Theorem chebbnd1lem3 27382

Description: Lemma for chebbnd1 27383: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12956	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		relogcl 26484	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
4		1re 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		2re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ere 16055	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 11190	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
8		2pos 12289	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		epos 16175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 11307	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · e)
11	7, 10	gt0ne0ii 11714	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ≠ 0
12	4, 7, 11	redivcli 11949	. . . . 5 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
13	3, 12	resubcli 11484	. . . 4 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14		2ne0 12290	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 5, 14	redivcli 11949	. . 3 ⊢ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		8re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		2lt8 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 11297	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26		ppinncl 27084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 26	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnred 12201	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30		rehalfcl 12409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32	31	flcld 13760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
33	29, 32	eqeltrid 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33	zred 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		remulcl 11153	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
36	5, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38		1lt2 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40		2t1e2 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
41		4nn 12269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
42		4z 12567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44		4t2e8 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 · 2) = 8
45	44, 24	eqbrtrid 5142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46		4re 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49		lemuldiv 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52		flge 13767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
53	31, 42, 52	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
54	51, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
55	54, 29	breqtrrdi 5149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56		eluz2 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
58		eluznn 12877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	41, 57, 58	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
60	59	nnge1d 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61		lemul2 12035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
63	60, 62	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
64	40, 63	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 11334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
66	36, 65	rplogcld 26538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
67	66	rpred 12995	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68		2nn 12259	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		nnmulcl 12210	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
70	68, 59, 69	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
71	67, 70	nndivred 12240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
72	28, 71	remulcld 11204	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73		rehalfcl 12409	. . 3 ⊢ (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
74	72, 73	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75		0red 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76		8pos 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 11334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
79	20, 78	elrpd 12992	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 26532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
81	80, 79	rerpdivcld 13026	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
82	28, 81	remulcld 11204	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84		ppinncl 27084	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
85	36, 64, 84	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 12201	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
87	86, 71	remulcld 11204	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88		remulcl 11153	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
89	13, 36, 88	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90		4pos 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
91	46, 90	elrpii 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
92		rpexpcl 14045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
93	91, 33, 92	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
94	59	nnrpd 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
95	93, 94	rpdivcld 13012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
96	95	relogcld 26532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
97	86, 67	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
98	94	relogcld 26532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99		epr 16176	. . . . . . . . . 10 ⊢ e ∈ ℝ+
100		rerpdivcl 12983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
101	34, 99, 100	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
102	93	relogcld 26532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104		egt2lt3 16174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
105	104	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e < 3
106		3lt4 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
107		3re 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
108	6, 107, 46	lttri 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109	105, 106, 108	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112	103, 34, 111	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
113	6	leidi 11712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≤ e
114		logdivlt 26530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
115	6, 113, 114	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
116	34, 112, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117	111, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118		loge 26495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘e) = 1
119	118	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘e) / e) = (1 / e)
120	117, 119	breqtrdi 5148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
121	6, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
123	59	nngt0d 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
124	34, 123	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125		lt2mul2div 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127	120, 126	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
128	34	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129	128	mullidd 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130	127, 129	breqtrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131		ltmuldiv 12056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133	130, 132	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 11791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
135	3	recni 11188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
137	12	recni 11188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
139	70	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140	139	rpcnd 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	subdird 11635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142	136, 140	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143		2z 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		zmulcl 12582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145	143, 33, 144	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146		relogexp 26505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
147	1, 145, 146	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
149	59	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152	148, 149, 151	expmuld 14114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153		sq2 14162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2↑2) = 4
154	153	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155	152, 154	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156	155	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
158	7	recni 11188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · e) ∈ ℂ
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161	140, 159, 160	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
162	6	recni 11188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
164	6, 9	gt0ne0ii 11714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168	161, 167	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169	157, 168	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170	141, 169	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
171	93, 94	relogdivd 26535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172	134, 170, 171	3brtr4d 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174	173	chebbnd1lem1 27380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 11335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
177	83, 97, 139	ltmuldivd 13042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178	176, 177	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
179	86	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
180	66	rpcnd 12997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181	139	rpcnne0d 13004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182		divass 11855	. . . . . 6 ⊢ (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184	178, 183	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185		flle 13761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
187	29, 186	eqbrtrid 5142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188		lemuldiv2 12064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190	187, 189	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191		ppiwordi 27072	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
193	66, 139	rpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
194	86, 28, 193	lemul1d 13038	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195	192, 194	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 11334	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197		ltdiv1 12047	. . . 4 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199	196, 198	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
200	29	chebbnd1lem2 27381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201		remulcl 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
202	5, 81, 201	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
203	27	nngt0d 12235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π‘𝑁))
204		ltmul2 12033	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206	200, 205	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
207	28	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℂ)
208	81	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209	207, 148, 208	mul12d 11383	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210	206, 209	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211		ltdivmul 12058	. . . 4 ⊢ ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213	210, 212	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 11335	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  8c8 12247  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752  ↑cexp 14026  Ccbc 14267  eceu 16028  logclog 26463  πcppi 27004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-e 16034  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-ppi 27010

This theorem is referenced by:  chebbnd1  27383