MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem1 26399
Description: Lemma for aaliou3 26408. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴) = (𝐵𝐴))
21oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑐 = 𝐵 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)))
32oveq2d 7447 . . . 4 (𝑐 = 𝐵 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
4 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
5 ovex 7464 . . . 4 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 7016 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
76adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))))
8 2rp 13037 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
9 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110faccld 14320 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
1211nnzd 12638 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
1312znegcld 12722 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
14 rpexpcl 14118 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
158, 13, 14sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
16 halfre 12478 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 12480 . . . . . 6 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 13035 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 eluzelz 12886 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
20 nnz 12632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
21 zsubcl 12657 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
23 rpexpcl 14118 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
2418, 22, 23sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
2515, 24rpmulcld 13091 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ ℝ+)
2625rpred 13075 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
277, 26eqeltrd 2839 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  cexp 14099  !cfa 14309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310
This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  26400  aaliou3lem3  26401
  Copyright terms: Public domain W3C validator