MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iexpcyc 14210
Description: Taking i to the ๐พ-th power is the same as using the ๐พ mod 4 -th power instead, by i4 14207. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 12600 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2 4re 12334 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
3 4pos 12357 . . . . 5 0 < 4
42, 3elrpii 13017 . . . 4 4 โˆˆ โ„+
5 modval 13876 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
61, 4, 5sylancl 584 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
76oveq2d 7442 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
8 4z 12634 . . . . 5 4 โˆˆ โ„ค
9 4nn 12333 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
10 nndivre 12291 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
111, 9, 10sylancl 584 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
1211flcld 13803 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12649 . . . . 5 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
148, 12, 13sylancr 585 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
15 ax-icn 11205 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
16 ine0 11687 . . . . 5 i โ‰  0
17 expsub 14115 . . . . 5 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1815, 16, 17mpanl12 700 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1914, 18mpdan 685 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
20 expmulz 14113 . . . . . . . 8 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
2115, 16, 20mpanl12 700 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
228, 12, 21sylancr 585 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
23 i4 14207 . . . . . . . 8 (iโ†‘4) = 1
2423oveq1i 7436 . . . . . . 7 ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))
25 1exp 14096 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2612, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2724, 26eqtrid 2780 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2822, 27eqtrd 2768 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = 1)
2928oveq2d 7442 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / 1))
30 expclz 14089 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3115, 16, 30mp3an12 1447 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3231div1d 12020 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / 1) = (iโ†‘๐พ))
3329, 32eqtrd 2768 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
3419, 33eqtrd 2768 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
357, 34eqtrd 2768 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  4c4 12307  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014  โŒŠcfl 13795   mod cmo 13874  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  iblitg  25718
  Copyright terms: Public domain W3C validator