Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem12 45252
Description: The sequence 𝐵 is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem12.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
stirlinglem12.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12219 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32stirlinglem2 45242 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
4 relogcl 26425 . . . . . 6 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
6 nfcv 2895 . . . . . 6 𝑛1
7 nfcv 2895 . . . . . . 7 𝑛log
8 nfmpt1 5246 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
92, 8nfcxfr 2893 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
109, 6nffv 6891 . . . . . . 7 𝑛(𝐴‘1)
117, 10nffv 6891 . . . . . 6 𝑛(log‘(𝐴‘1))
12 2fveq3 6886 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
13 stirlinglem12.2 . . . . . 6 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
146, 11, 12, 13fvmptf 7009 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
151, 5, 14mp2an 689 . . . 4 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
1615, 5eqeltri 2821 . . 3 (𝐵‘1) ∈ ℝ
1716a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
182stirlinglem2 45242 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
1918relogcld 26472 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
20 nfcv 2895 . . . . 5 𝑛𝑁
219, 20nffv 6891 . . . . . 6 𝑛(𝐴𝑁)
227, 21nffv 6891 . . . . 5 𝑛(log‘(𝐴𝑁))
23 2fveq3 6886 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑁)))
2420, 22, 23, 13fvmptf 7009 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2519, 24mpdan 684 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) = (log‘(𝐴𝑁)))
2625, 19eqeltrd 2825 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
27 4re 12292 . . . 4 4 ∈ ℝ
28 4ne0 12316 . . . 4 4 ≠ 0
2927, 28rereccli 11975 . . 3 (1 / 4) ∈ ℝ
3029a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
31 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
32 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵‘(𝑗 + 1)))
33 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐵𝑘) = (𝐵‘1))
34 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑁))
35 elnnuz 12862 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
3635biimpi 215 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
37 elfznn 13526 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
382stirlinglem2 45242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4039relogcld 26472 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
41 nfcv 2895 . . . . . . . . 9 𝑛𝑘
429, 41nffv 6891 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
437, 42nffv 6891 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
44 2fveq3 6886 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
4541, 43, 44, 13fvmptf 7009 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4637, 40, 45syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4746adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
4839rpcnd 13014 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4948adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5038rpne0d 13017 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5137, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5251adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
5349, 52logcld 26420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
5447, 53eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
5531, 32, 33, 34, 36, 54telfsumo 15744 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)))
56 nnz 12575 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57 fzoval 13629 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
5958sumeq1d 15643 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1..^𝑁)((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
6055, 59eqtr3d 2766 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))))
61 fzfid 13934 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
62 elfznn 13526 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
6362adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
642stirlinglem2 45242 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴𝑗) ∈ ℝ+)
6564relogcld 26472 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ)
66 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑗
679, 66nffv 6891 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝐴𝑗)
687, 67nffv 6891 . . . . . . . . . 10 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
69 2fveq3 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
7066, 68, 69, 13fvmptf 7009 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑗)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7165, 70mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) = (log‘(𝐴𝑗)))
7271, 65eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7363, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
74 peano2nn 12220 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
752stirlinglem2 45242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
7776relogcld 26472 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
78 nfcv 2895 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑗 + 1)
799, 78nffv 6891 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
807, 79nffv 6891 . . . . . . . . . . 11 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
81 2fveq3 6886 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8278, 80, 81, 13fvmptf 7009 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8374, 77, 82syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
8483, 77eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8562, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8685adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8773, 86resubcld 11638 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8861, 87fsumrecl 15676 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8929a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9062nnred 12223 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
91 1red 11211 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
9290, 91readdcld 11239 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
9390, 92remulcld 11240 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9490recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
95 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
9694, 95addcld 11229 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
9762nnne0d 12258 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ≠ 0)
9874nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
9962, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
10094, 96, 97, 99mulne0d 11862 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
10193, 100rereccld 12037 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
102101adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
10389, 102remulcld 11240 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
10461, 103fsumrecl 15676 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
105 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑖) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑖))))
106 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑗) + 1)↑2))↑𝑖))
1072, 13, 105, 106stirlinglem10 45250 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
10863, 107syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
10961, 87, 103, 108fsumle 15741 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
11061, 102fsumrecl 15676 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
111 1red 11211 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
112 4pos 12315 . . . . . . . . 9 0 < 4
11327, 112elrpii 12973 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
114113a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
115 0red 11213 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
116 0lt1 11732 . . . . . . . . 9 0 < 1
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
118115, 111, 117ltled 11358 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
119111, 114, 118divge0d 13052 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 4))
120 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
121 eluznn 12898 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
122 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → 𝑛 = 𝑗)
125124oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
126124, 125oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) = (𝑗 · (𝑗 + 1)))
127126oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
128 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
129 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
130 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
131129, 130readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
132129, 131remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
133 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
134 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
135133, 134addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
136 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
137133, 135, 136, 98mulne0d 11862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
138132, 137rereccld 12037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
139123, 127, 128, 138fvmptd 6995 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
140121, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
141121nnred 12223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
142 1red 11211 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
144141, 143remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
145141recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
146 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
147145, 146addcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
148121nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
149121, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
150145, 147, 148, 149mulne0d 11862 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
151144, 150rereccld 12037 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
152 seqeq1 13965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹))
153122trireciplem 15804 . . . . . . . . . . . . . 14 seq1( + , 𝐹) ⇝ 1
154 climrel 15432 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ⇝
155154releldmi 5937 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
156153, 155mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
157152, 156eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
158157adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
159 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
160 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ¬ 𝑁 = 1)
161 elnn1uz2 12905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
162159, 161sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
163162ord 861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
164160, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
165 uz2m1nn 12903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
167 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
169 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
170168, 169npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
171170eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
172171seqeq1d 13968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
173 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
175138recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
176139, 175eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
177176adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
178153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
179173, 174, 177, 178clim2ser 15597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
181172, 180eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
182154releldmi 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (1 − (seq1( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
184159, 166, 183syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
185158, 184pm2.61dan 810 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186120, 56, 140, 151, 185isumrecl 15707 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
187121nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
188187rpge0d 13016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
189141, 188ge0p1rpd 13042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
190187, 189rpmulcld 13028 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
191118adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ 1)
192142, 190, 191divge0d 13052 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
193120, 56, 140, 151, 185, 192isumge0 15708 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
194115, 186, 110, 193leadd2dd 11825 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) ≤ (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
195110recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
196195addridd 11410 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
197196eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + 0))
198 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
199139adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
200133adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
201 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
202200, 201addcld 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
203200, 202mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
204136adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≠ 0)
20598adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
206200, 202, 204, 205mulne0d 11862 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · (𝑗 + 1)) ≠ 0)
207203, 206reccld 11979 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
208153, 155mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
209173, 120, 198, 199, 207, 208isumsplit 15782 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) + Σ𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
210194, 197, 2093brtr4d 5170 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
211 1zzd 12589 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
212139adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))))
213175adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
214153a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 1)
215173, 211, 212, 213, 214isumclim 15699 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1)
216215mptru 1540 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) = 1
217210, 216breqtrdi 5179 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ≤ 1)
218110, 111, 30, 119, 217lemul2ad 12150 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ ((1 / 4) · 1))
219 4cn 12293 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
220219a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
221112a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
222221gt0ne0d 11774 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
223220, 222reccld 11979 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
224102recnd 11238 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
22561, 223, 224fsummulc2 15726 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))(1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))))
226223mulridd 11227 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · 1) = (1 / 4))
227218, 225, 2263brtr3d 5169 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((1 / 4) · (1 / (𝑗 · (𝑗 + 1)))) ≤ (1 / 4))
22888, 104, 30, 109, 227letrd 11367 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝐵𝑗) − (𝐵‘(𝑗 + 1))) ≤ (1 / 4))
22960, 228eqbrtrd 5160 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (𝐵𝑁)) ≤ (1 / 4))
23017, 26, 30, 229subled 11813 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  cmpt 5221  dom cdm 5666  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  seqcseq 13962  cexp 14023  !cfa 14229  csqrt 15176  cli 15424  Σcsu 15628  eceu 16002  logclog 26404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-ulm 26229  df-log 26406  df-cxp 26407
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  45253
  Copyright terms: Public domain W3C validator