Theorem lgsdir2lem1 26755

Description: Lemma for lgsdir2 26760. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12290	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12306	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12959	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11719	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12392	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13843	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 691	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12291	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11201	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7404	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11150	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11510	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11388	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7403	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11503	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12574	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13853	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12287	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12305	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11319	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12386	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13843	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12274	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12299	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11319	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12390	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13843	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 691	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7404	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11510	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11388	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7403	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11503	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13853	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12281	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12303	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11319	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12388	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13843	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230   ≤ cle 11231   − cmin 11426  -cneg 11427  3c3 12250  5c5 12252  7c7 12254  8c8 12255  ℤcz 12540  ℝ⁺crp 12956   mod cmo 13816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fl 13739  df-mod 13817

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  26758  lgsdir2lem5  26759