Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem28 42670
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 𝑇𝑈. Here 𝑑 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1 𝑡𝑈
stoweidlem28.2 𝑡𝜑
stoweidlem28.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem28.4 𝑇 = 𝐽
stoweidlem28.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem28.6 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem28.7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
stoweidlem28.8 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝑃   𝑇,𝑑,𝑡   𝑈,𝑑   𝑡,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 11839 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
2 halfgt0 11841 . . . . 5 0 < (1 / 2)
31, 2elrpii 12380 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
43a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5 halflt1 11843 . . . 4 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) < 1)
7 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑡𝑇
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7 𝑡𝑈
97, 8nfdif 4053 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈)
109nfeq1 2970 . . . . 5 𝑡(𝑇𝑈) = ∅
1110rzalf 41646 . . . 4 ((𝑇𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
1211adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
13 ovex 7168 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
14 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 2) ∈ ℝ+))
15 breq1 5033 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 < 1 ↔ (1 / 2) < 1))
16 breq1 5033 . . . . . 6 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1716ralbidv 3162 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1814, 15, 173anbi123d 1433 . . . 4 (𝑑 = (1 / 2) → ((𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))))
1913, 18spcev 3555 . . 3 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
204, 6, 12, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
21 simplll 774 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝜑)
22 simplr 768 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
23 simpr 488 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
24 stoweidlem28.3 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (topGen‘ran (,))
25 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = 𝐽
26 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
27 stoweidlem28.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2824, 25, 26, 27fcnre 41654 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
30 eldifi 4054 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑥𝑇)
3130adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥𝑇)
3229, 31ffvelrnd 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
33 stoweidlem28.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
34 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑇𝑈)
35 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0 < (𝑃𝑡)
36 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑡0 < (𝑃𝑥)
37 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (𝑃𝑡) = (𝑃𝑥))
3837breq2d 5042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → (0 < (𝑃𝑡) ↔ 0 < (𝑃𝑥)))
399, 34, 35, 36, 38cbvralfw 3382 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4039biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) → ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4140r19.21bi 3173 . . . . . . . . 9 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4233, 41sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4332, 42elrpd 12416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
44433adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
45 stoweidlem28.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
469nfcri 2943 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)
47 nfra1 3183 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
4845, 46, 47nf3an 1902 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
49 rspa 3171 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
50493ad2antl3 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
51 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
52 fvres 6664 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
54 fvres 6664 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5554adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5650, 53, 553brtr3d 5061 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
5756ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
5848, 57ralrimi 3180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
59 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (𝑃𝑥) ∈ ℝ+))
60 breq1 5033 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6160ralbidv 3162 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6259, 61anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑃𝑥) → ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))))
6362spcegv 3545 . . . . . . 7 ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6444, 63syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6544, 58, 64mp2and 698 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)))
66 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝜑)
67 simprl 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
68 simprr 772 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
69 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑡 𝑐 ∈ ℝ+
70 nfra1 3183 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)
7145, 69, 70nf3an 1902 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
72 eqid 2798 . . . . . . 7 if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2)) = if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2))
73283ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
74 difssd 4060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
75 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
76 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
7771, 72, 73, 74, 75, 76stoweidlem5 42647 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7866, 67, 68, 77syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7965, 78exlimddv 1936 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
8021, 22, 23, 79syl3anc 1368 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
81 eqid 2798 . . . . . 6 (𝐽t (𝑇𝑈)) = (𝐽t (𝑇𝑈))
82 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
83 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
84 cmptop 22000 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
86 elssuni 4830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 𝐽)
8887, 25sseqtrrdi 3966 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑇)
8925isopn2 21637 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈𝑇) → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9085, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9183, 90mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
92 cmpcld 22007 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9382, 91, 92syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9493adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9527adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96 difssd 4060 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
9725cnrest 21890 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
9895, 96, 97syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
99 difssd 4060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
10025restuni 21767 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
10185, 99, 100syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
102101neeq1d 3046 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅))
103 df-ne 2988 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅)
104102, 103bitr3di 289 . . . . . . 7 (𝜑 → ( (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅))
105104biimpar 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅)
10681, 24, 94, 98, 105evth2 23565 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠))
107 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))
108 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑡𝐽
109 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑡t
110108, 109, 9nfov 7165 . . . . . . . 8 𝑡(𝐽t (𝑇𝑈))
111110nfuni 4807 . . . . . . 7 𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))
112 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑃
113112, 9nfres 5820 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑃 ↾ (𝑇𝑈))
114 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑡𝑥
115113, 114nffv 6655 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥)
116 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑡
117 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑡𝑠
118113, 117nffv 6655 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
119115, 116, 118nfbr 5077 . . . . . . 7 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
120 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑠((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
121 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) = ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
122121breq2d 5042 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
123107, 111, 119, 120, 122cbvralfw 3382 . . . . . 6 (∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
124123rexbii 3210 . . . . 5 (∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
125106, 124sylib 221 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
1269, 111raleqf 3350 . . . . . . 7 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
127126rexeqbi1dv 3357 . . . . . 6 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
128101, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
129128adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
130125, 129mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
13180, 130r19.29a 3248 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
13220, 131pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wnf 1785  wcel 2111  wnfc 2936  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  cdif 3878  wss 3881  c0 4243  ifcif 4425   cuni 4800   class class class wbr 5030  ran crn 5520  cres 5521  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  +crp 12377  (,)cioo 12726  t crest 16686  topGenctg 16703  Topctop 21498  Clsdccld 21621   Cn ccn 21829  Compccmp 21991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  42698
  Copyright terms: Public domain W3C validator