![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > aaliou3lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for aaliou3 26260. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
aaliou3lem.a | โข ๐บ = (๐ โ (โคโฅโ๐ด) โฆ ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ โ ๐ด)))) |
Ref | Expression |
---|---|
aaliou3lem1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (๐บโ๐ต) โ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7421 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐ โ ๐ด) = (๐ต โ ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq2d 7430 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ต โ ((1 / 2)โ(๐ โ ๐ด)) = ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด))) |
3 | 2 | oveq2d 7430 | . . . 4 โข (๐ = ๐ต โ ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ โ ๐ด))) = ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด)))) |
4 | aaliou3lem.a | . . . 4 โข ๐บ = (๐ โ (โคโฅโ๐ด) โฆ ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ โ ๐ด)))) | |
5 | ovex 7447 | . . . 4 โข ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด))) โ V | |
6 | 3, 4, 5 | fvmpt 6999 | . . 3 โข (๐ต โ (โคโฅโ๐ด) โ (๐บโ๐ต) = ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด)))) |
7 | 6 | adantl 481 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (๐บโ๐ต) = ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด)))) |
8 | 2rp 12997 | . . . . 5 โข 2 โ โ+ | |
9 | simpl 482 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | nnnn0d 12548 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ ๐ด โ โ0) |
11 | 10 | faccld 14261 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (!โ๐ด) โ โ) |
12 | 11 | nnzd 12601 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (!โ๐ด) โ โค) |
13 | 12 | znegcld 12684 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ -(!โ๐ด) โ โค) |
14 | rpexpcl 14063 | . . . . 5 โข ((2 โ โ+ โง -(!โ๐ด) โ โค) โ (2โ-(!โ๐ด)) โ โ+) | |
15 | 8, 13, 14 | sylancr 586 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (2โ-(!โ๐ด)) โ โ+) |
16 | halfre 12442 | . . . . . 6 โข (1 / 2) โ โ | |
17 | halfgt0 12444 | . . . . . 6 โข 0 < (1 / 2) | |
18 | 16, 17 | elrpii 12995 | . . . . 5 โข (1 / 2) โ โ+ |
19 | eluzelz 12848 | . . . . . 6 โข (๐ต โ (โคโฅโ๐ด) โ ๐ต โ โค) | |
20 | nnz 12595 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โค) | |
21 | zsubcl 12620 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โค โง ๐ด โ โค) โ (๐ต โ ๐ด) โ โค) | |
22 | 19, 20, 21 | syl2anr 596 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (๐ต โ ๐ด) โ โค) |
23 | rpexpcl 14063 | . . . . 5 โข (((1 / 2) โ โ+ โง (๐ต โ ๐ด) โ โค) โ ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด)) โ โ+) | |
24 | 18, 22, 23 | sylancr 586 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด)) โ โ+) |
25 | 15, 24 | rpmulcld 13050 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด))) โ โ+) |
26 | 25 | rpred 13034 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ ((2โ-(!โ๐ด)) ยท ((1 / 2)โ(๐ต โ ๐ด))) โ โ) |
27 | 7, 26 | eqeltrd 2828 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ (โคโฅโ๐ด)) โ (๐บโ๐ต) โ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcr 11123 1c1 11125 ยท cmul 11129 โ cmin 11460 -cneg 11461 / cdiv 11887 โcn 12228 2c2 12283 โคcz 12574 โคโฅcuz 12838 โ+crp 12992 โcexp 14044 !cfa 14250 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-rp 12993 df-seq 13985 df-exp 14045 df-fac 14251 |
This theorem is referenced by: aaliou3lem2 26252 aaliou3lem3 26253 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |