Theorem stoweidlem5 44711

Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇 ∖ 𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem5.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem5.2	⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
stoweidlem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem5	⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem5.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2		stoweidlem5.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		halfre 12425	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4		halfgt0 12427	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
5	3, 4	elrpii 12976	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
6		ifcl 4573	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
8	1, 7	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11		1red 11214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	2	rpred 13015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		min2 13168	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
14	12, 3, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
15	1, 14	eqbrtrid 5183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (1 / 2))
16		halflt1 12429	. . . 4 ⊢ (1 / 2) < 1
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
18	9, 10, 11, 15, 17	lelttrd 11371	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
19		stoweidlem5.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
20	7	rpred 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
22	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		stoweidlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25		stoweidlem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑇)
26	25	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝑡 ∈ 𝑇)
27	24, 26	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
28		min1 13167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
29	12, 3, 28	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31		stoweidlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
32	31	r19.21bi 3248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃‘𝑡))
33	21, 22, 27, 30, 32	letrd 11370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃‘𝑡))
34	1, 33	eqbrtrid 5183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
35	34	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑄 → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
36	19, 35	ralrimi 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
37		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ 𝐷 ∈ ℝ+))
38		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
40	39	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)))
41	37, 38, 40	3anbi123d 1436	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))))
42	41	spcegv 3587	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
43	8, 42	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡))))
44	8, 18, 36, 43	mp3and 1464	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑄 𝑑 ≤ (𝑃‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   < clt 11247   ≤ cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  ℝ⁺crp 12973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974

This theorem is referenced by:  stoweidlem28  44734