MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem2 24535
Description: Lemma for aaliou3 24543. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐   𝐴,𝑎,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝐺,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables 𝑏 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 12065 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2 fveq2 6446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐵 → (!‘𝑎) = (!‘𝐵))
32negeqd 10616 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐵 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐵))
43oveq2d 6938 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐵)))
5 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
6 ovex 6954 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝐵)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6542 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
81, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
9 2rp 12142 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
101nnnn0d 11702 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 faccl 13388 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1312nnzd 11833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
1413znegcld 11836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐵) ∈ ℤ)
15 rpexpcl 13197 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐵) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
169, 14, 15sylancr 581 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
178, 16eqeltrd 2859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ+)
1817rpred 12181 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
1917rpgt0d 12184 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝐵))
20 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐴))
21 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐴))
2220, 21breq12d 4899 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
2322imbi2d 332 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))))
24 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
25 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑑))
2624, 25breq12d 4899 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)))
2726imbi2d 332 . . . 4 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑))))
28 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑑 + 1)))
29 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐺𝑏) = (𝐺‘(𝑑 + 1)))
3028, 29breq12d 4899 . . . . 5 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
3130imbi2d 332 . . . 4 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
32 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
33 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐵))
3432, 33breq12d 4899 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
3534imbi2d 332 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
36 nnnn0 11650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
37 faccl 13388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3938nnzd 11833 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
4039znegcld 11836 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
41 rpexpcl 13197 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
429, 40, 41sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
4342rpred 12181 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ)
4443leidd 10941 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ (2↑-(!‘𝐴)))
45 nncn 11383 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
4645subidd 10722 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐴) = 0)
4746oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = ((1 / 2)↑0))
48 halfcn 11597 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
49 exp0 13182 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑0) = 1
5147, 50syl6eq 2830 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = 1)
5251oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 1))
5342rpcnd 12183 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
5453mulid1d 10394 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 1) = (2↑-(!‘𝐴)))
5552, 54eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = (2↑-(!‘𝐴)))
5644, 55breqtrrd 4914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
57 fveq2 6446 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (!‘𝑎) = (!‘𝐴))
5857negeqd 10616 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐴))
5958oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐴)))
60 ovex 6954 . . . . . . 7 (2↑-(!‘𝐴)) ∈ V
6159, 5, 60fvmpt 6542 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = (2↑-(!‘𝐴)))
62 nnz 11751 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
63 uzid 12007 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
64 oveq1 6929 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐴 → (𝑐𝐴) = (𝐴𝐴))
6564oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐴 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)))
6665oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐴 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
67 aaliou3lem.a . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
68 ovex 6954 . . . . . . . 8 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 6542 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7062, 63, 693syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7156, 61, 703brtr4d 4918 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
7271a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
73 eluznn 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
7473nnnn0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
75 faccl 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7776nnzd 11833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℤ)
7877znegcld 11836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℤ)
79 rpexpcl 13197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑑) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
809, 78, 79sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
8180rpred 12181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ)
8280rpge0d 12185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑)))
83 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
8483nnnn0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8584, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
8685nnzd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
8786znegcld 11836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
889, 87, 41sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
89 halfre 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
90 halfgt0 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < (1 / 2)
9189, 90elrpii 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℝ+
92 eluzelz 12002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑑 ∈ ℤ)
93 zsubcl 11771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
9492, 62, 93syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
95 rpexpcl 13197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9691, 94, 95sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9788, 96rpmulcld 12197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ+)
9897rpred 12181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ)
9981, 82, 98jca31 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10099adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10192adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
10278, 101zmulcld 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)
103 rpexpcl 13197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
1049, 102, 103sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
105104rpred 12181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ)
106104rpge0d 12185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
10789a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
108105, 106, 107jca31 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
109108adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
110 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
11176nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℂ)
112101zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℂ)
113111, 112mulneg1d 10828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) = -((!‘𝑑) · 𝑑))
11476, 73nnmulcld 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℕ)
115114nnge1d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑))
116 1re 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
117114nnred 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ)
118 leneg 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
119116, 117, 118sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
120115, 119mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
121113, 120eqbrtrd 4908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
122 neg1z 11765 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℤ
123 eluz 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
124102, 122, 123sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
125121, 124mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
126 2re 11449 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
127 1le2 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≤ 2
128 leexp2a 13234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
129126, 127, 128mp3an12 1524 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
131 2cn 11450 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
132 expn1 13188 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2↑-1) = (1 / 2)
134130, 133syl6breq 4927 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
135134adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
136 lemul12a 11235 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2)) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
1371363impia 1106 . . . . . . . . . 10 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) ∧ ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
138100, 109, 110, 135, 137syl112anc 1442 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
139138ex 403 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
140 facp1 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
14174, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
142141negeqd 10616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
143 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
144 addcom 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
145112, 143, 144sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
146145oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)))
147 peano2cn 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
148112, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
149111, 148mulneg1d 10828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
15078zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℂ)
151 1cnd 10371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
152150, 151, 112adddid 10401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
153150mulid1d 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 1) = -(!‘𝑑))
154153oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
155152, 154eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
156146, 149, 1553eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
157142, 156eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
158157oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))))
159 2cnne0 11592 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
160 expaddz 13222 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
161159, 160mpan 680 . . . . . . . . . . 11 ((-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16278, 102, 161syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
163158, 162eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16445adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
165112, 151, 164addsubd 10755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝑑 + 1) − 𝐴) = ((𝑑𝐴) + 1))
166165oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)))
167 uznn0sub 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
168167adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
169 expp1 13185 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
17048, 168, 169sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
171166, 170eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
172171oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
17388rpcnd 12183 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
17496rpcnd 12183 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℂ)
17548a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
176173, 174, 175mulassd 10400 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
177172, 176eqtr4d 2817 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
178163, 177breq12d 4899 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ↔ ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
179139, 178sylibrd 251 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
180 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → (!‘𝑎) = (!‘𝑑))
181180negeqd 10616 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑑))
182181oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑑)))
183 ovex 6954 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘𝑑)) ∈ V
184182, 5, 183fvmpt 6542 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
18573, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
186 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝐴) = (𝑑𝐴))
187186oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑑 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))
188187oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
189 ovex 6954 . . . . . . . . . 10 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ V
190188, 67, 189fvmpt 6542 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
191190adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
192185, 191breq12d 4899 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) ↔ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))))
19373peano2nnd 11393 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ)
194 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (!‘𝑎) = (!‘(𝑑 + 1)))
195194negeqd 10616 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑑 + 1) → -(!‘𝑎) = -(!‘(𝑑 + 1)))
196195oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
197 ovex 6954 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ∈ V
198196, 5, 197fvmpt 6542 . . . . . . . . 9 ((𝑑 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
199193, 198syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
200 peano2uz 12047 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
201 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (𝑐𝐴) = ((𝑑 + 1) − 𝐴))
202201oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))
203202oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
204 ovex 6954 . . . . . . . . . . 11 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ∈ V
205203, 67, 204fvmpt 6542 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
206200, 205syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
207206adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
208199, 207breq12d 4899 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)) ↔ (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
209179, 192, 2083imtr4d 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
210209expcom 404 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
211210a2d 29 . . . 4 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
21223, 27, 31, 35, 72, 211uzind4 12052 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
213212impcom 398 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
214 0xr 10423 . . 3 0 ∈ ℝ*
21567aaliou3lem1 24534 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
216 elioc2 12548 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
217214, 215, 216sylancr 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
21818, 19, 213, 217mpbir3and 1399 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  (,]cioc 12488  cexp 13178  !cfa 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ioc 12492  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24536
  Copyright terms: Public domain W3C validator