Theorem lgsdir2lem1 27304

Description: Lemma for lgsdir2 27309. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12253	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12269	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12920	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11672	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12350	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13828	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 694	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11149	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11461	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11454	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12533	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13838	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12250	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12268	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11268	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12344	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13828	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12237	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12262	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11268	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12348	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13828	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 694	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12238	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11461	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11454	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13838	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12244	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12266	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11268	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12346	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13828	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  3c3 12213  5c5 12215  7c7 12217  8c8 12218  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27307  lgsdir2lem5  27308