Theorem 2sqlem11 27410

Description: Lemma for 2sq 27411. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2	⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
2sqlem11	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem11

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (𝑃 mod 4) = 1)
2		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		1ne2 12375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
5		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = (2 mod 4))
6		2re 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		4pos 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
9	7, 8	elrpii 12936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ+
10		0le2 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
11		2lt4 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 4
12		modid 13846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
13	6, 9, 10, 11, 12	mp4an 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 mod 4) = 2
14	5, 13	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 2)
15	14	neeq1d 2993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 4) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
16	4, 15	mpbiri 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) ≠ 1)
17	16	necon2i 2968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 4) = 1 → 𝑃 ≠ 2)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ≠ 2)
19		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
20	2, 18, 19	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21		m1lgs 27369	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
23	1, 22	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (-1 /L 𝑃) = 1)
24		neg1z 12554	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
25		lgsqr 27332	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
26	24, 20, 25	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
27	23, 26	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1)))
28	27	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
29		simprl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
30		1zzd 12549	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 1 ∈ ℤ)
31		gcd1 16488	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 gcd 1) = 1)
32	31	ad2antrl 734	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛 gcd 1) = 1)
33		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))
34		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 𝑦))
35	34	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑦) = 1))
36		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑2) = (𝑛↑2))
37	36	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))
38	37	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))))
39	35, 38	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))))
40		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑛 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 1))
41	40	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 1) = 1))
42		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
43		sq1 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
45	44	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + 1))
46	45	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1)))
47	41, 46	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))))
48	39, 47	rspc2ev 3573	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
49	29, 30, 32, 33, 48	syl112anc 1382	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
50		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ ((𝑛↑2) + 1) ∈ V
51		eqeq1 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
52	51	anbi2d 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
53	52	2rexbidv 3204	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
54		2sqlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
55	50, 53, 54	elab2 3620	. . . 4 ⊢ (((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
56	49, 55	sylibr 235	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌)
57		prmnn 16634	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
59		simprr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
60	29	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
61	60	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
62		ax-1cn 11087	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		subneg 11434	. . . . 5 ⊢ (((𝑛↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
64	61, 62, 63	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
65	59, 64	breqtrd 5098	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1))
66		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
67	66, 54	2sqlem10 27409	. . 3 ⊢ ((((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1)) → 𝑃 ∈ 𝑆)
68	56, 58, 65, 67	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ 𝑆)
69	28, 68	rexlimddv 3146	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631  ℤ[i]cgz 16891   /_L clgs 27275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-phi 16727  df-pc 16799  df-gz 16892  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-idom 20668  df-drng 20703  df-field 20704  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-zn 21481  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-evl 22051  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-evl1 22302  df-mdeg 26038  df-deg1 26039  df-mon1 26114  df-uc1p 26115  df-q1p 26116  df-r1p 26117  df-lgs 27276

This theorem is referenced by:  2sq  27411