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Theorem chebbnd1lem3 25451
Description: Lemma for chebbnd1 25452: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 12033 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 relogcl 24613 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
4 1re 10293 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 2re 11346 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6 ere 15101 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
75, 6remulcli 10310 . . . . . 6 (2 · e) ∈ ℝ
8 2pos 11382 . . . . . . . 8 0 < 2
9 epos 15217 . . . . . . . 8 0 < e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 10424 . . . . . . 7 0 < (2 · e)
117, 10gt0ne0ii 10818 . . . . . 6 (2 · e) ≠ 0
124, 7, 11redivcli 11046 . . . . 5 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
133, 12resubcli 10597 . . . 4 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14 2ne0 11383 . . . 4 2 ≠ 0
1513, 5, 14redivcli 11046 . . 3 (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
1615a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
175a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 8re 11373 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 2lt8 11475 . . . . . . . . 9 2 < 8
225, 18, 21ltleii 10414 . . . . . . . 8 2 ≤ 8
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
2517, 19, 20, 23, 24letrd 10448 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26 ppinncl 25191 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2725, 26syldan 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2827nnred 11291 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30 rehalfcl 11504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3231flcld 12807 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
3329, 32syl5eqel 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3433zred 11729 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 remulcl 10274 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
365, 34, 35sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
374a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38 1lt2 11449 . . . . . . . . 9 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40 2t1e2 11441 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
41 4nn 11356 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
42 4z 11658 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44 4t2e8 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 · 2) = 8
4544, 24syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46 4re 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49 lemuldiv 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5145, 50mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52 flge 12814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5331, 42, 52sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5451, 53mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
5554, 29syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56 eluz2 11892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
58 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5941, 57, 58sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6059nnge1d 11320 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61 lemul2 11130 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1493 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6360, 62mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
6440, 63syl5eqbrr 4845 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 10451 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
6636, 65rplogcld 24666 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
6766rpred 12070 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68 2nn 11345 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
69 nnmulcl 11299 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7068, 59, 69sylancr 581 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7167, 70nndivred 11326 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
7228, 71remulcld 10324 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73 rehalfcl 11504 . . 3 (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75 0red 10297 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76 8pos 11391 . . . . . . . 8 0 < 8
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 10451 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
7920, 78elrpd 12067 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8079relogcld 24660 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8180, 79rerpdivcld 12101 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
8228, 81remulcld 10324 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
8313a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84 ppinncl 25191 . . . . . . 7 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8536, 64, 84syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8685nnred 11291 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8786, 71remulcld 10324 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88 remulcl 10274 . . . . . . . 8 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8913, 36, 88sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90 4pos 11386 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
9146, 90elrpii 12031 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
92 rpexpcl 13086 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9391, 33, 92sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9459nnrpd 12068 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9593, 94rpdivcld 12087 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
9695relogcld 24660 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
9786, 67remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
9894relogcld 24660 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99 epr 15218 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ+
100 rerpdivcl 12059 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10134, 99, 100sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10293relogcld 24660 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104 egt2lt3 15216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 < e ∧ e < 3)
105104simpri 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e < 3
106 3lt4 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
107 3re 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
1086, 107, 46lttri 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109105, 106, 108mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e < 4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112103, 34, 111ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
1136leidi 10816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≤ e
114 logdivlt 24658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
1156, 113, 114mpanl12 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
11634, 112, 115syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117111, 116mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118 loge 24624 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
119118oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘e) / e) = (1 / e)
120117, 119syl6breq 4850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
1216, 9pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
12359nngt0d 11321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
12434, 123jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125 lt2mul2div 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127120, 126mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
12834recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129128mulid2d 10312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130127, 129breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131 ltmuldiv 11150 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
13298, 34, 122, 131syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133130, 132mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 10894 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
1353recni 10308 . . . . . . . . . . 11 (log‘2) ∈ ℂ
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
13712recni 10308 . . . . . . . . . . 11 (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
13970nnrpd 12068 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140139rpcnd 12072 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141136, 138, 140subdird 10741 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142136, 140mulcomd 10315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143 2z 11656 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
144 zmulcl 11673 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145143, 33, 144sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146 relogexp 24633 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
1471, 145, 146sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
14959nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152148, 149, 151expmuld 13218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153 sq2 13167 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑2) = 4
154153oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155152, 154syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156155fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157142, 147, 1563eqtr2d 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
1587recni 10308 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · e) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161140, 159, 160divrec2d 11059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
1626recni 10308 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
1646, 9gt0ne0ii 10818 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 11081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168161, 167eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169157, 168oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170141, 169eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
17193, 94relogdivd 24663 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172134, 170, 1713brtr4d 4841 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173 eqid 2765 . . . . . . . . 9 if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174173chebbnd1lem1 25449 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17557, 174syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 10452 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17783, 97, 139ltmuldivd 12117 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178176, 177mpbid 223 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
17986recnd 10322 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
18066rpcnd 12072 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181139rpcnne0d 12079 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182 divass 10957 . . . . . 6 (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183179, 180, 181, 182syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184178, 183breqtrd 4835 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185 flle 12808 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18631, 185syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18729, 186syl5eqbr 4844 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188 lemuldiv2 11158 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1493 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190187, 189mpbird 248 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191 ppiwordi 25179 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19236, 20, 190, 191syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19366, 139rpdivcld 12087 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
19486, 28, 193lemul1d 12113 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195192, 194mpbid 223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 10451 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197 ltdiv1 11141 . . . 4 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1493 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199196, 198mpbid 223 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
20029chebbnd1lem2 25450 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201 remulcl 10274 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
2025, 81, 201sylancr 581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
20327nngt0d 11321 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π𝑁))
204 ltmul2 11128 . . . . . 6 ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1493 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206200, 205mpbid 223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
20728recnd 10322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℂ)
20881recnd 10322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209207, 148, 208mul12d 10499 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210206, 209breqtrd 4835 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211 ltdivmul 11152 . . . 4 ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1493 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213210, 212mpbird 248 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 10452 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  8c8 11333  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  cfl 12799  cexp 13067  Ccbc 13293  eceu 15075  logclog 24592  πcppi 25111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-e 15081  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-ppi 25117
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