Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem heiborlem7 37346
Description: Lemma for heibor 37350. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,π‘˜,π‘Ÿ,𝑒,𝐹   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,π‘š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘˜,𝐽,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝑀(𝑣,𝑛)
Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 12320 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 12345 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 13007 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 13029 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 689 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 12314 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 12411 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 14225 . . . . . 6 (((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
96, 7, 8mp3an23 1449 . . . . 5 ((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
11 2nn 12313 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
12 nnnn0 12507 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
13 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1411, 12, 13sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1514nnrpd 13044 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
16 rpcn 13014 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
17 rpne0 13020 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) β‰  0)
18 3cn 12321 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„‚
19 divrec 11916 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2018, 19mp3an1 1444 . . . . . . . . . 10 (((2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2116, 17, 20syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2423breq1d 5153 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ))
2514nnrecred 12291 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
26 rpre 13012 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 12116 . . . . . . . 8 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
2927, 28mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 595 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3124, 30bitrd 278 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3231rexbidva 3167 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3310, 32mpbird 256 . . 3 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
34 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
35 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘˜))
3635oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
3734, 36opeq12d 4877 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 5460 . . . . . . . 8 ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6999 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
4140fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩))
42 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
43 ovex 7448 . . . . . . 7 (3 / (2β†‘π‘˜)) ∈ V
4442, 43op2nd 7998 . . . . . 6 (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩) = (3 / (2β†‘π‘˜))
4541, 44eqtrdi 2781 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
4645breq1d 5153 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ))
4746rexbiia 3082 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
4833, 47sylibr 233 . 2 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ)
4948rgen 3053 1 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  ifcif 4524  π’« cpw 4598  βŸ¨cop 4630  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  2nd c2nd 7988  Fincfn 8960  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  3c3 12296  β„•0cn0 12500  β„+crp 13004  seqcseq 13996  β†‘cexp 14056  ballcbl 21268  MetOpencmopn 21271  CMetccmet 25198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057
This theorem is referenced by:  heiborlem8  37347  heiborlem9  37348
  Copyright terms: Public domain W3C validator