Theorem iexpcyc 14206

Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 14203. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12558	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		4re 12288	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		4pos 12314	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
4	2, 3	elrpii 12982	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ+
5		modval 13867	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
6	1, 4, 5	sylancl 594	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
7	6	oveq2d 7397	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
8		4z 12591	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
9		4nn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
10		nndivre 12240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
11	1, 9, 10	sylancl 594	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13794	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12606	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
14	8, 12, 13	sylancr 595	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15		ax-icn 11118	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
16		ine0 11608	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
17		expsub 14109	. . . . 5 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
18	15, 16, 17	mpanl12 710	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
19	14, 18	mpdan 695	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20		expmulz 14107	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
21	15, 16, 20	mpanl12 710	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
22	8, 12, 21	sylancr 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23		i4 14203	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
24	23	oveq1i 7391	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
25		1exp 14090	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
27	24, 26	eqtrid 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
29	28	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
30		expclz 14083	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
31	15, 16, 30	mp3an12 1462	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
32	31	div1d 11945	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
33	29, 32	eqtrd 2787	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
34	19, 33	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
35	7, 34	eqtrd 2787	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   · cmul 11064   − cmin 11400   / cdiv 11830  ℕcn 12196  4c4 12260  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12979  ⌊cfl 13786   mod cmo 13865  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  iblitg  25799