MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem2 26599
Description: Lemma for efif1o 26602. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 12337 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 26514 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 11274 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 readdcl 11235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7 resubcl 11570 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℝ)
8 2pos 12366 . . . . . . . 8 0 < 2
9 pipos 26516 . . . . . . . 8 0 < π
102, 3, 8, 9mulgt0ii 11391 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
114, 10elrpii 13034 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ+
12 modcl 13909 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
146, 13resubcld 11688 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
154a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16 modlt 13916 . . . . . . 7 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
177, 11, 16sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
1813, 15, 1, 17ltadd2dd 11417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
191, 13, 6ltaddsubd 11860 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
2018, 19mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))))
21 modge0 13915 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
227, 11, 21sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
236, 13subge02d 11852 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
2422, 23mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25 rexr 11304 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
26 elioc2 13446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2725, 6, 26syl2an2r 685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2814, 20, 24, 27mpbir3and 1341 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
29 efif1olem1.1 . . 3 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
3028, 29eleqtrrdi 2849 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
31 modval 13907 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
327, 11, 31sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
3332oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
346recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
357recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
364, 10gt0ne0ii 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) ≠ 0
37 redivcl 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
384, 36, 37mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
397, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4039flcld 13834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
4140zred 12719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
42 remulcl 11237 . . . . . . . . . . 11 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
434, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
4443recnd 11286 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
4534, 35, 44subsubd 11645 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
461recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
474recni 11272 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
5049recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
5146, 48, 50pnncand 11656 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
5251oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5333, 45, 523eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5453oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
55 addcl 11234 . . . . . . . 8 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5647, 50, 55sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5750, 56, 44subsub4d 11648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
5856, 50negsubdi2d 11633 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
5948, 50pncand 11618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
6059negeqd 11499 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
6158, 60eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
62 neg1cn 12377 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
6347mulm1i 11705 . . . . . . . . . 10 (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
6462, 47, 63mulcomli 11267 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
6561, 64eqtr4di 2792 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
6665oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
6762a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
6840zcnd 12720 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
6948, 67, 68subdid 11716 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7066, 69eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7154, 57, 703eqtr2d 2780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7271oveq1d 7445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
73 neg1z 12650 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
74 zsubcl 12656 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7573, 40, 74sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7675zcnd 12720 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
77 divcan3 11945 . . . . . 6 (((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7847, 36, 77mp3an23 1452 . . . . 5 ((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8072, 79eqtrd 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8180, 75eqeltrd 2838 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
82 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
8382oveq1d 7445 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
8483eleq1d 2823 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
8584rspcev 3621 . 2 ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
8630, 81, 85syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  +crp 13031  (,]cioc 13384  cfl 13826   mod cmo 13905  πcpi 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  efif1o  26602  eff1o  26605
  Copyright terms: Public domain W3C validator