MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 25583
Description: Lemma for lgsdir2 25588. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 10487 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 11581 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 11597 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 12242 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 11011 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 11683 . . . 4 1 < 8
7 modid 13114 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 689 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 11582 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mulid2i 10492 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 7027 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 10441 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 10802 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 10812 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 8m1e7 11618 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1614, 15eqtri 2819 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
179, 13, 16addcomli 10679 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
1811, 17eqtri 2819 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
1918oveq1i 7026 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
201renegcli 10795 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
21 1z 11861 . . . . 5 1 ∈ ℤ
22 modcyc 13124 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2320, 4, 21, 22mp3an 1453 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24 7re 11578 . . . . 5 7 ∈ ℝ
25 0re 10489 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
26 7pos 11596 . . . . . 6 0 < 7
2725, 24, 26ltleii 10610 . . . . 5 0 ≤ 7
28 7lt8 11677 . . . . 5 7 < 8
29 modid 13114 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3024, 4, 27, 28, 29mp4an 689 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3119, 23, 303eqtr3i 2827 . . 3 (-1 mod 8) = 7
328, 31pm3.2i 471 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33 3re 11565 . . . 4 3 ∈ ℝ
34 3pos 11590 . . . . 5 0 < 3
3525, 33, 34ltleii 10610 . . . 4 0 ≤ 3
36 3lt8 11681 . . . 4 3 < 8
37 modid 13114 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
3833, 4, 35, 36, 37mp4an 689 . . 3 (3 mod 8) = 3
3910oveq2i 7027 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40 3cn 11566 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4140negcli 10802 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
429, 40negsubi 10812 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
43 5cn 11573 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
44 5p3e8 11642 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4543, 40, 44addcomli 10679 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
469, 40, 43, 45subaddrii 10823 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
4742, 46eqtri 2819 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
489, 41, 47addcomli 10679 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
4939, 48eqtri 2819 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5049oveq1i 7026 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5133renegcli 10795 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
52 modcyc 13124 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5351, 4, 21, 52mp3an 1453 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54 5re 11572 . . . . 5 5 ∈ ℝ
55 5pos 11594 . . . . . 6 0 < 5
5625, 54, 55ltleii 10610 . . . . 5 0 ≤ 5
57 5lt8 11679 . . . . 5 5 < 8
58 modid 13114 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
5954, 4, 56, 57, 58mp4an 689 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6050, 53, 593eqtr3i 2827 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6138, 60pm3.2i 471 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6232, 61pm3.2i 471 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  -cneg 10718  3c3 11541  5c5 11543  7c7 11545  8c8 11546  cz 11829  +crp 12239   mod cmo 13087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  25586  lgsdir2lem5  25587
  Copyright terms: Public domain W3C validator