Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem12 42255
Description: The sequence 𝐵 is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem12.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem12.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 11643 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32stirlinglem2 42245 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
4 relogcl 25091 . . . . . 6 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
6 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑛1
7 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑛log
8 nfmpt1 5161 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
92, 8nfcxfr 2980 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
109, 6nffv 6679 . . . . . . 7 𝑛(𝐴‘1)
117, 10nffv 6679 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴‘1))
12 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
13 stirlinglem12.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
146, 11, 12, 13fvmptf 6787 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
151, 5, 14mp2an 688 . . . 4 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
1615, 5eqeltri 2914 . . 3 (𝐵‘1) ∈ ℝ
1716a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
182stirlinglem2 42245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
1918relogcld 25138 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
20 nfcv 2982 . . . . 5 𝑛𝑁
219, 20nffv 6679 . . . . . 6 𝑛(𝐴𝑁)
227, 21nffv 6679 . . . . 5 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
23 2fveq3 6674 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
2420, 22, 23, 13fvmptf 6787 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2519, 24mpdan 683 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2625, 19eqeltrd 2918 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
27 4re 11715 . . . 4 4 ∈ ℝ
28 4ne0 11739 . . . 4 4 ≠ 0
2927, 28rereccli 11399 . . 3 (1 / 4) ∈ ℝ
3029a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
31 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
32 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵‘(𝑗 + 1)))
33 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐵𝑘) = (𝐵‘1))
34 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑁))
35 elnnuz 12276 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
3635biimpi 217 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
37 elfznn 12931 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
382stirlinglem2 42245 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4039relogcld 25138 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
41 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑛𝑘
429, 41nffv 6679 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
437, 42nffv 6679 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
44 2fveq3 6674 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
4541, 43, 44, 13fvmptf 6787 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4637, 40, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4746adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4839rpcnd 12428 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5038rpne0d 12431 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5137, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5349, 52logcld 25086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
5447, 53eqeltrd 2918 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
5531, 32, 33, 34, 36, 54telfsumo 15152 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)))
56 nnz 11998 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57 fzoval 13034 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
5958sumeq1d 15053 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
6055, 59eqtr3d 2863 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
61 fzfid 13336 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
62 elfznn 12931 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
642stirlinglem2 42245 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴𝑗) ∈ ℝ+)
6564relogcld 25138 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ)
66 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑗
679, 66nffv 6679 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝐴𝑗)
687, 67nffv 6679 . . . . . . . . . 10 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
69 2fveq3 6674 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
7066, 68, 69, 13fvmptf 6787 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7165, 70mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7271, 65eqeltrd 2918 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7363, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
74 peano2nn 11644 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
752stirlinglem2 42245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
7776relogcld 25138 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
78 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑗 + 1)
799, 78nffv 6679 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
807, 79nffv 6679 . . . . . . . . . . 11 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
81 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8278, 80, 81, 13fvmptf 6787 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8483, 77eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8562, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8685adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8773, 86resubcld 11062 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8861, 87fsumrecl 15086 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8929a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9062nnred 11647 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
91 1red 10636 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
9290, 91readdcld 10664 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
9390, 92remulcld 10665 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9490recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
95 1cnd 10630 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
9694, 95addcld 10654 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
9762nnne0d 11681 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ≠ 0)
9874nnne0d 11681 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
9962, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
10094, 96, 97, 99mulne0d 11286 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
10193, 100rereccld 11461 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
102101adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
10389, 102remulcld 10665 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
10461, 103fsumrecl 15086 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
105 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖))))
106 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖))
1072, 13, 105, 106stirlinglem10 42253 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
10863, 107syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
10961, 87, 103, 108fsumle 15149 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
11061, 102fsumrecl 15086 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
111 1red 10636 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
112 4pos 11738 . . . . . . . . 9 0 < 4
11327, 112elrpii 12387 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
114113a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
115 0red 10638 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
116 0lt1 11156 . . . . . . . . 9 0 < 1
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
118115, 111, 117ltled 10782 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
119111, 114, 118divge0d 12466 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 4))
120 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
121 eluznn 12312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
122 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
125124oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
126124, 125oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑗 · (𝑗 + 1)))
127126oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
128 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
129 nnre 11639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
130 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
131129, 130readdcld 10664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
132129, 131remulcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
133 nncn 11640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
134 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
135133, 134addcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
136 nnne0 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
137133, 135, 136, 98mulne0d 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
138132, 137rereccld 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
139123, 127, 128, 138fvmptd 6773 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
140121, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
141121nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
142 1red 10636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
144141, 143remulcld 10665 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
145141recnd 10663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
146 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
147145, 146addcld 10654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
148121nnne0d 11681 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
149121, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
150145, 147, 148, 149mulne0d 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
151144, 150rereccld 11461 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
152 seqeq1 13367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹))
153122trireciplem 15212 . . . . . . . . . . . . . 14 seq1( + , 𝐹) ⇝ 1
154 climrel 14844 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ⇝
155154releldmi 5817 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
156153, 155mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
157152, 156eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
158157adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
159 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
160 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ¬ 𝑁 = 1)
161 elnn1uz2 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
162159, 161sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
163162ord 860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
164160, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
165 uz2m1nn 12317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
167 nncn 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
168167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
169 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
170168, 169npcand 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
171170eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
172171seqeq1d 13370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
173 nnuz 12275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
175138recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
176139, 175eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
178153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
179173, 174, 177, 178clim2ser 15006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
181172, 180eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
182154releldmi 5817 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
184159, 166, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
185158, 184pm2.61dan 809 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186120, 56, 140, 151, 185isumrecl 15115 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
187121nnrpd 12424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
188187rpge0d 12430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
189141, 188ge0p1rpd 12456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
190187, 189rpmulcld 12442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
191118adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 1)
192142, 190, 191divge0d 12466 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
193120, 56, 140, 151, 185, 192isumge0 15116 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
194115, 186, 110, 193leadd2dd 11249 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) ≤ (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
195110recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
196195addid1d 10834 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
197196eqcomd 2832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0))
198 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
199139adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
200133adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
201 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
202200, 201addcld 10654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
203200, 202mulcld 10655 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
204136adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
20598adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
206200, 202, 204, 205mulne0d 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
207203, 206reccld 11403 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
208153, 155mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
209173, 120, 198, 199, 207, 208isumsplit 15190 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
210194, 197, 2093brtr4d 5095 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
211 1zzd 12007 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
212139adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
213175adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
214153a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
215173, 211, 212, 213, 214isumclim 15107 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1)
216215mptru 1537 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1
217210, 216breqtrdi 5104 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ 1)
218110, 111, 30, 119, 217lemul2ad 11574 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ ((1 / 4) · 1))
219 4cn 11716 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
220219a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
221112a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
222221gt0ne0d 11198 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
223220, 222reccld 11403 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
224102recnd 10663 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
22561, 223, 224fsummulc2 15134 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
226223mulid1d 10652 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · 1) = (1 / 4))
227218, 225, 2263brtr3d 5094 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ (1 / 4))
22888, 104, 30, 109, 227letrd 10791 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ (1 / 4))
22960, 228eqbrtrd 5085 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) ≤ (1 / 4))
23017, 26, 30, 229subled 11237 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  4c4 11688  cz 11975  cuz 12237  +crp 12384  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  seqcseq 13364  cexp 13424  !cfa 13628  csqrt 14587  cli 14836  Σcsu 15037  eceu 15411  logclog 25070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-e 15417  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-ulm 24899  df-log 25072  df-cxp 25073
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  42256
  Copyright terms: Public domain W3C validator