chebbnd1lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem chebbnd1lem3 27320

Description: Lemma for chebbnd1 27321: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

**Assertion**
Ref	Expression
chebbnd1lem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

**Proof of Theorem chebbnd1lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12976	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
2		relogcl 26426	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
4		1re 11211	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		2re 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ere 16029	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 11227	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
8		2pos 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		epos 16147	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 11344	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · e)
11	7, 10	gt0ne0ii 11747	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ≠ 0
12	4, 7, 11	redivcli 11978	. . . . 5 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
13	3, 12	resubcli 11519	. . . 4 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14		2ne0 12313	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 5, 14	redivcli 11978	. . 3 ⊢ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		8re 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		2lt8 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 11334	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26		ppinncl 27022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 26	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnred 12224	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30		rehalfcl 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32	31	flcld 13760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
33	29, 32	eqeltrid 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33	zred 12663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		remulcl 11191	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
36	5, 34, 35	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38		1lt2 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40		2t1e2 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
41		4nn 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
42		4z 12593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44		4t2e8 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 · 2) = 8
45	44, 24	eqbrtrid 5173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46		4re 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49		lemuldiv 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
51	45, 50	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52		flge 13767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
53	31, 42, 52	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
54	51, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
55	54, 29	breqtrrdi 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56		eluz2 12825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘4))
58		eluznn 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	41, 57, 58	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
60	59	nnge1d 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61		lemul2 12064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
64	40, 63	eqbrtrrid 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 11371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
66	36, 65	rplogcld 26479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ⁺)
67	66	rpred 13013	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68		2nn 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		nnmulcl 12233	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
70	68, 59, 69	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
71	67, 70	nndivred 12263	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
72	28, 71	remulcld 11241	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73		rehalfcl 12435	. . 3 ⊢ (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
74	72, 73	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75		0red 11214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76		8pos 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 11371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
79	20, 78	elrpd 13010	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
80	79	relogcld 26473	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
81	80, 79	rerpdivcld 13044	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
82	28, 81	remulcld 11241	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84		ppinncl 27022	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
85	36, 64, 84	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 12224	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
87	86, 71	remulcld 11241	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88		remulcl 11191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
89	13, 36, 88	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90		4pos 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
91	46, 90	elrpii 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
92		rpexpcl 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ⁺)
93	91, 33, 92	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ⁺)
94	59	nnrpd 13011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
95	93, 94	rpdivcld 13030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
96	95	relogcld 26473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
97	86, 67	remulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
98	94	relogcld 26473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99		epr 16148	. . . . . . . . . 10 ⊢ e ∈ ℝ⁺
100		rerpdivcl 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ⁺) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
101	34, 99, 100	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
102	93	relogcld 26473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104		egt2lt3 16146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
105	104	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e < 3
106		3lt4 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
107		3re 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
108	6, 107, 46	lttri 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109	105, 106, 108	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112	103, 34, 111	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
113	6	leidi 11745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≤ e
114		logdivlt 26471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
115	6, 113, 114	mpanl12 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
116	34, 112, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117	111, 116	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118		loge 26437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘e) = 1
119	118	oveq1i 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘e) / e) = (1 / e)
120	117, 119	breqtrdi 5179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
121	6, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
123	59	nngt0d 12258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
124	34, 123	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125		lt2mul2div 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127	120, 126	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
128	34	recnd 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129	128	mullidd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130	127, 129	breqtrd 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131		ltmuldiv 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133	130, 132	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 11824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
135	3	recni 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
137	12	recni 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
139	70	nnrpd 13011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ⁺)
140	139	rpcnd 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	subdird 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142	136, 140	mulcomd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143		2z 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		zmulcl 12608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145	143, 33, 144	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146		relogexp 26446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
147	1, 145, 146	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148		2cnd 12287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
149	59	nnnn0d 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
150		2nn0 12486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ₀)
152	148, 149, 151	expmuld 14111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153		sq2 14158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2↑2) = 4
154	153	oveq1i 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155	152, 154	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156	155	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
158	7	recni 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · e) ∈ ℂ
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161	140, 159, 160	divrec2d 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
162	6	recni 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
164	6, 9	gt0ne0ii 11747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 12013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168	161, 167	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169	157, 168	oveq12d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170	141, 169	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
171	93, 94	relogdivd 26476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172	134, 170, 171	3brtr4d 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174	173	chebbnd1lem1 27318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 11372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
177	83, 97, 139	ltmuldivd 13060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178	176, 177	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
179	86	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
180	66	rpcnd 13015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181	139	rpcnne0d 13022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182		divass 11887	. . . . . 6 ⊢ (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184	178, 183	breqtrd 5164	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185		flle 13761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
187	29, 186	eqbrtrid 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188		lemuldiv2 12092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190	187, 189	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191		ppiwordi 27010	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
193	66, 139	rpdivcld 13030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ⁺)
194	86, 28, 193	lemul1d 13056	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195	192, 194	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 11371	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197		ltdiv1 12075	. . . 4 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199	196, 198	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
200	29	chebbnd1lem2 27319	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201		remulcl 11191	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
202	5, 81, 201	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
203	27	nngt0d 12258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π‘𝑁))
204		ltmul2 12062	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206	200, 205	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
207	28	recnd 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℂ)
208	81	recnd 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209	207, 148, 208	mul12d 11420	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210	206, 209	breqtrd 5164	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211		ltdivmul 12086	. . . 4 ⊢ ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213	210, 212	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 11372	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ifcif 4520 class class class wbr 5138 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 · cmul 11111 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 / cdiv 11868 ℕcn 12209 2c2 12264 3c3 12265 4c4 12266 8c8 12270 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ℤ_≥cuz 12819 ℝ⁺crp 12971 ⌊cfl 13752 ↑cexp 14024 Ccbc 14259 eceu 16003 logclog 26405 πcppi 26942

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-iin 4990 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-of 7663 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8141 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-2o 8462 df-oadd 8465 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-xnn0 12542 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-ioo 13325 df-ioc 13326 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13964 df-exp 14025 df-fac 14231 df-bc 14260 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-ef 16008 df-e 16009 df-sin 16010 df-cos 16011 df-pi 16013 df-dvds 16195 df-gcd 16433 df-prm 16606 df-pc 16769 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-submnd 18704 df-mulg 18986 df-cntz 19223 df-cmn 19692 df-psmet 21220 df-xmet 21221 df-met 21222 df-bl 21223 df-mopn 21224 df-fbas 21225 df-fg 21226 df-cnfld 21229 df-top 22718 df-topon 22735 df-topsp 22757 df-bases 22771 df-cld 22845 df-ntr 22846 df-cls 22847 df-nei 22924 df-lp 22962 df-perf 22963 df-cn 23053 df-cnp 23054 df-haus 23141 df-tx 23388 df-hmeo 23581 df-fil 23672 df-fm 23764 df-flim 23765 df-flf 23766 df-xms 24148 df-ms 24149 df-tms 24150 df-cncf 24720 df-limc 25717 df-dv 25718 df-log 26407 df-ppi 26948

This theorem is referenced by: chebbnd1 27321

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