MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem1 26384
Description: Lemma for aaliou3 26393. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴) = (𝐵𝐴))
21oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑐 = 𝐵 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)))
32oveq2d 7447 . . . 4 (𝑐 = 𝐵 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
4 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
5 ovex 7464 . . . 4 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 7016 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
76adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
8 2rp 13039 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
9 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110faccld 14323 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
1211nnzd 12640 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
1312znegcld 12724 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
14 rpexpcl 14121 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
158, 13, 14sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
16 halfre 12480 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 12482 . . . . . 6 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 13037 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 eluzelz 12888 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
20 nnz 12634 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
21 zsubcl 12659 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
23 rpexpcl 14121 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
2418, 22, 23sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
2515, 24rpmulcld 13093 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ ℝ+)
2625rpred 13077 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
277, 26eqeltrd 2841 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  cexp 14102  !cfa 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313
This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  26385  aaliou3lem3  26386
  Copyright terms: Public domain W3C validator