Theorem pigt3 26251

Description: π is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	⊢ 3 < π

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 26249	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
2	1	simpli 484	. . . 4 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
3		ax-1cn 11170	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		2cnne0 12426	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5		3cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 12322	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
8		divcan5 11920	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2))
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2)
10		3t1e3 12381	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
11		3t2e6 12382	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
12	10, 11	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
13	2, 9, 12	3eqtr2i 2766	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (3 / 6)
14		pire 26192	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
15		pipos 26194	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
16	14, 15	elrpii 12981	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ+
17		6re 12306	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 12326	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	elrpii 12981	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ+
20		rpdivcl 13003	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 6 ∈ ℝ+) → (π / 6) ∈ ℝ+)
21	16, 19, 20	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ+
22		sinltx 16136	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ+ → (sin‘(π / 6)) < (π / 6))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) < (π / 6)
24	13, 23	eqbrtrri 5171	. 2 ⊢ (3 / 6) < (π / 6)
25		3re 12296	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25, 14, 17, 18	ltdiv1ii 12147	. 2 ⊢ (3 < π ↔ (3 / 6) < (π / 6))
27	24, 26	mpbir 230	1 ⊢ 3 < π

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   < clt 11252   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  6c6 12275  ℝ⁺crp 12978  √csqrt 15184  sincsin 16011  cosccos 16012  πcpi 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608

This theorem is referenced by:  pige3  26252