Theorem lgsdir2lem5 27370

Description: Lemma for lgsdir2 27371. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem5	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem lgsdir2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5))
3		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 mod 8) ∈ V
4	3	elpr 4606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5))
5	2, 4	anbi12i 637	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) ↔ (((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)))
6		simpll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		3z 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
9		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		8re 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11		8pos 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 8
12	10, 11	elrpii 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
14		simprl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 3)
15		lgsdir2lem1 27366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
16	15	simpri 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
17	16	simpli 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 mod 8) = 3
18	14, 17	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
19		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
20	19, 17	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
21	6, 8, 9, 8, 13, 18, 20	modmul12d 13935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
22	21	orcd 884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
23	22	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
24		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		znegcl 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
26	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → -3 ∈ ℤ)
27		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 3 ∈ ℤ)
29	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → 8 ∈ ℝ+)
30		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = 5)
31	16	simpri 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-3 mod 8) = 5
32	30, 31	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
33		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = 3)
34	33, 17	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (𝐵 mod 8) = (3 mod 8))
35	24, 26, 27, 28, 29, 32, 34	modmul12d 13935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · 3) mod 8))
36		3cn 12296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36	mulneg1i 11630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · 3) = -(3 · 3)
38	37	oveq1i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · 3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
39	35, 38	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
40	39	olcd 885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
41	40	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 3) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
42		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 3 ∈ ℤ)
44		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
45	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
46	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
47		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 3)
48	47, 17	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (3 mod 8))
49		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
50	49, 31	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
51	42, 43, 44, 45, 46, 48, 50	modmul12d 13935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · -3) mod 8))
52	36, 36	mulneg2i 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -3) = -(3 · 3)
53	52	oveq1i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · -3) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
54	51, 53	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))
55	54	olcd 885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
56	55	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 3 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
57		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
58	7, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → -3 ∈ ℤ)
59		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 𝐵 ∈ ℤ)
60	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → 8 ∈ ℝ+)
61		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = 5)
62	61, 31	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐴 mod 8) = (-3 mod 8))
63		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = 5)
64	63, 31	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (𝐵 mod 8) = (-3 mod 8))
65	57, 58, 59, 58, 60, 62, 64	modmul12d 13935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-3 · -3) mod 8))
66	36, 36	mul2negi 11632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-3 · -3) = (3 · 3)
67	66	oveq1i 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-3 · -3) mod 8) = ((3 · 3) mod 8)
68	65, 67	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8))
69	68	orcd 884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
70	69	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) = 5 ∧ (𝐵 mod 8) = 5) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
71	23, 41, 56, 70	ccased 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((𝐴 mod 8) = 3 ∨ (𝐴 mod 8) = 5) ∧ ((𝐵 mod 8) = 3 ∨ (𝐵 mod 8) = 5)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
72	5, 71	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8))))
73	72	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
74		ovex 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ V
75	74	elpr 4606	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} ↔ (((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((3 · 3) mod 8) ∨ ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)))
76	73, 75	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)})
77		df-9 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = (8 + 1)
78		8cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
79		ax-1cn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
80	78, 79	addcomi 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 1) = (1 + 8)
81	77, 80	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (1 + 8)
82		3t3e9 12382	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
83	78	mullidi 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
84	83	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ (1 + (1 · 8)) = (1 + 8)
85	81, 82, 84	3eqtr4i 2794	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = (1 + (1 · 8))
86	85	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = ((1 + (1 · 8)) mod 8)
87		1re 11178	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		1z 12598	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
89		modcyc 13913	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8))
90	87, 12, 88, 89	mp3an 1481	. . . . 5 ⊢ ((1 + (1 · 8)) mod 8) = (1 mod 8)
91	86, 90	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8)
92	15	simpli 487	. . . . 5 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
93	92	simpli 487	. . . 4 ⊢ (1 mod 8) = 1
94	91, 93	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((3 · 3) mod 8) = 1
95		znegcl 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
96	88, 95	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
97		3nn 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
98	97, 97	nnmulcli 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ
99	98	nnzi 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
100	99	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 · 3) ∈ ℤ)
101	88	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
102	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 8 ∈ ℝ+)
103		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (-1 mod 8) = (-1 mod 8))
104	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) mod 8) = (1 mod 8))
105	96, 96, 100, 101, 102, 103, 104	modmul12d 13935	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8))
106	105	mptru 1566	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = ((-1 · 1) mod 8)
107	36, 36	mulcli 11186	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) ∈ ℂ
108	107	mulm1i 11629	. . . . . 6 ⊢ (-1 · (3 · 3)) = -(3 · 3)
109	108	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ ((-1 · (3 · 3)) mod 8) = (-(3 · 3) mod 8)
110	79	mulm1i 11629	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
111	110	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ ((-1 · 1) mod 8) = (-1 mod 8)
112	106, 109, 111	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = (-1 mod 8)
113	92	simpri 489	. . . 4 ⊢ (-1 mod 8) = 7
114	112, 113	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (-(3 · 3) mod 8) = 7
115	94, 114	preq12i 4696	. 2 ⊢ {((3 · 3) mod 8), (-(3 · 3) mod 8)} = {1, 7}
116	76, 115	eleqtrdi 2871	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141  {cpr 4583  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  -cneg 11412  3c3 12270  5c5 12272  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877

This theorem is referenced by:  lgsdir2  27371