Theorem lgsdir2lem1 27243

Description: Lemma for lgsdir2 27248. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11181	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12289	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12305	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12961	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11708	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12386	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13865	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11186	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11497	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12321	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11373	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11490	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13875	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12286	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12304	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11304	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12380	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13865	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12273	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12298	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11304	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12384	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13865	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 693	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11497	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11518	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11373	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11490	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13875	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12280	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12302	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11304	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12382	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13865	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 693	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413  3c3 12249  5c5 12251  7c7 12253  8c8 12254  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27246  lgsdir2lem5  27247