Theorem lgsdir2lem1 25583

Description: Lemma for lgsdir2 25588. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10487	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 11581	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 11597	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12242	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11011	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 11683	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13114	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 689	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 11582	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10492	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7027	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 10441	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 10802	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 10812	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2819	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 10795	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 11861	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13124	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1453	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 11578	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 10489	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 11596	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 10610	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 11677	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13114	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2827	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 11565	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 11590	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 10610	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 11681	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13114	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 689	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7027	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 11566	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 10802	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 10812	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 11642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 10679	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 10823	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2819	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 10795	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13124	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1453	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 11572	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 11594	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 10610	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 11679	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13114	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2827	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521   ≤ cle 10522   − cmin 10717  -cneg 10718  3c3 11541  5c5 11543  7c7 11545  8c8 11546  ℤcz 11829  ℝ⁺crp 12239   mod cmo 13087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  25586  lgsdir2lem5  25587