Theorem lgsdir2lem1 25904

Description: Lemma for lgsdir2 25909. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10644	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 11736	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 11752	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12395	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11166	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 11838	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13267	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 691	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 11737	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10649	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7170	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 10598	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 10957	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 10967	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2847	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 10835	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2847	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7169	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 10950	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12015	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13277	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 11733	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 10646	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 11751	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 10766	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 11832	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13267	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2855	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 11720	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 11745	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 10766	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 11836	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13267	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 691	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7170	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 11721	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 10957	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 10967	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 11728	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2847	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 10835	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2847	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7169	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 10950	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13277	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 11727	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 11749	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 10766	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 11834	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13267	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2855	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 473	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  -cneg 10874  3c3 11696  5c5 11698  7c7 11700  8c8 11701  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392   mod cmo 13240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  25907  lgsdir2lem5  25908