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Theorem lgsdir2lem5 27307
Description: Lemma for lgsdir2 27308. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem lgsdir2lem5
StepHypRef Expression
1 ovex 7452 . . . . . . 7 (𝐴 mod 8) ∈ V
21elpr 4654 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5))
3 ovex 7452 . . . . . . 7 (𝐵 mod 8) ∈ V
43elpr 4654 . . . . . 6 ((𝐵 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5))
52, 4anbi12i 626 . . . . 5 (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) ↔ (((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)))
6 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 3z 12628 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
9 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 8re 12341 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
11 8pos 12357 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
1210, 11elrpii 13012 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 3)
15 lgsdir2lem1 27303 . . . . . . . . . . . 12 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
1615simpri 484 . . . . . . . . . . 11 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
1716simpli 482 . . . . . . . . . 10 (3 mod 8) = 3
1814, 17eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
19 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
2019, 17eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
216, 8, 9, 8, 13, 18, 20modmul12d 13926 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
2221orcd 871 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
2322ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
24 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 znegcl 12630 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
267, 25mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → -3 ∈ ℤ)
27 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
287a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
2912a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
30 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 5)
3116simpri 484 . . . . . . . . . . 11 (-3 mod 8) = 5
3230, 31eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
33 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
3433, 17eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
3524, 26, 27, 28, 29, 32, 34modmul12d 13926 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · 3) mod 8))
36 3cn 12326 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
3736, 36mulneg1i 11692 . . . . . . . . . 10 (-3 · 3) = -(3 · 3)
3837oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 ((-3 · 3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
3935, 38eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
4039olcd 872 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
4140ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
42 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
437a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 3 ∈ ℤ)
44 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
457, 25mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
4612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
47 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 3)
4847, 17eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
49 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
5049, 31eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
5142, 43, 44, 45, 46, 48, 50modmul12d 13926 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · -3) mod 8))
5236, 36mulneg2i 11693 . . . . . . . . . 10 (3 · -3) = -(3 · 3)
5352oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 ((3 · -3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
5451, 53eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
5554olcd 872 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
5655ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
57 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 25mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
59 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
6012a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
61 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 5)
6261, 31eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
63 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
6463, 31eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
6557, 58, 59, 58, 60, 62, 64modmul12d 13926 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · -3) mod 8))
6636, 36mul2negi 11694 . . . . . . . . . 10 (-3 · -3) = (3 · 3)
6766oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 ((-3 · -3) mod 8) = ((3 · 3) mod 8)
6865, 67eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
6968orcd 871 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
7069ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
7123, 41, 56, 70ccased 1036 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
725, 71biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
7372imp 405 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
74 ovex 7452 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ V
7574elpr 4654 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} ↔ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
7673, 75sylibr 233 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)})
77 df-9 12315 . . . . . . . 8 9 = (8 + 1)
78 8cn 12342 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
79 ax-1cn 11198 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8078, 79addcomi 11437 . . . . . . . 8 (8 + 1) = (1 + 8)
8177, 80eqtri 2753 . . . . . . 7 9 = (1 + 8)
82 3t3e9 12412 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
8378mullidi 11251 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
8483oveq2i 7430 . . . . . . 7 (1 + (1 · 8)) = (1 + 8)
8581, 82, 843eqtr4i 2763 . . . . . 6 (3 · 3) = (1 + (1 · 8))
8685oveq1i 7429 . . . . 5 ((3 · 3) mod 8) = ((1 + (1 · 8)) mod 8)
87 1re 11246 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
88 1z 12625 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
89 modcyc 13907 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8))
9087, 12, 88, 89mp3an 1457 . . . . 5 ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8)
9186, 90eqtri 2753 . . . 4 ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8)
9215simpli 482 . . . . 5 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
9392simpli 482 . . . 4 (1 mod 8) = 1
9491, 93eqtri 2753 . . 3 ((3 · 3) mod 8) = 1
95 znegcl 12630 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
9688, 95mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → -1 ∈ ℤ)
97 3nn 12324 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9897, 97nnmulcli 12270 . . . . . . . . 9 (3 · 3) ∈ ℕ
9998nnzi 12619 . . . . . . . 8 (3 · 3) ∈ ℤ
10099a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (3 · 3) ∈ ℤ)
10188a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10212a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 8 ∈ ℝ+)
103 eqidd 2726 . . . . . . 7 (⊤ → (-1 mod 8) = (-1 mod 8))
10491a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8))
10596, 96, 100, 101, 102, 103, 104modmul12d 13926 . . . . . 6 (⊤ → ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8))
106105mptru 1540 . . . . 5 ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8)
10736, 36mulcli 11253 . . . . . . 7 (3 · 3) ∈ ℂ
108107mulm1i 11691 . . . . . 6 (-1 · (3 · 3)) = -(3 · 3)
109108oveq1i 7429 . . . . 5 ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
11079mulm1i 11691 . . . . . 6 (-1 · 1) = -1
111110oveq1i 7429 . . . . 5 ((-1 · 1) mod 8) = (-1 mod 8)
112106, 109, 1113eqtr3i 2761 . . . 4 (-(3 · 3) mod 8) = (-1 mod 8)
11392simpri 484 . . . 4 (-1 mod 8) = 7
114112, 113eqtri 2753 . . 3 (-(3 · 3) mod 8) = 7
11594, 114preq12i 4744 . 2 {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} = {1, 7}
11676, 115eleqtrdi 2835 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  {cpr 4632  (class class class)co 7419  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  -cneg 11477  3c3 12301  5c5 12303  7c7 12305  8c8 12306  9c9 12307  cz 12591  +crp 13009   mod cmo 13870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871
This theorem is referenced by:  lgsdir2  27308
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