Theorem heiborlem5 37802

Description: Lemma for heibor 37808. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 25241. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem5	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2		inss1 4196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
3		heibor.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
4	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
5	2, 4	sselid 3941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ⊆ 𝑋)
7		heibor.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15	heiborlem4 37801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘)𝐺𝑘)
17		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
18		vex 3448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
19	7, 8, 9, 17, 18	heiborlem2 37799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ ((𝑆‘𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
20	19	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
22	6, 21	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
23	1, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
24	23	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
25		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑆‘𝑘) = (𝑆‘𝑛))
26	25	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋))
27	26	cbvralvw 3213	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
28	24, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
29		3re 12242	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30		3pos 12267	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
31	29, 30	elrpii 12930	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
32		2nn 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
33		nnnn0 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		nnexpcl 14015	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
35	32, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 12969	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37		rpdivcl 12954	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
38	31, 36, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39		opelxpi 5668	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
40	39	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
42	41	ralimia 3063	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
43	28, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
44		heibor.12	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
45	44	fmpt 7064	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+) ↔ 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
46	43, 45	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102  {copab 5164   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  2^nd c2nd 7946  Fincfn 8895  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ℝ⁺crp 12927  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  ballcbl 21283  MetOpencmopn 21286  CMetccmet 25187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  heiborlem8  37805  heiborlem9  37806