Theorem lgsdir2lem1 27447

Description: Lemma for lgsdir2 27452. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12328	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12347	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13010	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11725	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12432	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13920	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 705	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12329	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11202	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11514	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11390	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11507	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12615	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13930	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1485	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12325	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12346	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11321	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12426	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13920	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2796	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12312	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12340	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11321	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12430	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13920	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 705	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11514	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11390	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11390	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11507	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13930	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1485	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12319	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12344	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11321	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12428	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13920	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2796	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 475	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -cneg 11430  3c3 12287  5c5 12289  7c7 12291  8c8 12292  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007   mod cmo 13893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13816  df-mod 13894

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27450  lgsdir2lem5  27451