Theorem lgsdir2lem1 27274

Description: Lemma for lgsdir2 27279. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11242	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12336	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12352	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13007	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11765	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12438	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13891	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 691	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11247	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7426	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11194	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11556	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11434	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11549	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12620	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13901	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12333	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11244	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12351	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11365	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12432	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13891	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12320	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12345	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11365	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12436	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13891	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 691	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7426	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11556	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11434	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11434	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11549	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13901	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12327	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12349	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11365	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12434	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13891	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 469	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472  -cneg 11473  3c3 12296  5c5 12298  7c7 12300  8c8 12301  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13004   mod cmo 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  27277  lgsdir2lem5  27278