MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1 27530
Description: The Chebyshev bound: The function π(𝑥) is eventually lower bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function (𝑥 / log(𝑥)) / π(𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd1
StepHypRef Expression
1 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 pnfxr 11312 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 13464 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
6 elicopnf 13481 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
87simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 0red 11261 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
10 1re 11258 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12 0lt1 11782 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 1)
141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
15 1lt2 12434 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
177simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
1811, 14, 8, 16, 17ltletrd 11418 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
199, 11, 8, 13, 18lttrd 11419 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
208, 19elrpd 13071 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
218, 18rplogcld 26685 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2220, 21rpdivcld 13091 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
23 ppinncl 27231 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
247, 23sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2524nnrpd 13072 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2622, 25rpdivcld 13091 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13076 . . . 4 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
2827adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
29 8re 12359 . . . 4 8 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . 3 (⊤ → 8 ∈ ℝ)
31 2rp 13036 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
32 relogcl 26631 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℝ
34 ere 16121 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
351, 34remulcli 11274 . . . . . . . 8 (2 · e) ∈ ℝ
36 2pos 12366 . . . . . . . . . 10 0 < 2
37 epos 16239 . . . . . . . . . 10 0 < e
381, 34, 36, 37mulgt0ii 11391 . . . . . . . . 9 0 < (2 · e)
3935, 38gt0ne0ii 11796 . . . . . . . 8 (2 · e) ≠ 0
4035, 39rereccli 12029 . . . . . . 7 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
4133, 40resubcli 11568 . . . . . 6 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
42 2t1e2 12426 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
43 egt2lt3 16238 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < e ∧ e < 3)
4443simpli 483 . . . . . . . . . . . 12 2 < e
4510, 1, 34lttri 11384 . . . . . . . . . . . 12 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
4615, 44, 45mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 1 < e
4710, 34, 1ltmul2i 12186 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 2 → (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e)))
4836, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 < e ↔ (2 · 1) < (2 · e))
4946, 48mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) < (2 · e)
5042, 49eqbrtrri 5170 . . . . . . . . 9 2 < (2 · e)
511, 35, 36, 38ltrecii 12181 . . . . . . . . 9 (2 < (2 · e) ↔ (1 / (2 · e)) < (1 / 2))
5250, 51mpbi 230 . . . . . . . 8 (1 / (2 · e)) < (1 / 2)
5343simpri 485 . . . . . . . . . . . 12 e < 3
54 3lt4 12437 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
55 3re 12343 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
56 4re 12347 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5734, 55, 56lttri 11384 . . . . . . . . . . . 12 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
5853, 54, 57mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 e < 4
59 epr 16240 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
60 4pos 12370 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
6156, 60elrpii 13034 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ+
62 logltb 26656 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4)))
6359, 61, 62mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (e < 4 ↔ (log‘e) < (log‘4))
6458, 63mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (log‘e) < (log‘4)
65 loge 26642 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
66 sq2 14232 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
6766fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑2)) = (log‘4)
68 2z 12646 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
69 relogexp 26652 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2)))
7031, 68, 69mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (log‘(2↑2)) = (2 · (log‘2))
7167, 70eqtr3i 2764 . . . . . . . . . 10 (log‘4) = (2 · (log‘2))
7264, 65, 713brtr3i 5176 . . . . . . . . 9 1 < (2 · (log‘2))
731, 36pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
74 ltdivmul 12140 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2))))
7510, 33, 73, 74mp3an 1460 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < (log‘2) ↔ 1 < (2 · (log‘2)))
7672, 75mpbir 231 . . . . . . . 8 (1 / 2) < (log‘2)
77 halfre 12477 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
7840, 77, 33lttri 11384 . . . . . . . 8 (((1 / (2 · e)) < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (log‘2)) → (1 / (2 · e)) < (log‘2))
7952, 76, 78mp2an 692 . . . . . . 7 (1 / (2 · e)) < (log‘2)
8040, 33posdifi 11810 . . . . . . 7 ((1 / (2 · e)) < (log‘2) ↔ 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
8179, 80mpbi 230 . . . . . 6 0 < ((log‘2) − (1 / (2 · e)))
8241, 81elrpii 13034 . . . . 5 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+
83 rerpdivcl 13062 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
841, 82, 83mp2an 692 . . . 4 (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ
8584a1i 11 . . 3 (⊤ → (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ)
86 rpre 13040 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
87 rpge0 13045 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 15457 . . . . . . 7 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
8926, 88syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
9089adantr 480 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))
91 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (⌊‘(𝑥 / 2)) = (⌊‘(𝑥 / 2))
9291chebbnd1lem3 27529 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
938, 92sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
941recni 11272 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
95 2ne0 12367 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
9641recni 11272 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ
9741, 81gt0ne0ii 11796 . . . . . . . . . 10 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0
98 recdiv 11970 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℂ ∧ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ≠ 0)) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
9994, 95, 96, 97, 98mp4an 693 . . . . . . . . 9 (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) = (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2))
10122rpcnd 13076 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
10224nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
10322rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ≠ 0)
10424nnne0d 12313 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ≠ 0)
105101, 102, 103, 104recdivd 12057 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
106102, 101, 103divrecd 12043 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((π𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10720rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10821rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
109 recdiv 11970 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
110107, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / (𝑥 / (log‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
111110oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (1 / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
112105, 106, 1113eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
113112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = ((π𝑥) · ((log‘𝑥) / 𝑥)))
11493, 100, 1133brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
11526adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
116 elrp 13033 . . . . . . . . 9 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
1171, 41, 36, 81divgt0ii 12182 . . . . . . . . . 10 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))
118 ltrec 12147 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∧ ((2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
11984, 117, 118mpanr12 705 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
120116, 119sylbi 217 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+ → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
121115, 120syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ↔ (1 / (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))) < (1 / ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)))))
122114, 121mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
123115rpred 13074 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
124 ltle 11346 . . . . . . 7 ((((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) ∈ ℝ) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
125123, 84, 124sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) < (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e))))))
126122, 125mpd 15 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
12790, 126eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
128127adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 8 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ≤ (2 / ((log‘2) − (1 / (2 · e)))))
1295, 28, 30, 85, 128elo1d 15568 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1))
130129mptru 1543 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  8c8 12324  cz 12610  +crp 13031  [,)cico 13385  cfl 13826  cexp 14098  abscabs 15269  𝑂(1)co1 15518  eceu 16094  logclog 26610  πcppi 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-ppi 27157
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27532  chto1lb  27536
  Copyright terms: Public domain W3C validator