Theorem lgsdir2lem1 26378

Description: Lemma for lgsdir2 26383. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 11999	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12015	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12662	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11428	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12101	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13544	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 689	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12000	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10911	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11219	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12036	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11097	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11212	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12280	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13554	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 11996	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12014	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12095	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13544	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 11983	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12008	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11028	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12099	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13544	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 689	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11219	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 11991	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11097	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11212	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13554	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 11990	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12012	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12097	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13544	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  3c3 11959  5c5 11961  7c7 11963  8c8 11964  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26381  lgsdir2lem5  26382