Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem7 36322
Description: Lemma for heibor 36326. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,π‘˜,π‘Ÿ,𝑒,𝐹   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,π‘š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘˜,𝐽,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,π‘Ÿ)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 12238 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 12263 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 12923 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 12945 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 690 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 12232 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 12329 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 14142 . . . . . 6 (((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
96, 7, 8mp3an23 1454 . . . . 5 ((π‘Ÿ / 3) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3))
11 2nn 12231 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
12 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
13 nnexpcl 13986 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„•)
1514nnrpd 12960 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
16 rpcn 12930 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
17 rpne0 12936 . . . . . . . . . 10 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (2β†‘π‘˜) β‰  0)
18 3cn 12239 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„‚
19 divrec 11834 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2018, 19mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((2β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (2β†‘π‘˜) β‰  0) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2116, 17, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2322adantl 483 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (3 / (2β†‘π‘˜)) = (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))))
2423breq1d 5116 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ))
2514nnrecred 12209 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
26 rpre 12928 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 12034 . . . . . . . 8 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
2927, 28mp3an3 1451 . . . . . . 7 (((1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 598 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 Β· (1 / (2β†‘π‘˜))) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3124, 30bitrd 279 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3231rexbidva 3170 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (2β†‘π‘˜)) < (π‘Ÿ / 3)))
3310, 32mpbird 257 . . 3 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
34 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
35 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘˜))
3635oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
3734, 36opeq12d 4839 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(π‘†β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 5422 . . . . . . . 8 ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6949 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩)
4140fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩))
42 fvex 6856 . . . . . . 7 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
43 ovex 7391 . . . . . . 7 (3 / (2β†‘π‘˜)) ∈ V
4442, 43op2nd 7931 . . . . . 6 (2nd β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), (3 / (2β†‘π‘˜))⟩) = (3 / (2β†‘π‘˜))
4541, 44eqtrdi 2789 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (3 / (2β†‘π‘˜)))
4645breq1d 5116 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ))
4746rexbiia 3092 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (3 / (2β†‘π‘˜)) < π‘Ÿ)
4833, 47sylibr 233 . 2 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ)
4948rgen 3063 1 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (2nd β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) < π‘Ÿ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  π’« cpw 4561  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106  {copab 5168   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  2nd c2nd 7921  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  β„+crp 12920  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  CMetccmet 24634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  heiborlem8  36323  heiborlem9  36324
  Copyright terms: Public domain W3C validator