Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem3 28662
 Description: Lemma for minveco 28670. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem3 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 11718 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2 4pos 11741 . . . . . . 7 0 < 4
31, 2elrpii 12389 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 2z 12011 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
6 rpexpcl 13453 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
8 rpdivcl 12411 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
93, 7, 8sylancr 590 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
10 rprege0 12401 . . . . 5 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+ → ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))))
11 flge0nn0 13194 . . . . 5 (((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))) → (⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11933 . . . . 5 ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
15 phnv 28600 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
1816, 17imsmet 28477 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
22 inss1 4190 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
2422, 23sseldi 3951 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
26 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
2716, 25, 26sspba 28513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
2821, 24, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑌𝑋)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3213adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
3331, 32ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑌)
3429, 33sseldd 3954 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35 eluznn 12315 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3613, 35sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3731, 36ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
3829, 37sseldd 3954 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
39 metcl 22942 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4020, 34, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4140resqcld 13616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
4232nnrpd 12426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
4342rpreccld 12438 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 12409 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
453, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
4645rpred 12428 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
477adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
4847rpred 12428 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
49 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
50 minveco.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normCV𝑈)
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
53 minveco.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐴𝑋)
55 minveco.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
56 minveco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
57 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
5813nnrpd 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
5958rpreccld 12438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6059adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6160rpred 12428 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
6260rpge0d 12432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6330adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
6463ffvelrnda 6842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
6536, 64syldan 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
66 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6766oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) = (𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
6867oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2))
69 oveq2 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
7069oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7168, 70breq12d 5065 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))))
72 minveco.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7372ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7571, 74, 32rspcdva 3611 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7629, 65sseldd 3954 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
77 metcl 22942 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7820, 54, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7978resqcld 13616 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
8016, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 28660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
81 0re 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
82 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
8382ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8483rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
8581, 84mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
86853anim3i 1151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤))
87 infrecl 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8880, 86, 873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8957, 88eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
9089resqcld 13616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9236nnrecred 11685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10668 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9491, 61readdcld 10668 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
9572adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9636, 95syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97 eluzle 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9897adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9942rpregt0d 12434 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
100 nnre 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
101 nngt0 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
102100, 101jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
10336, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104 lerec 11521 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10599, 103, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10698, 105mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
10792, 61, 91, 106leadd2dd 11253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10879, 93, 94, 96, 107letrd 10795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10916, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108minvecolem2 28661 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
110 rpdivcl 12411 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
11147, 3, 110sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112 rpcnne0 12404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
11347, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
114 rpcnne0 12404 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
1153, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
116 recdiv 11344 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
117113, 115, 116sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
1189adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
119118rpred 12428 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
120 flltp1 13174 . . . . . . . . . . 11 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
122117, 121eqbrtrd 5074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
123111, 42, 122ltrec1d 12448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4))
1241, 2pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125 ltmuldiv2 11512 . . . . . . . . . 10 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
126124, 125mp3an3 1447 . . . . . . . . 9 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
12761, 48, 126syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
128123, 127mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2))
12941, 46, 48, 109, 128lelttrd 10796 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2))
130 metge0 22955 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
13120, 34, 38, 130syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
132 rprege0 12401 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
133132ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
134 lt2sq 13503 . . . . . . 7 (((((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
13540, 131, 133, 134syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
136129, 135mpbird 260 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
137136ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
138 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
139 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
140139oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) = ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
141140breq1d 5062 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
142138, 141raleqbidv 3392 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
143142rspcev 3609 . . . 4 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
14413, 137, 143syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
145144ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
146 nnuz 12278 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
14716, 17imsxmet 28478 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14814, 15, 1473syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
149 1zzd 12010 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
150 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
151 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
15230, 28fssd 6518 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
153146, 148, 149, 150, 151, 152iscauf 23887 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
154145, 153mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ran crn 5543  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  infcinf 8902  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673   ≤ cle 10674   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  4c4 11691  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  ℤ≥cuz 12240  ℝ+crp 12386  ⌊cfl 13164  ↑cexp 13434  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531  MetOpencmopn 20535  Cauccau 23860  NrmCVeccnv 28370  BaseSetcba 28372   −𝑣 cnsb 28375  normCVcnmcv 28376  IndMetcims 28377  SubSpcss 28507  CPreHilOLDccphlo 28598  CBanccbn 28648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-cau 23863  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649 This theorem is referenced by:  minvecolem4a  28663
 Copyright terms: Public domain W3C validator