MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem11 27473
Description: Lemma for 2sq 27474. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
Assertion
Ref Expression
2sqlem11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem11
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (𝑃 mod 4) = 1)
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 1ne2 12474 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
43necomi 2995 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 1
5 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = (2 mod 4))
6 2re 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7 4re 12350 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
8 4pos 12373 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
97, 8elrpii 13037 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ+
10 0le2 12368 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
11 2lt4 12441 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 4
12 modid 13936 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
136, 9, 10, 11, 12mp4an 693 . . . . . . . . . . . 12 (2 mod 4) = 2
145, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 2)
1514neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 4) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
164, 15mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) ≠ 1)
1716necon2i 2975 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 4) = 1 → 𝑃 ≠ 2)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ≠ 2)
19 eldifsn 4786 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
202, 18, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21 m1lgs 27432 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
231, 22mpbird 257 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (-1 /L 𝑃) = 1)
24 neg1z 12653 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
25 lgsqr 27395 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
2624, 20, 25sylancr 587 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
2723, 26mpbid 232 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1)))
2827simprd 495 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
29 simprl 771 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
30 1zzd 12648 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 1 ∈ ℤ)
31 gcd1 16565 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 gcd 1) = 1)
3231ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛 gcd 1) = 1)
33 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))
34 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 𝑦))
3534eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑦) = 1))
36 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑2) = (𝑛↑2))
3736oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))
3837eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))))
3935, 38anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))))
40 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → (𝑛 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 1))
4140eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 1) = 1))
42 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
43 sq1 14234 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
4442, 43eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
4544oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + 1))
4645eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1)))
4741, 46anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))))
4839, 47rspc2ev 3635 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
4929, 30, 32, 33, 48syl112anc 1376 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
50 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑛↑2) + 1) ∈ V
51 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5251anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
53522rexbidv 3222 . . . . 5 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
54 2sqlem7.2 . . . . 5 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
5550, 53, 54elab2 3682 . . . 4 (((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5649, 55sylibr 234 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌)
57 prmnn 16711 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5857ad2antrr 726 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
59 simprr 773 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
6029zcnd 12723 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6160sqcld 14184 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
62 ax-1cn 11213 . . . . 5 1 ∈ ℂ
63 subneg 11558 . . . . 5 (((𝑛↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
6461, 62, 63sylancl 586 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
6559, 64breqtrd 5169 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1))
66 2sq.1 . . . 4 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
6766, 542sqlem10 27472 . . 3 ((((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1)) → 𝑃𝑆)
6856, 58, 65, 67syl3anc 1373 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃𝑆)
6928, 68rexlimddv 3161 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102  abscabs 15273  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  ℤ[i]cgz 16967   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  2sq  27474
  Copyright terms: Public domain W3C validator