Theorem stoweidlem5 47014

Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 ∖ 𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem5.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem5.2	⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
stoweidlem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑑)   𝐶(𝑡, 𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡, 𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem5.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2		stoweidlem5.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		halfre 12559	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 12561	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	3, 4	elrpii 13123	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
6		ifcl 4528	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7	2, 5, 6	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
8	1, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11		1red 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	2	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		min2 13320	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
14	12, 3, 13	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
15	1, 14	eqbrtrid 5140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (1 / 2))
16		halflt1 12563	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
18	9, 10, 11, 15, 17	lelttrd 11468	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
19		stoweidlem5.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
20	7	rpred 13164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
22	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		stoweidlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25		stoweidlem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
26	25	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑡 ∈ 𝑇)
27	24, 26	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
28		min1 13319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
29	12, 3, 28	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31		stoweidlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
32	31	r19.21bi 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
33	21, 22, 27, 30, 32	letrd 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃‘𝑡))
34	1, 33	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
35	34	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑄 → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
36	19, 35	ralrimi 3261	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
37		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
40	39	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))))
42	41	spcegv 3552	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
43	8, 42	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
44	8, 18, 36, 43	mp3and 1493	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121

This theorem is used by:  stoweidlem28  47037