MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem3 28662
Description: Lemma for minveco 28670. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem3 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 11718 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2 4pos 11741 . . . . . . 7 0 < 4
31, 2elrpii 12389 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 2z 12011 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
6 rpexpcl 13453 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
8 rpdivcl 12411 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
93, 7, 8sylancr 590 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
10 rprege0 12401 . . . . 5 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+ → ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))))
11 flge0nn0 13194 . . . . 5 (((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))) → (⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11933 . . . . 5 ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
15 phnv 28600 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
1816, 17imsmet 28477 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
22 inss1 4190 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
2422, 23sseldi 3951 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
26 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
2716, 25, 26sspba 28513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
2821, 24, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑌𝑋)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3213adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
3331, 32ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑌)
3429, 33sseldd 3954 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35 eluznn 12315 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3613, 35sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3731, 36ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
3829, 37sseldd 3954 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
39 metcl 22942 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4020, 34, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4140resqcld 13616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
4232nnrpd 12426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
4342rpreccld 12438 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 12409 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
453, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
4645rpred 12428 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
477adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
4847rpred 12428 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
49 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
50 minveco.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normCV𝑈)
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
53 minveco.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐴𝑋)
55 minveco.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
56 minveco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
57 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
5813nnrpd 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
5958rpreccld 12438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6059adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6160rpred 12428 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
6260rpge0d 12432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6330adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
6463ffvelrnda 6842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
6536, 64syldan 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
66 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6766oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) = (𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
6867oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2))
69 oveq2 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
7069oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7168, 70breq12d 5065 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))))
72 minveco.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7372ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7571, 74, 32rspcdva 3611 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7629, 65sseldd 3954 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
77 metcl 22942 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7820, 54, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7978resqcld 13616 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
8016, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 28660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
81 0re 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
82 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
8382ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8483rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
8581, 84mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
86853anim3i 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤))
87 infrecl 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8880, 86, 873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8957, 88eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
9089resqcld 13616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9236nnrecred 11685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10668 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9491, 61readdcld 10668 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
9572adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9636, 95syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97 eluzle 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9897adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9942rpregt0d 12434 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
100 nnre 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
101 nngt0 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
102100, 101jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
10336, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104 lerec 11521 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10599, 103, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10698, 105mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
10792, 61, 91, 106leadd2dd 11253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10879, 93, 94, 96, 107letrd 10795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10916, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108minvecolem2 28661 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
110 rpdivcl 12411 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
11147, 3, 110sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112 rpcnne0 12404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
11347, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
114 rpcnne0 12404 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
1153, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
116 recdiv 11344 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
117113, 115, 116sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
1189adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
119118rpred 12428 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
120 flltp1 13174 . . . . . . . . . . 11 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
122117, 121eqbrtrd 5074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
123111, 42, 122ltrec1d 12448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4))
1241, 2pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125 ltmuldiv2 11512 . . . . . . . . . 10 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
126124, 125mp3an3 1447 . . . . . . . . 9 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
12761, 48, 126syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
128123, 127mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2))
12941, 46, 48, 109, 128lelttrd 10796 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2))
130 metge0 22955 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
13120, 34, 38, 130syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
132 rprege0 12401 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
133132ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
134 lt2sq 13503 . . . . . . 7 (((((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
13540, 131, 133, 134syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
136129, 135mpbird 260 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
137136ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
138 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
139 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
140139oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) = ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
141140breq1d 5062 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
142138, 141raleqbidv 3392 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
143142rspcev 3609 . . . 4 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
14413, 137, 143syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
145144ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
146 nnuz 12278 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
14716, 17imsxmet 28478 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14814, 15, 1473syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
149 1zzd 12010 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
150 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
151 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
15230, 28fssd 6518 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
153146, 148, 149, 150, 151, 152iscauf 23887 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
154145, 153mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  cin 3918  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  infcinf 8902  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cle 10674   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  4c4 11691  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  +crp 12386  cfl 13164  cexp 13434  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531  MetOpencmopn 20535  Cauccau 23860  NrmCVeccnv 28370  BaseSetcba 28372  𝑣 cnsb 28375  normCVcnmcv 28376  IndMetcims 28377  SubSpcss 28507  CPreHilOLDccphlo 28598  CBanccbn 28648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-cau 23863  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  28663
  Copyright terms: Public domain W3C validator