MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem1 25718
Description: Lemma for aaliou3 25727. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aaliou3lem.a ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
21oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)))
32oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
4 aaliou3lem.a . . . 4 ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
5 ovex 7395 . . . 4 ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6953 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
76adantl 483 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
8 2rp 12927 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
9 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 12480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
1110faccld 14191 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12533 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
1312znegcld 12616 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
14 rpexpcl 13993 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
158, 13, 14sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
16 halfre 12374 . . . . . 6 (1 / 2) โˆˆ โ„
17 halfgt0 12376 . . . . . 6 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 12925 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„+
19 eluzelz 12780 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
20 nnz 12527 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21 zsubcl 12552 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
2219, 20, 21syl2anr 598 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
23 rpexpcl 13993 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
2418, 22, 23sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
2515, 24rpmulcld 12980 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„+)
2625rpred 12964 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
277, 26eqeltrd 2838 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  1c1 11059   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181
This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  25719  aaliou3lem3  25720
  Copyright terms: Public domain W3C validator