Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem heiborlem7 36685
Description: Lemma for heibor 36689. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,π‘˜,π‘Ÿ,𝑒,𝐹   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,π‘š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘˜,𝐽,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝑀(𝑣,𝑛)
Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 12292 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 12317 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 12977 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 12999 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 690 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 12286 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 12383 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 14196 . . . . . 6 (((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
96, 7, 8mp3an23 1454 . . . . 5 ((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
11 2nn 12285 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
12 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
13 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1514nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12984 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
17 rpne0 12990 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) β‰  0)
18 3cn 12293 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„‚
19 divrec 11888 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2018, 19mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2116, 17, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2322adantl 483 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2423breq1d 5159 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ))
2514nnrecred 12263 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
26 rpre 12982 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 12088 . . . . . . . 8 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
2927, 28mp3an3 1451 . . . . . . 7 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 598 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3124, 30bitrd 279 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3231rexbidva 3177 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3310, 32mpbird 257 . . 3 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
34 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
35 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘˜))
3635oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
3734, 36opeq12d 4882 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6999 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
4140fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩))
42 fvex 6905 . . . . . . 7 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
43 ovex 7442 . . . . . . 7 (3 / (2β†‘π‘˜)) ∈ V
4442, 43op2nd 7984 . . . . . 6 (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩) = (3 / (2β†‘π‘˜))
4541, 44eqtrdi 2789 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
4645breq1d 5159 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ))
4746rexbiia 3093 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
4833, 47sylibr 233 . 2 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ)
4948rgen 3064 1 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  CMetccmet 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  heiborlem8  36686  heiborlem9  36687
  Copyright terms: Public domain W3C validator