MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem2 25915
Description: Lemma for efif1o 25918. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 ๐ท = (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ€)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท ((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ท
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ง)   ๐ท(๐‘ง)

Proof of Theorem efif1olem2
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 2re 12232 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
3 pire 25831 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
42, 3remulcli 11176 . . . . . 6 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
5 readdcl 11139 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
61, 4, 5sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
7 resubcl 11470 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„)
8 2pos 12261 . . . . . . . 8 0 < 2
9 pipos 25833 . . . . . . . 8 0 < ฯ€
102, 3, 8, 9mulgt0ii 11293 . . . . . . 7 0 < (2 ยท ฯ€)
114, 10elrpii 12923 . . . . . 6 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+
12 modcl 13784 . . . . . 6 (((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
137, 11, 12sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
146, 13resubcld 11588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„)
154a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
16 modlt 13791 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) < (2 ยท ฯ€))
177, 11, 16sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) < (2 ยท ฯ€))
1813, 15, 1, 17ltadd2dd 11319 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) < (๐ด + (2 ยท ฯ€)))
191, 13, 6ltaddsubd 11760 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) < (๐ด + (2 ยท ฯ€)) โ†” ๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))))
21 modge0 13790 . . . . . 6 (((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))
227, 11, 21sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))
236, 13subge02d 11752 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) โ†” ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ‰ค (๐ด + (2 ยท ฯ€))))
2422, 23mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ‰ค (๐ด + (2 ยท ฯ€)))
25 rexr 11206 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
26 elioc2 13333 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ€))) โ†” (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆง ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ‰ค (๐ด + (2 ยท ฯ€)))))
2725, 6, 26syl2an2r 684 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ€))) โ†” (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆง ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ‰ค (๐ด + (2 ยท ฯ€)))))
2814, 20, 24, 27mpbir3and 1343 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ€))))
29 efif1olem1.1 . . 3 ๐ท = (๐ด(,](๐ด + (2 ยท ฯ€)))
3028, 29eleqtrrdi 2845 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ ๐ท)
31 modval 13782 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) = ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
327, 11, 31sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)) = ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
3332oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) = ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))))
346recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
357recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
364, 10gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
37 redivcl 11879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
384, 36, 37mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
397, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
4039flcld 13709 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ค)
4140zred 12612 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„)
42 remulcl 11141 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„)
434, 41, 42sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„)
4443recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„‚)
4534, 35, 44subsubd 11545 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))) = (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง)) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
461recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
474recni 11174 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
5049recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
5146, 48, 50pnncand 11556 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง)) = ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง))
5251oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง)) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) = (((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
5333, 45, 523eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) = (((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
5453oveq2d 7374 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) = (๐‘ง โˆ’ (((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))))
55 addcl 11138 . . . . . . . 8 (((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
5647, 50, 55sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
5750, 56, 44subsub4d 11548 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) = (๐‘ง โˆ’ (((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) + ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))))
5856, 50negsubdi2d 11533 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)))
5948, 50pncand 11518 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = (2 ยท ฯ€))
6059negeqd 11400 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = -(2 ยท ฯ€))
6158, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)) = -(2 ยท ฯ€))
62 neg1cn 12272 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
6347mulm1i 11605 . . . . . . . . . 10 (-1 ยท (2 ยท ฯ€)) = -(2 ยท ฯ€)
6462, 47, 63mulcomli 11169 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ฯ€) ยท -1) = -(2 ยท ฯ€)
6561, 64eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)) = ((2 ยท ฯ€) ยท -1))
6665oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) = (((2 ยท ฯ€) ยท -1) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
6762a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
6840zcnd 12613 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„‚)
6948, 67, 68subdid 11616 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) = (((2 ยท ฯ€) ยท -1) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
7066, 69eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((2 ยท ฯ€) + ๐‘ง)) โˆ’ ((2 ยท ฯ€) ยท (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
7154, 57, 703eqtr2d 2779 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))))
7271oveq1d 7373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)) = (((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) / (2 ยท ฯ€)))
73 neg1z 12544 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
74 zsubcl 12550 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„ค)
7573, 40, 74sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„ค)
7675zcnd 12613 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„‚)
77 divcan3 11844 . . . . . 6 (((-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0) โ†’ (((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) / (2 ยท ฯ€)) = (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))
7847, 36, 77mp3an23 1454 . . . . 5 ((-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) / (2 ยท ฯ€)) = (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))
7976, 78syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ฯ€) ยท (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€))))) / (2 ยท ฯ€)) = (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))
8072, 79eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)) = (-1 โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (2 ยท ฯ€)))))
8180, 75eqeltrd 2834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
82 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) = (๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))))
8382oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ†’ ((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) = ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)))
8483eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ฆ = ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โ†’ (((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
8584rspcev 3580 . 2 ((((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€))) โˆˆ ๐ท โˆง ((๐‘ง โˆ’ ((๐ด + (2 ยท ฯ€)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) mod (2 ยท ฯ€)))) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท ((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8630, 81, 85syl2anc 585 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท ((๐‘ง โˆ’ ๐‘ฆ) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  (,]cioc 13271  โŒŠcfl 13701   mod cmo 13780  ฯ€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  efif1o  25918  eff1o  25921
  Copyright terms: Public domain W3C validator