MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 26689
Description: Lemma for lgsdir2 26694. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 12256 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 12272 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 12925 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 11685 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 12358 . . . 4 1 < 8
7 modid 13808 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 692 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 12257 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 7373 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 11476 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 11486 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 8m1e7 12293 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1614, 15eqtri 2765 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
179, 13, 16addcomli 11354 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
1811, 17eqtri 2765 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
1918oveq1i 7372 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
201renegcli 11469 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
21 1z 12540 . . . . 5 1 ∈ ℤ
22 modcyc 13818 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2320, 4, 21, 22mp3an 1462 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24 7re 12253 . . . . 5 7 ∈ ℝ
25 0re 11164 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
26 7pos 12271 . . . . . 6 0 < 7
2725, 24, 26ltleii 11285 . . . . 5 0 ≤ 7
28 7lt8 12352 . . . . 5 7 < 8
29 modid 13808 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3024, 4, 27, 28, 29mp4an 692 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3119, 23, 303eqtr3i 2773 . . 3 (-1 mod 8) = 7
328, 31pm3.2i 472 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33 3re 12240 . . . 4 3 ∈ ℝ
34 3pos 12265 . . . . 5 0 < 3
3525, 33, 34ltleii 11285 . . . 4 0 ≤ 3
36 3lt8 12356 . . . 4 3 < 8
37 modid 13808 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
3833, 4, 35, 36, 37mp4an 692 . . 3 (3 mod 8) = 3
3910oveq2i 7373 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40 3cn 12241 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4140negcli 11476 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
429, 40negsubi 11486 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
43 5cn 12248 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
44 5p3e8 12317 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4543, 40, 44addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
469, 40, 43, 45subaddrii 11497 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
4742, 46eqtri 2765 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
489, 41, 47addcomli 11354 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
4939, 48eqtri 2765 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5049oveq1i 7372 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5133renegcli 11469 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
52 modcyc 13818 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5351, 4, 21, 52mp3an 1462 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54 5re 12247 . . . . 5 5 ∈ ℝ
55 5pos 12269 . . . . . 6 0 < 5
5625, 54, 55ltleii 11285 . . . . 5 0 ≤ 5
57 5lt8 12354 . . . . 5 5 < 8
58 modid 13808 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
5954, 4, 56, 57, 58mp4an 692 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6050, 53, 593eqtr3i 2773 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6138, 60pm3.2i 472 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6232, 61pm3.2i 472 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  -cneg 11393  3c3 12216  5c5 12218  7c7 12220  8c8 12221  cz 12506  +crp 12922   mod cmo 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26692  lgsdir2lem5  26693
  Copyright terms: Public domain W3C validator