Theorem lgsdir2lem1 26473

Description: Lemma for lgsdir2 26478. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10975	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12069	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12085	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12733	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11498	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12171	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13616	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 690	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12070	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10980	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 10929	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11289	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12106	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11282	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13626	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12066	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 10977	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12084	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11098	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12165	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13616	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 690	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12053	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12078	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11098	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12169	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13616	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 690	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12054	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11289	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11282	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13626	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12060	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12082	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11098	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12167	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13616	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 690	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  3c3 12029  5c5 12031  7c7 12033  8c8 12034  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26476  lgsdir2lem5  26477