Theorem aaliou3lem1 26407

Description: Lemma for aaliou3 26416. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	oveq2d 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)))
3	2	oveq2d 7413	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
4		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
5		ovex 7430	. . . 4 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6976	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
7	6	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
8		2rp 12999	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	faccld 14298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
13	12	znegcld 12680	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
14		rpexpcl 14094	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	8, 13, 14	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
16		halfre 12435	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 12437	. . . . . 6 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 12997	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		eluzelz 12850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
20		nnz 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 606	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
23		rpexpcl 14094	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
24	18, 22, 23	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
25	15, 24	rpmulcld 13054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 13038	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	7, 26	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  1c1 11075   · cmul 11079   − cmin 11415  -cneg 11416   / cdiv 11845  ℕcn 12211  2c2 12273  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840  ℝ⁺crp 12994  ↑cexp 14075  !cfa 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288

This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  26408  aaliou3lem3  26409