Theorem lgsdir2lem1 27467

Description: Lemma for lgsdir2 27472. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11209	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12338	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12357	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13020	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11738	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12442	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13931	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 705	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11215	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11527	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12374	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11403	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11520	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12625	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13941	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12335	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11211	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12356	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11334	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12436	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13931	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12322	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12350	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11334	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12440	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13931	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 705	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11527	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11403	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11520	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13941	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12329	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12354	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11334	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12438	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13931	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 475	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443  3c3 12297  5c5 12299  7c7 12301  8c8 12302  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017   mod cmo 13904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-mod 13905

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27470  lgsdir2lem5  27471