Theorem lgsdir2lem1 26023

Description: Lemma for lgsdir2 26028. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10693	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 11784	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 11800	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12447	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11215	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 11886	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13327	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 692	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 11785	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10698	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7168	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 10647	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11006	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11016	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2782	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 10884	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7167	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 10999	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12065	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13337	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 11781	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 10695	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 11799	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 10815	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 11880	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13327	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 11768	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 11793	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 10815	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 11884	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13327	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 692	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7168	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 11769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11006	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11016	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 11776	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 10884	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11027	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2782	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 10884	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7167	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 10999	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13337	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 11775	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 11797	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 10815	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 11882	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13327	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 692	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 474	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5037  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   + caddc 10592   · cmul 10594   < clt 10727   ≤ cle 10728   − cmin 10922  -cneg 10923  3c3 11744  5c5 11746  7c7 11748  8c8 11749  ℤcz 12034  ℝ⁺crp 12444   mod cmo 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-sup 8953  df-inf 8954  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-fl 13225  df-mod 13301

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26026  lgsdir2lem5  26027