Theorem chebbnd1lem3 26628

Description: Lemma for chebbnd1 26629: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12744	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		relogcl 25740	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
4		1re 10984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		2re 12056	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ere 15807	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 11000	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
8		2pos 12085	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
9		epos 15925	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 11117	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · e)
11	7, 10	gt0ne0ii 11520	. . . . . 6 ⊢ (2 · e) ≠ 0
12	4, 7, 11	redivcli 11751	. . . . 5 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
13	3, 12	resubcli 11292	. . . 4 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14		2ne0 12086	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
15	13, 5, 14	redivcli 11751	. . 3 ⊢ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		8re 12078	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		2lt8 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 11107	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26		ppinncl 26332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 26	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnred 11997	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30		rehalfcl 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
32	31	flcld 13527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
33	29, 32	eqeltrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33	zred 12435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		remulcl 10965	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
36	5, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38		1lt2 12153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40		2t1e2 12145	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
41		4nn 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
42		4z 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44		4t2e8 12150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 · 2) = 8
45	44, 24	eqbrtrid 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46		4re 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49		lemuldiv 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
51	45, 50	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52		flge 13534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
53	31, 42, 52	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
54	51, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
55	54, 29	breqtrrdi 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56		eluz2 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
58		eluznn 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	41, 57, 58	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
60	59	nnge1d 12030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61		lemul2 11837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
64	40, 63	eqbrtrrid 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 11144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
66	36, 65	rplogcld 25793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
67	66	rpred 12781	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68		2nn 12055	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		nnmulcl 12006	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
70	68, 59, 69	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
71	67, 70	nndivred 12036	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
72	28, 71	remulcld 11014	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73		rehalfcl 12208	. . 3 ⊢ (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
74	72, 73	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75		0red 10987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76		8pos 12094	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 11144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
79	20, 78	elrpd 12778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 25787	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
81	80, 79	rerpdivcld 12812	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
82	28, 81	remulcld 11014	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84		ppinncl 26332	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
85	36, 64, 84	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
86	85	nnred 11997	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
87	86, 71	remulcld 11014	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88		remulcl 10965	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
89	13, 36, 88	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90		4pos 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
91	46, 90	elrpii 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
92		rpexpcl 13810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
93	91, 33, 92	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
94	59	nnrpd 12779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
95	93, 94	rpdivcld 12798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
96	95	relogcld 25787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
97	86, 67	remulcld 11014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
98	94	relogcld 25787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99		epr 15926	. . . . . . . . . 10 ⊢ e ∈ ℝ+
100		rerpdivcl 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
101	34, 99, 100	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
102	93	relogcld 25787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104		egt2lt3 15924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
105	104	simpri 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e < 3
106		3lt4 12156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
107		3re 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
108	6, 107, 46	lttri 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109	105, 106, 108	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112	103, 34, 111	ltled 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
113	6	leidi 11518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≤ e
114		logdivlt 25785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
115	6, 113, 114	mpanl12 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
116	34, 112, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117	111, 116	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118		loge 25751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (log‘e) = 1
119	118	oveq1i 7294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘e) / e) = (1 / e)
120	117, 119	breqtrdi 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
121	6, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
123	59	nngt0d 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
124	34, 123	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125		lt2mul2div 11862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127	120, 126	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
128	34	recnd 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129	128	mulid2d 11002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130	127, 129	breqtrd 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131		ltmuldiv 11857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133	130, 132	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 11597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
135	3	recni 10998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
137	12	recni 10998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
139	70	nnrpd 12779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140	139	rpcnd 12783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141	136, 138, 140	subdird 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142	136, 140	mulcomd 11005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143		2z 12361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		zmulcl 12378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145	143, 33, 144	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146		relogexp 25760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
147	1, 145, 146	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148		2cnd 12060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
149	59	nnnn0d 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150		2nn0 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152	148, 149, 151	expmuld 13876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153		sq2 13923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2↑2) = 4
154	153	oveq1i 7294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155	152, 154	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156	155	fveq2d 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
158	7	recni 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · e) ∈ ℂ
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161	140, 159, 160	divrec2d 11764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
162	6	recni 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℂ
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
164	6, 9	gt0ne0ii 11520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 11786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168	161, 167	eqtr3d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169	157, 168	oveq12d 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170	141, 169	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
171	93, 94	relogdivd 25790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172	134, 170, 171	3brtr4d 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174	173	chebbnd1lem1 26626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 11145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
177	83, 97, 139	ltmuldivd 12828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178	176, 177	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
179	86	recnd 11012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
180	66	rpcnd 12783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181	139	rpcnne0d 12790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182		divass 11660	. . . . . 6 ⊢ (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184	178, 183	breqtrd 5101	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185		flle 13528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
187	29, 186	eqbrtrid 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188		lemuldiv2 11865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190	187, 189	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191		ppiwordi 26320	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁))
193	66, 139	rpdivcld 12798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
194	86, 28, 193	lemul1d 12824	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π‘𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195	192, 194	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 11144	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197		ltdiv1 11848	. . . 4 ⊢ ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199	196, 198	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
200	29	chebbnd1lem2 26627	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201		remulcl 10965	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
202	5, 81, 201	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
203	27	nngt0d 12031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π‘𝑁))
204		ltmul2 11835	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206	200, 205	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
207	28	recnd 11012	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℂ)
208	81	recnd 11012	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209	207, 148, 208	mul12d 11193	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210	206, 209	breqtrd 5101	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211		ltdivmul 11859	. . . 4 ⊢ ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213	210, 212	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 11145	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ifcif 4460   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   · cmul 10885   < clt 11018   ≤ cle 11019   − cmin 11214   / cdiv 11641  ℕcn 11982  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  8c8 12043  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591  ℝ⁺crp 12739  ⌊cfl 13519  ↑cexp 13791  Ccbc 14025  eceu 15781  logclog 25719  πcppi 26252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-oadd 8310  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-dju 9668  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-xnn0 12315  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-e 15787  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-dvds 15973  df-gcd 16211  df-prm 16386  df-pc 16547  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040  df-log 25721  df-ppi 26258

This theorem is referenced by:  chebbnd1  26629