MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iexpcyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iexpcyc 14118
Description: Taking i to the ๐พ-th power is the same as using the ๐พ mod 4 -th power instead, by i4 14115. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zre 12510 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2 4re 12244 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
3 4pos 12267 . . . . 5 0 < 4
42, 3elrpii 12925 . . . 4 4 โˆˆ โ„+
5 modval 13783 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
61, 4, 5sylancl 587 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
76oveq2d 7378 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
8 4z 12544 . . . . 5 4 โˆˆ โ„ค
9 4nn 12243 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
10 nndivre 12201 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
111, 9, 10sylancl 587 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„)
1211flcld 13710 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12559 . . . . 5 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
148, 12, 13sylancr 588 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
15 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
16 ine0 11597 . . . . 5 i โ‰  0
17 expsub 14023 . . . . 5 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1815, 16, 17mpanl12 701 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1914, 18mpdan 686 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
20 expmulz 14021 . . . . . . . 8 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
2115, 16, 20mpanl12 701 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
228, 12, 21sylancr 588 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
23 i4 14115 . . . . . . . 8 (iโ†‘4) = 1
2423oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))
25 1exp 14004 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2612, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2724, 26eqtrid 2789 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2822, 27eqtrd 2777 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = 1)
2928oveq2d 7378 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / 1))
30 expclz 13997 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3115, 16, 30mp3an12 1452 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3231div1d 11930 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / 1) = (iโ†‘๐พ))
3329, 32eqtrd 2777 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
3419, 33eqtrd 2777 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
357, 34eqtrd 2777 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  4c4 12217  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  โŒŠcfl 13702   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  iblitg  25149
  Copyright terms: Public domain W3C validator