MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iexpcyc 14173
Description: Taking i to the ๐พ-th power is the same as using the ๐พ mod 4 -th power instead, by i4 14170. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 12563 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2 4re 12297 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
3 4pos 12320 . . . . 5 0 < 4
42, 3elrpii 12980 . . . 4 4 โˆˆ โ„+
5 modval 13839 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
61, 4, 5sylancl 585 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
76oveq2d 7420 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
8 4z 12597 . . . . 5 4 โˆˆ โ„ค
9 4nn 12296 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
10 nndivre 12254 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
111, 9, 10sylancl 585 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
1211flcld 13766 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12612 . . . . 5 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
148, 12, 13sylancr 586 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
15 ax-icn 11168 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
16 ine0 11650 . . . . 5 i โ‰  0
17 expsub 14078 . . . . 5 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1815, 16, 17mpanl12 699 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1914, 18mpdan 684 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
20 expmulz 14076 . . . . . . . 8 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
2115, 16, 20mpanl12 699 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
228, 12, 21sylancr 586 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
23 i4 14170 . . . . . . . 8 (iโ†‘4) = 1
2423oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))
25 1exp 14059 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2612, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2724, 26eqtrid 2778 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2822, 27eqtrd 2766 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = 1)
2928oveq2d 7420 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / 1))
30 expclz 14052 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3115, 16, 30mp3an12 1447 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3231div1d 11983 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / 1) = (iโ†‘๐พ))
3329, 32eqtrd 2766 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
3419, 33eqtrd 2766 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
357, 34eqtrd 2766 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  4c4 12270  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  โŒŠcfl 13758   mod cmo 13837  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  iblitg  25648
  Copyright terms: Public domain W3C validator