MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem2 25856
Description: Lemma for aaliou3 25864. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
aaliou3lem.b ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โˆˆ (0(,](๐บโ€˜๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐น,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘   ๐ต,๐‘Ž,๐‘   ๐บ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐บ(๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 12902 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐ต))
32negeqd 11454 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐ต))
43oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)))
5 aaliou3lem.b . . . . . 6 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
6 ovex 7442 . . . . . 6 (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6999 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ต) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)))
81, 7syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)))
9 2rp 12979 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
101nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
1110faccld 14244 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
1312znegcld 12668 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
14 rpexpcl 14046 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„+)
159, 13, 14sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„+)
168, 15eqeltrd 2834 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โˆˆ โ„+)
1716rpred 13016 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1816rpgt0d 13019 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (๐นโ€˜๐ต))
19 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐ด))
20 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐บโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜๐ด))
2119, 20breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐ด) โ‰ค (๐บโ€˜๐ด)))
2221imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โ‰ค (๐บโ€˜๐ด))))
23 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘‘))
24 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜๐‘‘))
2523, 24breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘)))
2625imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘))))
27 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)))
28 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)))
2927, 28breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1))))
3029imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)))))
31 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐ต))
32 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜๐ต))
3331, 32breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต)))
3433imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต))))
35 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
3635faccld 14244 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
3736nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3837znegcld 12668 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
39 rpexpcl 14046 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
409, 38, 39sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
4140rpred 13016 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4241leidd 11780 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)))
43 nncn 12220 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4443subidd 11559 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ด) = 0)
4544oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘0))
46 halfcn 12427 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
47 exp0 14031 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2)โ†‘0) = 1)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)โ†‘0) = 1
4945, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด)) = 1)
5049oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท 1))
5140rpcnd 13018 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5251mulridd 11231 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท 1) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)))
5350, 52eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)))
5442, 53breqtrrd 5177 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))))
55 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐ด))
5655negeqd 11454 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐ด))
5756oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)))
58 ovex 7442 . . . . . 6 (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ V
5957, 5, 58fvmpt 6999 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ด) = (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)))
60 nnz 12579 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
61 uzid 12837 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
62 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ ๐ด))
6362oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด)))
6463oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))))
65 aaliou3lem.a . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))))
66 ovex 7442 . . . . . . 7 ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
6764, 65, 66fvmpt 6999 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))))
6860, 61, 673syl 18 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐ด โˆ’ ๐ด))))
6954, 59, 683brtr4d 5181 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โ‰ค (๐บโ€˜๐ด))
70 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
7170nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
7271faccld 14244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„•)
7372nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
7473znegcld 12668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
75 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„+)
769, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„+)
7776rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„)
7876rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)))
79 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8079nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
8180faccld 14244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
8281nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
8382znegcld 12668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
849, 83, 39sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
85 halfre 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„
86 halfgt0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < (1 / 2)
8785, 86elrpii 12977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) โˆˆ โ„+
88 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
89 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
9088, 60, 89syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
91 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 2) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
9287, 90, 91sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
9384, 92rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„+)
9493rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
9577, 78, 94jca31 516 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘))) โˆง ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„))
9695adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ (((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘))) โˆง ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„))
9788adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
9874, 97zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
99 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„+)
1009, 98, 99sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„+)
101100rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„)
102100rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
10385a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
104101, 102, 103jca31 516 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„))
105104adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ (((2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„))
106 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))))
107 2re 12286 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
108 1le2 12421 . . . . . . . . . . . . 13 1 โ‰ค 2
10972nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
11097zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„‚)
111109, 110mulneg1d 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) = -((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))
11272, 70nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„•)
113112nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ 1 โ‰ค ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))
114 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„
115112nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„)
116 leneg 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โ‰ค ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ†” -((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1))
117114, 115, 116sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (1 โ‰ค ((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ†” -((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1))
118113, 117mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -((!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1)
119111, 118eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1)
120 neg1z 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„ค
121 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ†” (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1))
12298, 120, 121sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ†” (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โ‰ค -1))
123119, 122mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
124 leexp2a 14137 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2 โˆง -1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (2โ†‘-1))
125107, 108, 123, 124mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (2โ†‘-1))
126 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„‚
127 expn1 14037 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘-1) = (1 / 2))
128126, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘-1) = (1 / 2)
129125, 128breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (1 / 2))
130129adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (1 / 2))
131 lemul12a 12072 . . . . . . . . . . 11 (((((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘))) โˆง ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„) โˆง (((2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„)) โ†’ (((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆง (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (1 / 2)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ‰ค (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2))))
1321313impia 1118 . . . . . . . . . 10 (((((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘))) โˆง ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„) โˆง (((2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โˆง ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆง (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ‰ค (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2)))
13396, 105, 106, 130, 132syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โˆง (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ‰ค (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2)))
134133ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ‰ค (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2))))
135 facp1 14238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)))
13671, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (!โ€˜(๐‘‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)))
137136negeqd 11454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜(๐‘‘ + 1)) = -((!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)))
138 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
139 addcom 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‘ + 1) = (1 + ๐‘‘))
140110, 138, 139sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‘ + 1) = (1 + ๐‘‘))
141140oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)) = (-(!โ€˜๐‘‘) ยท (1 + ๐‘‘)))
142 peano2cn 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
143110, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
144109, 143mulneg1d 11667 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)) = -((!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)))
14574zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
146 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
147145, 146, 110adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท (1 + ๐‘‘)) = ((-(!โ€˜๐‘‘) ยท 1) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
148145mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท 1) = -(!โ€˜๐‘‘))
149148oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((-(!โ€˜๐‘‘) ยท 1) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)) = (-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
150147, 149eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘‘) ยท (1 + ๐‘‘)) = (-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
151141, 144, 1503eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -((!โ€˜๐‘‘) ยท (๐‘‘ + 1)) = (-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
152137, 151eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ -(!โ€˜(๐‘‘ + 1)) = (-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘)))
153152oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) = (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))))
154 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
155 expaddz 14072 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (-(!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))))
156154, 155mpan 689 . . . . . . . . . . 11 ((-(!โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))))
15774, 98, 156syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) + (-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))))
158153, 157eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))))
15943adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
160110, 146, 159addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘‘ โˆ’ ๐ด) + 1))
161160oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ โˆ’ ๐ด) + 1)))
162 uznn0sub 12861 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„•0)
163162adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„•0)
164 expp1 14034 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‘ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ โˆ’ ๐ด) + 1)) = (((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) ยท (1 / 2)))
16546, 163, 164sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ โˆ’ ๐ด) + 1)) = (((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) ยท (1 / 2)))
166161, 165eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) ยท (1 / 2)))
167166oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท (((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) ยท (1 / 2))))
16884rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
16992rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
17046a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
171168, 169, 170mulassd 11237 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2)) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท (((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)) ยท (1 / 2))))
172167, 171eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))) = (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2)))
173158, 172breq12d 5162 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))) โ†” ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) ยท (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘‘) ยท ๐‘‘))) โ‰ค (((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) ยท (1 / 2))))
174134, 173sylibrd 259 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด)))))
175 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘‘))
176175negeqd 11454 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘‘))
177176oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)))
178 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โˆˆ V
179177, 5, 178fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)))
18070, 179syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)))
181 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐‘‘ โˆ’ ๐ด))
182181oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))
183182oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))))
184 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
185183, 65, 184fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‘) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))))
186185adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‘) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด))))
187180, 186breq12d 5162 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘) โ†” (2โ†‘-(!โ€˜๐‘‘)) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘‘ โˆ’ ๐ด)))))
18870peano2nnd 12229 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‘ + 1) โˆˆ โ„•)
189 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐‘‘ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜(๐‘‘ + 1)))
190189negeqd 11454 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = (๐‘‘ + 1) โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜(๐‘‘ + 1)))
191190oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = (๐‘‘ + 1) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))))
192 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) โˆˆ V
193191, 5, 192fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 ((๐‘‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) = (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))))
194188, 193syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) = (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))))
195 peano2uz 12885 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
196 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = ((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))
197196oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด)) = ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด)))
198197oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘‘ + 1) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))))
199 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
200198, 65, 199fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))))
201195, 200syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))))
202201adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด))))
203194, 202breq12d 5162 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ†” (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘‘ + 1))) โ‰ค ((2โ†‘-(!โ€˜๐ด)) ยท ((1 / 2)โ†‘((๐‘‘ + 1) โˆ’ ๐ด)))))
204174, 187, 2033imtr4d 294 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1))))
205204expcom 415 . . . . 5 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)))))
206205a2d 29 . . . 4 (๐‘‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘‘) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘‘)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘‘ + 1)) โ‰ค (๐บโ€˜(๐‘‘ + 1)))))
20722, 26, 30, 34, 69, 206uzind4i 12894 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต)))
208207impcom 409 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต))
209 0xr 11261 . . 3 0 โˆˆ โ„*
21065aaliou3lem1 25855 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
211 elioc2 13387 . . 3 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (๐บโ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต) โˆˆ (0(,](๐บโ€˜๐ต)) โ†” ((๐นโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐นโ€˜๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต))))
212209, 210, 211sylancr 588 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต) โˆˆ (0(,](๐บโ€˜๐ต)) โ†” ((๐นโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐นโ€˜๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต))))
21317, 18, 208, 212mpbir3and 1343 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โˆˆ (0(,](๐บโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  (,]cioc 13325  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioc 13329  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  25857
  Copyright terms: Public domain W3C validator