Theorem lgsdir2lem1 27657

Description: Lemma for lgsdir2 27662. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11311	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12442	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12461	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13126	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11842	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12546	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 14039	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 706	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11317	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + (1 · 8)) = ( -1 + 8)
12		ax-1cn 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11629	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11505	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ( -1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (( -1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11622	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12729	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 14049	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → (( -1 + (1 · 8)) mod 8) = ( -1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (( -1 + (1 · 8)) mod 8) = ( -1 mod 8)
24		7re 12439	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11313	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12460	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11436	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12540	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 14039	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ ( -1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7)
33		3re 12426	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12454	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11436	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12544	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 14039	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 706	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ( -3 + (1 · 8)) = ( -3 + 8)
40		3cn 12427	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11629	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11505	. . . . . 6 ⊢ ( -3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ( -3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (( -3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11622	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 14049	. . . . 5 ⊢ (( -3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → (( -3 + (1 · 8)) mod 8) = ( -3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (( -3 + (1 · 8)) mod 8) = ( -3 mod 8)
54		5re 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12458	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11436	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12542	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 14039	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ ( -3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 476	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545  3c3 12401  5c5 12403  7c7 12405  8c8 12406  ℤcz 12696  ℝ⁺crp 13123   mod cmo 14012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  27660  lgsdir2lem5  27661