Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem7 33941
Description: Lemma for heibor 33945. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 11295 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 11315 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 12037 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 12058 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 663 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 11291 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 11395 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 13200 . . . . . 6 (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
96, 7, 8mp3an23 1563 . . . . 5 ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11 2nn 11386 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
12 nnnn0 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13079 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
1411, 12, 13sylancr 567 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12072 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12043 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17 rpne0 12050 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18 3cn 11296 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
19 divrec 10902 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2018, 19mp3an1 1558 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2116, 17, 20syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2322adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2423breq1d 4794 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
2514nnrecred 11267 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26 rpre 12041 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 447 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 11098 . . . . . . . 8 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
2927, 28mp3an3 1560 . . . . . . 7 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 576 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3124, 30bitrd 268 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3231rexbidva 3196 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3310, 32mpbird 247 . . 3 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
35 oveq2 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3635oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
3734, 36opeq12d 4545 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 5060 . . . . . . . 8 ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6424 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀𝑘) = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
4140fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42 fvex 6342 . . . . . . 7 (𝑆𝑘) ∈ V
43 ovex 6822 . . . . . . 7 (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
4442, 43op2nd 7323 . . . . . 6 (2nd ‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
4541, 44syl6eq 2820 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
4645breq1d 4794 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
4746rexbiia 3187 . . 3 (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
4833, 47sylibr 224 . 2 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟)
4948rgen 3070 1 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  {cab 2756  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  cin 3720  wss 3721  ifcif 4223  𝒫 cpw 4295  cop 4320   cuni 4572   ciun 4652   class class class wbr 4784  {copab 4844  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  2nd c2nd 7313  Fincfn 8108  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  0cn0 11493  +crp 12034  seqcseq 13007  cexp 13066  ballcbl 19947  MetOpencmopn 19950  CMetcms 23270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  heiborlem8  33942  heiborlem9  33943
  Copyright terms: Public domain W3C validator