Theorem minvecolem3 29139

Description: Lemma for minveco 29147. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 11987	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4pos 12010	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
3	1, 2	elrpii 12662	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		rpexpcl 13729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
8		rpdivcl 12684	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
9	3, 7, 8	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
10		rprege0 12674	. . . . 5 ⊢ ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+ → ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))))
11		flge0nn0 13468	. . . . 5 ⊢ (((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))) → (⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0)
12		nn0p1nn 12202	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
13	9, 10, 11, 12	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
14		minveco.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
15		phnv 29077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
16		minveco.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17		minveco.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
18	16, 17	imsmet 28954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	14, 15, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
22		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
23		minveco.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
24	22, 23	sselid 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
25		minveco.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
26		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
27	16, 25, 26	sspba 28990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
28	21, 24, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
30		minveco.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
31	30	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
32	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
33	31, 32	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑌)
34	29, 33	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35		eluznn 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	13, 35	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
37	31, 36	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
38	29, 37	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
39		metcl 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
40	20, 34, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
41	40	resqcld 13893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
42	32	nnrpd 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
43	42	rpreccld 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44		rpmulcl 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
45	3, 43, 44	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
47	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 12701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
49		minveco.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
50		minveco.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
51	14	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
52	23	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
53		minveco.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
54	53	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
55		minveco.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
56		minveco.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
57		minveco.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
58	13	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
59	58	rpreccld 12711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
61	60	rpred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
62	60	rpge0d 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
63	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
64	63	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
65	36, 64	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑌)
66		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
67	66	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) = (𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
68	67	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2))
69		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
70	69	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
71	68, 70	breq12d 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))))
72		minveco.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
73	72	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
74	73	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
75	71, 74, 32	rspcdva 3554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
76	29, 65	sseldd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
77		metcl 23393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
78	20, 54, 76, 77	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
79	78	resqcld 13893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ∈ ℝ)
80	16, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56	minvecolem1 29137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
81		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
82		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
83	82	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
84	83	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
85	81, 84	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
86	85	3anim3i 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤))
87		infrecl 11887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
88	80, 86, 87	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
89	57, 88	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
90	89	resqcld 13893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
91	90	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
92	36	nnrecred 11954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
94	91, 61	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
95	72	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
96	36, 95	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97		eluzle 12524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
99	42	rpregt0d 12707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
100		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
101		nngt0 11934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
102	100, 101	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
103	36, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104		lerec 11788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
105	99, 103, 104	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
106	98, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
107	92, 61, 91, 106	leadd2dd 11520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
108	79, 93, 94, 96, 107	letrd 11062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
109	16, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108	minvecolem2 29138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
110		rpdivcl 12684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
111	47, 3, 110	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112		rpcnne0 12677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
113	47, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
114		rpcnne0 12677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
115	3, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
116		recdiv 11611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
117	113, 115, 116	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
118	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
119	118	rpred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
120		flltp1 13448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
122	117, 121	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
123	111, 42, 122	ltrec1d 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4))
124	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125		ltmuldiv2 11779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
126	124, 125	mp3an3 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
127	61, 48, 126	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
128	123, 127	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2))
129	41, 46, 48, 109, 128	lelttrd 11063	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2))
130		metge0 23406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
131	20, 34, 38, 130	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
132		rprege0 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
133	132	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
134		lt2sq 13780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
135	40, 131, 133, 134	syl21anc 834	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
136	129, 135	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
137	136	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
138		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
139		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
140	139	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) = ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)))
141	140	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
142	138, 141	raleqbidv 3327	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
143	142	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
144	13, 137, 143	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
145	144	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
146		nnuz 12550	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
147	16, 17	imsxmet 28955	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
148	14, 15, 147	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
149		1zzd 12281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
150		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
151		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
152	30, 28	fssd 6602	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
153	146, 148, 149, 150, 151, 152	iscauf 24349	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
154	145, 153	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496  MetOpencmopn 20500  Cauccau 24322  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849   −_𝑣 cnsb 28852  norm_CVcnmcv 28853  IndMetcims 28854  SubSpcss 28984  CPreHil_OLDccphlo 29075  CBanccbn 29125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-cau 24325  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126

This theorem is referenced by:  minvecolem4a  29140