Theorem lgsdir2lem1 27261

Description: Lemma for lgsdir2 27266. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11109	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12218	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12234	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12890	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11637	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12315	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13797	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11114	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11061	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11426	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11436	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11302	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11419	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12499	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13807	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12215	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11111	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12233	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11233	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12309	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13797	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12202	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12227	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11233	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12313	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13797	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12203	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11426	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11436	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11302	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11419	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13807	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12209	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12231	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11233	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12311	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13797	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341  -cneg 11342  3c3 12178  5c5 12180  7c7 12182  8c8 12183  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887   mod cmo 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fl 13693  df-mod 13771

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27264  lgsdir2lem5  27265