Theorem heiborlem7 37777

Description: Lemma for heibor 37781. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem7	⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12373	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3pos 12398	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
3	1, 2	elrpii 13060	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4		rpdivcl 13082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
5	3, 4	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 12464	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		expnlbnd 14282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
9	6, 7, 8	mp3an23 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11		2nn 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16		rpcn 13067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17		rpne0 13073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18		3cn 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		divrec 11965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
20	18, 19	mp3an1 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
21	16, 17, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
24	23	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
25	14	nnrecred 12344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26		rpre 13065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
27	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28		ltmuldiv2 12169	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
29	27, 28	mp3an3 1450	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
30	25, 26, 29	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
31	24, 30	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
32	31	rexbidva 3183	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
33	10, 32	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
35		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
36	35	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
37	34, 36	opeq12d 4905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38		heibor.12	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39		opex 5484	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑘) = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
41	40	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42		fvex 6933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
43		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
44	42, 43	op2nd 8039	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
45	41, 44	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
46	45	breq1d 5176	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
47	46	rexbiia 3098	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
48	33, 47	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
49	48	rgen 3069	1 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  2^nd c2nd 8029  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  seqcseq 14052  ↑cexp 14112  ballcbl 21374  MetOpencmopn 21377  CMetccmet 25307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  heiborlem8  37778  heiborlem9  37779