MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1 26972
Description: The Chebyshev bound: The function ฯ€(๐‘ฅ) is eventually lower bounded by a positive constant times ๐‘ฅ / log(๐‘ฅ). Alternatively stated, the function (๐‘ฅ / log(๐‘ฅ)) / ฯ€(๐‘ฅ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)

Proof of Theorem chebbnd1
StepHypRef Expression
1 2re 12285 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 pnfxr 11267 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
3 icossre 13404 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
41, 2, 3mp2an 690 . . . 4 (2[,)+โˆž) โŠ† โ„
54a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
6 elicopnf 13421 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ))
87simplbi 498 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9 0red 11216 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
10 1re 11213 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12 0lt1 11735 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < 1)
141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
15 1lt2 12382 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < 2)
177simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ฅ)
1811, 14, 8, 16, 17ltletrd 11373 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
199, 11, 8, 13, 18lttrd 11374 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
208, 19elrpd 13012 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
218, 18rplogcld 26136 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2220, 21rpdivcld 13032 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
23 ppinncl 26675 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
247, 23sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 13013 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2622, 25rpdivcld 13032 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2726rpcnd 13017 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 482 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
29 8re 12307 . . . 4 8 โˆˆ โ„
3029a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ 8 โˆˆ โ„)
31 2rp 12978 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
32 relogcl 26083 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
34 ere 16031 . . . . . . . . 9 e โˆˆ โ„
351, 34remulcli 11229 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โˆˆ โ„
36 2pos 12314 . . . . . . . . . 10 0 < 2
37 epos 16149 . . . . . . . . . 10 0 < e
381, 34, 36, 37mulgt0ii 11346 . . . . . . . . 9 0 < (2 ยท e)
3935, 38gt0ne0ii 11749 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โ‰  0
4035, 39rereccli 11978 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) โˆˆ โ„
4133, 40resubcli 11521 . . . . . 6 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„
42 2t1e2 12374 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) = 2
43 egt2lt3 16148 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < e โˆง e < 3)
4443simpli 484 . . . . . . . . . . . 12 2 < e
4510, 1, 34lttri 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
4615, 44, 45mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 1 < e
4710, 34, 1ltmul2i 12134 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 2 โ†’ (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e)))
4836, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e))
4946, 48mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) < (2 ยท e)
5042, 49eqbrtrri 5171 . . . . . . . . 9 2 < (2 ยท e)
511, 35, 36, 38ltrecii 12129 . . . . . . . . 9 (2 < (2 ยท e) โ†” (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2))
5250, 51mpbi 229 . . . . . . . 8 (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2)
5343simpri 486 . . . . . . . . . . . 12 e < 3
54 3lt4 12385 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
55 3re 12291 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
56 4re 12295 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5734, 55, 56lttri 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
5853, 54, 57mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 e < 4
59 epr 16150 . . . . . . . . . . . 12 e โˆˆ โ„+
60 4pos 12318 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
6156, 60elrpii 12976 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„+
62 logltb 26107 . . . . . . . . . . . 12 ((e โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4)))
6359, 61, 62mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4))
6458, 63mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) < (logโ€˜4)
65 loge 26094 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) = 1
66 sq2 14160 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
6766fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (logโ€˜4)
68 2z 12593 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
69 relogexp 26103 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2)))
7031, 68, 69mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2))
7167, 70eqtr3i 2762 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜4) = (2 ยท (logโ€˜2))
7264, 65, 713brtr3i 5177 . . . . . . . . 9 1 < (2 ยท (logโ€˜2))
731, 36pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
74 ltdivmul 12088 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2))))
7510, 33, 73, 74mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2)))
7672, 75mpbir 230 . . . . . . . 8 (1 / 2) < (logโ€˜2)
77 halfre 12425 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
7840, 77, 33lttri 11339 . . . . . . . 8 (((1 / (2 ยท e)) < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < (logโ€˜2)) โ†’ (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2))
7952, 76, 78mp2an 690 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2)
8040, 33posdifi 11763 . . . . . . 7 ((1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2) โ†” 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
8179, 80mpbi 229 . . . . . 6 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))
8241, 81elrpii 12976 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+
83 rerpdivcl 13003 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
841, 82, 83mp2an 690 . . . 4 (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„
8584a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
86 rpre 12981 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
87 rpge0 12986 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8886, 87absidd 15368 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8926, 88syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
9089adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
91 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2))
9291chebbnd1lem3 26971 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
938, 92sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
941recni 11227 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
95 2ne0 12315 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
9641recni 11227 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚
9741, 81gt0ne0ii 11749 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0
98 recdiv 11919 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0)) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
9994, 95, 96, 97, 98mp4an 691 . . . . . . . . 9 (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
10122rpcnd 13017 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
10224nncnd 12227 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
10322rpne0d 13020 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
10424nnne0d 12261 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
105101, 102, 103, 104recdivd 12006 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))
106102, 101, 103divrecd 11992 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
10720rpcnne0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
10821rpcnne0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
109 recdiv 11919 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
110107, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
111110oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
112105, 106, 1113eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
113112adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
11493, 100, 1133brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
11526adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
116 elrp 12975 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†” (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
1171, 41, 36, 81divgt0ii 12130 . . . . . . . . . 10 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
118 ltrec 12095 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
11984, 117, 118mpanr12 703 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
120116, 119sylbi 216 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
121115, 120syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
122114, 121mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
123115rpred 13015 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
124 ltle 11301 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
125123, 84, 124sylancl 586 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
126122, 125mpd 15 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
12790, 126eqbrtrd 5170 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
128127adantl 482 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
1295, 28, 30, 85, 128elo1d 15479 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
130129mptru 1548 1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  8c8 12272  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  [,)cico 13325  โŒŠcfl 13754  โ†‘cexp 14026  abscabs 15180  ๐‘‚(1)co1 15429  eceu 16005  logclog 26062  ฯ€cppi 26595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-o1 15433  df-lo1 15434  df-sum 15632  df-ef 16010  df-e 16011  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-ppi 26601
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  26974  chto1lb  26978
  Copyright terms: Public domain W3C validator