Theorem efif1olem2 26052

Description: Lemma for efif1o 26055. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efif1olem1.1	⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		pire 25968	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11230	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5		readdcl 11193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7		resubcl 11524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ)
8		2pos 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		pipos 25970	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
10	2, 3, 8, 9	mulgt0ii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
11	4, 10	elrpii 12977	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
12		modcl 13838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
14	6, 13	resubcld 11642	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
15	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16		modlt 13845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
17	7, 11, 16	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
18	13, 15, 1, 17	ltadd2dd 11373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
19	1, 13, 6	ltaddsubd 11814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
20	18, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))))
21		modge0 13844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
22	7, 11, 21	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))
23	6, 13	subge02d 11806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
24	22, 23	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25		rexr 11260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26		elioc2 13387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
27	25, 6, 26	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
28	14, 20, 24, 27	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
29		efif1olem1.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
30	28, 29	eleqtrrdi 2845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
31		modval 13836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
32	7, 11, 31	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
33	32	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
34	6	recnd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
35	7	recnd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
36	4, 10	gt0ne0ii 11750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		redivcl 11933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
38	4, 36, 37	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − 𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
39	7, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
40	39	flcld 13763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
41	40	zred 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
42		remulcl 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
43	4, 41, 42	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
45	34, 35, 44	subsubd 11599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
46	1	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	4	recni 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
49		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
50	49	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
51	46, 48, 50	pnncand 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
52	51	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴 − 𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
53	33, 45, 52	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
54	53	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
55		addcl 11192	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
56	47, 50, 55	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
57	50, 56, 44	subsub4d 11602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))))
58	56, 50	negsubdi2d 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
59	48, 50	pncand 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
60	59	negeqd 11454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
61	58, 60	eqtr3d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
62		neg1cn 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
63	47	mulm1i 11659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
64	62, 47, 63	mulcomli 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
65	61, 64	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
66	65	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
67	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
68	40	zcnd 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
69	48, 67, 68	subdid 11670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
70	66, 69	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
71	54, 57, 70	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))))
72	71	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
73		neg1z 12598	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
74		zsubcl 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
75	73, 40, 74	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
76	75	zcnd 12667	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
77		divcan3 11898	. . . . . 6 ⊢ (((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
78	47, 36, 77	mp3an23 1454	. . . . 5 ⊢ ((-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
79	76, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
80	72, 79	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴 − 𝑧) / (2 · π)))))
81	80, 75	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
82		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧 − 𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))))
83	82	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
84	83	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
85	84	rspcev 3613	. 2 ⊢ ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴 − 𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	30, 81, 85	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974  (,]cioc 13325  ⌊cfl 13755   mod cmo 13834  πcpi 16010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384

This theorem is referenced by:  efif1o  26055  eff1o  26058