Theorem log2cnv 27067

Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2cnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
log2cnv	⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12891	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12594	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		2cn 12307	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		ax-icn 11147	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11637	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
6	3, 4, 5	divcli 11948	. . . . 5 ⊢ (2 / i) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8		3cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12341	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
10	4, 8, 9	divcli 11948	. . . . . 6 ⊢ (i / 3) ∈ ℂ
11		absdiv 15336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1485	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13		absi 15327	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
14		3re 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		0re 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		3pos 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
17	15, 14, 16	ltleii 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
18		absid 15337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
19	14, 17, 18	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘3) = 3
20	13, 19	oveq12i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
21	12, 20	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22		1lt3 12407	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
23		recgt1 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
24	14, 16, 23	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
25	22, 24	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
26	21, 25	eqbrtri 5126	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(i / 3)) < 1
27		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
28	27	atantayl3 27062	. . . . . 6 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
29	10, 26, 28	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
33	32	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
34	33	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
35	34, 33	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
36	31, 35	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37		ovex 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
38	36, 27, 37	fvmpt 6979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42		2nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43		nn0mulcl 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	42, 43	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 46	expdivd 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
48	47	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49		neg1cn 12194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
50		expcl 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
51	49, 50	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52		expcl 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
53	4, 46, 52	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54		3nn 12311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
55		nnexpcl 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 46, 55	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
58	56	nnne0d 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
59	51, 53, 57, 58	divassd 12017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60		expp1 14095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
61	4, 44, 60	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62		expmul 14134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
63	4, 42, 62	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64		i2 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
65	64	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
66	63, 65	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
67	66	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
68	61, 67	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
69	68	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
70	51, 51, 39	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
73	71, 72, 72	expaddd 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74		expmul 14134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
75	49, 42, 74	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76		neg1sqe1 14223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
77	76	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
78	75, 77	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79		nn0cn 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	2timesd 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
81	80	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82		nn0z 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
83		1exp 14118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
86	73, 85	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
87	86	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
88	4	mullidi 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · i) = i
89	87, 88	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
91	90	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
93	92	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94		expcl 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
95	10, 46, 94	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96		nn0p1nn 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
97	44, 96	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
99	97	nnne0d 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
100	51, 95, 98, 99	divassd 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 12013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
103	57, 98	mulcomd 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104	103	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
105	38, 102, 104	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
106	97, 56	nnmulcld 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108	106	nnne0d 12277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
109	39, 107, 108	divcld 11982	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110	105, 109	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111	110	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	33	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114	112, 113	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115	114	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116		log2cnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6979	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119		expp1 14095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
120	8, 44, 119	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121		expmul 14134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
122	8, 42, 121	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123		sq3 14225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3↑2) = 9
124	123	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125	122, 124	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126	125	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127		9nn 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
128		nnexpcl 14101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129	127, 128	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 12240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131		mulcom 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132	130, 8, 131	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133	120, 126, 132	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
134	90, 133	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136	135	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137		nnmulcl 12248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
138	54, 129, 137	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139	138	nncnd 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	138	nnne0d 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
143	40, 130, 98	mul32d 11408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144	143	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
145	38, 142, 144	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146	145	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147		nnmulcl 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
148	54, 97, 147	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149	148, 129	nnmulcld 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150	149	nncnd 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151	149	nnne0d 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
152	39, 150, 151	divcld 11982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153		mulcom 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154	152, 6, 153	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 12011	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159	118, 158	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160	159	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 15699	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162	161	mptru 1570	. 2 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163		bndatandm 27052	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
164	10, 26, 163	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (i / 3) ∈ dom arctan
165		atanval 27007	. . . . . . 7 ⊢ ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167		df-4 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
168	167	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
170	8, 169, 8, 9	divdiri 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
171	8, 9	dividi 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
172	171	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173	168, 170, 172	3eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174	169, 8, 9	divcli 11948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
175	169, 174	subnegi 11525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176		divneg 11897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 / 3) = (-1 / 3)
178		ixi 11831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
179	178	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
180	4, 4, 8, 9	divassi 11962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182	181	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184	183	fveq2i 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
185	8, 9	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186		divsubdir 11899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188		3m1e2 12359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
189	188	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190	171	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192	169, 174	negsubi 11524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193	181	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195	194	fveq2i 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196	184, 195	oveq12i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197		4re 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
198		4pos 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
199	197, 198	elrpii 13010	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
200		3rp 13013	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
201		rpdivcl 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202	199, 200, 201	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ+
203		2rp 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
204		rpdivcl 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205	203, 200, 204	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ+
206		relogdiv 26716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207	202, 205, 206	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208		4cn 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
209		2cnne0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210		divcan7 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212		4div2e2 12403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 / 2) = 2
213	211, 212	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214	213	fveq2i 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216	215	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217	166, 216	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218	217	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219		2ne0 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
220	4, 3, 219	divcli 11948	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
221		logcl 26691	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
222	3, 219, 221	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
223	6, 220, 222	mulassi 11208	. . . 4 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224	218, 223	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225		divcan6 11913	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 705	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227	226	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228	222	mullidi 11202	. . 3 ⊢ (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229	224, 227, 228	3eqtri 2792	. 2 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230	162, 229	breqtri 5130	1 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  9c9 12293  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  seqcseq 14028  ↑cexp 14088  abscabs 15275   ⇝ cli 15525  logclog 26677  arctancatan 26987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-tan 16115  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-ulm 26498  df-log 26679  df-atan 26990

This theorem is referenced by:  log2tlbnd  27068