Theorem chebbnd1 27453

Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		pnfxr 11190	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 13372	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		elicopnf 13389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
8	7	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10		1re 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0lt1 11663	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15		1lt2 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
17	7	simprbi 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
18	11, 14, 8, 16, 17	ltletrd 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
19	9, 11, 8, 13, 18	lttrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
20	8, 19	elrpd 12974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
21	8, 18	rplogcld 26611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	20, 21	rpdivcld 12994	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23		ppinncl 27155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
24	7, 23	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
25	24	nnrpd 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
26	22, 25	rpdivcld 12994	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnd 12979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		8re 12268	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31		2rp 12938	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32		relogcl 26557	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
34		ere 16045	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
35	1, 34	remulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ∈ ℝ
36		2pos 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37		epos 16165	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
38	1, 34, 36, 37	mulgt0ii 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (2 · e)
39	35, 38	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · e) ≠ 0
40	35, 39	rereccli 11911	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
41	33, 40	resubcli 11447	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42		2t1e2 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
43		egt2lt3 16164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
44	43	simpli 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < e
45	10, 1, 34	lttri 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
46	15, 44, 45	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < e
47	10, 34, 1	ltmul2i 12068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
48	36, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
49	46, 48	mpbi 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) < (2 · e)
50	42, 49	eqbrtrri 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < (2 · e)
51	1, 35, 36, 38	ltrecii 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
52	50, 51	mpbi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
53	43	simpri 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e < 3
54		3lt4 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
55		3re 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		4re 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
57	34, 55, 56	lttri 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
58	53, 54, 57	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e < 4
59		epr 16166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
60		4pos 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
61	56, 60	elrpii 12936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ+
62		logltb 26582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
63	59, 61, 62	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
64	58, 63	mpbi 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) < (log‘4)
65		loge 26568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
66		sq2 14150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
67	66	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68		2z 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		relogexp 26578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
70	31, 68, 69	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
71	67, 70	eqtr3i 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘4) = (2 · (log‘2))
72	64, 65, 71	3brtr3i 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < (2 · (log‘2))
73	1, 36	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74		ltdivmul 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
75	10, 33, 73, 74	mp3an 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
76	72, 75	mpbir 232	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < (log‘2)
77		halfre 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
78	40, 77, 33	lttri 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
79	52, 76, 78	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2 · e)) < (log‘2)
80	40, 33	posdifi 11691	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
81	79, 80	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
82	41, 81	elrpii 12936	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83		rerpdivcl 12965	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
84	1, 82, 83	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86		rpre 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
87		rpge0 12947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
88	86, 87	absidd 15376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
89	26, 88	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
90	89	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))
91		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
92	91	chebbnd1lem3 27452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
93	8, 92	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
94	1	recni 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
95		2ne0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
96	41	recni 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
97	41, 81	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98		recdiv 11852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
99	94, 95, 96, 97, 98	mp4an 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
101	22	rpcnd 12979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
102	24	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
103	22	rpne0d 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
104	24	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ≠ 0)
105	101, 102, 103, 104	recdivd 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106	102, 101, 103	divrecd 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107	20	rpcnne0d 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
108	21	rpcnne0d 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109		recdiv 11852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110	107, 108, 109	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111	110	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112	105, 106, 111	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113	112	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) = ((π‘𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
114	93, 100, 113	3brtr4d 5104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
115	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+)
116		elrp 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))))
117	1, 41, 36, 81	divgt0ii 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118		ltrec 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
119	84, 117, 118	mpanr12 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
120	116, 119	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
121	115, 120	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)))))
122	114, 121	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123	115	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ)
124		ltle 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125	123, 84, 124	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126	122, 125	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
127	90, 126	eqbrtrd 5094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128	127	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
129	5, 28, 30, 85, 128	elo1d 15489	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130	129	mptru 1554	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  8c8 12233  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  [,)cico 13291  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014  abscabs 15187  𝑂(1)co1 15439  eceu 16018  logclog 26536  πcppi 27075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-o1 15443  df-lo1 15444  df-sum 15640  df-ef 16023  df-e 16024  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-pc 16799  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-ppi 27081

This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27455  chto1lb  27459