Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem5 45455
Description: There exists a Ξ΄ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < Ξ΄ < 1 , p >= Ξ΄ on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. Here 𝐷 is used to represent Ξ΄ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 βˆ– π‘ˆ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem5.2 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
stoweidlem5.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem5.4 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
stoweidlem5.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑑)   𝐢(𝑑,𝑑)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝑇(𝑑,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3 𝐷 = if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2))
2 stoweidlem5.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3 halfre 12454 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 12456 . . . . 5 0 < (1 / 2)
53, 4elrpii 13007 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
6 ifcl 4569 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
72, 5, 6sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
81, 7eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
98rpred 13046 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
103a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11 1red 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
122rpred 13046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
13 min2 13199 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
1412, 3, 13sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (1 / 2))
151, 14eqbrtrid 5178 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ (1 / 2))
16 halflt1 12458 . . . 4 (1 / 2) < 1
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 2) < 1)
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 11400 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
19 stoweidlem5.1 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
207rpred 13046 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2212adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† 𝑇)
2625sselda 3972 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2724, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
28 min1 13198 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
2912, 3, 28sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ 𝐢)
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3231r19.21bi 3239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐢 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3321, 22, 27, 30, 32letrd 11399 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ if(𝐢 ≀ (1 / 2), 𝐢, (1 / 2)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
341, 33eqbrtrid 5178 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑄) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
3534ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑄 β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
3619, 35ralrimi 3245 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
37 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38 breq1 5146 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4039ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4137, 38, 403anbi123d 1432 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
4241spcegv 3577 . . 3 (𝐷 ∈ ℝ+ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
438, 42syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))))
448, 18, 36, 43mp3and 1460 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑄 𝑑 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  ifcif 4524   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  1c1 11137   < clt 11276   ≀ cle 11277   / cdiv 11899  2c2 12295  β„+crp 13004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-2 12303  df-rp 13005
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  45478
  Copyright terms: Public domain W3C validator