Theorem heiborlem7 35255

Description: Lemma for heibor 35259. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem7	⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11705	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3pos 11730	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
3	1, 2	elrpii 12380	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4		rpdivcl 12402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
5	3, 4	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6		2re 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 11796	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		expnlbnd 13590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
9	6, 7, 8	mp3an23 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11		2nn 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16		rpcn 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17		rpne0 12393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18		3cn 11706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		divrec 11303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
20	18, 19	mp3an1 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
21	16, 17, 20	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
23	22	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
24	23	breq1d 5040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
25	14	nnrecred 11676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26		rpre 12385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
27	1, 2	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28		ltmuldiv2 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
29	27, 28	mp3an3 1447	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
30	25, 26, 29	syl2anr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
31	24, 30	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
32	31	rexbidva 3255	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
33	10, 32	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
35		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
36	35	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
37	34, 36	opeq12d 4773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38		heibor.12	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑘) = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
41	40	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42		fvex 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
43		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
44	42, 43	op2nd 7680	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
45	41, 44	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
46	45	breq1d 5040	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
47	46	rexbiia 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
48	33, 47	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
49	48	rgen 3116	1 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030  {copab 5092   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  2^nd c2nd 7670  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  ℕ₀cn0 11885  ℝ⁺crp 12377  seqcseq 13364  ↑cexp 13425  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  CMetccmet 23858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  heiborlem8  35256  heiborlem9  35257