Theorem chebbnd1lem3 25451

Description: Lemma for chebbnd1 25452: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12033	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		relogcl 24613	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
4		1re 10293	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		2re 11346	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ere 15101	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 10310	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
8		2pos 11382	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		epos 15217	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 10424	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · e)
11	7, 10	gt0ne0ii 10818	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ≠ 0
12	4, 7, 11	redivcli 11046	. . . . 5 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
13	3, 12	resubcli 10597	. . . 4 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14		2ne0 11383	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 5, 14	redivcli 11046	. . 3 ⊢ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		8re 11373	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		2lt8 11475	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 10414	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 10448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26		ppinncl 25191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 26	syldan 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnred 11291	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30		rehalfcl 11504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
31	30	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32	31	flcld 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
33	29, 32	syl5eqel 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33	zred 11729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		remulcl 10274	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
36	5, 34, 35	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38		1lt2 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40		2t1e2 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
41		4nn 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
42		4z 11658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44		4t2e8 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 · 2) = 8
45	44, 24	syl5eqbr 4844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46		4re 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49		lemuldiv 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
51	45, 50	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52		flge 12814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
53	31, 42, 52	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
54	51, 53	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
55	54, 29	syl6breqr 4851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56		eluz2 11892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
58		eluznn 11959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	41, 57, 58	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
60	59	nnge1d 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61		lemul2 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
63	60, 62	mpbid 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
64	40, 63	syl5eqbrr 4845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 10451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
66	36, 65	rplogcld 24666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
67	66	rpred 12070	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68		2nn 11345	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		nnmulcl 11299	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
70	68, 59, 69	sylancr 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
71	67, 70	nndivred 11326	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
72	28, 71	remulcld 10324	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73		rehalfcl 11504	. . 3 ⊢ (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
74	72, 73	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75		0red 10297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76		8pos 11391	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 10451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
79	20, 78	elrpd 12067	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 24660	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
81	80, 79	rerpdivcld 12101	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
82	28, 81	remulcld 10324	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84		ppinncl 25191	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
85	36, 64, 84	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
87	86, 71	remulcld 10324	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88		remulcl 10274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
89	13, 36, 88	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90		4pos 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
91	46, 90	elrpii 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
92		rpexpcl 13086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
93	91, 33, 92	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
94	59	nnrpd 12068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
95	93, 94	rpdivcld 12087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
96	95	relogcld 24660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
97	86, 67	remulcld 10324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
98	94	relogcld 24660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99		epr 15218	. . . . . . . . . 10 ⊢ e ∈ ℝ+
100		rerpdivcl 12059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
101	34, 99, 100	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
102	93	relogcld 24660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104		egt2lt3 15216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
105	104	simpri 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e < 3
106		3lt4 11452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
107		3re 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
108	6, 107, 46	lttri 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109	105, 106, 108	mp2an 683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 10451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112	103, 34, 111	ltled 10439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
113	6	leidi 10816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≤ e
114		logdivlt 24658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
115	6, 113, 114	mpanl12 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
116	34, 112, 115	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117	111, 116	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118		loge 24624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘e) = 1
119	118	oveq1i 6852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘e) / e) = (1 / e)
120	117, 119	syl6breq 4850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
121	6, 9	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
123	59	nngt0d 11321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
124	34, 123	jca 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125		lt2mul2div 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127	120, 126	mpbird 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
128	34	recnd 10322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129	128	mulid2d 10312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130	127, 129	breqtrd 4835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131		ltmuldiv 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133	130, 132	mpbid 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 10894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
135	3	recni 10308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
137	12	recni 10308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
139	70	nnrpd 12068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140	139	rpcnd 12072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	subdird 10741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142	136, 140	mulcomd 10315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143		2z 11656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		zmulcl 11673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145	143, 33, 144	sylancr 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146		relogexp 24633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
147	1, 145, 146	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148		2cnd 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
149	59	nnnn0d 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150		2nn0 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152	148, 149, 151	expmuld 13218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153		sq2 13167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2↑2) = 4
154	153	oveq1i 6852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155	152, 154	syl6eq 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156	155	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
158	7	recni 10308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · e) ∈ ℂ
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161	140, 159, 160	divrec2d 11059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
162	6	recni 10308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
164	6, 9	gt0ne0ii 10818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 11081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168	161, 167	eqtr3d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169	157, 168	oveq12d 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170	141, 169	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
171	93, 94	relogdivd 24663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172	134, 170, 171	3brtr4d 4841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174	173	chebbnd1lem1 25449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 10452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
177	83, 97, 139	ltmuldivd 12117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178	176, 177	mpbid 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
179	86	recnd 10322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
180	66	rpcnd 12072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181	139	rpcnne0d 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182		divass 10957	. . . . . 6 ⊢ (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184	178, 183	breqtrd 4835	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185		flle 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
187	29, 186	syl5eqbr 4844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188		lemuldiv2 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190	187, 189	mpbird 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191		ppiwordi 25179	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
193	66, 139	rpdivcld 12087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
194	86, 28, 193	lemul1d 12113	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195	192, 194	mpbid 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 10451	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197		ltdiv1 11141	. . . 4 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1493	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199	196, 198	mpbid 223	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
200	29	chebbnd1lem2 25450	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201		remulcl 10274	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
202	5, 81, 201	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
203	27	nngt0d 11321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π‘𝑁))
204		ltmul2 11128	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1493	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206	200, 205	mpbid 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
207	28	recnd 10322	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℂ)
208	81	recnd 10322	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209	207, 148, 208	mul12d 10499	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210	206, 209	breqtrd 4835	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211		ltdivmul 11152	. . . 4 ⊢ ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1493	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213	210, 212	mpbird 248	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 10452	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ifcif 4243   class class class wbr 4809  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  ℝcr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328   ≤ cle 10329   − cmin 10520   / cdiv 10938  ℕcn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  8c8 11333  ℕ₀cn0 11538  ℤcz 11624  ℤ_≥cuz 11886  ℝ⁺crp 12028  ⌊cfl 12799  ↑cexp 13067  Ccbc 13293  eceu 15075  logclog 24592  πcppi 25111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-e 15081  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-ppi 25117

This theorem is referenced by:  chebbnd1  25452