Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem heiborlem7 37198
Description: Lemma for heibor 37202. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,π‘˜,π‘Ÿ,𝑒,𝐹   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,π‘š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘˜,𝐽,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝑀(𝑣,𝑛)
Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 12296 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 12321 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 12983 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 13005 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 688 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 12290 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 12387 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 14201 . . . . . 6 (((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
96, 7, 8mp3an23 1449 . . . . 5 ((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
11 2nn 12289 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
12 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
13 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1411, 12, 13sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1514nnrpd 13020 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12990 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
17 rpne0 12996 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) β‰  0)
18 3cn 12297 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„‚
19 divrec 11892 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2018, 19mp3an1 1444 . . . . . . . . . 10 (((2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2116, 17, 20syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2423breq1d 5151 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ))
2514nnrecred 12267 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
26 rpre 12988 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 12092 . . . . . . . 8 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
2927, 28mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 596 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3124, 30bitrd 279 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3231rexbidva 3170 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3310, 32mpbird 257 . . 3 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
34 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
35 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘˜))
3635oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
3734, 36opeq12d 4876 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 5457 . . . . . . . 8 ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6992 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
4140fveq2d 6889 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩))
42 fvex 6898 . . . . . . 7 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
43 ovex 7438 . . . . . . 7 (3 / (2β†‘π‘˜)) ∈ V
4442, 43op2nd 7983 . . . . . 6 (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩) = (3 / (2β†‘π‘˜))
4541, 44eqtrdi 2782 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
4645breq1d 5151 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ))
4746rexbiia 3086 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
4833, 47sylibr 233 . 2 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ)
4948rgen 3057 1 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141  {copab 5203   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  2nd c2nd 7973  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  β„+crp 12980  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  CMetccmet 25137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  heiborlem8  37199  heiborlem9  37200
  Copyright terms: Public domain W3C validator