Theorem lgsdir2lem1 26828

Description: Lemma for lgsdir2 26833. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12308	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12324	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12977	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11737	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12410	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13861	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 692	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11219	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11168	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11528	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11406	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7419	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11521	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12592	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13871	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12305	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12323	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12404	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13861	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12292	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12317	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12408	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13861	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 692	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11528	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11549	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11406	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7419	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11521	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13871	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12299	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12321	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12406	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13861	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 472	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445  3c3 12268  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26831  lgsdir2lem5  26832