท
ฯ)))) |
24 | 22, 23 | mpbid 231 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โค
(๐ด + (2 ยท
ฯ))) |
25 | | rexr 11206 |
. . . . 5
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ
โ*) |
26 | | elioc2 13333 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ*
โง (๐ด + (2 ยท
ฯ)) โ โ) โ (((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ))) โ (((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
โ โง ๐ด <
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โง
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โค
(๐ด + (2 ยท
ฯ))))) |
27 | 25, 6, 26 | syl2an2r 684 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
(๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ))) โ (((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
โ โง ๐ด <
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โง
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โค
(๐ด + (2 ยท
ฯ))))) |
28 | 14, 20, 24, 27 | mpbir3and 1343 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
(๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ)))) |
29 | | efif1olem1.1 |
. . 3
โข ๐ท = (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ))) |
30 | 28, 29 | eleqtrrdi 2845 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
๐ท) |
31 | | modval 13782 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ ๐ง) โ โ โง (2 ยท ฯ)
โ โ+) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) = ((๐ด โ ๐ง) โ ((2 ยท ฯ) ยท
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท
ฯ)))))) |
32 | 7, 11, 31 | sylancl 587 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)) = ((๐ด โ ๐ง) โ ((2 ยท ฯ) ยท
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท
ฯ)))))) |
33 | 32 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) =
((๐ด + (2 ยท ฯ))
โ ((๐ด โ ๐ง) โ ((2 ยท ฯ)
ยท (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ))))))) |
34 | 6 | recnd 11188 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
35 | 7 | recnd 11188 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ด โ ๐ง) โ โ) |
36 | 4, 10 | gt0ne0ii 11696 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (2
ยท ฯ) โ 0 |
37 | | redivcl 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ ๐ง) โ โ โง (2 ยท ฯ)
โ โ โง (2 ยท ฯ) โ 0) โ ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
38 | 4, 36, 37 | mp3an23 1454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ด โ ๐ง) โ โ โ ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
39 | 7, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)) โ
โ) |
40 | 39 | flcld 13709 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))
โ โค) |
41 | 40 | zred 12612 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))
โ โ) |
42 | | remulcl 11141 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((2
ยท ฯ) โ โ โง (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))) โ โ)
โ ((2 ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))) โ
โ) |
43 | 4, 41, 42 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((2
ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))) โ
โ) |
44 | 43 | recnd 11188 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((2
ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))) โ
โ) |
45 | 34, 35, 44 | subsubd 11545 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) โ ((2 ยท ฯ)
ยท (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ)))))) = (((๐ด + (2
ยท ฯ)) โ (๐ด
โ ๐ง)) + ((2 ยท
ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
46 | 1 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ๐ด โ
โ) |
47 | 4 | recni 11174 |
. . . . . . . . . . 11
โข (2
ยท ฯ) โ โ |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (2
ยท ฯ) โ โ) |
49 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ๐ง โ
โ) |
50 | 49 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ๐ง โ
โ) |
51 | 46, 48, 50 | pnncand 11556 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
(๐ด โ ๐ง)) = ((2 ยท ฯ) + ๐ง)) |
52 | 51 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
(๐ด โ ๐ง)) + ((2 ยท ฯ) ยท
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))))
= (((2 ยท ฯ) + ๐ง)
+ ((2 ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
53 | 33, 45, 52 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) = (((2
ยท ฯ) + ๐ง) + ((2
ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
54 | 53 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) = (๐ง โ (((2 ยท ฯ) +
๐ง) + ((2 ยท ฯ)
ยท (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ))))))) |
55 | | addcl 11138 |
. . . . . . . 8
โข (((2
ยท ฯ) โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง) โ
โ) |
56 | 47, 50, 55 | sylancr 588 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((2
ยท ฯ) + ๐ง) โ
โ) |
57 | 50, 56, 44 | subsub4d 11548 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง)) โ ((2 ยท
ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) = (๐ง โ (((2 ยท ฯ) +
๐ง) + ((2 ยท ฯ)
ยท (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ))))))) |
58 | 56, 50 | negsubdi2d 11533 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ -(((2
ยท ฯ) + ๐ง) โ
๐ง) = (๐ง โ ((2 ยท ฯ) + ๐ง))) |
59 | 48, 50 | pncand 11518 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (((2
ยท ฯ) + ๐ง) โ
๐ง) = (2 ยท
ฯ)) |
60 | 59 | negeqd 11400 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ -(((2
ยท ฯ) + ๐ง) โ
๐ง) = -(2 ยท
ฯ)) |
61 | 58, 60 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ง โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง)) = -(2 ยท
ฯ)) |
62 | | neg1cn 12272 |
. . . . . . . . . 10
โข -1 โ
โ |
63 | 47 | mulm1i 11605 |
. . . . . . . . . 10
โข (-1
ยท (2 ยท ฯ)) = -(2 ยท ฯ) |
64 | 62, 47, 63 | mulcomli 11169 |
. . . . . . . . 9
โข ((2
ยท ฯ) ยท -1) = -(2 ยท ฯ) |
65 | 61, 64 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ง โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง)) = ((2 ยท ฯ)
ยท -1)) |
66 | 65 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง)) โ ((2 ยท
ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) = (((2 ยท
ฯ) ยท -1) โ ((2 ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
67 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ -1
โ โ) |
68 | 40 | zcnd 12613 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))
โ โ) |
69 | 48, 67, 68 | subdid 11616 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((2
ยท ฯ) ยท (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) = (((2 ยท
ฯ) ยท -1) โ ((2 ยท ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
70 | 66, 69 | eqtr4d 2776 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((2 ยท ฯ) +
๐ง)) โ ((2 ยท
ฯ) ยท (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) = ((2 ยท
ฯ) ยท (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
71 | 54, 57, 70 | 3eqtr2d 2779 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) = ((2 ยท
ฯ) ยท (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))))) |
72 | 71 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2 ยท
ฯ)) = (((2 ยท ฯ) ยท (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) / (2 ยท
ฯ))) |
73 | | neg1z 12544 |
. . . . . . 7
โข -1 โ
โค |
74 | | zsubcl 12550 |
. . . . . . 7
โข ((-1
โ โค โง (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))) โ โค)
โ (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ)))) โ
โค) |
75 | 73, 40, 74 | sylancr 588 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (-1
โ (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ)))) โ โค) |
76 | 75 | zcnd 12613 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (-1
โ (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ)))) โ โ) |
77 | | divcan3 11844 |
. . . . . 6
โข (((-1
โ (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ)))) โ โ โง (2 ยท ฯ) โ โ โง (2
ยท ฯ) โ 0) โ (((2 ยท ฯ) ยท (-1 โ
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))))
/ (2 ยท ฯ)) = (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) |
78 | 47, 36, 77 | mp3an23 1454 |
. . . . 5
โข ((-1
โ (โโ((๐ด
โ ๐ง) / (2 ยท
ฯ)))) โ โ โ (((2 ยท ฯ) ยท (-1 โ
(โโ((๐ด โ
๐ง) / (2 ยท ฯ)))))
/ (2 ยท ฯ)) = (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) |
79 | 76, 78 | syl 17 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ (((2
ยท ฯ) ยท (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) / (2 ยท
ฯ)) = (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) |
80 | 72, 79 | eqtrd 2773 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2 ยท
ฯ)) = (-1 โ (โโ((๐ด โ ๐ง) / (2 ยท ฯ))))) |
81 | 80, 75 | eqeltrd 2834 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ ((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2 ยท
ฯ)) โ โค) |
82 | | oveq2 7366 |
. . . . 5
โข (๐ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ (๐ง โ ๐ฆ) = (๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))))) |
83 | 82 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (๐ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ ((๐ง โ ๐ฆ) / (2 ยท ฯ)) = ((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2 ยท
ฯ))) |
84 | 83 | eleq1d 2819 |
. . 3
โข (๐ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ (((๐ง โ ๐ฆ) / (2 ยท ฯ)) โ โค โ
((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2
ยท ฯ)) โ โค)) |
85 | 84 | rspcev 3580 |
. 2
โข ((((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ
((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ))) โ
๐ท โง ((๐ง โ ((๐ด + (2 ยท ฯ)) โ ((๐ด โ ๐ง) mod (2 ยท ฯ)))) / (2 ยท
ฯ)) โ โค) โ โ๐ฆ โ ๐ท ((๐ง โ ๐ฆ) / (2 ยท ฯ)) โ
โค) |
86 | 30, 81, 85 | syl2anc 585 |
1
โข ((๐ด โ โ โง ๐ง โ โ) โ
โ๐ฆ โ ๐ท ((๐ง โ ๐ฆ) / (2 ยท ฯ)) โ
โค) |