Theorem stoweidlem5 46779

Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 ∖ 𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem5.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem5.2	⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
stoweidlem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑑)   𝐶(𝑡, 𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡, 𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem5.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2		stoweidlem5.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		halfre 12474	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 12476	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	3, 4	elrpii 13037	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
6		ifcl 4535	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7	2, 5, 6	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
8	1, 7	eqeltrid 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13078	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11		1red 11226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	2	rpred 13078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		min2 13234	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
14	12, 3, 13	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
15	1, 14	eqbrtrid 5148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (1 / 2))
16		halflt1 12478	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
18	9, 10, 11, 15, 17	lelttrd 11385	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
19		stoweidlem5.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
20	7	rpred 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
22	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		stoweidlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25		stoweidlem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
26	25	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑡 ∈ 𝑇)
27	24, 26	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
28		min1 13233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
29	12, 3, 28	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31		stoweidlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
32	31	r19.21bi 3259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
33	21, 22, 27, 30, 32	letrd 11384	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃‘𝑡))
34	1, 33	eqbrtrid 5148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
35	34	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑄 → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
36	19, 35	ralrimi 3265	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
37		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
40	39	ralbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))))
42	41	spcegv 3558	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
43	8, 42	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
44	8, 18, 36, 43	mp3and 1493	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  1c1 11118   < clt 11260   ≤ cle 11261   / cdiv 11888  2c2 12312  ℝ⁺crp 13034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-rp 13035

This theorem is used by:  stoweidlem28  46802