Theorem efif1olem2 26708

Description: Lemma for efif1o 26711. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efif1olem1.1	⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 12310	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		pire 26619	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11220	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5		readdcl 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7		resubcl 11517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ)
8		2pos 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		pipos 26623	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
10	2, 3, 8, 9	mulgt0ii 11338	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
11	4, 10	elrpii 13014	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12		modcl 13902	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
14	6, 13	resubcld 11637	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
15	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16		modlt 13909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
17	7, 11, 16	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
18	13, 15, 1, 17	ltadd2dd 11364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
19	1, 13, 6	ltaddsubd 11809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
20	18, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))))
21		modge0 13908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
22	7, 11, 21	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
23	6, 13	subge02d 11801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
24	22, 23	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25		rexr 11250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26		elioc2 13431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
27	25, 6, 26	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
28	14, 20, 24, 27	mpbir3and 1361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
29		efif1olem1.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
30	28, 29	eleqtrrdi 2874	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
31		modval 13900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
32	7, 11, 31	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
33	32	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
34	6	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
35	7	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
36	4, 10	gt0ne0ii 11745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		redivcl 11929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
38	4, 36, 37	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
39	7, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
40	39	flcld 13827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
41	40	zred 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
42		remulcl 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
43	4, 41, 42	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
45	34, 35, 44	subsubd 11592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
46	1	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	4	recni 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
49		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
50	49	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
51	46, 48, 50	pnncand 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
52	51	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
53	33, 45, 52	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
54	53	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
55		addcl 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
56	47, 50, 55	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
57	50, 56, 44	subsub4d 11595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
58	56, 50	negsubdi2d 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
59	48, 50	pncand 11565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
60	59	negeqd 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
61	58, 60	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
62		neg1cn 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
63	47	mulm1i 11654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
64	62, 47, 63	mulcomli 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
65	61, 64	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
66	65	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
67	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
68	40	zcnd 12696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
69	48, 67, 68	subdid 11665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
70	66, 69	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
71	54, 57, 70	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
72	71	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
73		neg1z 12625	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
74		zsubcl 12631	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
75	73, 40, 74	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
76	75	zcnd 12696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
77		divcan3 11893	. . . . . 6 ⊢ (((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
78	47, 36, 77	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ ((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
79	76, 78	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
80	72, 79	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
81	80, 75	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
82		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
83	82	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
84	83	eleq1d 2848	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
85	84	rspcev 3581	. 2 ⊢ ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	30, 81, 85	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011  (,]cioc 13368  ⌊cfl 13819   mod cmo 13898  πcpi 16115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  efif1o  26711  eff1o  26714