Theorem lgsdir2lem1 27384

Description: Lemma for lgsdir2 27389. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11259	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12360	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12376	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13035	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11784	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12462	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13933	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11264	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11575	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11585	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11568	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12645	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13943	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12357	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11261	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12375	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11382	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12456	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13933	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12344	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12369	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11382	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12460	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13933	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11575	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11585	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11568	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13943	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12351	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12373	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11382	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12458	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13933	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  8c8 12325  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27387  lgsdir2lem5  27388