Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem28 45667
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 𝑇𝑈. Here 𝑑 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1 𝑡𝑈
stoweidlem28.2 𝑡𝜑
stoweidlem28.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem28.4 𝑇 = 𝐽
stoweidlem28.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem28.6 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem28.7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
stoweidlem28.8 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝑃   𝑇,𝑑,𝑡   𝑈,𝑑   𝑡,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 12480 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
2 halfgt0 12482 . . . . 5 0 < (1 / 2)
31, 2elrpii 13033 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
43a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5 halflt1 12484 . . . 4 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) < 1)
7 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑡𝑇
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7 𝑡𝑈
97, 8nfdif 4124 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈)
109nfeq1 2908 . . . . 5 𝑡(𝑇𝑈) = ∅
1110rzalf 44634 . . . 4 ((𝑇𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
1211adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
13 ovex 7459 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
14 eleq1 2814 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 2) ∈ ℝ+))
15 breq1 5158 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 < 1 ↔ (1 / 2) < 1))
16 breq1 5158 . . . . . 6 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1716ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1814, 15, 173anbi123d 1433 . . . 4 (𝑑 = (1 / 2) → ((𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))))
1913, 18spcev 3592 . . 3 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
204, 6, 12, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
21 simplll 773 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝜑)
22 simplr 767 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
23 simpr 483 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
24 stoweidlem28.3 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (topGen‘ran (,))
25 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = 𝐽
26 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
27 stoweidlem28.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2824, 25, 26, 27fcnre 44642 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
30 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑥𝑇)
3130adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥𝑇)
3229, 31ffvelcdmd 7101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
33 stoweidlem28.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
34 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑇𝑈)
35 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0 < (𝑃𝑡)
36 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 𝑡0 < (𝑃𝑥)
37 fveq2 6903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (𝑃𝑡) = (𝑃𝑥))
3837breq2d 5167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → (0 < (𝑃𝑡) ↔ 0 < (𝑃𝑥)))
399, 34, 35, 36, 38cbvralfw 3292 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4039biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) → ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4140r19.21bi 3239 . . . . . . . . 9 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4233, 41sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4332, 42elrpd 13069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
44433adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
45 stoweidlem28.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
469nfcri 2883 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)
47 nfra1 3272 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
4845, 46, 47nf3an 1897 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
49 rspa 3236 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
50493ad2antl3 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
51 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
52 fvres 6922 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
54 fvres 6922 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5554adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5650, 53, 553brtr3d 5186 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
5756ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
5848, 57ralrimi 3245 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
59 eleq1 2814 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (𝑃𝑥) ∈ ℝ+))
60 breq1 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6160ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6259, 61anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑃𝑥) → ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))))
6362spcegv 3583 . . . . . . 7 ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6444, 63syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6544, 58, 64mp2and 697 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)))
66 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝜑)
67 simprl 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
68 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
69 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑡 𝑐 ∈ ℝ+
70 nfra1 3272 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)
7145, 69, 70nf3an 1897 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
72 eqid 2726 . . . . . . 7 if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2)) = if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2))
73283ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
74 difssd 4132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
75 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
76 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
7771, 72, 73, 74, 75, 76stoweidlem5 45644 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7866, 67, 68, 77syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7965, 78exlimddv 1931 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
8021, 22, 23, 79syl3anc 1368 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
81 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐽t (𝑇𝑈)) = (𝐽t (𝑇𝑈))
82 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
83 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
84 cmptop 23393 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
86 elssuni 4947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 𝐽)
8887, 25sseqtrrdi 4031 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑇)
8925isopn2 23030 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈𝑇) → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9085, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
92 cmpcld 23400 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9382, 91, 92syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9493adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9527adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96 difssd 4132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
9725cnrest 23283 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
9895, 96, 97syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
99 difssd 4132 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
10025restuni 23160 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
10185, 99, 100syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
102101neeq1d 2990 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅))
103 df-ne 2931 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅)
104102, 103bitr3di 285 . . . . . . 7 (𝜑 → ( (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅))
105104biimpar 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅)
10681, 24, 94, 98, 105evth2 24980 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠))
107 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))
108 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑡𝐽
109 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑡t
110108, 109, 9nfov 7456 . . . . . . . 8 𝑡(𝐽t (𝑇𝑈))
111110nfuni 4922 . . . . . . 7 𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))
112 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑃
113112, 9nfres 5993 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑃 ↾ (𝑇𝑈))
114 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑡𝑥
115113, 114nffv 6913 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥)
116 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑡
117 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑡𝑠
118113, 117nffv 6913 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
119115, 116, 118nfbr 5202 . . . . . . 7 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
120 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑠((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
121 fveq2 6903 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) = ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
122121breq2d 5167 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
123107, 111, 119, 120, 122cbvralfw 3292 . . . . . 6 (∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
124123rexbii 3084 . . . . 5 (∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
125106, 124sylib 217 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
1269, 111raleqf 3337 . . . . . . 7 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
127126rexeqbi1dv 3324 . . . . . 6 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
128101, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
129128adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
130125, 129mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
13180, 130r19.29a 3152 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
13220, 131pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wnf 1778  wcel 2099  wnfc 2876  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  cdif 3944  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533   cuni 4915   class class class wbr 5155  ran crn 5685  cres 5686  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  cr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   < clt 11300  cle 11301   / cdiv 11923  2c2 12321  +crp 13030  (,)cioo 13380  t crest 17437  topGenctg 17454  Topctop 22889  Clsdccld 23014   Cn ccn 23222  Compccmp 23384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14350  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-cmp 23385  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  45695
  Copyright terms: Public domain W3C validator