Theorem stoweidlem5 46003

Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 ∖ 𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem5.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem5.2	⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
stoweidlem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem5.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2		stoweidlem5.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		halfre 12395	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 12397	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	3, 4	elrpii 12954	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
6		ifcl 4534	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
8	1, 7	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11		1red 11175	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	2	rpred 12995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		min2 13150	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
14	12, 3, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
15	1, 14	eqbrtrid 5142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (1 / 2))
16		halflt1 12399	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
18	9, 10, 11, 15, 17	lelttrd 11332	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
19		stoweidlem5.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
20	7	rpred 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
22	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		stoweidlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25		stoweidlem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
26	25	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑡 ∈ 𝑇)
27	24, 26	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
28		min1 13149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
29	12, 3, 28	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31		stoweidlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
32	31	r19.21bi 3229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
33	21, 22, 27, 30, 32	letrd 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃‘𝑡))
34	1, 33	eqbrtrid 5142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
35	34	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑄 → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
36	19, 35	ralrimi 3235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
37		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
40	39	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))))
42	41	spcegv 3563	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
43	8, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
44	8, 18, 36, 43	mp3and 1466	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  stoweidlem28  46026