Theorem 2sqlem11 27411

Description: Lemma for 2sq 27412. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2	⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
2sqlem11	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem11

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (𝑃 mod 4) = 1)
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		1ne2 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
5		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = (2 mod 4))
6		2re 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		4pos 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
9	7, 8	elrpii 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ+
10		0le2 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
11		2lt4 12327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 4
12		modid 13828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
13	6, 9, 10, 11, 12	mp4an 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 mod 4) = 2
14	5, 13	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 2)
15	14	neeq1d 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 4) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
16	4, 15	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) ≠ 1)
17	16	necon2i 2967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 4) = 1 → 𝑃 ≠ 2)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ≠ 2)
19		eldifsn 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
20	2, 18, 19	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21		m1lgs 27370	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
23	1, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (-1 /L 𝑃) = 1)
24		neg1z 12539	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
25		lgsqr 27333	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
26	24, 20, 25	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
27	23, 26	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1)))
28	27	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
29		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
30		1zzd 12534	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 1 ∈ ℤ)
31		gcd1 16467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 gcd 1) = 1)
32	31	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛 gcd 1) = 1)
33		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))
34		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 𝑦))
35	34	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑦) = 1))
36		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑2) = (𝑛↑2))
37	36	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))
38	37	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))))
39	35, 38	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))))
40		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑛 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 1))
41	40	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 1) = 1))
42		oveq1 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
43		sq1 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
45	44	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + 1))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1)))
47	41, 46	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))))
48	39, 47	rspc2ev 3591	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
49	29, 30, 32, 33, 48	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
50		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ ((𝑛↑2) + 1) ∈ V
51		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
52	51	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
53	52	2rexbidv 3203	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
54		2sqlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
55	50, 53, 54	elab2 3639	. . . 4 ⊢ (((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
56	49, 55	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌)
57		prmnn 16613	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
59		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
60	29	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
61	60	sqcld 14079	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
62		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		subneg 11442	. . . . 5 ⊢ (((𝑛↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
64	61, 62, 63	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
65	59, 64	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1))
66		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
67	66, 54	2sqlem10 27410	. . 3 ⊢ ((((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1)) → 𝑃 ∈ 𝑆)
68	56, 58, 65, 67	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ 𝑆)
69	28, 68	rexlimddv 3145	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  4c4 12214  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801  ↑cexp 13996  abscabs 15169   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433  ℙcprime 16610  ℤ[i]cgz 16869   /_L clgs 27276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-phi 16705  df-pc 16777  df-gz 16870  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-nsg 19069  df-eqg 19070  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-srg 20137  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20461  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-rlreg 20642  df-domn 20643  df-idom 20644  df-drng 20679  df-field 20680  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21178  df-rsp 21179  df-2idl 21220  df-cnfld 21325  df-zring 21417  df-zrh 21473  df-zn 21476  df-assa 21823  df-asp 21824  df-ascl 21825  df-psr 21880  df-mvr 21881  df-mpl 21882  df-opsr 21884  df-evls 22044  df-evl 22045  df-psr1 22135  df-vr1 22136  df-ply1 22137  df-coe1 22138  df-evl1 22275  df-mdeg 26031  df-deg1 26032  df-mon1 26107  df-uc1p 26108  df-q1p 26109  df-r1p 26110  df-lgs 27277

This theorem is referenced by:  2sq  27412