Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem heiborlem5 36672
Description: Lemma for heibor 36678. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 24817. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem5 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝑒,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘š,𝑀,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑒)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)   𝑀(𝑣,𝑛)
Proof of Theorem heiborlem5
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12476 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋
3 heibor.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
43ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
52, 4sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝒫 𝑋)
65elpwid 4611 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† 𝑋)
7 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
11 heibor.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
167, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15heiborlem4 36671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜)
17 fvex 6902 . . . . . . . . . 10 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
18 vex 3479 . . . . . . . . . 10 π‘˜ ∈ V
197, 8, 9, 17, 18heiborlem2 36669 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ ((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∈ 𝐾))
2019simp2bi 1147 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
2116, 20syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
226, 21sseldd 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
231, 22sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2423ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
25 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘›))
2625eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋))
2726cbvralvw 3235 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋)
2824, 27sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋)
29 3re 12289 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
30 3pos 12314 . . . . . . 7 0 < 3
3129, 30elrpii 12974 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
32 2nn 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
33 nnnn0 12476 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
34 nnexpcl 14037 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
3532, 33, 34sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
3635nnrpd 13011 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37 rpdivcl 12996 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3831, 36, 37sylancr 588 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39 opelxpi 5713 . . . . . 6 (((π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
4039expcom 415 . . . . 5 ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋 β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋 β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
4241ralimia 3081 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘†β€˜π‘›) ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
4328, 42syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
44 heibor.12 . . 3 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
4544fmpt 7107 . 2 (βˆ€π‘› ∈ β„• ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ 𝑀:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
4643, 45sylib 217 1 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  2nd c2nd 7971  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  β„•0cn0 12469  β„+crp 12971  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  ballcbl 20924  MetOpencmopn 20927  CMetccmet 24763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  heiborlem8  36675  heiborlem9  36676
  Copyright terms: Public domain W3C validator