Theorem lgsdir2lem5 27689

Description: Lemma for lgsdir2 27690. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem5	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem lgsdir2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5))
3		ovex 7479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 mod 8) ∈ V
4	3	elpr 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5))
5	2, 4	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) ↔ (((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)))
6		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		3z 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
9		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		8re 12469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11		8pos 12488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 8
12	10, 11	elrpii 13153	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
14		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 3)
15		lgsdir2lem1 27685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5))
16	15	simpri 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5)
17	16	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 mod 8) = 3
18	14, 17	eqtr4di 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
19		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
20	19, 17	eqtr4di 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
21	6, 8, 9, 8, 13, 18, 20	modmul12d 14098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
22	21	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
23	22	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
24		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		znegcl 12761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
26	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → -3 ∈ ℤ)
27		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
29	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
30		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 5)
31	16	simpri 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -3 mod 8) = 5
32	30, 31	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = ( -3 mod 8))
33		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
34	33, 17	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
35	24, 26, 27, 28, 29, 32, 34	modmul12d 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (( -3 · 3) mod 8))
36		3cn 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36	mulneg1i 11792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -3 · 3) = -(3 · 3)
38	37	oveq1i 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -3 · 3) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)
39	35, 38	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))
40	39	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
41	40	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
42		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 3 ∈ ℤ)
44		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
45	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
46	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
47		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 3)
48	47, 17	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
49		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
50	49, 31	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = ( -3 mod 8))
51	42, 43, 44, 45, 46, 48, 50	modmul12d 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · -3) mod 8))
52	36, 36	mulneg2i 11793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -3) = -(3 · 3)
53	52	oveq1i 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · -3) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)
54	51, 53	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))
55	54	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
56	55	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
57		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
59		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
60	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
61		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 5)
62	61, 31	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = ( -3 mod 8))
63		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
64	63, 31	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = ( -3 mod 8))
65	57, 58, 59, 58, 60, 62, 64	modmul12d 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (( -3 · -3) mod 8))
66	36, 36	mul2negi 11794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -3 · -3) = (3 · 3)
67	66	oveq1i 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -3 · -3) mod 8) = ((3 · 3) mod 8)
68	65, 67	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
69	68	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
70	69	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
71	23, 41, 56, 70	ccased 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
72	5, 71	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8))))
73	72	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
74		ovex 7479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ V
75	74	elpr 4609	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), ( -(3 · 3) mod 8)} ↔ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)))
76	73, 75	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), ( -(3 · 3) mod 8)})
77		df-9 12442	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (8 + 1)
78		8cn 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
79		ax-1cn 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
80	78, 79	addcomi 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 1) = (1 + 8)
81	77, 80	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (1 + 8)
82		3t3e9 12540	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
83	78	mullidi 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
84	83	oveq2i 7457	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 · 8)) = (1 + 8)
85	81, 82, 84	3eqtr4i 2796	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = (1 + (1 · 8))
86	85	oveq1i 7456	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = ((1 + (1 · 8)) mod 8)
87		1re 11338	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		1z 12756	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
89		modcyc 14076	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8))
90	87, 12, 88, 89	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8)
91	86, 90	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8)
92	15	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7)
93	92	simpli 489	. . . 4 ⊢ (1 mod 8) = 1
94	91, 93	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = 1
95		znegcl 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
96	88, 95	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
97		3nn 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
98	97, 97	nnmulcli 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ
99	98	nnzi 12750	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
100	99	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 · 3) ∈ ℤ)
101	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
102	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ+)
103		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ( -1 mod 8) = ( -1 mod 8))
104	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8))
105	96, 96, 100, 101, 102, 103, 104	modmul12d 14098	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (( -1 · (3 · 3)) mod 8) = (( -1 · 1) mod 8))
106	105	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (( -1 · (3 · 3)) mod 8) = (( -1 · 1) mod 8)
107	36, 36	mulcli 11346	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) ∈ ℂ
108	107	mulm1i 11791	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · (3 · 3)) = -(3 · 3)
109	108	oveq1i 7456	. . . . 5 ⊢ (( -1 · (3 · 3)) mod 8) = ( -(3 · 3) mod 8)
110	79	mulm1i 11791	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · 1) = -1
111	110	oveq1i 7456	. . . . 5 ⊢ (( -1 · 1) mod 8) = ( -1 mod 8)
112	106, 109, 111	3eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ ( -(3 · 3) mod 8) = ( -1 mod 8)
113	92	simpri 491	. . . 4 ⊢ ( -1 mod 8) = 7
114	112, 113	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ( -(3 · 3) mod 8) = 7
115	94, 114	preq12i 4699	. 2 ⊢ {((3 · 3) mod 8), ( -(3 · 3) mod 8)} = {1, 7}
116	76, 115	eleqtrdi 2874	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   -cneg 11572  3c3 12428  5c5 12430  7c7 12432  8c8 12433  9c9 12434  ℤcz 12723  ℝ⁺crp 13150   mod cmo 14039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fl 13962  df-mod 14040

This theorem is used by:  lgsdir2  27690