Theorem lgsdir2lem5 27530

Description: Lemma for lgsdir2 27531. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem5	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem lgsdir2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5))
3		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 mod 8) ∈ V
4	3	elpr 4619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5))
5	2, 4	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) ↔ (((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)))
6		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		3z 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
9		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		8re 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11		8pos 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 8
12	10, 11	elrpii 13037	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
14		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 3)
15		lgsdir2lem1 27526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
16	15	simpri 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
17	16	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 mod 8) = 3
18	14, 17	eqtr4di 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
19		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
20	19, 17	eqtr4di 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
21	6, 8, 9, 8, 13, 18, 20	modmul12d 13981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
22	21	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
23	22	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
24		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		znegcl 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
26	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → -3 ∈ ℤ)
27		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
29	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
30		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 5)
31	16	simpri 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-3 mod 8) = 5
32	30, 31	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
33		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
34	33, 17	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
35	24, 26, 27, 28, 29, 32, 34	modmul12d 13981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · 3) mod 8))
36		3cn 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36	mulneg1i 11678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · 3) = -(3 · 3)
38	37	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · 3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
39	35, 38	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
40	39	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
41	40	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
42		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 3 ∈ ℤ)
44		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
45	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
46	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
47		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 3)
48	47, 17	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
49		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
50	49, 31	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
51	42, 43, 44, 45, 46, 48, 50	modmul12d 13981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · -3) mod 8))
52	36, 36	mulneg2i 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -3) = -(3 · 3)
53	52	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · -3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
54	51, 53	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
55	54	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
56	55	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
57		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 25	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
59		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
60	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
61		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 5)
62	61, 31	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
63		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
64	63, 31	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
65	57, 58, 59, 58, 60, 62, 64	modmul12d 13981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · -3) mod 8))
66	36, 36	mul2negi 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · -3) = (3 · 3)
67	66	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · -3) mod 8) = ((3 · 3) mod 8)
68	65, 67	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
69	68	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
70	69	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
71	23, 41, 56, 70	ccased 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
72	5, 71	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
73	72	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
74		ovex 7456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ V
75	74	elpr 4619	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} ↔ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
76	73, 75	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)})
77		df-9 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (8 + 1)
78		8cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
79		ax-1cn 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
80	78, 79	addcomi 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 1) = (1 + 8)
81	77, 80	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (1 + 8)
82		3t3e9 12426	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
83	78	mullidi 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
84	83	oveq2i 7434	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 · 8)) = (1 + 8)
85	81, 82, 84	3eqtr4i 2799	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = (1 + (1 · 8))
86	85	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = ((1 + (1 · 8)) mod 8)
87		1re 11226	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		1z 12642	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
89		modcyc 13959	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8))
90	87, 12, 88, 89	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8)
91	86, 90	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8)
92	15	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
93	92	simpli 489	. . . 4 ⊢ (1 mod 8) = 1
94	91, 93	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = 1
95		znegcl 12647	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
96	88, 95	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
97		3nn 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
98	97, 97	nnmulcli 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ
99	98	nnzi 12636	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
100	99	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 · 3) ∈ ℤ)
101	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
102	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ+)
103		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (-1 mod 8) = (-1 mod 8))
104	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8))
105	96, 96, 100, 101, 102, 103, 104	modmul12d 13981	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8))
106	105	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8)
107	36, 36	mulcli 11234	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) ∈ ℂ
108	107	mulm1i 11677	. . . . . 6 ⊢ (-1 · (3 · 3)) = -(3 · 3)
109	108	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
110	79	mulm1i 11677	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
111	110	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((-1 · 1) mod 8) = (-1 mod 8)
112	106, 109, 111	3eqtr3i 2797	. . . 4 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = (-1 mod 8)
113	92	simpri 491	. . . 4 ⊢ (-1 mod 8) = 7
114	112, 113	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = 7
115	94, 114	preq12i 4709	. 2 ⊢ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} = {1, 7}
116	76, 115	eleqtrdi 2876	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  {cpr 4596  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  -cneg 11460  3c3 12314  5c5 12316  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923

This theorem is used by:  lgsdir2  27531