Theorem lgsdir2lem1 27369

Description: Lemma for lgsdir2 27374. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12362	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12378	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13037	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11786	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12464	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13936	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12363	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11266	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11577	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11453	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11570	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12647	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13946	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12359	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11263	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12377	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11384	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12458	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13936	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12346	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12371	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11384	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12462	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13936	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11577	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11598	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11453	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11570	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13946	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12353	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12375	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11384	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12460	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13936	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493  3c3 12322  5c5 12324  7c7 12326  8c8 12327  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27372  lgsdir2lem5  27373