Theorem minvecolem3 30680

Description: Lemma for minveco 30688. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12321	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4pos 12344	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
3	1, 2	elrpii 13004	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5		2z 12619	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		rpexpcl 14072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
8		rpdivcl 13026	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
9	3, 7, 8	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
10		rprege0 13016	. . . . 5 ⊢ ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+ → ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))))
11		flge0nn0 13812	. . . . 5 ⊢ (((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))) → (⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0)
12		nn0p1nn 12536	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
13	9, 10, 11, 12	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
14		minveco.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
15		phnv 30618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
16		minveco.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17		minveco.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
18	16, 17	imsmet 30495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	14, 15, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
20	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
22		inss1 4225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
23		minveco.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
24	22, 23	sselid 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
25		minveco.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
26		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
27	16, 25, 26	sspba 30531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
28	21, 24, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
30		minveco.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
32	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
33	31, 32	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑌)
34	29, 33	sseldd 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35		eluznn 12927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	13, 35	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
37	31, 36	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
38	29, 37	sseldd 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
39		metcl 24232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
40	20, 34, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
42	32	nnrpd 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
43	42	rpreccld 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44		rpmulcl 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
45	3, 43, 44	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
46	45	rpred 13043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
47	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 13043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
49		minveco.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
50		minveco.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
51	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
52	23	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
53		minveco.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
54	53	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
55		minveco.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
56		minveco.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
57		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
58	13	nnrpd 13041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
59	58	rpreccld 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
61	60	rpred 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
62	60	rpge0d 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
63	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
64	63	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
65	36, 64	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
66		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
67	66	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) = (𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
68	67	oveq1d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2))
69		oveq2 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
70	69	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
71	68, 70	breq12d 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))))
72		minveco.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
73	72	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
74	73	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
75	71, 74, 32	rspcdva 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
76	29, 65	sseldd 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
77		metcl 24232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
78	20, 54, 76, 77	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
79	78	resqcld 14116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
80	16, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56	minvecolem1 30678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
81		0re 11241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
82		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
83	82	ralbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
84	83	rspcev 3608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
85	81, 84	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
86	85	3anim3i 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤))
87		infrecl 12221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
88	80, 86, 87	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
89	57, 88	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
90	89	resqcld 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
91	90	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
92	36	nnrecred 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
94	91, 61	readdcld 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
95	72	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
96	36, 95	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
99	42	rpregt0d 13049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
100		nnre 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
101		nngt0 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
102	100, 101	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
103	36, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104		lerec 12122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
105	99, 103, 104	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
106	98, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
107	92, 61, 91, 106	leadd2dd 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
108	79, 93, 94, 96, 107	letrd 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
109	16, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108	minvecolem2 30679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
110		rpdivcl 13026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
111	47, 3, 110	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112		rpcnne0 13019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
113	47, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
114		rpcnne0 13019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
115	3, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
116		recdiv 11945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
117	113, 115, 116	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
118	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
119	118	rpred 13043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
120		flltp1 13792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
122	117, 121	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
123	111, 42, 122	ltrec1d 13063	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4))
124	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125		ltmuldiv2 12113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
126	124, 125	mp3an3 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
127	61, 48, 126	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
128	123, 127	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2))
129	41, 46, 48, 109, 128	lelttrd 11397	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2))
130		metge0 24245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
131	20, 34, 38, 130	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
132		rprege0 13016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
133	132	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
134		lt2sq 14124	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
135	40, 131, 133, 134	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
136	129, 135	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
137	136	ralrimiva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
138		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
139		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
140	139	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) = ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
141	140	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
142	138, 141	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
143	142	rspcev 3608	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
144	13, 137, 143	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
145	144	ralrimiva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
146		nnuz 12890	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
147	16, 17	imsxmet 30496	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
148	14, 15, 147	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
149		1zzd 12618	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
150		eqidd 2729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
151		eqidd 2729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
152	30, 28	fssd 6735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
153	146, 148, 149, 150, 151, 152	iscauf 25202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
154	145, 153	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∅c0 4319   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5674  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  infcinf 9459  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  4c4 12294  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  ℝ⁺crp 13001  ⌊cfl 13782  ↑cexp 14053  ∞Metcxmet 21258  Metcmet 21259  MetOpencmopn 21263  Cauccau 25175  NrmCVeccnv 30388  BaseSetcba 30390   −_𝑣 cnsb 30393  norm_CVcnmcv 30394  IndMetcims 30395  SubSpcss 30525  CPreHil_OLDccphlo 30616  CBanccbn 30666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-cau 25178  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ginv 30299  df-gdiv 30300  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-vs 30403  df-nmcv 30404  df-ims 30405  df-ssp 30526  df-ph 30617  df-cbn 30667

This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30681