MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem1 26251
Description: Lemma for aaliou3 26260. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aaliou3lem.a ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
21oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)))
32oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
4 aaliou3lem.a . . . 4 ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
5 ovex 7447 . . . 4 ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6999 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
76adantl 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))))
8 2rp 12997 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
9 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 12548 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
1110faccld 14261 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12601 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
1312znegcld 12684 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
14 rpexpcl 14063 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
158, 13, 14sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
16 halfre 12442 . . . . . 6 (1 / 2) โˆˆ โ„
17 halfgt0 12444 . . . . . 6 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 12995 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„+
19 eluzelz 12848 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
20 nnz 12595 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21 zsubcl 12620 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
2219, 20, 21syl2anr 596 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
23 rpexpcl 14063 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
2418, 22, 23sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
2515, 24rpmulcld 13050 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„+)
2625rpred 13034 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ต โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
277, 26eqeltrd 2828 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  1c1 11125   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  โ„+crp 12992  โ†‘cexp 14044  !cfa 14250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251
This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  26252  aaliou3lem3  26253
  Copyright terms: Public domain W3C validator