Theorem lgsdir2lem1 27500

Description: Lemma for lgsdir2 27505. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12343	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12362	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13025	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11743	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12447	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13936	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 705	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11220	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11164	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11532	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11408	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11525	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12630	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13946	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1489	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12340	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12361	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11339	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12441	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13936	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12327	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12355	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11339	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12445	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13936	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 705	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11532	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11408	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11525	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13946	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1489	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12334	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12359	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11339	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12443	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13936	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 475	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  -cneg 11448  3c3 12302  5c5 12304  7c7 12306  8c8 12307  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  27503  lgsdir2lem5  27504