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Theorem pntlemr 26186
Description: Lemma for pntlemj 26187. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemr (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemr
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
71, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 26178 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
87simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
10 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐴)
11 pntlem1.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
12 pntlem1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12pntlemc 26179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1413simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
158, 14rpmulcld 12435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
16 4re 11709 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
17 4pos 11732 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1816, 17elrpii 12380 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
19 rpdivcl 12402 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ+)
2015, 18, 19sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ+)
2120rpred 12419 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ)
22 pntlem1.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
23 pntlem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26pntlemb 26181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
2827simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
29 pntlem1.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3028, 29rpdivcld 12436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
3130rpred 12419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
3221, 31remulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
33 pntlem1.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
34 fzfid 13336 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
3533, 34eqeltrid 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
36 hashcl 13713 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11944 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
3932recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
40 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
41 rpaddcl 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
4240, 15, 41sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
4342, 29rpmulcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
4428, 43rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
4544rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
46 reflcl 13161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
4847recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℂ)
49 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5039, 48, 49add32d 10856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) = (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
51 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5232, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5352, 47readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ)
54 reflcl 13161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
5531, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
56 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5815rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℝ+)
5958, 30rpmulcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ+)
6059rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
6160, 45readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
62 rpdivcl 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
6318, 15, 62sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
6463rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
6528rpsqrtcld 14763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
6665rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
6727simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
6867simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
6943rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
7013simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
71 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
72 elfzoelz 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
7473peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
7570, 74rpexpcld 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
7675rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
77 pntlem1.V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
7877simplrd 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
7970rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8070, 73rpexpcld 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
8180rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
8279, 81mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
83 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
84 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
851, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 83, 84pntlemg 26182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
8685simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87 elfzouz 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
8871, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
89 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
9086, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
9279, 91expp1d 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
9382, 92eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
9478, 93breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
9569, 76, 94ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
96 fzofzp1 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
9771, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
981, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 83, 84pntlemh 26183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
9997, 98mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
10099simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
10169, 76, 66, 95, 100letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
10269, 66, 65lemul2d 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
103101, 102mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
10428rprege0d 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
105 remsqsqrt 14608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
107103, 106breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
10828rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
10966, 108, 43lemuldivd 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
110107, 109mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
11129rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
112111mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 𝑉) = 𝑉)
113 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11442rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
115 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
116 ltaddrp 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸)))
117115, 15, 116sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸)))
118113, 114, 29, 117ltmul1dd 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 𝑉) < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
119112, 118eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
12029, 43, 28ltdiv2d 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ↔ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉)))
121119, 120mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉))
12245, 31, 121ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12366, 45, 31, 110, 122letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12464, 66, 31, 68, 123letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12564, 31, 31, 124leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉)))
12630rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ)
1271262timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) = ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉)))
128125, 127breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉)))
12931, 64readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
130 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
131 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ) → (2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
132130, 31, 131sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
133129, 132, 20lemul2d 12463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉)))))
134128, 133mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))))
13520rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℂ)
13663rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ)
137135, 126, 136adddid 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
13815rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0))
139 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
14018, 139mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
141 divcan6 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1)
142138, 140, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1)
143142oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1))
144137, 143eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1))
145 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
146135, 145, 126mulassd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))))
14715rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
148 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ+
149 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
150148, 149mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
151 divdiv1 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)))
152147, 150, 150, 151syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)))
153 2t2e4 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 2) = 4
154153oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)) = ((𝐿 · 𝐸) / 4)
155152, 154eqtr2di 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2))
156155oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2))
157147halfcld 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℂ)
158150simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ≠ 0)
159157, 145, 158divcan1d 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2))
160156, 159eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2))
161160oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
162146, 161eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
163134, 144, 1623brtr3d 5061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
164 flle 13164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
16545, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
16652, 47, 60, 45, 163, 165le2addd 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ≤ ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
16758rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℝ)
16842rprecred 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
169167, 168readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) ∈ ℝ)
17015rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
17114rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1728rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
173 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
1744, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
175174simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐿 < 1)
176172, 113, 14, 175ltmul1dd 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
17714rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
178177mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
179176, 178breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
18013simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
181180simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
182 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
184183simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 < 1)
185170, 171, 113, 179, 184lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
186170, 113, 113, 185ltadd2dd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
187 df-2 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
188186, 187breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
18942rpregt0d 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (𝐿 · 𝐸))))
190130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
191 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 2)
19315rpregt0d 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿 · 𝐸)))
194 ltdiv2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿 · 𝐸))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
195189, 190, 192, 193, 194syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
196188, 195mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))
19742rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ)
19842rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0))
199 divsubdir 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
200197, 49, 198, 199syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
201 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
202 pncan2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸))
203201, 147, 202sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸))
204203oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))
205 divid 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1)
206198, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1)
207206oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
208200, 204, 2073eqtr3d 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
209196, 208breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
210167, 168, 113ltaddsubd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))))
211209, 210mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1)
212169, 113, 30, 211ltmul1dd 12474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) < (1 · (𝑍 / 𝑉)))
213 reccl 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℂ)
214198, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℂ)
215157, 214, 126adddird 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))))
216197, 111mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) = (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸))))
217216oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
21828rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
21929rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0))
220 divdiv1 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
221218, 219, 198, 220syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
22242rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)
223126, 197, 222divrec2d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))
224217, 221, 2233eqtr2d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))
225224oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))))
226215, 225eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
227126mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝑍 / 𝑉)) = (𝑍 / 𝑉))
228212, 226, 2273brtr3d 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) < (𝑍 / 𝑉))
22953, 61, 31, 166, 228lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (𝑍 / 𝑉))
230 fllep1 13166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23131, 230syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23253, 31, 57, 229, 231ltletrd 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23350, 232eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23432, 47readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ)
235234, 55, 113ltadd1d 11222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
236233, 235mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
23732, 47, 55ltaddsubd 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))))
238236, 237mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
23931flcld 13163 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
240 fzval3 13101 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
24233, 241syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
243242fveq2d 6649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐼) = (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))))
244 flword2 13178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉)) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
24545, 31, 122, 244syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
246 eluzp1p1 12258 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
248 hashfzo 13786 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) → (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
249247, 248syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
25055recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
251250, 48, 49pnpcan2d 11024 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
252243, 249, 2513eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
253238, 252breqtrrd 5058 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < (♯‘𝐼))
25432, 38, 253ltled 10777 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (♯‘𝐼))
25521, 38, 30lemuldivd 12468 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (♯‘𝐼) ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉))))
256254, 255mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)))
25729rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
25869, 76, 66, 94, 100ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (√‘𝑍))
259257, 69, 66, 119, 258lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 < (√‘𝑍))
260257, 66, 259ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ≤ (√‘𝑍))
26129rprege0d 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑉))
26265rprege0d 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
263 le2sq 13495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑉) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
264261, 262, 263syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
265260, 264mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
266 resqrtth 14607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
267104, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
268265, 267breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ 𝑍)
269 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
270 rpexpcl 13444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑉↑2) ∈ ℝ+)
27129, 269, 270sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℝ+)
272271rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℝ)
273272, 108, 28lemul2d 12463 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉↑2) ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍)))
274268, 273mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍))
275218sqvald 13503 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍↑2) = (𝑍 · 𝑍))
276274, 275breqtrrd 5058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2))
277108resqcld 13607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℝ)
278108, 277, 271lemuldivd 12468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2) ↔ 𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2))))
279276, 278mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2)))
28029rpne0d 12424 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ≠ 0)
281218, 111, 280sqdivd 13519 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) = ((𝑍↑2) / (𝑉↑2)))
282279, 281breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2))
283 rpexpcl 13444 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈ ℝ+)
28430, 269, 283sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈ ℝ+)
28528, 284logled 25218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2) ↔ (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2))))
286282, 285mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)))
287 relogexp 25187 . . . . . . . 8 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
28830, 269, 287sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
289286, 288breqtrd 5056 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
29028relogcld 25214 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
29130relogcld 25214 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
292 ledivmul 11505 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
293290, 291, 190, 192, 292syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
294289, 293mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)))
29520rprege0d 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐿 · 𝐸) / 4)))
29638, 30rerpdivcld 12450 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
29727simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
298297simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑍)
299108, 298rplogcld 25220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
300299rphalfcld 12431 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ+)
301300rprege0d 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑍) / 2)))
302 lemul12a 11487 . . . . . 6 ((((((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐿 · 𝐸) / 4)) ∧ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) ∧ ((((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑍) / 2)) ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)) → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
303295, 296, 301, 291, 302syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
304256, 294, 303mp2and 698 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
305299rpcnd 12421 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
306 8nn 11720 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ
307 nnrp 12388 . . . . . . . 8 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
308306, 307ax-mp 5 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
309 rpcnne0 12395 . . . . . . 7 (8 ∈ ℝ+ → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
310308, 309mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
311 div23 11306 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)))
312147, 305, 310, 311syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)))
313 divmuldiv 11329 . . . . . . 7 ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ) ∧ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)))
314147, 305, 140, 150, 313syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)))
315 4t2e8 11793 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
316315oveq2i 7146 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8)
317314, 316eqtr2di 2850 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)))
318312, 317eqtr3d 2835 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)))
31938recnd 10658 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
320291recnd 10658 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
32130rpcnne0d 12428 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0))
322 divass 11305 . . . . . 6 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((♯‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))
323 div23 11306 . . . . . 6 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((♯‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
324322, 323eqtr3d 2835 . . . . 5 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
325319, 320, 321, 324syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
326304, 318, 3253brtr4d 5062 . . 3 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))
327 rpdivcl 12402 . . . . . . 7 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
32815, 308, 327sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
329328, 299rpmulcld 12435 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ+)
330329rpred 12419 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
331291, 30rerpdivcld 12450 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
33238, 331remulcld 10660 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
333180simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
334330, 332, 333lemul2d 12463 . . 3 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ↔ ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))))
335326, 334mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
336333rpcnd 12421 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
337331recnd 10658 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
338336, 319, 337mul12d 10838 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
339335, 338breqtrd 5056 1 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  8c8 11686  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  cfl 13155  cexp 13425  chash 13686  csqrt 14584  abscabs 14585  expce 15407  eceu 15408  logclog 25146  ψcchp 25678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148
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