MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1 27211
Description: The Chebyshev bound: The function ฯ€(๐‘ฅ) is eventually lower bounded by a positive constant times ๐‘ฅ / log(๐‘ฅ). Alternatively stated, the function (๐‘ฅ / log(๐‘ฅ)) / ฯ€(๐‘ฅ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)

Proof of Theorem chebbnd1
StepHypRef Expression
1 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 pnfxr 11272 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
3 icossre 13409 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
41, 2, 3mp2an 688 . . . 4 (2[,)+โˆž) โŠ† โ„
54a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
6 elicopnf 13426 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ))
87simplbi 496 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9 0red 11221 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
10 1re 11218 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12 0lt1 11740 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < 1)
141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
15 1lt2 12387 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < 2)
177simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ฅ)
1811, 14, 8, 16, 17ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
199, 11, 8, 13, 18lttrd 11379 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
208, 19elrpd 13017 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
218, 18rplogcld 26373 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2220, 21rpdivcld 13037 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
23 ppinncl 26914 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
247, 23sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 13018 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2622, 25rpdivcld 13037 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2726rpcnd 13022 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 480 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
29 8re 12312 . . . 4 8 โˆˆ โ„
3029a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ 8 โˆˆ โ„)
31 2rp 12983 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
32 relogcl 26320 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
34 ere 16036 . . . . . . . . 9 e โˆˆ โ„
351, 34remulcli 11234 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โˆˆ โ„
36 2pos 12319 . . . . . . . . . 10 0 < 2
37 epos 16154 . . . . . . . . . 10 0 < e
381, 34, 36, 37mulgt0ii 11351 . . . . . . . . 9 0 < (2 ยท e)
3935, 38gt0ne0ii 11754 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โ‰  0
4035, 39rereccli 11983 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) โˆˆ โ„
4133, 40resubcli 11526 . . . . . 6 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„
42 2t1e2 12379 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) = 2
43 egt2lt3 16153 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < e โˆง e < 3)
4443simpli 482 . . . . . . . . . . . 12 2 < e
4510, 1, 34lttri 11344 . . . . . . . . . . . 12 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
4615, 44, 45mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 1 < e
4710, 34, 1ltmul2i 12139 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 2 โ†’ (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e)))
4836, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e))
4946, 48mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) < (2 ยท e)
5042, 49eqbrtrri 5170 . . . . . . . . 9 2 < (2 ยท e)
511, 35, 36, 38ltrecii 12134 . . . . . . . . 9 (2 < (2 ยท e) โ†” (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2))
5250, 51mpbi 229 . . . . . . . 8 (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2)
5343simpri 484 . . . . . . . . . . . 12 e < 3
54 3lt4 12390 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
55 3re 12296 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
56 4re 12300 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5734, 55, 56lttri 11344 . . . . . . . . . . . 12 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
5853, 54, 57mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 e < 4
59 epr 16155 . . . . . . . . . . . 12 e โˆˆ โ„+
60 4pos 12323 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
6156, 60elrpii 12981 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„+
62 logltb 26344 . . . . . . . . . . . 12 ((e โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4)))
6359, 61, 62mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4))
6458, 63mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) < (logโ€˜4)
65 loge 26331 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) = 1
66 sq2 14165 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
6766fveq2i 6893 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (logโ€˜4)
68 2z 12598 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
69 relogexp 26340 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2)))
7031, 68, 69mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2))
7167, 70eqtr3i 2760 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜4) = (2 ยท (logโ€˜2))
7264, 65, 713brtr3i 5176 . . . . . . . . 9 1 < (2 ยท (logโ€˜2))
731, 36pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
74 ltdivmul 12093 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2))))
7510, 33, 73, 74mp3an 1459 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2)))
7672, 75mpbir 230 . . . . . . . 8 (1 / 2) < (logโ€˜2)
77 halfre 12430 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
7840, 77, 33lttri 11344 . . . . . . . 8 (((1 / (2 ยท e)) < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < (logโ€˜2)) โ†’ (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2))
7952, 76, 78mp2an 688 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2)
8040, 33posdifi 11768 . . . . . . 7 ((1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2) โ†” 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
8179, 80mpbi 229 . . . . . 6 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))
8241, 81elrpii 12981 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+
83 rerpdivcl 13008 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
841, 82, 83mp2an 688 . . . 4 (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„
8584a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
86 rpre 12986 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
87 rpge0 12991 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8886, 87absidd 15373 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8926, 88syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
9089adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
91 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2))
9291chebbnd1lem3 27210 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
938, 92sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
941recni 11232 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
95 2ne0 12320 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
9641recni 11232 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚
9741, 81gt0ne0ii 11754 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0
98 recdiv 11924 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0)) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
9994, 95, 96, 97, 98mp4an 689 . . . . . . . . 9 (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
10122rpcnd 13022 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
10224nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
10322rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
10424nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
105101, 102, 103, 104recdivd 12011 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))
106102, 101, 103divrecd 11997 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
10720rpcnne0d 13029 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
10821rpcnne0d 13029 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
109 recdiv 11924 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
110107, 108, 109syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
111110oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
112105, 106, 1113eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
113112adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
11493, 100, 1133brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
11526adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
116 elrp 12980 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†” (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
1171, 41, 36, 81divgt0ii 12135 . . . . . . . . . 10 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
118 ltrec 12100 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
11984, 117, 118mpanr12 701 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
120116, 119sylbi 216 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
121115, 120syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
122114, 121mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
123115rpred 13020 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
124 ltle 11306 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
125123, 84, 124sylancl 584 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
126122, 125mpd 15 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
12790, 126eqbrtrd 5169 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
128127adantl 480 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
1295, 28, 30, 85, 128elo1d 15484 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
130129mptru 1546 1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  8c8 12277  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  [,)cico 13330  โŒŠcfl 13759  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185  ๐‘‚(1)co1 15434  eceu 16010  logclog 26299  ฯ€cppi 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-ppi 26840
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27213  chto1lb  27217
  Copyright terms: Public domain W3C validator