MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1 26836
Description: The Chebyshev bound: The function ฯ€(๐‘ฅ) is eventually lower bounded by a positive constant times ๐‘ฅ / log(๐‘ฅ). Alternatively stated, the function (๐‘ฅ / log(๐‘ฅ)) / ฯ€(๐‘ฅ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)

Proof of Theorem chebbnd1
StepHypRef Expression
1 2re 12234 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 pnfxr 11216 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
3 icossre 13352 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
41, 2, 3mp2an 691 . . . 4 (2[,)+โˆž) โŠ† โ„
54a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2[,)+โˆž) โŠ† โ„)
6 elicopnf 13369 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ))
87simplbi 499 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9 0red 11165 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
10 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12 0lt1 11684 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < 1)
141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
15 1lt2 12331 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < 2)
177simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ฅ)
1811, 14, 8, 16, 17ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
199, 11, 8, 13, 18lttrd 11323 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
208, 19elrpd 12961 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
218, 18rplogcld 26000 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2220, 21rpdivcld 12981 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
23 ppinncl 26539 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
247, 23sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 12962 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
2622, 25rpdivcld 12981 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2726rpcnd 12966 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
2827adantl 483 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
29 8re 12256 . . . 4 8 โˆˆ โ„
3029a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ 8 โˆˆ โ„)
31 2rp 12927 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
32 relogcl 25947 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
34 ere 15978 . . . . . . . . 9 e โˆˆ โ„
351, 34remulcli 11178 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โˆˆ โ„
36 2pos 12263 . . . . . . . . . 10 0 < 2
37 epos 16096 . . . . . . . . . 10 0 < e
381, 34, 36, 37mulgt0ii 11295 . . . . . . . . 9 0 < (2 ยท e)
3935, 38gt0ne0ii 11698 . . . . . . . 8 (2 ยท e) โ‰  0
4035, 39rereccli 11927 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) โˆˆ โ„
4133, 40resubcli 11470 . . . . . 6 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„
42 2t1e2 12323 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) = 2
43 egt2lt3 16095 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < e โˆง e < 3)
4443simpli 485 . . . . . . . . . . . 12 2 < e
4510, 1, 34lttri 11288 . . . . . . . . . . . 12 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
4615, 44, 45mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 1 < e
4710, 34, 1ltmul2i 12083 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 2 โ†’ (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e)))
4836, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 < e โ†” (2 ยท 1) < (2 ยท e))
4946, 48mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 1) < (2 ยท e)
5042, 49eqbrtrri 5133 . . . . . . . . 9 2 < (2 ยท e)
511, 35, 36, 38ltrecii 12078 . . . . . . . . 9 (2 < (2 ยท e) โ†” (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2))
5250, 51mpbi 229 . . . . . . . 8 (1 / (2 ยท e)) < (1 / 2)
5343simpri 487 . . . . . . . . . . . 12 e < 3
54 3lt4 12334 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
55 3re 12240 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
56 4re 12244 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
5734, 55, 56lttri 11288 . . . . . . . . . . . 12 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
5853, 54, 57mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 e < 4
59 epr 16097 . . . . . . . . . . . 12 e โˆˆ โ„+
60 4pos 12267 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
6156, 60elrpii 12925 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„+
62 logltb 25971 . . . . . . . . . . . 12 ((e โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4)))
6359, 61, 62mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (e < 4 โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜4))
6458, 63mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) < (logโ€˜4)
65 loge 25958 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) = 1
66 sq2 14108 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
6766fveq2i 6850 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (logโ€˜4)
68 2z 12542 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
69 relogexp 25967 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2)))
7031, 68, 69mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (logโ€˜(2โ†‘2)) = (2 ยท (logโ€˜2))
7167, 70eqtr3i 2767 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜4) = (2 ยท (logโ€˜2))
7264, 65, 713brtr3i 5139 . . . . . . . . 9 1 < (2 ยท (logโ€˜2))
731, 36pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
74 ltdivmul 12037 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2))))
7510, 33, 73, 74mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < (logโ€˜2) โ†” 1 < (2 ยท (logโ€˜2)))
7672, 75mpbir 230 . . . . . . . 8 (1 / 2) < (logโ€˜2)
77 halfre 12374 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
7840, 77, 33lttri 11288 . . . . . . . 8 (((1 / (2 ยท e)) < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < (logโ€˜2)) โ†’ (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2))
7952, 76, 78mp2an 691 . . . . . . 7 (1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2)
8040, 33posdifi 11712 . . . . . . 7 ((1 / (2 ยท e)) < (logโ€˜2) โ†” 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
8179, 80mpbi 229 . . . . . 6 0 < ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))
8241, 81elrpii 12925 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+
83 rerpdivcl 12952 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
841, 82, 83mp2an 691 . . . 4 (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„
8584a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„)
86 rpre 12930 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
87 rpge0 12935 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8886, 87absidd 15314 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
8926, 88syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
9089adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))
91 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / 2))
9291chebbnd1lem3 26835 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
938, 92sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
941recni 11176 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
95 2ne0 12264 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
9641recni 11176 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚
9741, 81gt0ne0ii 11698 . . . . . . . . . 10 ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0
98 recdiv 11868 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) โ‰  0)) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
9994, 95, 96, 97, 98mp4an 692 . . . . . . . . 9 (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) = (((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))) / 2))
10122rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
10224nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
10322rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
10424nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (ฯ€โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
105101, 102, 103, 104recdivd 11955 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))
106102, 101, 103divrecd 11941 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
10720rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
10821rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
109 recdiv 11868 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
110107, 108, 109syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
111110oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท (1 / (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
112105, 106, 1113eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
113112adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) = ((ฯ€โ€˜๐‘ฅ) ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
11493, 100, 1133brtr4d 5142 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
11526adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
116 elrp 12924 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†” (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))))
1171, 41, 36, 81divgt0ii 12079 . . . . . . . . . 10 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))
118 ltrec 12044 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
11984, 117, 118mpanr12 704 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
120116, 119sylbi 216 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
121115, 120syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†” (1 / (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))) < (1 / ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)))))
122114, 121mpbird 257 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
123115rpred 12964 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
124 ltle 11250 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
125123, 84, 124sylancl 587 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) < (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e))))))
126122, 125mpd 15 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
12790, 126eqbrtrd 5132 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
128127adantl 483 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โˆง 8 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (2 / ((logโ€˜2) โˆ’ (1 / (2 ยท e)))))
1295, 28, 30, 85, 128elo1d 15425 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
130129mptru 1549 1 (๐‘ฅ โˆˆ (2[,)+โˆž) โ†ฆ ((๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)) / (ฯ€โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  8c8 12221  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  [,)cico 13273  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126  ๐‘‚(1)co1 15375  eceu 15952  logclog 25926  ฯ€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  26838  chto1lb  26842
  Copyright terms: Public domain W3C validator