MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem3 30129
Description: Lemma for minveco 30137. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12296 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2 4pos 12319 . . . . . . 7 0 < 4
31, 2elrpii 12977 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
4 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
5 2z 12594 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
6 rpexpcl 14046 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
8 rpdivcl 12999 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
93, 7, 8sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
10 rprege0 12989 . . . . 5 ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+ β†’ ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (4 / (π‘₯↑2))))
11 flge0nn0 13785 . . . . 5 (((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (4 / (π‘₯↑2))) β†’ (βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) ∈ β„•0)
12 nn0p1nn 12511 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
15 phnv 30067 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
1816, 17imsmet 29944 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
22 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
2422, 23sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
2716, 25, 26sspba 29980 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2821, 24, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
3213adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„•)
3331, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ π‘Œ)
3429, 33sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . 12 ((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3613, 35sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3731, 36ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
3829, 37sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
39 metcl 23838 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
4020, 34, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
4140resqcld 14090 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ∈ ℝ)
4232nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
4342rpreccld 13026 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 12997 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
453, 43, 44sylancr 588 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
4645rpred 13016 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
477adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
4847rpred 13016 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ)
49 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
50 minveco.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
53 minveco.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
55 minveco.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
56 minveco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
57 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
5813nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
5958rpreccld 13026 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6160rpred 13016 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
6260rpge0d 13020 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 0 ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
6330adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
6463ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
6536, 64syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ π‘Œ)
66 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
6766oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) = (𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
6867oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) = ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2))
69 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (1 / 𝑛) = (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
7168, 70breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))))
72 minveco.1 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7372ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7571, 74, 32rspcdva 3614 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
7629, 65sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
77 metcl 23838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7820, 54, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7978resqcld 14090 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ∈ ℝ)
8016, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 30127 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
81 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
82 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
8382ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
8483rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
8581, 84mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
86853anim3i 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀))
87 infrecl 12196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8880, 86, 873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8957, 88eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9089resqcld 14090 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9236nnrecred 12263 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9491, 61readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
9572adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9636, 95syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛)
9897adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛)
9942rpregt0d 13022 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
100 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
101 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑛)
102100, 101jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
10336, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104 lerec 12097 . . . . . . . . . . . 12 (((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10599, 103, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ≀ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10698, 105mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / 𝑛) ≀ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
10792, 61, 91, 106leadd2dd 11829 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10879, 93, 94, 96, 107letrd 11371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
10916, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108minvecolem2 30128 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))))
110 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / 4) ∈ ℝ+)
11147, 3, 110sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((π‘₯↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0))
11347, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0))
114 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ+ β†’ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0))
1153, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0)
116 recdiv 11920 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) β‰  0) ∧ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0)) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) = (4 / (π‘₯↑2)))
117113, 115, 116sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) = (4 / (π‘₯↑2)))
1189adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ+)
119118rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ)
120 flltp1 13765 . . . . . . . . . . 11 ((4 / (π‘₯↑2)) ∈ ℝ β†’ (4 / (π‘₯↑2)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 / (π‘₯↑2)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
122117, 121eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((π‘₯↑2) / 4)) < ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))
123111, 42, 122ltrec1d 13036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4))
1241, 2pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125 ltmuldiv2 12088 . . . . . . . . . 10 (((1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
126124, 125mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 (((1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
12761, 48, 126syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) < ((π‘₯↑2) / 4)))
128123, 127mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (4 Β· (1 / ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) < (π‘₯↑2))
12941, 46, 48, 109, 128lelttrd 11372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2))
130 metge0 23851 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
13120, 34, 38, 130syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
132 rprege0 12989 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
133132ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
134 lt2sq 14098 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2)))
13540, 131, 133, 134syl21anc 837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ (((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) < (π‘₯↑2)))
136129, 135mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
137136ralrimiva 3147 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
138 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
139 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1)))
140139oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) = ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
141140breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
142138, 141raleqbidv 3343 . . . . 5 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
143142rspcev 3613 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))((πΉβ€˜((βŒŠβ€˜(4 / (π‘₯↑2))) + 1))𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
14413, 137, 143syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
145144ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
146 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
14716, 17imsxmet 29945 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14814, 15, 1473syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
149 1zzd 12593 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
150 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘›))
151 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
15230, 28fssd 6736 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
153146, 148, 149, 150, 151, 152iscauf 24797 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
154145, 153mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  Cauccau 24770  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844  SubSpcss 29974  CPreHilOLDccphlo 30065  CBanccbn 30115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-cau 24773  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30130
  Copyright terms: Public domain W3C validator