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Theorem log2cnv 25534
Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
log2cnv seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12272 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11985 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3 2cn 11704 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 ax-icn 10589 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 ine0 11068 . . . . . 6 i ≠ 0
63, 4, 5divcli 11375 . . . . 5 (2 / i) ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8 3cn 11710 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
9 3ne0 11735 . . . . . . 7 3 ≠ 0
104, 8, 9divcli 11375 . . . . . 6 (i / 3) ∈ ℂ
11 absdiv 14651 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
124, 8, 9, 11mp3an 1458 . . . . . . . 8 (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13 absi 14642 . . . . . . . . 9 (abs‘i) = 1
14 3re 11709 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
15 0re 10636 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
16 3pos 11734 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1715, 14, 16ltleii 10756 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 3
18 absid 14652 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
1914, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . 9 (abs‘3) = 3
2013, 19oveq12i 7151 . . . . . . . 8 ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
2112, 20eqtri 2824 . . . . . . 7 (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22 1lt3 11802 . . . . . . . 8 1 < 3
23 recgt1 11529 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
2414, 16, 23mp2an 691 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
2522, 24mpbi 233 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
2621, 25eqbrtri 5054 . . . . . 6 (abs‘(i / 3)) < 1
27 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2827atantayl3 25529 . . . . . 6 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
2910, 26, 28mp2an 691 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
3332oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
3433oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
3534, 33oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
3631, 35oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37 ovex 7172 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
3836, 27, 37fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
394a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
408a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
43 nn0mulcl 11925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4442, 43mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 peano2nn0 11929 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4739, 40, 41, 46expdivd 13524 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
4847oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49 neg1cn 11743 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
50 expcl 13447 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5149, 50mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52 expcl 13447 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
534, 46, 52sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54 3nn 11708 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
55 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5654, 46, 55sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5756nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5856nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
5951, 53, 57, 58divassd 11444 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60 expp1 13436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
614, 44, 60sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62 expmul 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
634, 42, 62mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64 i2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i↑2) = -1
6564oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
6663, 65eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
6766oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
6861, 67eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
6968oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7051, 51, 39mulassd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
7371, 72, 72expaddd 13512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74 expmul 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
7549, 42, 74mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76 neg1sqe1 13559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
7776oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
7875, 77eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
80792timesd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
8180oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
83 1exp 13458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
8578, 81, 843eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
8673, 85eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
8786oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
884mulid2i 10639 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · i) = i
8987, 88eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
9069, 70, 893eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
9190oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9248, 59, 913eqtr2d 2842 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9392oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94 expcl 13447 . . . . . . . . . 10 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
9510, 46, 94sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9744, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9897nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9997nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
10051, 95, 98, 99divassd 11444 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
10139, 57, 98, 58, 99divdiv1d 11440 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10293, 100, 1013eqtr3d 2844 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10357, 98mulcomd 10655 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104103oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10538, 102, 1043eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10697, 56nnmulcld 11682 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107106nncnd 11645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108106nnne0d 11679 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
10939, 107, 108divcld 11409 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110105, 109eqeltrd 2893 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111110adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
11233oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114112, 113oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115114oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116 log2cnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117 ovex 7172 . . . . . . 7 (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6749 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119 expp1 13436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
1208, 44, 119sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121 expmul 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
1228, 42, 121mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123 sq3 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3↑2) = 9
124123oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125122, 124eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126125oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127 9nn 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
128 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129127, 128mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130129nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131 mulcom 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132130, 8, 131sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133120, 126, 1323eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
13490, 133oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
13548, 59, 1343eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136135oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
13854, 129, 137sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139138nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140138nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
14139, 139, 98, 140, 99divdiv1d 11440 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142136, 100, 1413eqtr3d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
14340, 130, 98mul32d 10843 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144143oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
14538, 142, 1443eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146145oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
14854, 97, 147sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149148, 129nnmulcld 11682 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150149nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151149nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
15239, 150, 151divcld 11409 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153 mulcom 10616 . . . . . . . 8 (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154152, 6, 153sylancl 589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
1553a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
1565a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157155, 39, 150, 156, 151dmdcand 11438 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158146, 154, 1573eqtr2d 2842 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159118, 158eqtr4d 2839 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160159adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
1611, 2, 7, 30, 111, 160isermulc2 15010 . . 3 (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162161mptru 1545 . 2 seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163 bndatandm 25519 . . . . . . . 8 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
16410, 26, 163mp2an 691 . . . . . . 7 (i / 3) ∈ dom arctan
165 atanval 25474 . . . . . . 7 ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167 df-4 11694 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
168167oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
1708, 169, 8, 9divdiri 11390 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
1718, 9dividi 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
172171oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173168, 170, 1723eqtri 2828 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174169, 8, 9divcli 11375 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
175169, 174subnegi 10958 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176 divneg 11325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177169, 8, 9, 176mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / 3) = (-1 / 3)
178 ixi 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
179178oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
1804, 4, 8, 9divassi 11389 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181177, 179, 1803eqtr2i 2830 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182181oveq2i 7150 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183173, 175, 1823eqtr2ri 2831 . . . . . . . . . 10 (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184183fveq2i 6652 . . . . . . . . 9 (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
1858, 9pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186 divsubdir 11327 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
1878, 169, 185, 186mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188 3m1e2 11757 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
189188oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190171oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191187, 189, 1903eqtr3i 2832 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192169, 174negsubi 10957 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193181oveq2i 7150 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194191, 192, 1933eqtr2ri 2831 . . . . . . . . . 10 (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195194fveq2i 6652 . . . . . . . . 9 (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196184, 195oveq12i 7151 . . . . . . . 8 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197 4re 11713 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
198 4pos 11736 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
199197, 198elrpii 12384 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
200 3rp 12387 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
201 rpdivcl 12406 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202199, 200, 201mp2an 691 . . . . . . . . 9 (4 / 3) ∈ ℝ+
203 2rp 12386 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
204 rpdivcl 12406 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205203, 200, 204mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ+
206 relogdiv 25188 . . . . . . . . 9 (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207202, 205, 206mp2an 691 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208 4cn 11714 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
209 2cnne0 11839 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210 divcan7 11342 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211208, 209, 185, 210mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212 4d2e2 11799 . . . . . . . . . 10 (4 / 2) = 2
213211, 212eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214213fveq2i 6652 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215196, 207, 2143eqtr2i 2830 . . . . . . 7 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216215oveq2i 7150 . . . . . 6 ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217166, 216eqtri 2824 . . . . 5 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218217oveq2i 7150 . . . 4 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219 2ne0 11733 . . . . . 6 2 ≠ 0
2204, 3, 219divcli 11375 . . . . 5 (i / 2) ∈ ℂ
221 logcl 25164 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
2223, 219, 221mp2an 691 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
2236, 220, 222mulassi 10645 . . . 4 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224218, 223eqtr4i 2827 . . 3 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225 divcan6 11340 . . . . 5 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
2263, 219, 4, 5, 225mp4an 692 . . . 4 ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227226oveq1i 7149 . . 3 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228222mulid2i 10639 . . 3 (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229224, 227, 2283eqtri 2828 . 2 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230162, 229breqtri 5058 1 seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  9c9 11691  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  seqcseq 13368  cexp 13429  abscabs 14589  cli 14837  logclog 25150  arctancatan 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-ulm 24976  df-log 25152  df-atan 25457
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  25535
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