Theorem iexpcyc 14131

Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 14128. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12493	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		4re 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		4pos 12253	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
4	2, 3	elrpii 12909	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ+
5		modval 13792	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
6	1, 4, 5	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
7	6	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
8		4z 12526	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
9		4nn 12229	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
10		nndivre 12187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
11	1, 9, 10	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13719	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12541	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
14	8, 12, 13	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15		ax-icn 11086	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
16		ine0 11573	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
17		expsub 14034	. . . . 5 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
18	15, 16, 17	mpanl12 703	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
19	14, 18	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20		expmulz 14032	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
21	15, 16, 20	mpanl12 703	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
22	8, 12, 21	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23		i4 14128	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
24	23	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
25		1exp 14015	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
27	24, 26	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
29	28	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
30		expclz 14008	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
31	15, 16, 30	mp3an12 1454	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
32	31	div1d 11910	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
33	29, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
34	19, 33	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
35	7, 34	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028  ici 11029   · cmul 11032   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  4c4 12203  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12906  ⌊cfl 13711   mod cmo 13790  ↑cexp 13985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986

This theorem is referenced by:  iblitg  25713