Theorem heiborlem5 37781

Description: Lemma for heibor 37787. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 25278. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem5	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2		inss1 4217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
3		heibor.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
4	3	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
5	2, 4	sselid 3961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ⊆ 𝑋)
7		heibor.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15	heiborlem4 37780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘)𝐺𝑘)
17		fvex 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
18		vex 3467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
19	7, 8, 9, 17, 18	heiborlem2 37778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ ((𝑆‘𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
20	19	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
22	6, 21	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
23	1, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
24	23	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
25		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑆‘𝑘) = (𝑆‘𝑛))
26	25	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋))
27	26	cbvralvw 3223	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
28	24, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
29		3re 12328	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30		3pos 12353	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
31	29, 30	elrpii 13019	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
32		2nn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
33		nnnn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		nnexpcl 14097	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
35	32, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 13057	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37		rpdivcl 13042	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
38	31, 36, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39		opelxpi 5702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
40	39	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
42	41	ralimia 3069	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
43	28, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
44		heibor.12	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
45	44	fmpt 7110	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+) ↔ 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
46	43, 45	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  𝒫 cpw 4580  ⟨cop 4612  ∪ cuni 4887  ∪ ciun 4971   class class class wbr 5123  {copab 5185   ↦ cmpt 5205   × cxp 5663  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  2^nd c2nd 7995  Fincfn 8967  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   − cmin 11474   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  ℕ₀cn0 12509  ℝ⁺crp 13016  seqcseq 14024  ↑cexp 14084  ballcbl 21313  MetOpencmopn 21316  CMetccmet 25224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  heiborlem8  37784  heiborlem9  37785