MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemf 27097
Description: Lemma for pnt 27106. Add up the pieces in pntlemi 27096 to get an estimate slightly better than the naive lower bound 0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 βˆ’ (1 / 𝐷)) Β· ((𝐿 / (32 Β· 𝐡)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (π‘ˆ / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (expβ€˜(𝐡 / 𝐸))
pntlem1.y (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘Œ))
pntlem1.x (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ π‘Œ < 𝑋))
pntlem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
pntlem1.w π‘Š = (((π‘Œ + (4 / (𝐿 Β· 𝐸)))↑2) + (((𝑋 Β· (𝐾↑2))↑4) + (expβ€˜(((32 Β· 𝐡) / ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (𝐿 Β· (𝐸↑2)))) Β· ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢)))))
pntlem1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π‘‹) / (logβ€˜πΎ))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (βŒŠβ€˜(((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 2))
pntlem1.U (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ[,)+∞)(absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ)
pntlem1.K (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋(,)+∞)βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 Β· 𝐸)) Β· 𝑧) < (𝐾 Β· 𝑦)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 Β· 𝐸)) Β· 𝑧))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘’) / 𝑒)) ≀ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntlemf (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑦,𝑛,𝑧,𝑒,𝐿   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   πœ‘,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑒,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑧   𝑛,π‘Š,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,π‘Œ,𝑧   𝑛,π‘Ž,𝑒,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑒,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑒,π‘Ž)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑒,𝑛,π‘Ž)   𝐡(𝑦,𝑧,𝑒,𝑛,π‘Ž)   𝐢(𝑦,𝑒,𝑛,π‘Ž)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑒,𝑛,π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,𝑒,π‘Ž)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑛,π‘Ž)   𝐾(𝑒,π‘Ž)   𝐿(π‘Ž)   𝑀(𝑦,𝑒,π‘Ž)   𝑁(𝑦,𝑒,π‘Ž)   π‘Š(𝑦,𝑒,π‘Ž)   𝑋(𝑒,π‘Ž)   π‘Œ(𝑦,𝑒,π‘Ž)   𝑍(𝑦,π‘Ž)

Proof of Theorem pntlemf
Dummy variables 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
2 pntlem1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((1 βˆ’ (1 / 𝐷)) Β· ((𝐿 / (32 Β· 𝐡)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . 7 𝐸 = (π‘ˆ / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . 7 𝐾 = (expβ€˜(𝐡 / 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ+)))
1211simp3d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ+))
1312simp3d 1144 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ+)
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 27086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
1514simp1d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ+)
1611simp1d 1142 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
17 2z 12590 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
18 rpexpcl 14042 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
2015, 19rpmulcld 13028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
21 3nn0 12486 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
22 2nn 12281 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
2321, 22decnncl 12693 . . . . . . . 8 32 ∈ β„•
24 nnrp 12981 . . . . . . . 8 (32 ∈ β„• β†’ 32 ∈ ℝ+)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 32 ∈ ℝ+
26 rpmulcl 12993 . . . . . . 7 ((32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ (32 Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
2725, 3, 26sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (32 Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
2820, 27rpdivcld 13029 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
29 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘Œ))
30 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ π‘Œ < 𝑋))
31 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
32 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (((π‘Œ + (4 / (𝐿 Β· 𝐸)))↑2) + (((𝑋 Β· (𝐾↑2))↑4) + (expβ€˜(((32 Β· 𝐡) / ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (𝐿 Β· (𝐸↑2)))) Β· ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢)))))
33 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š[,)+∞))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33pntlemb 27089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≀ (βˆšβ€˜π‘) ∧ (βˆšβ€˜π‘) ≀ (𝑍 / π‘Œ)) ∧ ((4 / (𝐿 Β· 𝐸)) ≀ (βˆšβ€˜π‘) ∧ (((logβ€˜π‘‹) / (logβ€˜πΎ)) + 2) ≀ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ∧ ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢) ≀ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡))) Β· (logβ€˜π‘)))))
3534simp1d 1142 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
3635rpred 13012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
3734simp2d 1143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 < 𝑍 ∧ e ≀ (βˆšβ€˜π‘) ∧ (βˆšβ€˜π‘) ≀ (𝑍 / π‘Œ)))
3837simp1d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑍)
3936, 38rplogcld 26128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
40 rpexpcl 14042 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ ((logβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ+)
4139, 17, 40sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ+)
4228, 41rpmulcld 13028 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) ∈ ℝ+)
4313, 42rpmulcld 13028 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ∈ ℝ+)
4443rpred 13012 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ∈ ℝ)
4515, 16rpmulcld 13028 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 𝐸) ∈ ℝ+)
46 8re 12304 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
47 8pos 12320 . . . . . . . 8 0 < 8
4846, 47elrpii 12973 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
49 rpdivcl 12995 . . . . . . 7 (((𝐿 Β· 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
5045, 48, 49sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
5150, 39rpmulcld 13028 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
5213, 51rpmulcld 13028 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ+)
5352rpred 13012 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
54 pntlem1.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π‘‹) / (logβ€˜πΎ))) + 1)
55 pntlem1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (βŒŠβ€˜(((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 2))
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55pntlemg 27090 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
5756simp1d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5856simp2d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
59 eluznn 12898 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6160nnred 12223 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6257nnred 12223 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6361, 62resubcld 11638 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ)
6453, 63remulcld 11240 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
65 fzfid 13934 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) ∈ Fin)
667rpred 13012 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
67 elfznn 13526 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
68 nndivre 12249 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ˆ / 𝑛) ∈ ℝ)
6966, 67, 68syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (π‘ˆ / 𝑛) ∈ ℝ)
7035adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
7167adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
7271nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
7370, 72rpdivcld 13029 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+)
741pntrf 27055 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
7574ffvelcdmi 7082 . . . . . . . . 9 ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7776, 70rerpdivcld 13043 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
7877recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ β„‚)
7978abscld 15379 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
8069, 79resubcld 11638 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ ((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
8172relogcld 26122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
8280, 81remulcld 11240 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8365, 82fsumrecl 15676 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8445rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 𝐸) ∈ β„‚)
8511simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
8685rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
8712simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐾)
8886, 87rplogcld 26128 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (logβ€˜πΎ) ∈ ℝ+)
8939, 88rpdivcld 13029 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) ∈ β„‚)
91 rpcnne0 12988 . . . . . . . . . 10 (8 ∈ ℝ+ β†’ (8 ∈ β„‚ ∧ 8 β‰  0))
9248, 91mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (8 ∈ β„‚ ∧ 8 β‰  0))
93 4re 12292 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
94 4pos 12315 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
9593, 94elrpii 12973 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
96 rpcnne0 12988 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ+ β†’ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0))
98 divmuldiv 11910 . . . . . . . . 9 ((((𝐿 Β· 𝐸) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) ∈ β„‚) ∧ ((8 ∈ β„‚ ∧ 8 β‰  0) ∧ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0))) β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) = (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ))) / (8 Β· 4)))
9984, 90, 92, 97, 98syl22anc 837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) = (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ))) / (8 Β· 4)))
10010fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (logβ€˜πΎ) = (logβ€˜(expβ€˜(𝐡 / 𝐸)))
1013, 16rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐸) ∈ ℝ+)
102101rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐸) ∈ ℝ)
103102relogefd 26127 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(expβ€˜(𝐡 / 𝐸))) = (𝐡 / 𝐸))
104100, 103eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜πΎ) = (𝐡 / 𝐸))
105104oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) = ((logβ€˜π‘) / (𝐡 / 𝐸)))
10639rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
1073rpcnne0d 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
10816rpcnne0d 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
109 divdiv2 11922 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0)) β†’ ((logβ€˜π‘) / (𝐡 / 𝐸)) = (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡))
110106, 107, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (𝐡 / 𝐸)) = (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡))
111105, 110eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) = (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡))
112111oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ))) = ((𝐿 Β· 𝐸) Β· (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡)))
11316rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
114106, 113mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) ∈ β„‚)
115 divass 11886 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 Β· 𝐸) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸)) / 𝐡) = ((𝐿 Β· 𝐸) Β· (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡)))
11684, 114, 107, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸)) / 𝐡) = ((𝐿 Β· 𝐸) Β· (((logβ€˜π‘) Β· 𝐸) / 𝐡)))
11715rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
118117, 113, 106, 113mul4d 11422 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸)) = ((𝐿 Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝐸 Β· 𝐸)))
119113sqvald 14104 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) = (𝐸 Β· 𝐸))
120119oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝐸↑2)) = ((𝐿 Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝐸 Β· 𝐸)))
121113sqcld 14105 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„‚)
122117, 106, 121mul32d 11420 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝐸↑2)) = ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)))
123118, 120, 1223eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸)) = ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)))
124123oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) Β· 𝐸)) / 𝐡) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡))
125112, 116, 1243eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ))) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡))
126 8t4e32 12790 . . . . . . . . . 10 (8 Β· 4) = 32
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (8 Β· 4) = 32)
128125, 127oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ))) / (8 Β· 4)) = ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡) / 32))
12920rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (𝐸↑2)) ∈ β„‚)
130129, 106mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
131 rpcnne0 12988 . . . . . . . . . . 11 (32 ∈ ℝ+ β†’ (32 ∈ β„‚ ∧ 32 β‰  0))
13225, 131mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (32 ∈ β„‚ ∧ 32 β‰  0))
133 divdiv1 11921 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ (32 ∈ β„‚ ∧ 32 β‰  0)) β†’ ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡) / 32) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (𝐡 Β· 32)))
134130, 107, 132, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡) / 32) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (𝐡 Β· 32)))
13523nncni 12218 . . . . . . . . . . 11 32 ∈ β„‚
1363rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
137 mulcom 11192 . . . . . . . . . . 11 ((32 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (32 Β· 𝐡) = (𝐡 Β· 32))
138135, 136, 137sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (32 Β· 𝐡) = (𝐡 Β· 32))
139138oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (32 Β· 𝐡)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (𝐡 Β· 32)))
14027rpcnne0d 13021 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((32 Β· 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (32 Β· 𝐡) β‰  0))
141 div23 11887 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ ((32 Β· 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (32 Β· 𝐡) β‰  0)) β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (32 Β· 𝐡)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)))
142129, 106, 140, 141syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / (32 Β· 𝐡)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)))
143134, 139, 1423eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) Β· (logβ€˜π‘)) / 𝐡) / 32) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)))
14499, 128, 1433eqtrd 2776 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)))
145144oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) Β· (logβ€˜π‘)) = ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (logβ€˜π‘)))
14650rpcnd 13014 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐸) / 8) ∈ β„‚)
14789rpred 13012 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) ∈ ℝ)
148 4nn 12291 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„•
149 nndivre 12249 . . . . . . . . 9 ((((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•) β†’ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ∈ ℝ)
150147, 148, 149sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ∈ ℝ)
151150recnd 11238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ∈ β„‚)
152146, 106, 151mul32d 11420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) = ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) Β· (logβ€˜π‘)))
153106sqvald 14104 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘)↑2) = ((logβ€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘)))
154153oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
15528rpcnd 13014 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
156155, 106, 106mulassd 11233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (logβ€˜π‘)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
157154, 156eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) = ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (logβ€˜π‘)))
158145, 152, 1573eqtr4d 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) = (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)))
15956simp3d 1144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))
160150, 63, 51lemul2d 13056 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ↔ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) ≀ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
161159, 160mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4)) ≀ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
162158, 161eqbrtrrd 5171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) ≀ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
16342rpred 13012 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) ∈ ℝ)
16451rpred 13012 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
165164, 63remulcld 11240 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
166163, 165, 13lemul2d 13056 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2)) ≀ ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ≀ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)))))
167162, 166mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ≀ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
16813rpcnd 13014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝐸) ∈ β„‚)
16951rpcnd 13014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
17063recnd 11238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
171168, 169, 170mulassd 11233 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· ((((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
172167, 171breqtrrd 5175 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ≀ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
173 fzfid 13934 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) ∈ Fin)
17460nnzd 12581 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
17585, 174rpexpcld 14206 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ+)
17635, 175rpdivcld 13029 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑍 / (𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ+)
177176rprege0d 13019 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑍 / (𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑁))))
178 flge0nn0 13781 . . . . . . . . 9 (((𝑍 / (𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑁))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) ∈ β„•0)
179 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1) ∈ β„•)
180177, 178, 1793syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1) ∈ β„•)
181 nnuz 12861 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
182180, 181eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
183 fzss1 13536 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
184182, 183syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
185184sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
186185, 82syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
187173, 186fsumrecl 15676 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
188 eluzfz2 13505 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
18958, 188syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
190 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘š βˆ’ 𝑀) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
191190oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)))
192 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑀 β†’ (πΎβ†‘π‘š) = (𝐾↑𝑀))
193192oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝑍 / (πΎβ†‘π‘š)) = (𝑍 / (𝐾↑𝑀)))
194193fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑀 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))))
195194oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1))
196195oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
197196sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
198191, 197breq12d 5160 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
199198imbi2d 340 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
200 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑗 β†’ (π‘š βˆ’ 𝑀) = (𝑗 βˆ’ 𝑀))
201200oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑗 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)))
202 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑗 β†’ (πΎβ†‘π‘š) = (𝐾↑𝑗))
203202oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑗 β†’ (𝑍 / (πΎβ†‘π‘š)) = (𝑍 / (𝐾↑𝑗)))
204203fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑗 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))
205204oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑗 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1))
206205oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑗 β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
207206sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑗 β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
208201, 207breq12d 5160 . . . . . 6 (π‘š = 𝑗 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
209208imbi2d 340 . . . . 5 (π‘š = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
210 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑀) = ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀))
211210oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)))
212 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (πΎβ†‘π‘š) = (𝐾↑(𝑗 + 1)))
213212oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (𝑍 / (πΎβ†‘π‘š)) = (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))))
214213fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))))
215214oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1))
216215oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
217216sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
218211, 217breq12d 5160 . . . . . 6 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
219218imbi2d 340 . . . . 5 (π‘š = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
220 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š βˆ’ 𝑀) = (𝑁 βˆ’ 𝑀))
221220oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑁 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
222 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑁 β†’ (πΎβ†‘π‘š) = (𝐾↑𝑁))
223222oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑁 β†’ (𝑍 / (πΎβ†‘π‘š)) = (𝑍 / (𝐾↑𝑁)))
224223fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑁 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))))
225224oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑁 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1))
226225oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
227226sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑁 β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
228221, 227breq12d 5160 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
229228imbi2d 340 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (π‘š βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (πΎβ†‘π‘š))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
23057nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
231230subidd 11555 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
232231oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· 0))
23352rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ β„‚)
234233mul01d 11409 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· 0) = 0)
235232, 234eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) = 0)
236 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) ∈ Fin)
23757nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23885, 237rpexpcld 14206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐾↑𝑀) ∈ ℝ+)
23935, 238rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑍 / (𝐾↑𝑀)) ∈ ℝ+)
240239rprege0d 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑍 / (𝐾↑𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑀))))
241 flge0nn0 13781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 / (𝐾↑𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑀))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) ∈ β„•0)
242 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . 13 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1) ∈ β„•)
243240, 241, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1) ∈ β„•)
244243, 181eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
245 fzss1 13536 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
247246sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
248247, 82syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
249 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))
250249adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))
25129simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
25235, 251rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ+)
253252rpred 13012 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ)
254 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
255 flge 13766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ≀ (𝑍 / π‘Œ) ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
256253, 254, 255syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (𝑛 ≀ (𝑍 / π‘Œ) ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
257250, 256mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ≀ (𝑍 / π‘Œ))
25871, 257jca 512 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ (𝑍 / π‘Œ)))
259 pntlem1.U . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ[,)+∞)(absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ)
2601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55, 259pntlemn 27092 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 0 ≀ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
261258, 260syldan 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
262247, 261syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
263236, 248, 262fsumge0 15737 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
264235, 263eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
265264a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑀 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑀))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
266 pntlem1.K . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋(,)+∞)βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 Β· 𝐸)) Β· 𝑧) < (𝐾 Β· 𝑦)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 Β· 𝐸)) Β· 𝑧))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘’) / 𝑒)) ≀ 𝐸))
267 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) = (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))
2681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55, 259, 266, 267pntlemi 27096 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
26952adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ+)
270269rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
271 elfzoelz 13628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
272271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
273272zred 12662 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
27457adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
275274nnred 12223 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
276273, 275resubcld 11638 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ)
277270, 276remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
278 fzfid 13934 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) ∈ Fin)
279 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βŠ† ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
28036adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
28185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
282272peano2zd 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
283281, 282rpexpcld 14206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝐾↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
284280, 283rerpdivcld 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
285281, 272rpexpcld 14206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝐾↑𝑗) ∈ ℝ+)
286280, 285rerpdivcld 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ∈ ℝ)
28786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
288 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
289 ltle 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (1 < 𝐾 β†’ 1 ≀ 𝐾))
290288, 86, 289sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (1 < 𝐾 β†’ 1 ≀ 𝐾))
29187, 290mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐾)
292291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 1 ≀ 𝐾)
293 uzid 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
294 peano2uz 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
295272, 293, 2943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
296287, 292, 295leexp2ad 14213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝐾↑𝑗) ≀ (𝐾↑(𝑗 + 1)))
29735adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
298285, 283, 297lediv2d 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝐾↑𝑗) ≀ (𝐾↑(𝑗 + 1)) ↔ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑗))))
299296, 298mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)))
300 flword2 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ≀ (𝑍 / (𝐾↑𝑗))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))))))
301284, 286, 299, 300syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))))))
302 eluzp1p1 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))))) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)))
303301, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)))
304286flcld 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ β„€)
305252adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ+)
306305rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ)
307306flcld 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)) ∈ β„€)
308251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
309308rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
310285rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝐾↑𝑗) ∈ ℝ)
31130simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
312311rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
313312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
31430simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝑋)
315314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ < 𝑋)
316 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55pntlemh 27091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑋 < (𝐾↑𝑗) ∧ (𝐾↑𝑗) ≀ (βˆšβ€˜π‘)))
318316, 317sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 < (𝐾↑𝑗) ∧ (𝐾↑𝑗) ≀ (βˆšβ€˜π‘)))
319318simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 < (𝐾↑𝑗))
320309, 313, 310, 315, 319lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ < (𝐾↑𝑗))
321309, 310, 320ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾↑𝑗))
322308, 285, 297lediv2d 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘Œ ≀ (𝐾↑𝑗) ↔ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ≀ (𝑍 / π‘Œ)))
323321, 322mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ≀ (𝑍 / π‘Œ))
324 flwordi 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / π‘Œ) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ≀ (𝑍 / π‘Œ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))
325286, 306, 323, 324syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))
326 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ≀ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
327304, 307, 325, 326syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))))
328 fzsplit2 13522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)) ∧ (βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))))
329303, 327, 328syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) = ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))))
330279, 329sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
331297, 283rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
332331rprege0d 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))))
333 flge0nn0 13781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0)
334 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1) ∈ β„•)
335332, 333, 3343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1) ∈ β„•)
336335, 181eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
337 fzss1 13536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
338336, 337syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
339330, 338sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
340339sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
34182adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
342340, 341syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
343278, 342fsumrecl 15676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
344 fzfid 13934 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) ∈ Fin)
345 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
346345, 329sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
347346, 338sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
348347sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
349348, 341syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
350344, 349fsumrecl 15676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
351 le2add 11692 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ ∧ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ) ∧ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∧ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))) ≀ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
352270, 277, 343, 350, 351syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∧ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))) ≀ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
353268, 352mpand 693 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))) ≀ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
354233adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ β„‚)
355 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
356272zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
357230adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
358356, 357subcld 11567 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
359354, 355, 358adddid 11234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (1 + (𝑗 βˆ’ 𝑀))) = ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· 1) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))))
360355, 358addcomd 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (1 + (𝑗 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1))
361356, 355, 357addsubd 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀) = ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1))
362360, 361eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (1 + (𝑗 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀))
363362oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (1 + (𝑗 βˆ’ 𝑀))) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)))
364354mulridd 11227 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· 1) = ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))))
365364oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· 1) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))))
366359, 363, 3653eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) = (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))))
367 reflcl 13757 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / (𝐾↑𝑗)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ ℝ)
368286, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) ∈ ℝ)
369368ltp1d 12140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) < ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1))
370 fzdisj 13524 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) < ((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) ∩ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) = βˆ…)
371369, 370syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗)))) ∩ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) = βˆ…)
372 fzfid 13934 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))) ∈ Fin)
373338sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ))))
374373, 341syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
375374recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))) β†’ (((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
376371, 329, 372, 375fsumsplit 15683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) = (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
377366, 376breq12d 5160 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) + (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀))) ≀ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
378353, 377sylibrd 258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
379378expcom 414 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
380379a2d 29 . . . . 5 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑗 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑗))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· ((𝑗 + 1) βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑(𝑗 + 1)))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
381199, 209, 219, 229, 265, 380fzind2 13746 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›))))
382189, 381mpcom 38 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
38365, 82, 261, 184fsumless 15738 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑍 / (𝐾↑𝑁))) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
38464, 187, 83, 382, 383letrd 11367 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· 𝐸) / 8) Β· (logβ€˜π‘))) Β· (𝑁 βˆ’ 𝑀)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
38544, 64, 83, 172, 384letrd 11367 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡)) Β· ((logβ€˜π‘)↑2))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝑍 / π‘Œ)))(((π‘ˆ / 𝑛) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  8c8 12269  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  cdc 12673  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  abscabs 15177  Ξ£csu 15628  expce 16001  eceu 16002  logclog 26054  Οˆcchp 26586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-vma 26591  df-chp 26592
This theorem is referenced by:  pntlemo  27099
  Copyright terms: Public domain W3C validator