Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem5 44336
Description: There exists a Ξ΄ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < Ξ΄ < 1 , p >= Ξ΄ on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. Here 𝐷 is used to represent Ξ΄ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 βˆ– π‘ˆ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem5.2 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
stoweidlem5.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem5.4 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
stoweidlem5.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑑)   𝐢(𝑑,𝑑)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝑇(𝑑,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
2 stoweidlem5.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3 halfre 12375 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 12377 . . . . 5 0 < (1 / 2)
53, 4elrpii 12926 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
6 ifcl 4535 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
72, 5, 6sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
81, 7eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
98rpred 12965 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
103a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11 1red 11164 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
122rpred 12965 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
13 min2 13118 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
1412, 3, 13sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
151, 14eqbrtrid 5144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ (1 / 2))
16 halflt1 12379 . . . 4 (1 / 2) < 1
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) < 1)
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 11321 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
19 stoweidlem5.1 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
207rpred 12965 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2212adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
2625sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2724, 26ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
28 min1 13117 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
2912, 3, 28sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3231r19.21bi 3233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3321, 22, 27, 30, 32letrd 11320 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
341, 33eqbrtrid 5144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3534ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑄 β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
3619, 35ralrimi 3239 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
37 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38 breq1 5112 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39 breq1 5112 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4039ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4137, 38, 403anbi123d 1437 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
4241spcegv 3558 . . 3 (𝐷 ∈ ℝ+ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
438, 42syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
448, 18, 36, 43mp3and 1465 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  44359
  Copyright terms: Public domain W3C validator