Theorem stoweidlem5 46579

Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 ∖ 𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem5.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem5.2	⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
stoweidlem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem5.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2		stoweidlem5.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		halfre 12434	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 12436	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	3, 4	elrpii 12996	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
6		ifcl 4526	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7	2, 5, 6	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
8	1, 7	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13037	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11		1red 11182	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	2	rpred 13037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		min2 13193	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
14	12, 3, 13	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
15	1, 14	eqbrtrid 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (1 / 2))
16		halflt1 12438	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
18	9, 10, 11, 15, 17	lelttrd 11341	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
19		stoweidlem5.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
20	7	rpred 13037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
22	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		stoweidlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25		stoweidlem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
26	25	sselda 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑡 ∈ 𝑇)
27	24, 26	ffvelcdmd 7066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
28		min1 13192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
29	12, 3, 28	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
30	29	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31		stoweidlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
32	31	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
33	21, 22, 27, 30, 32	letrd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃‘𝑡))
34	1, 33	eqbrtrid 5135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
35	34	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑄 → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
36	19, 35	ralrimi 3260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
37		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38		breq1 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
40	39	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1457	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))))
42	41	spcegv 3556	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
43	8, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
44	8, 18, 36, 43	mp3and 1485	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ∃wex 1799  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844  2c2 12272  ℝ⁺crp 12993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-rp 12994

This theorem is referenced by:  stoweidlem28  46602