MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem3 30397
Description: Lemma for minveco 30405. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12301 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2 4pos 12324 . . . . . . 7 0 < 4
31, 2elrpii 12982 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
5 2z 12599 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
6 rpexpcl 14051 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
8 rpdivcl 13004 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
93, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
10 rprege0 12994 . . . . 5 ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+ β†’ ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (4 / (π‘₯↑2))))
11 flge0nn0 13790 . . . . 5 (((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (4 / (π‘₯↑2))) β†’ (βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) ∈ β„•0)
12 nn0p1nn 12516 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
15 phnv 30335 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
1816, 17imsmet 30212 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
22 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
2422, 23sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
26 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
2716, 25, 26sspba 30248 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2821, 24, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
3130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
3213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
3331, 32ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ π‘Œ)
3429, 33sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35 eluznn 12907 . . . . . . . . . . . 12 ((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3613, 35sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3731, 36ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
3829, 37sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
39 metcl 24059 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
4020, 34, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
4140resqcld 14095 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ∈ ℝ)
4232nnrpd 13019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
4342rpreccld 13031 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 13002 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
453, 43, 44sylancr 586 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
4645rpred 13021 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
477adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
4847rpred 13021 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ)
49 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
50 minveco.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5114ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
5223ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
53 minveco.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5453ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
55 minveco.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
56 minveco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
57 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
5813nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
5958rpreccld 13031 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6160rpred 13021 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
6260rpge0d 13025 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 0 ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
6330adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
6463ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
6536, 64syldan 590 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
66 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
6766oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) = (𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
6867oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) = ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2))
69 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (1 / 𝑛) = (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
7069oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
7168, 70breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))))
72 minveco.1 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7372ralrimiva 3145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7571, 74, 32rspcdva 3613 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
7629, 65sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
77 metcl 24059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7820, 54, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7978resqcld 14095 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ∈ ℝ)
8016, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 30395 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
81 0re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
82 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
8382ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
8483rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
8581, 84mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
86853anim3i 1153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀))
87 infrecl 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8880, 86, 873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8957, 88eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9089resqcld 14095 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9190ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9236nnrecred 12268 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9491, 61readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
9572adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9636, 95syldan 590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛)
9897adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛)
9942rpregt0d 13027 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
100 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
101 nngt0 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑛)
102100, 101jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
10336, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104 lerec 12102 . . . . . . . . . . . 12 (((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10599, 103, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10698, 105mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
10792, 61, 91, 106leadd2dd 11834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10879, 93, 94, 96, 107letrd 11376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10916, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108minvecolem2 30396 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
110 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / 4) ∈ ℝ+)
11147, 3, 110sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((π‘₯↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112 rpcnne0 12997 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0))
11347, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0))
114 rpcnne0 12997 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ+ β†’ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0))
1153, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0)
116 recdiv 11925 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0) ∧ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0)) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) = (4 / (π‘₯↑2)))
117113, 115, 116sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) = (4 / (π‘₯↑2)))
1189adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
119118rpred 13021 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ)
120 flltp1 13770 . . . . . . . . . . 11 ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ β†’ (4 / (π‘₯↑2)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
122117, 121eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
123111, 42, 122ltrec1d 13041 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4))
1241, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125 ltmuldiv2 12093 . . . . . . . . . 10 (((1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
126124, 125mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 (((1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
12761, 48, 126syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
128123, 127mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2))
12941, 46, 48, 109, 128lelttrd 11377 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2))
130 metge0 24072 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
13120, 34, 38, 130syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
132 rprege0 12994 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
133132ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
134 lt2sq 14103 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2)))
13540, 131, 133, 134syl21anc 835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2)))
136129, 135mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
137136ralrimiva 3145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
138 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
139 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
140139oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) = ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
141140breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
142138, 141raleqbidv 3341 . . . . 5 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
143142rspcev 3612 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
14413, 137, 143syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
145144ralrimiva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
146 nnuz 12870 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
14716, 17imsxmet 30213 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14814, 15, 1473syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
149 1zzd 12598 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
150 eqidd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘›))
151 eqidd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
15230, 28fssd 6735 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
153146, 148, 149, 150, 151, 152iscauf 25029 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
154145, 153mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9440  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  4c4 12274  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  βŒŠcfl 13760  β†‘cexp 14032  βˆžMetcxmet 21130  Metcmet 21131  MetOpencmopn 21135  Cauccau 25002  NrmCVeccnv 30105  BaseSetcba 30107   βˆ’π‘£ cnsb 30110  normCVcnmcv 30111  IndMetcims 30112  SubSpcss 30242  CPreHilOLDccphlo 30333  CBanccbn 30383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-cau 25005  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30398
  Copyright terms: Public domain W3C validator