Theorem heiborlem7 38199

Description: Lemma for heibor 38203. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem7	⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12256	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3pos 12281	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
3	1, 2	elrpii 12940	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4		rpdivcl 12964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
5	3, 4	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6		2re 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 12342	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		expnlbnd 14190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
9	6, 7, 8	mp3an23 1462	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11		2nn 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nnnn0 12439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16		rpcn 12948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17		rpne0 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18		3cn 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		divrec 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
20	18, 19	mp3an1 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
21	16, 17, 20	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
23	22	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
24	23	breq1d 5085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
25	14	nnrecred 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26		rpre 12946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
27	1, 2	pm3.2i 472	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28		ltmuldiv2 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
29	27, 28	mp3an3 1459	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
30	25, 26, 29	syl2anr 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
31	24, 30	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
32	31	rexbidva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
33	10, 32	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
35		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
36	35	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
37	34, 36	opeq12d 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38		heibor.12	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39		opex 5406	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑘) = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
41	40	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42		fvex 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
43		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
44	42, 43	op2nd 7944	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
45	41, 44	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
46	45	breq1d 5085	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
47	46	rexbiia 3086	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
48	33, 47	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
49	48	rgen 3057	1 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ifcif 4457  𝒫 cpw 4532  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4841  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5075  {copab 5137   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  2^nd c2nd 7934  Fincfn 8887  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  ℕ₀cn0 12432  ℝ⁺crp 12937  seqcseq 13958  ↑cexp 14018  ballcbl 21338  MetOpencmopn 21341  CMetccmet 25243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  heiborlem8  38200  heiborlem9  38201