Theorem lgsdir2lem1 27232

Description: Lemma for lgsdir2 27237. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11230	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12324	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12340	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12995	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11753	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12426	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13879	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 692	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11235	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11182	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2755	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11422	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11537	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12608	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13889	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12321	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11232	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12339	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11353	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12420	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13879	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2763	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12308	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12333	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11353	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12424	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13879	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 692	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11422	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11565	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2755	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11422	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11537	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13889	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12315	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12337	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11353	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12422	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13879	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2763	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264   ≤ cle 11265   − cmin 11460  -cneg 11461  3c3 12284  5c5 12286  7c7 12288  8c8 12289  ℤcz 12574  ℝ⁺crp 12992   mod cmo 13852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27235  lgsdir2lem5  27236