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Theorem log2cnv 27002
Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
log2cnv seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12918 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12623 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 ax-icn 11212 . . . . . 6 i ∈ ℂ
5 ine0 11696 . . . . . 6 i ≠ 0
63, 4, 5divcli 12007 . . . . 5 (2 / i) ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8 3cn 12345 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
9 3ne0 12370 . . . . . . 7 3 ≠ 0
104, 8, 9divcli 12007 . . . . . 6 (i / 3) ∈ ℂ
11 absdiv 15331 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
124, 8, 9, 11mp3an 1460 . . . . . . . 8 (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13 absi 15322 . . . . . . . . 9 (abs‘i) = 1
14 3re 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
15 0re 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
16 3pos 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1715, 14, 16ltleii 11382 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 3
18 absid 15332 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
1914, 17, 18mp2an 692 . . . . . . . . 9 (abs‘3) = 3
2013, 19oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
2112, 20eqtri 2763 . . . . . . 7 (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22 1lt3 12437 . . . . . . . 8 1 < 3
23 recgt1 12162 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
2414, 16, 23mp2an 692 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
2522, 24mpbi 230 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
2621, 25eqbrtri 5169 . . . . . 6 (abs‘(i / 3)) < 1
27 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2827atantayl3 26997 . . . . . 6 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
2910, 26, 28mp2an 692 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
3433oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
3534, 33oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
3631, 35oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
3836, 27, 37fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
394a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
408a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
43 nn0mulcl 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4442, 43mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
4739, 40, 41, 46expdivd 14197 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
50 expcl 14117 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5149, 50mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52 expcl 14117 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
534, 46, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54 3nn 12343 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
55 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5654, 46, 55sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
5756nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5856nnne0d 12314 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
5951, 53, 57, 58divassd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
614, 44, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62 expmul 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
634, 42, 62mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64 i2 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i↑2) = -1
6564oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
6663, 65eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
6766oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
6861, 67eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
6968oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7051, 51, 39mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
7149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
7371, 72, 72expaddd 14185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74 expmul 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
7549, 42, 74mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76 neg1sqe1 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
7776oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
7875, 77eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
80792timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
83 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
8578, 81, 843eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
8673, 85eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
884mullidi 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · i) = i
8987, 88eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
9069, 70, 893eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
9190oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9248, 59, 913eqtr2d 2781 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
9392oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94 expcl 14117 . . . . . . . . . 10 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
9510, 46, 94sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9744, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9897nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9997nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
10051, 95, 98, 99divassd 12076 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
10139, 57, 98, 58, 99divdiv1d 12072 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10293, 100, 1013eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
10357, 98mulcomd 11280 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104103oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10538, 102, 1043eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
10697, 56nnmulcld 12317 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107106nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108106nnne0d 12314 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
10939, 107, 108divcld 12041 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110105, 109eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111110adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
11233oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114112, 113oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115114oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116 log2cnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117 ovex 7464 . . . . . . 7 (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
1208, 44, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121 expmul 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
1228, 42, 121mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123 sq3 14234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3↑2) = 9
124123oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125122, 124eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126125oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127 9nn 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
128 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129127, 128mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130129nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131 mulcom 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132130, 8, 131sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133120, 126, 1323eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
13490, 133oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
13548, 59, 1343eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136135oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
13854, 129, 137sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139138nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140138nnne0d 12314 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
14139, 139, 98, 140, 99divdiv1d 12072 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142136, 100, 1413eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
14340, 130, 98mul32d 11469 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144143oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
14538, 142, 1443eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146145oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
14854, 97, 147sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149148, 129nnmulcld 12317 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150149nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151149nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
15239, 150, 151divcld 12041 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153 mulcom 11239 . . . . . . . 8 (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154152, 6, 153sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
1553a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
1565a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157155, 39, 150, 156, 151dmdcand 12070 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158146, 154, 1573eqtr2d 2781 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159118, 158eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160159adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
1611, 2, 7, 30, 111, 160isermulc2 15691 . . 3 (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162161mptru 1544 . 2 seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163 bndatandm 26987 . . . . . . . 8 (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
16410, 26, 163mp2an 692 . . . . . . 7 (i / 3) ∈ dom arctan
165 atanval 26942 . . . . . . 7 ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167 df-4 12329 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
168167oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
1708, 169, 8, 9divdiri 12022 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
1718, 9dividi 11998 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
172171oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173168, 170, 1723eqtri 2767 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174169, 8, 9divcli 12007 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
175169, 174subnegi 11586 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176 divneg 11957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177169, 8, 9, 176mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / 3) = (-1 / 3)
178 ixi 11890 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
179178oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
1804, 4, 8, 9divassi 12021 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181177, 179, 1803eqtr2i 2769 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182181oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183173, 175, 1823eqtr2ri 2770 . . . . . . . . . 10 (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184183fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
1858, 9pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186 divsubdir 11959 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
1878, 169, 185, 186mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188 3m1e2 12392 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
189188oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190171oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191187, 189, 1903eqtr3i 2771 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192169, 174negsubi 11585 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193181oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194191, 192, 1933eqtr2ri 2770 . . . . . . . . . 10 (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195194fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196184, 195oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197 4re 12348 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
198 4pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
199197, 198elrpii 13035 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
200 3rp 13038 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
201 rpdivcl 13058 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202199, 200, 201mp2an 692 . . . . . . . . 9 (4 / 3) ∈ ℝ+
203 2rp 13037 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
204 rpdivcl 13058 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205203, 200, 204mp2an 692 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ+
206 relogdiv 26650 . . . . . . . . 9 (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207202, 205, 206mp2an 692 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208 4cn 12349 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
209 2cnne0 12474 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210 divcan7 11974 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211208, 209, 185, 210mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212 4d2e2 12434 . . . . . . . . . 10 (4 / 2) = 2
213211, 212eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214213fveq2i 6910 . . . . . . . 8 (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215196, 207, 2143eqtr2i 2769 . . . . . . 7 ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216215oveq2i 7442 . . . . . 6 ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217166, 216eqtri 2763 . . . . 5 (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218217oveq2i 7442 . . . 4 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219 2ne0 12368 . . . . . 6 2 ≠ 0
2204, 3, 219divcli 12007 . . . . 5 (i / 2) ∈ ℂ
221 logcl 26625 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
2223, 219, 221mp2an 692 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
2236, 220, 222mulassi 11270 . . . 4 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224218, 223eqtr4i 2766 . . 3 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225 divcan6 11972 . . . . 5 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
2263, 219, 4, 5, 225mp4an 693 . . . 4 ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227226oveq1i 7441 . . 3 (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228222mullidi 11264 . . 3 (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229224, 227, 2283eqtri 2767 . 2 ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230162, 229breqtri 5173 1 seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  9c9 12326  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  seqcseq 14039  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517  logclog 26611  arctancatan 26922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-ulm 26435  df-log 26613  df-atan 26925
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  27003
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