Theorem log2cnv 26986

Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2cnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
log2cnv	⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12874	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12577	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		2cn 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		ax-icn 11129	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11619	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
6	3, 4, 5	divcli 11930	. . . . 5 ⊢ (2 / i) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8		3cn 12296	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12324	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
10	4, 8, 9	divcli 11930	. . . . . 6 ⊢ (i / 3) ∈ ℂ
11		absdiv 15305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13		absi 15296	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
14		3re 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		0re 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		3pos 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
17	15, 14, 16	ltleii 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
18		absid 15306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
19	14, 17, 18	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘3) = 3
20	13, 19	oveq12i 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
21	12, 20	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22		1lt3 12390	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
23		recgt1 12085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
24	14, 16, 23	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
25	22, 24	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
26	21, 25	eqbrtri 5120	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(i / 3)) < 1
27		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
28	27	atantayl3 26981	. . . . . 6 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
29	10, 26, 28	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
33	32	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
34	33	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
35	34, 33	oveq12d 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
36	31, 35	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37		ovex 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
38	36, 27, 37	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42		2nn0 12495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43		nn0mulcl 12514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	42, 43	mpan 700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 46	expdivd 14170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
48	47	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49		neg1cn 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
50		expcl 14089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
51	49, 50	mpan 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52		expcl 14089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
53	4, 46, 52	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54		3nn 12294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
55		nnexpcl 14084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 46, 55	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
58	56	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
59	51, 53, 57, 58	divassd 11999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60		expp1 14078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
61	4, 44, 60	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62		expmul 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
63	4, 42, 62	mp3an12 1471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64		i2 14212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
65	64	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
66	63, 65	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
67	66	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
68	61, 67	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
69	68	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
70	51, 51, 39	mulassd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
73	71, 72, 72	expaddd 14158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74		expmul 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
75	49, 42, 74	mp3an12 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76		neg1sqe1 14206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
77	76	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
78	75, 77	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79		nn0cn 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	2timesd 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
81	80	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82		nn0z 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
83		1exp 14101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
86	73, 85	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
87	86	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
88	4	mullidi 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · i) = i
89	87, 88	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
91	90	oveq1d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
93	92	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94		expcl 14089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
95	10, 46, 94	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96		nn0p1nn 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
97	44, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
99	97	nnne0d 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
100	51, 95, 98, 99	divassd 11999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 11995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
103	57, 98	mulcomd 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104	103	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
105	38, 102, 104	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
106	97, 56	nnmulcld 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108	106	nnne0d 12260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
109	39, 107, 108	divcld 11964	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110	105, 109	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111	110	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	33	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114	112, 113	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115	114	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116		log2cnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119		expp1 14078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
120	8, 44, 119	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121		expmul 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
122	8, 42, 121	mp3an12 1471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123		sq3 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3↑2) = 9
124	123	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125	122, 124	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126	125	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127		9nn 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
128		nnexpcl 14084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129	127, 128	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131		mulcom 11156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132	130, 8, 131	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133	120, 126, 132	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
134	90, 133	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136	135	oveq1d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137		nnmulcl 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
138	54, 129, 137	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139	138	nncnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	138	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
143	40, 130, 98	mul32d 11390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144	143	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
145	38, 142, 144	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146	145	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147		nnmulcl 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
148	54, 97, 147	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149	148, 129	nnmulcld 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150	149	nncnd 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151	149	nnne0d 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
152	39, 150, 151	divcld 11964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153		mulcom 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154	152, 6, 153	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 11993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159	118, 158	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160	159	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 15668	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162	161	mptru 1566	. 2 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163		bndatandm 26971	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
164	10, 26, 163	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (i / 3) ∈ dom arctan
165		atanval 26926	. . . . . . 7 ⊢ ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167		df-4 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
168	167	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
170	8, 169, 8, 9	divdiri 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
171	8, 9	dividi 11921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
172	171	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173	168, 170, 172	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174	169, 8, 9	divcli 11930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
175	169, 174	subnegi 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176		divneg 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 / 3) = (-1 / 3)
178		ixi 11813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
179	178	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
180	4, 4, 8, 9	divassi 11944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182	181	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184	183	fveq2i 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
185	8, 9	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186		divsubdir 11881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188		3m1e2 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
189	188	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190	171	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192	169, 174	negsubi 11506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193	181	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195	194	fveq2i 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196	184, 195	oveq12i 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197		4re 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
198		4pos 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
199	197, 198	elrpii 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
200		3rp 12996	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
201		rpdivcl 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202	199, 200, 201	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ+
203		2rp 12995	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
204		rpdivcl 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205	203, 200, 204	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ+
206		relogdiv 26635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207	202, 205, 206	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208		4cn 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
209		2cnne0 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210		divcan7 11897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212		4div2e2 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 / 2) = 2
213	211, 212	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214	213	fveq2i 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216	215	oveq2i 7403	. . . . . 6 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217	166, 216	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218	217	oveq2i 7403	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219		2ne0 12321	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
220	4, 3, 219	divcli 11930	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
221		logcl 26610	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
222	3, 219, 221	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
223	6, 220, 222	mulassi 11190	. . . 4 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224	218, 223	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225		divcan6 11895	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 703	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227	226	oveq1i 7402	. . 3 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228	222	mullidi 11184	. . 3 ⊢ (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229	224, 227, 228	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230	162, 229	breqtri 5124	1 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  9c9 12276  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  seqcseq 14011  ↑cexp 14071  abscabs 15244   ⇝ cli 15494  logclog 26596  arctancatan 26906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-tan 16084  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-ulm 26417  df-log 26598  df-atan 26909

This theorem is referenced by:  log2tlbnd  26987