Theorem lgsdir2lem1 27526

Description: Lemma for lgsdir2 27531. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11226	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 12355	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 12374	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 13037	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 11755	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 12459	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 13949	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 706	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11232	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		8m1e7 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
16	14, 15	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
17	9, 13, 16	addcomli 11420	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
18	11, 17	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
19	18	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
20	1	renegcli 11537	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
21		1z 12642	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		modcyc 13959	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
23	20, 4, 21, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
24		7re 12352	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
25		0re 11228	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		7pos 12373	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
27	25, 24, 26	ltleii 11351	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
28		7lt8 12453	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
29		modid 13949	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
30	24, 4, 27, 28, 29	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
31	19, 23, 30	3eqtr3i 2797	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
32	8, 31	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
33		3re 12339	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
34		3pos 12367	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
35	25, 33, 34	ltleii 11351	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
36		3lt8 12457	. . . 4 ⊢ 3 < 8
37		modid 13949	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
38	33, 4, 35, 36, 37	mp4an 706	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
39	10	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
40		3cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	negcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
42	9, 40	negsubi 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
43		5cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
44		5p3e8 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
45	43, 40, 44	addcomli 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
46	9, 40, 43, 45	subaddrii 11565	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
47	42, 46	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
48	9, 41, 47	addcomli 11420	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
49	39, 48	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
50	49	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
51	33	renegcli 11537	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
52		modcyc 13959	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
53	51, 4, 21, 52	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
54		5re 12346	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
55		5pos 12371	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
56	25, 54, 55	ltleii 11351	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
57		5lt8 12455	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
58		modid 13949	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
59	54, 4, 56, 57, 58	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
60	50, 53, 59	3eqtr3i 2797	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
61	38, 60	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
62	32, 61	pm3.2i 476	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  3c3 12314  5c5 12316  7c7 12318  8c8 12319  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  27529  lgsdir2lem5  27530