Theorem log2cnv 27146

Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2cnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
log2cnv	⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12918	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12621	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		2cn 12334	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		ax-icn 11177	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11667	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
6	3, 4, 5	divcli 11975	. . . . 5 ⊢ (2 / i) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8		3cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12368	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
10	4, 8, 9	divcli 11975	. . . . . 6 ⊢ (i / 3) ∈ ℂ
11		absdiv 15372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13		absi 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
14		3re 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		0re 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		3pos 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
17	15, 14, 16	ltleii 11351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
18		absid 15373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
19	14, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘3) = 3
20	13, 19	oveq12i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
21	12, 20	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22		1lt3 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
23		recgt1 12129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
24	14, 16, 23	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
25	22, 24	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
26	21, 25	eqbrtri 5137	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(i / 3)) < 1
27		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
28	27	atantayl3 27141	. . . . . 6 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
29	10, 26, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
33	32	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
34	33	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
35	34, 33	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
36	31, 35	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
38	36, 27, 37	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42		2nn0 12539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43		nn0mulcl 12558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	42, 43	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 46	expdivd 14216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
48	47	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49		neg1cn 12221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
50		expcl 14135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
51	49, 50	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52		expcl 14135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
53	4, 46, 52	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54		3nn 12338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
55		nnexpcl 14130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 46, 55	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
58	56	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
59	51, 53, 57, 58	divassd 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60		expp1 14124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
61	4, 44, 60	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62		expmul 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
63	4, 42, 62	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64		i2 14258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
65	64	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
66	63, 65	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
67	66	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
68	61, 67	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
69	68	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
70	51, 51, 39	mulassd 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
73	71, 72, 72	expaddd 14204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74		expmul 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
75	49, 42, 74	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76		neg1sqe1 14252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
77	76	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
78	75, 77	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79		nn0cn 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	2timesd 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
81	80	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82		nn0z 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
83		1exp 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
86	73, 85	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
87	86	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
88	4	mullidi 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · i) = i
89	87, 88	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
91	90	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
93	92	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94		expcl 14135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
95	10, 46, 94	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96		nn0p1nn 12561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
97	44, 96	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
99	97	nnne0d 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
100	51, 95, 98, 99	divassd 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 12040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
103	57, 98	mulcomd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104	103	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
105	38, 102, 104	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
106	97, 56	nnmulcld 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108	106	nnne0d 12304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
109	39, 107, 108	divcld 12009	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110	105, 109	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111	110	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	33	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114	112, 113	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115	114	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116		log2cnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119		expp1 14124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
120	8, 44, 119	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121		expmul 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
122	8, 42, 121	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123		sq3 14254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3↑2) = 9
124	123	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125	122, 124	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126	125	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127		9nn 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
128		nnexpcl 14130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129	127, 128	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131		mulcom 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132	130, 8, 131	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133	120, 126, 132	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
134	90, 133	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136	135	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
138	54, 129, 137	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139	138	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	138	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 12040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
143	40, 130, 98	mul32d 11438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144	143	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
145	38, 142, 144	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146	145	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
148	54, 97, 147	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149	148, 129	nnmulcld 12307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150	149	nncnd 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151	149	nnne0d 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
152	39, 150, 151	divcld 12009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153		mulcom 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154	152, 6, 153	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 12038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159	118, 158	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160	159	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 15735	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162	161	mptru 1577	. 2 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163		bndatandm 27131	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
164	10, 26, 163	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (i / 3) ∈ dom arctan
165		atanval 27086	. . . . . . 7 ⊢ ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167		df-4 12323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
168	167	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
170	8, 169, 8, 9	divdiri 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
171	8, 9	dividi 11966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
172	171	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173	168, 170, 172	3eqtri 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174	169, 8, 9	divcli 11975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
175	169, 174	subnegi 11555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176		divneg 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 / 3) = (-1 / 3)
178		ixi 11861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
179	178	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
180	4, 4, 8, 9	divassi 11989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182	181	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184	183	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
185	8, 9	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186		divsubdir 11926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188		3m1e2 12386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
189	188	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190	171	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192	169, 174	negsubi 11554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193	181	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195	194	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196	184, 195	oveq12i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197		4re 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
198		4pos 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
199	197, 198	elrpii 13037	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
200		3rp 13040	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
201		rpdivcl 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202	199, 200, 201	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ+
203		2rp 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
204		rpdivcl 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205	203, 200, 204	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ+
206		relogdiv 26795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207	202, 205, 206	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208		4cn 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
209		2cnne0 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210		divcan7 11942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212		4div2e2 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 / 2) = 2
213	211, 212	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214	213	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216	215	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217	166, 216	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218	217	oveq2i 7434	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219		2ne0 12365	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
220	4, 3, 219	divcli 11975	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
221		logcl 26770	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
222	3, 219, 221	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
223	6, 220, 222	mulassi 11238	. . . 4 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224	218, 223	eqtr4i 2792	. . 3 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225		divcan6 11940	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 706	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227	226	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228	222	mullidi 11232	. . 3 ⊢ (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229	224, 227, 228	3eqtri 2793	. 2 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230	162, 229	breqtri 5141	1 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  9c9 12320  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  abscabs 15311   ⇝ cli 15561  logclog 26756  arctancatan 27066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-tan 16150  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-ulm 26577  df-log 26758  df-atan 27069

This theorem is used by:  log2tlbnd  27147