MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem3 30680
Description: Lemma for minveco 30688. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem3 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12321 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
2 4pos 12344 . . . . . . 7 0 < 4
31, 2elrpii 13004 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 2z 12619 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
6 rpexpcl 14072 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
8 rpdivcl 13026 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
93, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
10 rprege0 13016 . . . . 5 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+ → ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))))
11 flge0nn0 13812 . . . . 5 (((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (4 / (𝑥↑2))) → (⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 12536 . . . . 5 ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
15 phnv 30618 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
1816, 17imsmet 30495 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
22 inss1 4225 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
2422, 23sselid 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
26 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
2716, 25, 26sspba 30531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
2821, 24, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑌𝑋)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ)
3331, 32ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑌)
3429, 33sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋)
35 eluznn 12927 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3613, 35sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3731, 36ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
3829, 37sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
39 metcl 24232 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4020, 34, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
4140resqcld 14116 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
4232nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
4342rpreccld 13053 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 13024 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
453, 43, 44sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ+)
4645rpred 13043 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
477adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
4847rpred 13043 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
49 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
50 minveco.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normCV𝑈)
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
53 minveco.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 𝐴𝑋)
55 minveco.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
56 minveco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
57 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
5813nnrpd 13041 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ+)
5958rpreccld 13053 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ+)
6160rpred 13043 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ)
6260rpge0d 13047 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6330adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
6463ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
6536, 64syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑌)
66 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
6766oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) = (𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
6867oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2))
69 oveq2 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
7069oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7168, 70breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))))
72 minveco.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7372ralrimiva 3142 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
7571, 74, 32rspcdva 3609 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
7629, 65sseldd 3980 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
77 metcl 24232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7820, 54, 76, 77syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝐴𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7978resqcld 14116 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ∈ ℝ)
8016, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 30678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
81 0re 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
82 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
8382ralbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8483rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
8581, 84mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
86853anim3i 1152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤))
87 infrecl 12221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8880, 86, 873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8957, 88eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
9089resqcld 14116 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
9236nnrecred 12288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9491, 61readdcld 11268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) ∈ ℝ)
9572adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9636, 95syldan 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
97 eluzle 12860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9897adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛)
9942rpregt0d 13049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
100 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
101 nngt0 12268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
102100, 101jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
10336, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
104 lerec 12122 . . . . . . . . . . . 12 (((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10599, 103, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ≤ 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10698, 105mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / 𝑛) ≤ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
10792, 61, 91, 106leadd2dd 11854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10879, 93, 94, 96, 107letrd 11396 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
10916, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 75, 108minvecolem2 30679 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))))
110 rpdivcl 13026 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
11147, 3, 110sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) / 4) ∈ ℝ+)
112 rpcnne0 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
11347, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0))
114 rpcnne0 13019 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
1153, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
116 recdiv 11945 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
117113, 115, 116sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) = (4 / (𝑥↑2)))
1189adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
119118rpred 13043 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
120 flltp1 13792 . . . . . . . . . . 11 ((4 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 / (𝑥↑2)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
122117, 121eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((𝑥↑2) / 4)) < ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))
123111, 42, 122ltrec1d 13063 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4))
1241, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
125 ltmuldiv2 12113 . . . . . . . . . 10 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
126124, 125mp3an3 1447 . . . . . . . . 9 (((1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
12761, 48, 126syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2) ↔ (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) < ((𝑥↑2) / 4)))
128123, 127mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (4 · (1 / ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) < (𝑥↑2))
12941, 46, 48, 109, 128lelttrd 11397 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2))
130 metge0 24245 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
13120, 34, 38, 130syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
132 rprege0 13016 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
133132ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
134 lt2sq 14124 . . . . . . 7 (((((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
13540, 131, 133, 134syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ (((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛))↑2) < (𝑥↑2)))
136129, 135mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))) → ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
137136ralrimiva 3142 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
138 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
139 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1)))
140139oveq1d 7430 . . . . . . 7 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) = ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)))
141140breq1d 5153 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
142138, 141raleqbidv 3338 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
143142rspcev 3608 . . . 4 ((((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))((𝐹‘((⌊‘(4 / (𝑥↑2))) + 1))𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
14413, 137, 143syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
145144ralrimiva 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
146 nnuz 12890 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
14716, 17imsxmet 30496 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14814, 15, 1473syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
149 1zzd 12618 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
150 eqidd 2729 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
151 eqidd 2729 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
15230, 28fssd 6735 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
153146, 148, 149, 150, 151, 152iscauf 25202 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
154145, 153mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  cin 3944  wss 3945  c0 4319   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ran crn 5674  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  infcinf 9459  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273  cle 11274   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  4c4 12294  0cn0 12497  cz 12583  cuz 12847  +crp 13001  cfl 13782  cexp 14053  ∞Metcxmet 21258  Metcmet 21259  MetOpencmopn 21263  Cauccau 25175  NrmCVeccnv 30388  BaseSetcba 30390  𝑣 cnsb 30393  normCVcnmcv 30394  IndMetcims 30395  SubSpcss 30525  CPreHilOLDccphlo 30616  CBanccbn 30666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-cau 25178  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ginv 30299  df-gdiv 30300  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-vs 30403  df-nmcv 30404  df-ims 30405  df-ssp 30526  df-ph 30617  df-cbn 30667
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30681
  Copyright terms: Public domain W3C validator