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Theorem pntlemr 26655
Description: Lemma for pntlemj 26656. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemr (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemr
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
71, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 26647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
87simp1d 1140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
10 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐴)
11 pntlem1.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
12 pntlem1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12pntlemc 26648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1413simp1d 1140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
158, 14rpmulcld 12717 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
16 4re 11987 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
17 4pos 12010 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1816, 17elrpii 12662 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
19 rpdivcl 12684 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ+)
2015, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ+)
2120rpred 12701 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ)
22 pntlem1.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
23 pntlem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26pntlemb 26650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
2827simp1d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
29 pntlem1.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3028, 29rpdivcld 12718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
3130rpred 12701 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
3221, 31remulcld 10936 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
33 pntlem1.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
34 fzfid 13621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
3533, 34eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
36 hashcl 13999 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
3837nn0red 12224 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
3932recnd 10934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
40 1rp 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
41 rpaddcl 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
4240, 15, 41sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
4342, 29rpmulcld 12717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
4428, 43rpdivcld 12718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
4544rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
46 reflcl 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
4847recnd 10934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℂ)
49 1cnd 10901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5039, 48, 49add32d 11132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) = (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
51 peano2re 11078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5232, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5352, 47readdcld 10935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ)
54 reflcl 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
5531, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
56 peano2re 11078 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ ℝ)
5815rphalfcld 12713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℝ+)
5958, 30rpmulcld 12717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ+)
6059rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
6160, 45readdcld 10935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
62 rpdivcl 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
6318, 15, 62sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
6463rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
6528rpsqrtcld 15051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
6665rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
6727simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
6867simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
6943rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
7013simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
71 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
72 elfzoelz 13316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
7473peano2zd 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
7570, 74rpexpcld 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
7675rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
77 pntlem1.V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
7877simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
7970rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8070, 73rpexpcld 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
8180rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
8279, 81mulcomd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
83 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
84 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
851, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 83, 84pntlemg 26651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
8685simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87 elfzouz 13320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
8871, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
89 eluznn 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
9086, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
9190nnnn0d 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
9279, 91expp1d 13793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
9382, 92eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
9478, 93breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
9569, 76, 94ltled 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
96 fzofzp1 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
9771, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
981, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 83, 84pntlemh 26652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
9997, 98mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
10099simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
10169, 76, 66, 95, 100letrd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
10269, 66, 65lemul2d 12745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
103101, 102mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
10428rprege0d 12708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
105 remsqsqrt 14896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
107103, 106breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
10828rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
10966, 108, 43lemuldivd 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
11129rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
112111mulid2d 10924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 𝑉) = 𝑉)
113 1red 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11442rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
115 1re 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
116 ltaddrp 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸)))
117115, 15, 116sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < (1 + (𝐿 · 𝐸)))
118113, 114, 29, 117ltmul1dd 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 𝑉) < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
119112, 118eqbrtrrd 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
12029, 43, 28ltdiv2d 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑉 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ↔ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉)))
121119, 120mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) < (𝑍 / 𝑉))
12245, 31, 121ltled 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12366, 45, 31, 110, 122letrd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12464, 66, 31, 68, 123letrd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (𝑍 / 𝑉))
12564, 31, 31, 124leadd2dd 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉)))
12630rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ)
1271262timesd 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) = ((𝑍 / 𝑉) + (𝑍 / 𝑉)))
128125, 127breqtrrd 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉)))
12931, 64readdcld 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
130 2re 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
131 remulcl 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ) → (2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
132130, 31, 131sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
133129, 132, 20lemul2d 12745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ≤ (2 · (𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉)))))
134128, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))))
13520rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℂ)
13663rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ)
137135, 126, 136adddid 10930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
13815rpcnne0d 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0))
139 rpcnne0 12677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
14018, 139mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
141 divcan6 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1)
142138, 140, 141syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸))) = 1)
143142oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1))
144137, 143eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((𝑍 / 𝑉) + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1))
145 2cnd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
146135, 145, 126mulassd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))))
14715rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
148 2rp 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ+
149 rpcnne0 12677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
150148, 149mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
151 divdiv1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)))
152147, 150, 150, 151syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) = ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)))
153 2t2e4 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 2) = 4
154153oveq2i 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 · 𝐸) / (2 · 2)) = ((𝐿 · 𝐸) / 4)
155152, 154eqtr2di 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2))
156155oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2))
157147halfcld 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℂ)
158150simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ≠ 0)
159157, 145, 158divcan1d 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) / 2) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2))
160156, 159eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) = ((𝐿 · 𝐸) / 2))
161160oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · 2) · (𝑍 / 𝑉)) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
162146, 161eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (2 · (𝑍 / 𝑉))) = (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
163134, 144, 1623brtr3d 5101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) ≤ (((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)))
164 flle 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
16545, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
16652, 47, 60, 45, 163, 165le2addd 11524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ≤ ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
16758rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) ∈ ℝ)
16842rprecred 12712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
169167, 168readdcld 10935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) ∈ ℝ)
17015rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
17114rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1728rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
173 eliooord 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
1744, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
175174simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐿 < 1)
176172, 113, 14, 175ltmul1dd 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
17714rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
178177mulid2d 10924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
179176, 178breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
18013simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
181180simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
182 eliooord 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
184183simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 < 1)
185170, 171, 113, 179, 184lttrd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
186170, 113, 113, 185ltadd2dd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
187 df-2 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
188186, 187breqtrrdi 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
18942rpregt0d 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (𝐿 · 𝐸))))
190130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
191 2pos 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 2)
19315rpregt0d 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿 · 𝐸)))
194 ltdiv2 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ ((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿 · 𝐸))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
195189, 190, 192, 193, 194syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
196188, 195mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))
19742rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ)
19842rpcnne0d 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0))
199 divsubdir 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
200197, 49, 198, 199syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
201 ax-1cn 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
202 pncan2 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸))
203201, 147, 202sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) = (𝐿 · 𝐸))
204203oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) − 1) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))))
205 divid 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1)
206198, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = 1)
207206oveq1d 7270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
208200, 204, 2073eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
209196, 208breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
210167, 168, 113ltaddsubd 11505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1 ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 2) < (1 − (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))))))
211209, 210mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) < 1)
212169, 113, 30, 211ltmul1dd 12756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) < (1 · (𝑍 / 𝑉)))
213 reccl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0) → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℂ)
214198, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℂ)
215157, 214, 126adddird 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))))
216197, 111mulcomd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) = (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸))))
217216oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
21828rpcnd 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
21929rpcnne0d 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0))
220 divdiv1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)) → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
221218, 219, 198, 220syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = (𝑍 / (𝑉 · (1 + (𝐿 · 𝐸)))))
22242rpne0d 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≠ 0)
223126, 197, 222divrec2d 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) / (1 + (𝐿 · 𝐸))) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))
224217, 221, 2233eqtr2d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) = ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉)))
225224oveq2d 7271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + ((1 / (1 + (𝐿 · 𝐸))) · (𝑍 / 𝑉))))
226215, 225eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) + (1 / (1 + (𝐿 · 𝐸)))) · (𝑍 / 𝑉)) = ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
227126mulid2d 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝑍 / 𝑉)) = (𝑍 / 𝑉))
228212, 226, 2273brtr3d 5101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 2) · (𝑍 / 𝑉)) + (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) < (𝑍 / 𝑉))
22953, 61, 31, 166, 228lelttrd 11063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (𝑍 / 𝑉))
230 fllep1 13449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23131, 230syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23253, 31, 57, 229, 231ltletrd 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + 1) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23350, 232eqbrtrd 5092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))
23432, 47readdcld 10935 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) ∈ ℝ)
235234, 55, 113ltadd1d 11498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) + 1) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
236233, 235mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
23732, 47, 55ltaddsubd 11505 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) + (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) < (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))))
238236, 237mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
23931flcld 13446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
240 fzval3 13384 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
24233, 241syl5eq 2791 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1)))
243242fveq2d 6760 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐼) = (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))))
244 flword2 13461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ (𝑍 / 𝑉)) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
24545, 31, 122, 244syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
246 eluzp1p1 12539 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))) → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
248 hashfzo 14072 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) → (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
249247, 248syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)..^((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1))) = (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
25055recnd 10934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
251250, 48, 49pnpcan2d 11300 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) + 1) − ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
252243, 249, 2513eqtrd 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) − (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
253238, 252breqtrrd 5098 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) < (♯‘𝐼))
25432, 38, 253ltled 11053 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (♯‘𝐼))
25521, 38, 30lemuldivd 12750 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) · (𝑍 / 𝑉)) ≤ (♯‘𝐼) ↔ ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉))))
256254, 255mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)))
25729rpred 12701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
25869, 76, 66, 94, 100ltletrd 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (√‘𝑍))
259257, 69, 66, 119, 258lttrd 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 < (√‘𝑍))
260257, 66, 259ltled 11053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ≤ (√‘𝑍))
26129rprege0d 12708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑉))
26265rprege0d 12708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
263 le2sq 13781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑉) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
264261, 262, 263syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ≤ (√‘𝑍) ↔ (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
265260, 264mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
266 resqrtth 14895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
267104, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
268265, 267breqtrd 5096 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑉↑2) ≤ 𝑍)
269 2z 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
270 rpexpcl 13729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑉↑2) ∈ ℝ+)
27129, 269, 270sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℝ+)
272271rpred 12701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℝ)
273272, 108, 28lemul2d 12745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉↑2) ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍)))
274268, 273mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍 · 𝑍))
275218sqvald 13789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍↑2) = (𝑍 · 𝑍))
276274, 275breqtrrd 5098 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2))
277108resqcld 13893 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℝ)
278108, 277, 271lemuldivd 12750 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍 · (𝑉↑2)) ≤ (𝑍↑2) ↔ 𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2))))
279276, 278mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≤ ((𝑍↑2) / (𝑉↑2)))
28029rpne0d 12706 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ≠ 0)
281218, 111, 280sqdivd 13805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) = ((𝑍↑2) / (𝑉↑2)))
282279, 281breqtrrd 5098 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2))
283 rpexpcl 13729 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈ ℝ+)
28430, 269, 283sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉)↑2) ∈ ℝ+)
28528, 284logled 25687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ≤ ((𝑍 / 𝑉)↑2) ↔ (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2))))
286282, 285mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)))
287 relogexp 25656 . . . . . . . 8 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
28830, 269, 287sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘((𝑍 / 𝑉)↑2)) = (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
289286, 288breqtrd 5096 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
29028relogcld 25683 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
29130relogcld 25683 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
292 ledivmul 11781 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
293290, 291, 190, 192, 292syl112anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ↔ (log‘𝑍) ≤ (2 · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
294289, 293mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉)))
29520rprege0d 12708 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐿 · 𝐸) / 4)))
29638, 30rerpdivcld 12732 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
29727simp2d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
298297simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑍)
299108, 298rplogcld 25689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
300299rphalfcld 12713 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ+)
301300rprege0d 12708 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑍) / 2)))
302 lemul12a 11763 . . . . . 6 ((((((𝐿 · 𝐸) / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐿 · 𝐸) / 4)) ∧ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ) ∧ ((((log‘𝑍) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑍) / 2)) ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)) → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
303295, 296, 301, 291, 302syl22anc 835 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 4) ≤ ((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) ∧ ((log‘𝑍) / 2) ≤ (log‘(𝑍 / 𝑉))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉)))))
304256, 294, 303mp2and 695 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) ≤ (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
305299rpcnd 12703 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
306 8nn 11998 . . . . . . . 8 8 ∈ ℕ
307 nnrp 12670 . . . . . . . 8 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
308306, 307ax-mp 5 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
309 rpcnne0 12677 . . . . . . 7 (8 ∈ ℝ+ → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
310308, 309mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0))
311 div23 11582 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)) → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)))
312147, 305, 310, 311syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)))
313 divmuldiv 11605 . . . . . . 7 ((((𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℂ) ∧ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)))
314147, 305, 140, 150, 313syl22anc 835 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)))
315 4t2e8 12071 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
316315oveq2i 7266 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / (4 · 2)) = (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8)
317314, 316eqtr2di 2796 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) · (log‘𝑍)) / 8) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)))
318312, 317eqtr3d 2780 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) = (((𝐿 · 𝐸) / 4) · ((log‘𝑍) / 2)))
31938recnd 10934 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
320291recnd 10934 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
32130rpcnne0d 12710 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0))
322 divass 11581 . . . . . 6 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((♯‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))
323 div23 11582 . . . . . 6 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → (((♯‘𝐼) · (log‘(𝑍 / 𝑉))) / (𝑍 / 𝑉)) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
324322, 323eqtr3d 2780 . . . . 5 (((♯‘𝐼) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℂ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≠ 0)) → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
325319, 320, 321, 324syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = (((♯‘𝐼) / (𝑍 / 𝑉)) · (log‘(𝑍 / 𝑉))))
326304, 318, 3253brtr4d 5102 . . 3 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))
327 rpdivcl 12684 . . . . . . 7 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
32815, 308, 327sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
329328, 299rpmulcld 12717 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ+)
330329rpred 12701 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
331291, 30rerpdivcld 12732 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
33238, 331remulcld 10936 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
333180simp3d 1142 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
334330, 332, 333lemul2d 12745 . . 3 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ≤ ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ↔ ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))))))
335326, 334mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
336333rpcnd 12703 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
337331recnd 10934 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℂ)
338336, 319, 337mul12d 11114 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((♯‘𝐼) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
339335, 338breqtrd 5096 1 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  wral 3063  wrex 3064   class class class wbr 5070  cmpt 5153  cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   < clt 10940  cle 10941  cmin 11135   / cdiv 11562  cn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  8c8 11964  0cn0 12163  cz 12249  cdc 12366  cuz 12511  +crp 12659  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  cfl 13438  cexp 13710  chash 13972  csqrt 14872  abscabs 14873  expce 15699  eceu 15700  logclog 25615  ψcchp 26147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617
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