MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemg 26962
Description: Lemma for pnt 26978. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐‘€ is j^* and ๐‘ is ฤต. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntlem1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
pntlem1.m ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
pntlem1.n ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemg (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
Distinct variable group:   ๐ธ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ž)   ๐ด(๐‘Ž)   ๐ต(๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘Ž)   ๐ท(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘Ž)   ๐น(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘€(๐‘Ž)   ๐‘(๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)   ๐‘(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlemg
StepHypRef Expression
1 pntlem1.m . . 3 ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
2 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
32simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
43rpred 12964 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
5 1red 11163 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
76simpld 496 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
87rpred 12964 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
96simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
102simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < ๐‘‹)
115, 8, 4, 9, 10lelttrd 11320 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘‹)
124, 11rplogcld 26000 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„+)
13 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
14 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
15 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
17 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 ๐ท = (๐ด + 1)
18 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
19 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
20 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
21 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
22 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22pntlemc 26959 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
2423simp2d 1144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
2524rpred 12964 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2623simp3d 1145 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
2726simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
2825, 27rplogcld 26000 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„+)
2912, 28rpdivcld 12981 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„+)
3029rprege0d 12971 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))))
31 flge0nn0 13732 . . . 4 ((((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โˆˆ โ„•0)
32 nn0p1nn 12459 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) โˆˆ โ„•)
3330, 31, 323syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) โˆˆ โ„•)
341, 33eqeltrid 2842 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3534nnzd 12533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
36 pntlem1.n . . . 4 ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
37 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
38 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
39 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
4013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 6, 2, 37, 38, 39pntlemb 26961 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โˆง ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))))
4140simp1d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
4241relogcld 25994 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
4342, 28rerpdivcld 12995 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„)
4443rehalfcld 12407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โˆˆ โ„)
4544flcld 13710 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4636, 45eqeltrid 2842 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
47 0red 11165 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
48 4nn 12243 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„•
49 nndivre 12201 . . . . . 6 ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„)
5043, 48, 49sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„)
5146zred 12614 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5234nnred 12175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5351, 52resubcld 11590 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„)
5441rpred 12964 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5540simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)))
5655simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
5754, 56rplogcld 26000 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5857, 28rpdivcld 12981 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„+)
59 4re 12244 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
60 4pos 12267 . . . . . . . 8 0 < 4
6159, 60elrpii 12925 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„+
62 rpdivcl 12947 . . . . . . 7 ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„+)
6358, 61, 62sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„+)
6463rpge0d 12968 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
6550recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„‚)
6634nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
67 1cnd 11157 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6865, 66, 67addassd 11184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) + 1) = ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (๐‘€ + 1)))
6952, 5readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
7050, 69readdcld 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
71 peano2re 11335 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
7251, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
7329rpred 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„)
74 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7673, 75readdcld 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โˆˆ โ„)
77 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โˆˆ โ„)
7873, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โˆˆ โ„)
7978recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โˆˆ โ„‚)
8079, 67, 67addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) + 1) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + (1 + 1)))
811oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ + 1) = (((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1) + 1)
82 df-2 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
8382oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 2) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + (1 + 1))
8480, 81, 833eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 2))
85 flle 13711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)))
8673, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)))
8778, 73, 75, 86leadd1dd 11776 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2))
8884, 87eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2))
8940simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘))))
9089simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
9169, 76, 50, 88, 90letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
9269, 50, 50, 91leadd2dd 11777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (๐‘€ + 1)) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)))
9343recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
94 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
95 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
9793, 94, 94, 96, 96divdiv1d 11969 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) / 2) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / (2 ยท 2)))
98 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ยท 2) = 4
9998oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / (2 ยท 2)) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)
10097, 99eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) / 2) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4))
101100oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) / 2)) = (2 ยท (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)))
10244recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โˆˆ โ„‚)
103102, 94, 96divcan2d 11940 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) / 2)) = (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
104652timesd 12403 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)) = ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)))
105101, 103, 1043eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) = ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4)))
10692, 105breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (๐‘€ + 1)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
107 fllep1 13713 . . . . . . . . . . 11 ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) + 1))
10844, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) + 1))
10936oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 (๐‘ + 1) = ((โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2)) + 1)
110108, 109breqtrrdi 5152 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2) โ‰ค (๐‘ + 1))
11170, 44, 72, 106, 110letrd 11319 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + (๐‘€ + 1)) โ‰ค (๐‘ + 1))
11268, 111eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) + 1) โ‰ค (๐‘ + 1))
11350, 52readdcld 11191 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
114113, 51, 5leadd1d 11756 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) โ‰ค ๐‘ โ†” (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) + 1) โ‰ค (๐‘ + 1)))
115112, 114mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) โ‰ค ๐‘)
116 leaddsub 11638 . . . . . . 7 (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) โ‰ค ๐‘ โ†” (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
11750, 52, 51, 116syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) + ๐‘€) โ‰ค ๐‘ โ†” (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
118115, 117mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
11947, 50, 53, 64, 118letrd 11319 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
12051, 52subge0d 11752 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
121119, 120mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
122 eluz2 12776 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
12335, 46, 121, 122syl3anbrc 1344 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
12434, 123, 1183jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  expce 15951  eceu 15952  logclog 25926  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  pntlemh  26963  pntlemq  26965  pntlemr  26966  pntlemj  26967  pntlemf  26969
  Copyright terms: Public domain W3C validator