Theorem lgsdir2lem1 27302

Description: Lemma for lgsdir2 27307. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12268	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12284	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12936	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11664	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12365	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13846	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 694	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11141	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11453	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12300	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11446	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13856	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12265	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11137	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12283	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11260	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12359	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13846	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12252	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12277	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12363	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13846	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 694	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12253	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11453	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11474	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11446	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13856	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12259	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12281	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11260	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12361	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13846	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  3c3 12228  5c5 12230  7c7 12232  8c8 12233  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27305  lgsdir2lem5  27306