Theorem log2cnv 26092

Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2cnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
log2cnv	⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12619	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12331	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		2cn 12048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		ax-icn 10931	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11410	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
6	3, 4, 5	divcli 11717	. . . . 5 ⊢ (2 / i) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12079	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
10	4, 8, 9	divcli 11717	. . . . . 6 ⊢ (i / 3) ∈ ℂ
11		absdiv 15005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13		absi 14996	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
14		3re 12053	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		0re 10978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		3pos 12078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
17	15, 14, 16	ltleii 11098	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
18		absid 15006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
19	14, 17, 18	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘3) = 3
20	13, 19	oveq12i 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
21	12, 20	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22		1lt3 12146	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
23		recgt1 11871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
24	14, 16, 23	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
25	22, 24	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
26	21, 25	eqbrtri 5100	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(i / 3)) < 1
27		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
28	27	atantayl3 26087	. . . . . 6 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
29	10, 26, 28	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31		oveq2 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32		oveq2 7279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
33	32	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
34	33	oveq2d 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
35	34, 33	oveq12d 7289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
36	31, 35	oveq12d 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37		ovex 7304	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
38	36, 27, 37	fvmpt 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43		nn0mulcl 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	42, 43	mpan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 46	expdivd 13876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
48	47	oveq2d 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49		neg1cn 12087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
50		expcl 13798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
51	49, 50	mpan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52		expcl 13798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
53	4, 46, 52	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54		3nn 12052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
55		nnexpcl 13793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 46, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
58	56	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
59	51, 53, 57, 58	divassd 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60		expp1 13787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
61	4, 44, 60	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62		expmul 13826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
63	4, 42, 62	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64		i2 13917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
65	64	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
66	63, 65	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
67	66	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
68	61, 67	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
69	68	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
70	51, 51, 39	mulassd 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
73	71, 72, 72	expaddd 13864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74		expmul 13826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
75	49, 42, 74	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76		neg1sqe1 13911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
77	76	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
78	75, 77	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	2timesd 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
81	80	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82		nn0z 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
83		1exp 13810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
86	73, 85	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
87	86	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
88	4	mulid2i 10981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · i) = i
89	87, 88	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
91	90	oveq1d 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
93	92	oveq1d 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94		expcl 13798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
95	10, 46, 94	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96		nn0p1nn 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
97	44, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
99	97	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
100	51, 95, 98, 99	divassd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 11782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
103	57, 98	mulcomd 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104	103	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
105	38, 102, 104	3eqtrd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
106	97, 56	nnmulcld 12026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 11989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108	106	nnne0d 12023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
109	39, 107, 108	divcld 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110	105, 109	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111	110	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	33	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113		oveq2 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114	112, 113	oveq12d 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115	114	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116		log2cnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117		ovex 7304	. . . . . . 7 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119		expp1 13787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
120	8, 44, 119	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121		expmul 13826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
122	8, 42, 121	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123		sq3 13913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3↑2) = 9
124	123	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125	122, 124	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126	125	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127		9nn 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
128		nnexpcl 13793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129	127, 128	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131		mulcom 10958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132	130, 8, 131	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133	120, 126, 132	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
134	90, 133	oveq12d 7289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136	135	oveq1d 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137		nnmulcl 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
138	54, 129, 137	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139	138	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	138	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 11782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
143	40, 130, 98	mul32d 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144	143	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
145	38, 142, 144	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146	145	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147		nnmulcl 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
148	54, 97, 147	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149	148, 129	nnmulcld 12026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150	149	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151	149	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
152	39, 150, 151	divcld 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153		mulcom 10958	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154	152, 6, 153	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 11780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159	118, 158	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160	159	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 15367	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162	161	mptru 1549	. 2 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163		bndatandm 26077	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
164	10, 26, 163	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (i / 3) ∈ dom arctan
165		atanval 26032	. . . . . . 7 ⊢ ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167		df-4 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
168	167	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169		ax-1cn 10930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
170	8, 169, 8, 9	divdiri 11732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
171	8, 9	dividi 11708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
172	171	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173	168, 170, 172	3eqtri 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174	169, 8, 9	divcli 11717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
175	169, 174	subnegi 11300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176		divneg 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 / 3) = (-1 / 3)
178		ixi 11604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
179	178	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
180	4, 4, 8, 9	divassi 11731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182	181	oveq2i 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184	183	fveq2i 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
185	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186		divsubdir 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188		3m1e2 12101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
189	188	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190	171	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192	169, 174	negsubi 11299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193	181	oveq2i 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195	194	fveq2i 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196	184, 195	oveq12i 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197		4re 12057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
198		4pos 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
199	197, 198	elrpii 12732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
200		3rp 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
201		rpdivcl 12754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202	199, 200, 201	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ+
203		2rp 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
204		rpdivcl 12754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205	203, 200, 204	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ+
206		relogdiv 25746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207	202, 205, 206	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208		4cn 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
209		2cnne0 12183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210		divcan7 11684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212		4d2e2 12143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 / 2) = 2
213	211, 212	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214	213	fveq2i 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216	215	oveq2i 7282	. . . . . 6 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217	166, 216	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218	217	oveq2i 7282	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219		2ne0 12077	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
220	4, 3, 219	divcli 11717	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
221		logcl 25722	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
222	3, 219, 221	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
223	6, 220, 222	mulassi 10987	. . . 4 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224	218, 223	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225		divcan6 11682	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 690	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227	226	oveq1i 7281	. . 3 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228	222	mulid2i 10981	. . 3 ⊢ (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229	224, 227, 228	3eqtri 2772	. 2 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230	162, 229	breqtri 5104	1 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  dom cdm 5590  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873  ici 10874   + caddc 10875   · cmul 10877   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12729  seqcseq 13719  ↑cexp 13780  abscabs 14943   ⇝ cli 15191  logclog 25708  arctancatan 26012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-tan 15779  df-pi 15780  df-dvds 15962  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-ulm 25534  df-log 25710  df-atan 26015

This theorem is referenced by:  log2tlbnd  26093