Theorem lgsdir2lem1 27569

Description: Lemma for lgsdir2 27574. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12365	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12384	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13049	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11765	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12469	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13961	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 706	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11242	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11554	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12401	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11430	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11547	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12652	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13971	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12362	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11238	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12383	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12463	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13961	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12349	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12377	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11361	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12467	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13961	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 706	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11554	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11430	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11547	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13971	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12356	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12381	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12465	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13961	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 476	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  -cneg 11470  3c3 12324  5c5 12326  7c7 12328  8c8 12329  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046   mod cmo 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  27572  lgsdir2lem5  27573