Theorem lgsdir2lem1 27366

Description: Lemma for lgsdir2 27371. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11178	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12311	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12330	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12993	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11707	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12415	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13903	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 703	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11184	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7403	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11496	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11506	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11372	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7402	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11489	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13913	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12308	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11180	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12329	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12409	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13903	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 703	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12295	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12323	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11303	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12413	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13903	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 703	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7403	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12296	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11496	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11506	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11517	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11372	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7402	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11489	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13913	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12302	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12327	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12411	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13903	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 703	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 474	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  -cneg 11412  3c3 12270  5c5 12272  7c7 12274  8c8 12275  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27369  lgsdir2lem5  27370