Theorem heiborlem5 37804

Description: Lemma for heibor 37810. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 25214. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem5	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12455	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2		inss1 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
3		heibor.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
4	3	ffvelcdmda 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
5	2, 4	sselid 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ⊆ 𝑋)
7		heibor.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15	heiborlem4 37803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘)𝐺𝑘)
17		fvex 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
18		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
19	7, 8, 9, 17, 18	heiborlem2 37801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ ((𝑆‘𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
20	19	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
22	6, 21	sseldd 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
23	1, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
24	23	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋)
25		fveq2 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑆‘𝑘) = (𝑆‘𝑛))
26	25	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋))
27	26	cbvralvw 3216	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
28	24, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋)
29		3re 12267	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
30		3pos 12292	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
31	29, 30	elrpii 12960	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
32		2nn 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
33		nnnn0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		nnexpcl 14045	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
35	32, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
36	35	nnrpd 12999	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37		rpdivcl 12984	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
38	31, 36, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39		opelxpi 5677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
40	39	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
42	41	ralimia 3064	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆‘𝑛) ∈ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
43	28, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
44		heibor.12	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
45	44	fmpt 7084	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+) ↔ 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
46	43, 45	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ifcif 4490  𝒫 cpw 4565  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4873  ∪ ciun 4957   class class class wbr 5109  {copab 5171   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  2^nd c2nd 7969  Fincfn 8920  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  ℕ₀cn0 12448  ℝ⁺crp 12957  seqcseq 13972  ↑cexp 14032  ballcbl 21257  MetOpencmopn 21260  CMetccmet 25160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  heiborlem8  37807  heiborlem9  37808