Theorem lgsdir2lem1 27252

Description: Lemma for lgsdir2 27257. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11134	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12242	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12258	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12914	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11661	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12339	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13818	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11139	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11086	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11450	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11326	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7363	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11443	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12523	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13828	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12239	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12257	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11257	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12333	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13818	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12226	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12251	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11257	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12337	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13818	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11450	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11326	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7363	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11443	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13828	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12233	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12255	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11257	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12335	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13818	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  -cneg 11366  3c3 12202  5c5 12204  7c7 12206  8c8 12207  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911   mod cmo 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fl 13714  df-mod 13792

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27255  lgsdir2lem5  27256