Theorem lgsdir2lem1 27634

Description: Lemma for lgsdir2 27639. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12420	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12439	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13104	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11820	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12524	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 14016	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 706	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11295	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11239	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11607	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12456	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11483	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11600	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12707	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 14026	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12417	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11291	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12438	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11414	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12518	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 14016	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12404	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12432	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11414	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12522	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 14016	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 706	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12405	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11607	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11628	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11483	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11600	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 14026	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12411	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12436	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11414	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12520	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 14016	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 476	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  3c3 12379  5c5 12381  7c7 12383  8c8 12384  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101   mod cmo 13989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  27637  lgsdir2lem5  27638