Theorem chebbnd1 27636

Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pnfxr 11258	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 13450	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		elicopnf 13467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
8	7	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10		1re 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0lt1 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15		1lt2 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
17	7	simprbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
18	11, 14, 8, 16, 17	ltletrd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
19	9, 11, 8, 13, 18	lttrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
20	8, 19	elrpd 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	8, 18	rplogcld 26794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	20, 21	rpdivcld 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23		ppinncl 27338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
24	7, 23	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
25	24	nnrpd 13053	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
26	22, 25	rpdivcld 13072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnd 13057	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		8re 12332	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31		2rp 13016	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32		relogcl 26740	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
34		ere 16138	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
35	1, 34	remulcli 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
36		2pos 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37		epos 16258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
38	1, 34, 36, 37	mulgt0ii 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (2 · e)
39	35, 38	gt0ne0ii 11745	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ≠ 0
40	35, 39	rereccli 11975	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
41	33, 40	resubcli 11515	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42		2t1e2 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
43		egt2lt3 16257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
44	43	simpli 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < e
45	10, 1, 34	lttri 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
46	15, 44, 45	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < e
47	10, 34, 1	ltmul2i 12131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
48	36, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
49	46, 48	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) < (2 · e)
50	42, 49	eqbrtrri 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < (2 · e)
51	1, 35, 36, 38	ltrecii 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
52	50, 51	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
53	43	simpri 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e < 3
54		3lt4 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
55		3re 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		4re 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
57	34, 55, 56	lttri 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
58	53, 54, 57	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e < 4
59		epr 16259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
60		4pos 12346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
61	56, 60	elrpii 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ+
62		logltb 26765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
63	59, 61, 62	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
64	58, 63	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) < (log‘4)
65		loge 26751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
66		sq2 14229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
67	66	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68		2z 12621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		relogexp 26761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
70	31, 68, 69	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
71	67, 70	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘4) = (2 · (log‘2))
72	64, 65, 71	3brtr3i 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < (2 · (log‘2))
73	1, 36	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74		ltdivmul 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
75	10, 33, 73, 74	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
76	72, 75	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < (log‘2)
77		halfre 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
78	40, 77, 33	lttri 11331	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
79	52, 76, 78	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) < (log‘2)
80	40, 33	posdifi 11759	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
81	79, 80	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
82	41, 81	elrpii 13014	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83		rerpdivcl 13043	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
84	1, 82, 83	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86		rpre 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
87		rpge0 13025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
88	86, 87	absidd 15470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
89	26, 88	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
90	89	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
91		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
92	91	chebbnd1lem3 27635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
93	8, 92	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
94	1	recni 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
95		2ne0 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
96	41	recni 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
97	41, 81	gt0ne0ii 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98		recdiv 11916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
99	94, 95, 96, 97, 98	mp4an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
101	22	rpcnd 13057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
102	24	nncnd 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
103	22	rpne0d 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
104	24	nnne0d 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
105	101, 102, 103, 104	recdivd 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106	102, 101, 103	divrecd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107	20	rpcnne0d 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
108	21	rpcnne0d 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109		recdiv 11916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110	107, 108, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111	110	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112	105, 106, 111	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113	112	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
114	93, 100, 113	3brtr4d 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
115	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
116		elrp 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
117	1, 41, 36, 81	divgt0ii 12127	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118		ltrec 12092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
119	84, 117, 118	mpanr12 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
120	116, 119	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
121	115, 120	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
122	114, 121	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123	115	rpred 13055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
124		ltle 11293	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125	123, 84, 124	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126	122, 125	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
127	90, 126	eqbrtrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128	127	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
129	5, 28, 30, 85, 128	elo1d 15583	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130	129	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  8c8 12296  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011  [,)cico 13369  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  abscabs 15281  𝑂(1)co1 15533  eceu 16111  logclog 26719  πcppi 27258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-o1 15537  df-lo1 15538  df-sum 15734  df-ef 16116  df-e 16117  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-ppi 27264

This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27638  chto1lb  27642