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Theorem chebbnd1lem3 25743
Description: Lemma for chebbnd1 25744: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 12206 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 relogcl 24854 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
4 1re 10435 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 2re 11511 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6 ere 15296 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
75, 6remulcli 10452 . . . . . 6 (2 · e) ∈ ℝ
8 2pos 11547 . . . . . . . 8 0 < 2
9 epos 15414 . . . . . . . 8 0 < e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 10569 . . . . . . 7 0 < (2 · e)
117, 10gt0ne0ii 10973 . . . . . 6 (2 · e) ≠ 0
124, 7, 11redivcli 11204 . . . . 5 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
133, 12resubcli 10745 . . . 4 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14 2ne0 11548 . . . 4 2 ≠ 0
1513, 5, 14redivcli 11204 . . 3 (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
1615a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
175a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 8re 11538 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 2lt8 11641 . . . . . . . . 9 2 < 8
225, 18, 21ltleii 10559 . . . . . . . 8 2 ≤ 8
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
2517, 19, 20, 23, 24letrd 10593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26 ppinncl 25447 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2725, 26syldan 582 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2827nnred 11452 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30 rehalfcl 11670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3231flcld 12980 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
3329, 32syl5eqel 2867 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3433zred 11897 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 remulcl 10416 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
365, 34, 35sylancr 578 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
374a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38 1lt2 11615 . . . . . . . . 9 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40 2t1e2 11607 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
41 4nn 11521 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
42 4z 11826 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44 4t2e8 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 · 2) = 8
4544, 24syl5eqbr 4962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46 4re 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49 lemuldiv 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5145, 50mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52 flge 12987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5331, 42, 52sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5451, 53mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
5554, 29syl6breqr 4969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56 eluz2 12061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
58 eluznn 12129 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5941, 57, 58sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6059nnge1d 11485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61 lemul2 11290 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1354 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6360, 62mpbid 224 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
6440, 63syl5eqbrr 4963 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 10596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
6636, 65rplogcld 24907 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
6766rpred 12245 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68 2nn 11510 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
69 nnmulcl 11460 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7068, 59, 69sylancr 578 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7167, 70nndivred 11491 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
7228, 71remulcld 10466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73 rehalfcl 11670 . . 3 (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75 0red 10439 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76 8pos 11556 . . . . . . . 8 0 < 8
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 10596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
7920, 78elrpd 12242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8079relogcld 24901 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8180, 79rerpdivcld 12276 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
8228, 81remulcld 10466 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
8313a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84 ppinncl 25447 . . . . . . 7 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8536, 64, 84syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8685nnred 11452 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8786, 71remulcld 10466 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88 remulcl 10416 . . . . . . . 8 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8913, 36, 88sylancr 578 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90 4pos 11551 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
9146, 90elrpii 12204 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
92 rpexpcl 13260 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9391, 33, 92sylancr 578 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9459nnrpd 12243 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9593, 94rpdivcld 12262 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
9695relogcld 24901 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
9786, 67remulcld 10466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
9894relogcld 24901 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99 epr 15415 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ+
100 rerpdivcl 12233 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10134, 99, 100sylancl 577 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10293relogcld 24901 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104 egt2lt3 15413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 < e ∧ e < 3)
105104simpri 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e < 3
106 3lt4 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
107 3re 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
1086, 107, 46lttri 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109105, 106, 108mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e < 4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 10596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112103, 34, 111ltled 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
1136leidi 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≤ e
114 logdivlt 24899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
1156, 113, 114mpanl12 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
11634, 112, 115syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117111, 116mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118 loge 24865 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
119118oveq1i 6984 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘e) / e) = (1 / e)
120117, 119syl6breq 4968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
1216, 9pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . . 14 (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
12359nngt0d 11486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
12434, 123jca 504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125 lt2mul2div 11315 . . . . . . . . . . . . 13 ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127120, 126mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
12834recnd 10464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129128mulid2d 10454 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130127, 129breqtrd 4953 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131 ltmuldiv 11310 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
13298, 34, 122, 131syl3anc 1351 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133130, 132mpbid 224 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 11050 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
1353recni 10450 . . . . . . . . . . 11 (log‘2) ∈ ℂ
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
13712recni 10450 . . . . . . . . . . 11 (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
13970nnrpd 12243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140139rpcnd 12247 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141136, 138, 140subdird 10894 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142136, 140mulcomd 10457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143 2z 11824 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
144 zmulcl 11841 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145143, 33, 144sylancr 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146 relogexp 24874 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
1471, 145, 146sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148 2cnd 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
14959nnnn0d 11764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150 2nn0 11723 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152148, 149, 151expmuld 13325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153 sq2 13372 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑2) = 4
154153oveq1i 6984 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155152, 154syl6eq 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156155fveq2d 6501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157142, 147, 1563eqtr2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
1587recni 10450 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · e) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161140, 159, 160divrec2d 11217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
1626recni 10450 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
1646, 9gt0ne0ii 10973 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168161, 167eqtr3d 2813 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169157, 168oveq12d 6992 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170141, 169eqtrd 2811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
17193, 94relogdivd 24904 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172134, 170, 1713brtr4d 4959 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173 eqid 2775 . . . . . . . . 9 if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174173chebbnd1lem1 25741 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17557, 174syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 10597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17783, 97, 139ltmuldivd 12292 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178176, 177mpbid 224 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
17986recnd 10464 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
18066rpcnd 12247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181139rpcnne0d 12254 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182 divass 11113 . . . . . 6 (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183179, 180, 181, 182syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184178, 183breqtrd 4953 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185 flle 12981 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18631, 185syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18729, 186syl5eqbr 4962 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188 lemuldiv2 11318 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1354 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190187, 189mpbird 249 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191 ppiwordi 25435 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19236, 20, 190, 191syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19366, 139rpdivcld 12262 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
19486, 28, 193lemul1d 12288 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195192, 194mpbid 224 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 10596 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197 ltdiv1 11301 . . . 4 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1354 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199196, 198mpbid 224 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
20029chebbnd1lem2 25742 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201 remulcl 10416 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
2025, 81, 201sylancr 578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
20327nngt0d 11486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π𝑁))
204 ltmul2 11288 . . . . . 6 ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1354 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206200, 205mpbid 224 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
20728recnd 10464 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℂ)
20881recnd 10464 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209207, 148, 208mul12d 10645 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210206, 209breqtrd 4953 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211 ltdivmul 11312 . . . 4 ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1354 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213210, 212mpbird 249 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 10597 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  ifcif 4348   class class class wbr 4927  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  cr 10330  0cc0 10331  1c1 10332   · cmul 10336   < clt 10470  cle 10471  cmin 10666   / cdiv 11094  cn 11435  2c2 11492  3c3 11493  4c4 11494  8c8 11498  0cn0 11704  cz 11790  cuz 12055  +crp 12201  cfl 12972  cexp 13241  Ccbc 13474  eceu 15270  logclog 24833  πcppi 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-addf 10410  ax-mulf 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-supp 7631  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-oadd 7905  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-ixp 8256  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fsupp 8625  df-fi 8666  df-sup 8697  df-inf 8698  df-oi 8765  df-dju 9120  df-card 9158  df-cda 9384  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-xnn0 11777  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ioo 12555  df-ioc 12556  df-ico 12557  df-icc 12558  df-fz 12706  df-fzo 12847  df-fl 12974  df-mod 13050  df-seq 13182  df-exp 13242  df-fac 13446  df-bc 13475  df-hash 13503  df-shft 14281  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-limsup 14683  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-ef 15275  df-e 15276  df-sin 15277  df-cos 15278  df-pi 15280  df-dvds 15462  df-gcd 15698  df-prm 15866  df-pc 16024  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-lp 21442  df-perf 21443  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-haus 21621  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cncf 23183  df-limc 24161  df-dv 24162  df-log 24835  df-ppi 25373
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