Theorem chebbnd1 27208

Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12291	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pnfxr 11273	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 13410	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		elicopnf 13427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
8	7	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		0red 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10		1re 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0lt1 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15		1lt2 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
17	7	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
18	11, 14, 8, 16, 17	ltletrd 11379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
19	9, 11, 8, 13, 18	lttrd 11380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
20	8, 19	elrpd 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	8, 18	rplogcld 26370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	20, 21	rpdivcld 13038	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23		ppinncl 26911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
24	7, 23	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
25	24	nnrpd 13019	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
26	22, 25	rpdivcld 13038	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnd 13023	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		8re 12313	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31		2rp 12984	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32		relogcl 26317	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
34		ere 16037	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
35	1, 34	remulcli 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
36		2pos 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37		epos 16155	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
38	1, 34, 36, 37	mulgt0ii 11352	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (2 · e)
39	35, 38	gt0ne0ii 11755	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ≠ 0
40	35, 39	rereccli 11984	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
41	33, 40	resubcli 11527	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42		2t1e2 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
43		egt2lt3 16154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
44	43	simpli 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < e
45	10, 1, 34	lttri 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
46	15, 44, 45	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < e
47	10, 34, 1	ltmul2i 12140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
48	36, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
49	46, 48	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) < (2 · e)
50	42, 49	eqbrtrri 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < (2 · e)
51	1, 35, 36, 38	ltrecii 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
52	50, 51	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
53	43	simpri 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e < 3
54		3lt4 12391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
55		3re 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		4re 12301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
57	34, 55, 56	lttri 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
58	53, 54, 57	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e < 4
59		epr 16156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
60		4pos 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
61	56, 60	elrpii 12982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ+
62		logltb 26341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
63	59, 61, 62	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
64	58, 63	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) < (log‘4)
65		loge 26328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
66		sq2 14166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
67	66	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68		2z 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		relogexp 26337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
70	31, 68, 69	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
71	67, 70	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘4) = (2 · (log‘2))
72	64, 65, 71	3brtr3i 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < (2 · (log‘2))
73	1, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74		ltdivmul 12094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
75	10, 33, 73, 74	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
76	72, 75	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < (log‘2)
77		halfre 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
78	40, 77, 33	lttri 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
79	52, 76, 78	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) < (log‘2)
80	40, 33	posdifi 11769	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
81	79, 80	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
82	41, 81	elrpii 12982	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83		rerpdivcl 13009	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
84	1, 82, 83	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86		rpre 12987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
87		rpge0 12992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
88	86, 87	absidd 15374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
89	26, 88	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
90	89	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
91		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
92	91	chebbnd1lem3 27207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
93	8, 92	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
94	1	recni 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
95		2ne0 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
96	41	recni 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
97	41, 81	gt0ne0ii 11755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98		recdiv 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
99	94, 95, 96, 97, 98	mp4an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
101	22	rpcnd 13023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
102	24	nncnd 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
103	22	rpne0d 13026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
104	24	nnne0d 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
105	101, 102, 103, 104	recdivd 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106	102, 101, 103	divrecd 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107	20	rpcnne0d 13030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
108	21	rpcnne0d 13030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109		recdiv 11925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110	107, 108, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111	110	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112	105, 106, 111	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113	112	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
114	93, 100, 113	3brtr4d 5181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
115	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
116		elrp 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
117	1, 41, 36, 81	divgt0ii 12136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118		ltrec 12101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
119	84, 117, 118	mpanr12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
120	116, 119	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
121	115, 120	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
122	114, 121	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123	115	rpred 13021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
124		ltle 11307	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125	123, 84, 124	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126	122, 125	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
127	90, 126	eqbrtrd 5171	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128	127	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
129	5, 28, 30, 85, 128	elo1d 15485	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130	129	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   · cmul 11118  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  8c8 12278  ℤcz 12563  ℝ⁺crp 12979  [,)cico 13331  ⌊cfl 13760  ↑cexp 14032  abscabs 15186  𝑂(1)co1 15435  eceu 16011  logclog 26296  πcppi 26831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-ppi 26837

This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27210  chto1lb  27214