Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem5 45298
Description: There exists a Ξ΄ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < Ξ΄ < 1 , p >= Ξ΄ on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. Here 𝐷 is used to represent Ξ΄ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 βˆ– π‘ˆ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem5.2 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
stoweidlem5.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem5.4 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
stoweidlem5.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑑)   𝐢(𝑑,𝑑)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝑇(𝑑,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
2 stoweidlem5.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3 halfre 12430 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 12432 . . . . 5 0 < (1 / 2)
53, 4elrpii 12983 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
6 ifcl 4568 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
72, 5, 6sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
81, 7eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
98rpred 13022 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
103a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11 1red 11219 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
122rpred 13022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
13 min2 13175 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
1412, 3, 13sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
151, 14eqbrtrid 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ (1 / 2))
16 halflt1 12434 . . . 4 (1 / 2) < 1
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) < 1)
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 11376 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
19 stoweidlem5.1 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
207rpred 13022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2212adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
2625sselda 3977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2724, 26ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
28 min1 13174 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
2912, 3, 28sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3231r19.21bi 3242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3321, 22, 27, 30, 32letrd 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
341, 33eqbrtrid 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3534ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑄 β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
3619, 35ralrimi 3248 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
37 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38 breq1 5144 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4039ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4137, 38, 403anbi123d 1432 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
4241spcegv 3581 . . 3 (𝐷 ∈ ℝ+ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
438, 42syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
448, 18, 36, 43mp3and 1460 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  45321
  Copyright terms: Public domain W3C validator