MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem11 26939
Description: Lemma for 2sq 26940. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
Assertion
Ref Expression
2sqlem11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem11
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (𝑃 mod 4) = 1)
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 1ne2 12422 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
43necomi 2995 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 1
5 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = (2 mod 4))
6 2re 12288 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7 4re 12298 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
8 4pos 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
97, 8elrpii 12979 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ+
10 0le2 12316 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
11 2lt4 12389 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 4
12 modid 13863 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
136, 9, 10, 11, 12mp4an 691 . . . . . . . . . . . 12 (2 mod 4) = 2
145, 13eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 2)
1514neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 4) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
164, 15mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) ≠ 1)
1716necon2i 2975 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 4) = 1 → 𝑃 ≠ 2)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ≠ 2)
19 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
202, 18, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21 m1lgs 26898 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
231, 22mpbird 256 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (-1 /L 𝑃) = 1)
24 neg1z 12600 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
25 lgsqr 26861 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
2624, 20, 25sylancr 587 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
2723, 26mpbid 231 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1)))
2827simprd 496 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
29 simprl 769 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
30 1zzd 12595 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 1 ∈ ℤ)
31 gcd1 16471 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 gcd 1) = 1)
3231ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛 gcd 1) = 1)
33 eqidd 2733 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))
34 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 𝑦))
3534eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑦) = 1))
36 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑2) = (𝑛↑2))
3736oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))
3837eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))))
3935, 38anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))))
40 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → (𝑛 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 1))
4140eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 1) = 1))
42 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
43 sq1 14161 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
4442, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
4544oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + 1))
4645eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1)))
4741, 46anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))))
4839, 47rspc2ev 3624 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
4929, 30, 32, 33, 48syl112anc 1374 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
50 ovex 7444 . . . . 5 ((𝑛↑2) + 1) ∈ V
51 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5251anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
53522rexbidv 3219 . . . . 5 (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
54 2sqlem7.2 . . . . 5 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
5550, 53, 54elab2 3672 . . . 4 (((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5649, 55sylibr 233 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌)
57 prmnn 16613 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5857ad2antrr 724 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
59 simprr 771 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
6029zcnd 12669 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6160sqcld 14111 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
62 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 ∈ ℂ
63 subneg 11511 . . . . 5 (((𝑛↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
6461, 62, 63sylancl 586 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
6559, 64breqtrd 5174 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1))
66 2sq.1 . . . 4 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
6766, 542sqlem10 26938 . . 3 ((((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1)) → 𝑃𝑆)
6856, 58, 65, 67syl3anc 1371 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃𝑆)
6928, 68rexlimddv 3161 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wne 2940  wrex 3070  cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  -cneg 11447  cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  cz 12560  +crp 12976   mod cmo 13836  cexp 14029  abscabs 15183  cdvds 16199   gcd cgcd 16437  cprime 16610  ℤ[i]cgz 16864   /L clgs 26804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-gz 16865  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-imas 17456  df-qus 17457  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-nzr 20296  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-rlreg 20905  df-domn 20906  df-idom 20907  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-assa 21414  df-asp 21415  df-ascl 21416  df-psr 21468  df-mvr 21469  df-mpl 21470  df-opsr 21472  df-evls 21641  df-evl 21642  df-psr1 21710  df-vr1 21711  df-ply1 21712  df-coe1 21713  df-evl1 21842  df-mdeg 25577  df-deg1 25578  df-mon1 25655  df-uc1p 25656  df-q1p 25657  df-r1p 25658  df-lgs 26805
This theorem is referenced by:  2sq  26940
  Copyright terms: Public domain W3C validator