Theorem chebbnd1 27534

Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pnfxr 11344	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 13488	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		elicopnf 13505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
8	7	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		0red 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10		1re 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0lt1 11812	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15		1lt2 12464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
17	7	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
18	11, 14, 8, 16, 17	ltletrd 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
19	9, 11, 8, 13, 18	lttrd 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
20	8, 19	elrpd 13096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	8, 18	rplogcld 26689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	20, 21	rpdivcld 13116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23		ppinncl 27235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
24	7, 23	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
25	24	nnrpd 13097	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
26	22, 25	rpdivcld 13116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnd 13101	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		8re 12389	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31		2rp 13062	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32		relogcl 26635	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
34		ere 16137	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
35	1, 34	remulcli 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
36		2pos 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37		epos 16255	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
38	1, 34, 36, 37	mulgt0ii 11423	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (2 · e)
39	35, 38	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ≠ 0
40	35, 39	rereccli 12059	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
41	33, 40	resubcli 11598	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42		2t1e2 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
43		egt2lt3 16254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
44	43	simpli 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < e
45	10, 1, 34	lttri 11416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
46	15, 44, 45	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < e
47	10, 34, 1	ltmul2i 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
48	36, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
49	46, 48	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) < (2 · e)
50	42, 49	eqbrtrri 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < (2 · e)
51	1, 35, 36, 38	ltrecii 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
52	50, 51	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
53	43	simpri 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e < 3
54		3lt4 12467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
55		3re 12373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		4re 12377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
57	34, 55, 56	lttri 11416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
58	53, 54, 57	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e < 4
59		epr 16256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
60		4pos 12400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
61	56, 60	elrpii 13060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ+
62		logltb 26660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
63	59, 61, 62	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
64	58, 63	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) < (log‘4)
65		loge 26646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
66		sq2 14246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
67	66	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68		2z 12675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		relogexp 26656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
70	31, 68, 69	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
71	67, 70	eqtr3i 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘4) = (2 · (log‘2))
72	64, 65, 71	3brtr3i 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < (2 · (log‘2))
73	1, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74		ltdivmul 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
75	10, 33, 73, 74	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
76	72, 75	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < (log‘2)
77		halfre 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
78	40, 77, 33	lttri 11416	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
79	52, 76, 78	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) < (log‘2)
80	40, 33	posdifi 11840	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
81	79, 80	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
82	41, 81	elrpii 13060	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83		rerpdivcl 13087	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
84	1, 82, 83	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86		rpre 13065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
87		rpge0 13070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
88	86, 87	absidd 15471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
89	26, 88	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
90	89	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
91		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
92	91	chebbnd1lem3 27533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
93	8, 92	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
94	1	recni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
95		2ne0 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
96	41	recni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
97	41, 81	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98		recdiv 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
99	94, 95, 96, 97, 98	mp4an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
101	22	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
102	24	nncnd 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
103	22	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
104	24	nnne0d 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
105	101, 102, 103, 104	recdivd 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106	102, 101, 103	divrecd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107	20	rpcnne0d 13108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
108	21	rpcnne0d 13108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109		recdiv 12000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110	107, 108, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111	110	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112	105, 106, 111	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113	112	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
114	93, 100, 113	3brtr4d 5198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
115	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
116		elrp 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
117	1, 41, 36, 81	divgt0ii 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118		ltrec 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
119	84, 117, 118	mpanr12 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
120	116, 119	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
121	115, 120	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
122	114, 121	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123	115	rpred 13099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
124		ltle 11378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125	123, 84, 124	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126	122, 125	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
127	90, 126	eqbrtrd 5188	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128	127	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
129	5, 28, 30, 85, 128	elo1d 15582	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130	129	mptru 1544	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  8c8 12354  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112  abscabs 15283  𝑂(1)co1 15532  eceu 16110  logclog 26614  πcppi 27155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27536  chto1lb  27540