MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 26755
Description: Lemma for lgsdir2 26760. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 11196 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 12290 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 12306 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 12959 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 11719 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 12392 . . . 4 1 < 8
7 modid 13843 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 691 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 12291 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mullidi 11201 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 7404 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 11150 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 11510 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 11520 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 8m1e7 12327 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1614, 15eqtri 2759 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
179, 13, 16addcomli 11388 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
1811, 17eqtri 2759 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
1918oveq1i 7403 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
201renegcli 11503 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
21 1z 12574 . . . . 5 1 ∈ ℤ
22 modcyc 13853 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2320, 4, 21, 22mp3an 1461 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24 7re 12287 . . . . 5 7 ∈ ℝ
25 0re 11198 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
26 7pos 12305 . . . . . 6 0 < 7
2725, 24, 26ltleii 11319 . . . . 5 0 ≤ 7
28 7lt8 12386 . . . . 5 7 < 8
29 modid 13843 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3024, 4, 27, 28, 29mp4an 691 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3119, 23, 303eqtr3i 2767 . . 3 (-1 mod 8) = 7
328, 31pm3.2i 471 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33 3re 12274 . . . 4 3 ∈ ℝ
34 3pos 12299 . . . . 5 0 < 3
3525, 33, 34ltleii 11319 . . . 4 0 ≤ 3
36 3lt8 12390 . . . 4 3 < 8
37 modid 13843 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
3833, 4, 35, 36, 37mp4an 691 . . 3 (3 mod 8) = 3
3910oveq2i 7404 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40 3cn 12275 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4140negcli 11510 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
429, 40negsubi 11520 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
43 5cn 12282 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
44 5p3e8 12351 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4543, 40, 44addcomli 11388 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
469, 40, 43, 45subaddrii 11531 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
4742, 46eqtri 2759 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
489, 41, 47addcomli 11388 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
4939, 48eqtri 2759 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5049oveq1i 7403 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5133renegcli 11503 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
52 modcyc 13853 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5351, 4, 21, 52mp3an 1461 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54 5re 12281 . . . . 5 5 ∈ ℝ
55 5pos 12303 . . . . . 6 0 < 5
5625, 54, 55ltleii 11319 . . . . 5 0 ≤ 5
57 5lt8 12388 . . . . 5 5 < 8
58 modid 13843 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
5954, 4, 56, 57, 58mp4an 691 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6050, 53, 593eqtr3i 2767 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6138, 60pm3.2i 471 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6232, 61pm3.2i 471 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427  3c3 12250  5c5 12252  7c7 12254  8c8 12255  cz 12540  +crp 12956   mod cmo 13816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fl 13739  df-mod 13817
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26758  lgsdir2lem5  26759
  Copyright terms: Public domain W3C validator