MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 27369
Description: Lemma for lgsdir2 27374. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 11261 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 12362 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 12378 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 13037 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 11786 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 12464 . . . 4 1 < 8
7 modid 13936 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 693 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 12363 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 7442 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 11577 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 11587 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 8m1e7 12399 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1614, 15eqtri 2765 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
179, 13, 16addcomli 11453 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
1811, 17eqtri 2765 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
1918oveq1i 7441 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
201renegcli 11570 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
21 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
22 modcyc 13946 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2320, 4, 21, 22mp3an 1463 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24 7re 12359 . . . . 5 7 ∈ ℝ
25 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
26 7pos 12377 . . . . . 6 0 < 7
2725, 24, 26ltleii 11384 . . . . 5 0 ≤ 7
28 7lt8 12458 . . . . 5 7 < 8
29 modid 13936 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3024, 4, 27, 28, 29mp4an 693 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3119, 23, 303eqtr3i 2773 . . 3 (-1 mod 8) = 7
328, 31pm3.2i 470 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33 3re 12346 . . . 4 3 ∈ ℝ
34 3pos 12371 . . . . 5 0 < 3
3525, 33, 34ltleii 11384 . . . 4 0 ≤ 3
36 3lt8 12462 . . . 4 3 < 8
37 modid 13936 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
3833, 4, 35, 36, 37mp4an 693 . . 3 (3 mod 8) = 3
3910oveq2i 7442 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40 3cn 12347 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4140negcli 11577 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
429, 40negsubi 11587 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
43 5cn 12354 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
44 5p3e8 12423 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4543, 40, 44addcomli 11453 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
469, 40, 43, 45subaddrii 11598 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
4742, 46eqtri 2765 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
489, 41, 47addcomli 11453 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
4939, 48eqtri 2765 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5049oveq1i 7441 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5133renegcli 11570 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
52 modcyc 13946 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5351, 4, 21, 52mp3an 1463 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54 5re 12353 . . . . 5 5 ∈ ℝ
55 5pos 12375 . . . . . 6 0 < 5
5625, 54, 55ltleii 11384 . . . . 5 0 ≤ 5
57 5lt8 12460 . . . . 5 5 < 8
58 modid 13936 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
5954, 4, 56, 57, 58mp4an 693 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6050, 53, 593eqtr3i 2773 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6138, 60pm3.2i 470 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6232, 61pm3.2i 470 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  3c3 12322  5c5 12324  7c7 12326  8c8 12327  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27372  lgsdir2lem5  27373
  Copyright terms: Public domain W3C validator