Theorem lgsdir2lem1 27292

Description: Lemma for lgsdir2 27297. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12241	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12257	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12908	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11660	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12338	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13816	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11137	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11084	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11449	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11459	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11442	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13826	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12238	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12256	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11256	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12332	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13816	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12225	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12250	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11256	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12336	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13816	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11449	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11459	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11442	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13826	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12232	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12254	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11256	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12334	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13816	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365  3c3 12201  5c5 12203  7c7 12205  8c8 12206  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27295  lgsdir2lem5  27296