MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1rp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1rp 12920
Description: 1 is a positive real. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
1rp 1 ∈ ℝ+

Proof of Theorem 1rp
StepHypRef Expression
1 1re 11156 . 2 1 ∈ ℝ
2 0lt1 11678 . 2 0 < 1
31, 2elrpii 12919 1 1 ∈ ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  1c1 11053  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  rpreccl  12942  xov1plusxeqvd  13416  modfrac  13790  rpexpcl  13987  caubnd2  15243  reccn2  15480  rlimo1  15500  rlimno1  15539  caurcvgr  15559  caurcvg  15562  caurcvg2  15563  caucvg  15564  caucvgb  15565  fprodrpcl  15840  rprisefaccl  15907  isprm6  16591  rpmsubg  20864  unirnblps  23775  unirnbl  23776  mopnex  23878  metustfbas  23916  nrginvrcnlem  24058  nrginvrcn  24059  tgioo  24162  xrsmopn  24178  zdis  24182  lebnumlem3  24329  lebnum  24330  xlebnum  24331  nmhmcn  24486  caun0  24648  cmetcaulem  24655  iscmet3lem3  24657  iscmet3lem1  24658  iscmet3lem2  24659  iscmet3  24660  cmpcmet  24686  cncmet  24689  minveclem3b  24795  nulmbl2  24903  dveflem  25346  aalioulem2  25696  aalioulem3  25697  aalioulem5  25699  aaliou2b  25704  aaliou3lem3  25707  ulmbdd  25760  iblulm  25769  radcnvlem1  25775  abelthlem5  25797  log1  25944  logm1  25947  rplogcl  25962  logge0  25963  logge0b  25989  loggt0b  25990  divlogrlim  25993  logno1  25994  logcnlem2  26001  logcnlem3  26002  logcnlem4  26003  logtayl  26018  cxpcn3lem  26103  resqrtcn  26105  loglesqrt  26114  ang180lem2  26163  isosctrlem2  26172  angpined  26183  efrlim  26322  sqrtlim  26325  cxp2limlem  26328  logdifbnd  26346  emcllem4  26351  emcllem5  26352  emcllem6  26353  lgamgulmlem5  26385  lgambdd  26389  lgamcvg2  26407  relgamcl  26414  ftalem4  26428  vmalelog  26556  logfacubnd  26572  logfacbnd3  26574  logfacrlim  26575  logexprlim  26576  chpchtlim  26830  vmadivsumb  26834  rpvmasumlem  26838  dchrvmasumlem2  26849  dchrvmasumlema  26851  dchrvmasumiflem1  26852  dchrisum0fno1  26862  dchrisum0re  26864  dirith2  26879  logdivsum  26884  mulog2sumlem2  26886  vmalogdivsum2  26889  vmalogdivsum  26890  2vmadivsumlem  26891  log2sumbnd  26895  selbergb  26900  selberg2lem  26901  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  chpdifbndlem2  26905  logdivbnd  26907  selberg3lem1  26908  selberg3lem2  26909  selberg3  26910  selberg4lem1  26911  selberg4  26912  selberg3r  26920  selberg4r  26921  selberg34r  26922  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6a  26933  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntpbnd1a  26936  pntibndlem3  26943  pntlemd  26945  pntlemn  26951  pntlemq  26952  pntlemr  26953  pntlemj  26954  pntlemk  26957  pntlem3  26960  pntleml  26962  ostth3  26989  smcnlem  29642  blocnilem  29749  0cnop  30924  0cnfn  30925  nmcopexi  30972  nmcfnexi  30996  xrnarchi  32023  xrge0iifcnv  32517  omssubadd  32903  hgt750lemd  33264  sinccvg  34264  iprodgam  34318  faclimlem1  34319  faclimlem3  34321  faclim  34322  iprodfac  34323  opnrebl2  34796  unblimceq0  34973  ptrecube  36081  mblfinlem4  36121  ftc1anc  36162  totbndbnd  36251  rrntotbnd  36298  aks4d1p1p4  40531  aks4d1p1p6  40533  aks4d1p1p5  40535  aks4d1p8  40547  metakunt28  40607  zrtelqelz  40834  rencldnfi  41147  irrapxlem1  41148  irrapxlem2  41149  irrapxlem3  41150  pell1qrgaplem  41199  pell14qrgapw  41202  reglogltb  41217  reglogleb  41218  pellfund14  41224  binomcxplemnotnn0  42643  supxrgere  43574  supxrgelem  43578  suplesup  43580  xrlexaddrp  43593  xralrple2  43595  ltdivgt1  43597  infleinf  43613  xralrple3  43615  iooiinicc  43787  iooiinioc  43801  limcdm0  43866  constlimc  43872  0ellimcdiv  43897  climrescn  43996  climxrre  43998  sinaover2ne0  44116  fprodsubrecnncnvlem  44155  fprodaddrecnncnvlem  44157  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  wallispi  44318  stirlinglem5  44326  stirlinglem6  44327  stirlinglem10  44331  fourierdlem30  44385  etransclem48  44530  hoicvrrex  44804  hoidmvlelem3  44845  vonioolem1  44928  smfmullem1  45039  smfmullem2  45040  smfmullem3  45041  perfectALTVlem2  45921  regt1loggt0  46629
  Copyright terms: Public domain W3C validator