Theorem lgsdir2lem1 27313

Description: Lemma for lgsdir2 27318. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12275	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12291	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 12943	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11671	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12372	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13853	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 699	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11148	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7374	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11094	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11460	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11336	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11453	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12555	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13863	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12272	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12290	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11267	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12366	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13853	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 699	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12259	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12284	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11267	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12370	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13853	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 699	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7374	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11460	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11336	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11453	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13863	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12266	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12288	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11267	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12368	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13853	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 699	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376  3c3 12235  5c5 12237  7c7 12239  8c8 12240  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940   mod cmo 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27316  lgsdir2lem5  27317