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Theorem chebbnd1lem3 26059
Description: Lemma for chebbnd1 26060: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 12386 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 relogcl 25171 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
4 1re 10634 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6 ere 15438 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
75, 6remulcli 10650 . . . . . 6 (2 · e) ∈ ℝ
8 2pos 11732 . . . . . . . 8 0 < 2
9 epos 15556 . . . . . . . 8 0 < e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 10766 . . . . . . 7 0 < (2 · e)
117, 10gt0ne0ii 11169 . . . . . 6 (2 · e) ≠ 0
124, 7, 11redivcli 11400 . . . . 5 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
133, 12resubcli 10941 . . . 4 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14 2ne0 11733 . . . 4 2 ≠ 0
1513, 5, 14redivcli 11400 . . 3 (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
1615a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
175a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 8re 11725 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 2lt8 11826 . . . . . . . . 9 2 < 8
225, 18, 21ltleii 10756 . . . . . . . 8 2 ≤ 8
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
2517, 19, 20, 23, 24letrd 10790 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26 ppinncl 25763 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2725, 26syldan 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2827nnred 11644 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30 rehalfcl 11855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3231flcld 13167 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
3329, 32eqeltrid 2897 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3433zred 12079 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 remulcl 10615 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
365, 34, 35sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
374a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38 1lt2 11800 . . . . . . . . 9 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40 2t1e2 11792 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
41 4nn 11712 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
42 4z 12008 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44 4t2e8 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 · 2) = 8
4544, 24eqbrtrid 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46 4re 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49 lemuldiv 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5145, 50mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52 flge 13174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5331, 42, 52sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5451, 53mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
5554, 29breqtrrdi 5075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56 eluz2 12241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
58 eluznn 12310 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5941, 57, 58sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6059nnge1d 11677 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61 lemul2 11486 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6360, 62mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
6440, 63eqbrtrrid 5069 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 10793 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
6636, 65rplogcld 25224 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
6766rpred 12423 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68 2nn 11702 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
69 nnmulcl 11653 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7068, 59, 69sylancr 590 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7167, 70nndivred 11683 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
7228, 71remulcld 10664 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73 rehalfcl 11855 . . 3 (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75 0red 10637 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76 8pos 11741 . . . . . . . 8 0 < 8
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 10793 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
7920, 78elrpd 12420 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8079relogcld 25218 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8180, 79rerpdivcld 12454 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
8228, 81remulcld 10664 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
8313a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84 ppinncl 25763 . . . . . . 7 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8536, 64, 84syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8685nnred 11644 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8786, 71remulcld 10664 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88 remulcl 10615 . . . . . . . 8 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8913, 36, 88sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90 4pos 11736 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
9146, 90elrpii 12384 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
92 rpexpcl 13448 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9391, 33, 92sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9459nnrpd 12421 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9593, 94rpdivcld 12440 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
9695relogcld 25218 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
9786, 67remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
9894relogcld 25218 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99 epr 15557 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ+
100 rerpdivcl 12411 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10134, 99, 100sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10293relogcld 25218 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104 egt2lt3 15555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 < e ∧ e < 3)
105104simpri 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e < 3
106 3lt4 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
107 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
1086, 107, 46lttri 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109105, 106, 108mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e < 4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112103, 34, 111ltled 10781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
1136leidi 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≤ e
114 logdivlt 25216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
1156, 113, 114mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
11634, 112, 115syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117111, 116mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118 loge 25182 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
119118oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘e) / e) = (1 / e)
120117, 119breqtrdi 5074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
1216, 9pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
12359nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
12434, 123jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125 lt2mul2div 11511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127120, 126mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
12834recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129128mulid2d 10652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130127, 129breqtrd 5059 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131 ltmuldiv 11506 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
13298, 34, 122, 131syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133130, 132mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 11246 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
1353recni 10648 . . . . . . . . . . 11 (log‘2) ∈ ℂ
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
13712recni 10648 . . . . . . . . . . 11 (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
13970nnrpd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140139rpcnd 12425 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141136, 138, 140subdird 11090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142136, 140mulcomd 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143 2z 12006 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
144 zmulcl 12023 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145143, 33, 144sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146 relogexp 25191 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
1471, 145, 146sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
14959nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152148, 149, 151expmuld 13513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153 sq2 13560 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑2) = 4
154153oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155152, 154eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156155fveq2d 6653 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157142, 147, 1563eqtr2d 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
1587recni 10648 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · e) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161140, 159, 160divrec2d 11413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
1626recni 10648 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
1646, 9gt0ne0ii 11169 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 11435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168161, 167eqtr3d 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169157, 168oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170141, 169eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
17193, 94relogdivd 25221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172134, 170, 1713brtr4d 5065 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173 eqid 2801 . . . . . . . . 9 if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174173chebbnd1lem1 26057 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17557, 174syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 10794 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17783, 97, 139ltmuldivd 12470 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178176, 177mpbid 235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
17986recnd 10662 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
18066rpcnd 12425 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181139rpcnne0d 12432 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182 divass 11309 . . . . . 6 (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183179, 180, 181, 182syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184178, 183breqtrd 5059 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185 flle 13168 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18631, 185syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18729, 186eqbrtrid 5068 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188 lemuldiv2 11514 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190187, 189mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191 ppiwordi 25751 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19236, 20, 190, 191syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19366, 139rpdivcld 12440 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
19486, 28, 193lemul1d 12466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195192, 194mpbid 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 10793 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197 ltdiv1 11497 . . . 4 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1371 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199196, 198mpbid 235 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
20029chebbnd1lem2 26058 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201 remulcl 10615 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
2025, 81, 201sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
20327nngt0d 11678 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π𝑁))
204 ltmul2 11484 . . . . . 6 ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1371 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206200, 205mpbid 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
20728recnd 10662 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℂ)
20881recnd 10662 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209207, 148, 208mul12d 10842 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210206, 209breqtrd 5059 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211 ltdivmul 11508 . . . 4 ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1371 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213210, 212mpbird 260 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 10794 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  8c8 11690  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  cfl 13159  cexp 13429  Ccbc 13662  eceu 15412  logclog 25150  πcppi 25683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-e 15418  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-ppi 25689
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