Theorem lgsdir2lem5 27296

Description: Lemma for lgsdir2 27297. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem5	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem lgsdir2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5))
3		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 mod 8) ∈ V
4	3	elpr 4605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5))
5	2, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) ↔ (((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)))
6		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		3z 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
9		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		8re 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11		8pos 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 8
12	10, 11	elrpii 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 3)
15		lgsdir2lem1 27292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
16	15	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
17	16	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 mod 8) = 3
18	14, 17	eqtr4di 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
19		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
20	19, 17	eqtr4di 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
21	6, 8, 9, 8, 13, 18, 20	modmul12d 13848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
22	21	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
24		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		znegcl 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
26	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → -3 ∈ ℤ)
27		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
29	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
30		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 5)
31	16	simpri 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-3 mod 8) = 5
32	30, 31	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
33		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
34	33, 17	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
35	24, 26, 27, 28, 29, 32, 34	modmul12d 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · 3) mod 8))
36		3cn 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36	mulneg1i 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · 3) = -(3 · 3)
38	37	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · 3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
39	35, 38	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
40	39	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
41	40	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
42		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 3 ∈ ℤ)
44		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
45	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
46	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
47		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 3)
48	47, 17	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
49		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
50	49, 31	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
51	42, 43, 44, 45, 46, 48, 50	modmul12d 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · -3) mod 8))
52	36, 36	mulneg2i 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -3) = -(3 · 3)
53	52	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · -3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
54	51, 53	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
55	54	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
56	55	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
57		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
59		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
60	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
61		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 5)
62	61, 31	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
63		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
64	63, 31	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
65	57, 58, 59, 58, 60, 62, 64	modmul12d 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · -3) mod 8))
66	36, 36	mul2negi 11585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · -3) = (3 · 3)
67	66	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · -3) mod 8) = ((3 · 3) mod 8)
68	65, 67	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
69	68	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
70	69	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
71	23, 41, 56, 70	ccased 1038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
72	5, 71	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
73	72	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
74		ovex 7391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ V
75	74	elpr 4605	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} ↔ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
76	73, 75	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)})
77		df-9 12215	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (8 + 1)
78		8cn 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
79		ax-1cn 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
80	78, 79	addcomi 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 1) = (1 + 8)
81	77, 80	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (1 + 8)
82		3t3e9 12307	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
83	78	mullidi 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
84	83	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 · 8)) = (1 + 8)
85	81, 82, 84	3eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = (1 + (1 · 8))
86	85	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = ((1 + (1 · 8)) mod 8)
87		1re 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		1z 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
89		modcyc 13826	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8))
90	87, 12, 88, 89	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8)
91	86, 90	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8)
92	15	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
93	92	simpli 483	. . . 4 ⊢ (1 mod 8) = 1
94	91, 93	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = 1
95		znegcl 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
96	88, 95	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
97		3nn 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
98	97, 97	nnmulcli 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ
99	98	nnzi 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
100	99	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 · 3) ∈ ℤ)
101	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
102	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ+)
103		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (-1 mod 8) = (-1 mod 8))
104	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8))
105	96, 96, 100, 101, 102, 103, 104	modmul12d 13848	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8))
106	105	mptru 1548	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8)
107	36, 36	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) ∈ ℂ
108	107	mulm1i 11582	. . . . . 6 ⊢ (-1 · (3 · 3)) = -(3 · 3)
109	108	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
110	79	mulm1i 11582	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
111	110	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((-1 · 1) mod 8) = (-1 mod 8)
112	106, 109, 111	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = (-1 mod 8)
113	92	simpri 485	. . . 4 ⊢ (-1 mod 8) = 7
114	112, 113	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = 7
115	94, 114	preq12i 4695	. 2 ⊢ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} = {1, 7}
116	76, 115	eleqtrdi 2846	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  {cpr 4582  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  -cneg 11365  3c3 12201  5c5 12203  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790

This theorem is referenced by:  lgsdir2  27297