Theorem 2sqlem11 27768

Description: Lemma for 2sq 27769. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2	⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
2sqlem11	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧, 𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑌(𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem11

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (𝑃 mod 4) = 1)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		1ne2 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	necomi 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 1
5		oveq1 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = (2 mod 4))
6		2re 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		4pos 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
9	7, 8	elrpii 13133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ+
10		0le2 12455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
11		2lt4 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 4
12		modid 14046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 4)) → (2 mod 4) = 2)
13	6, 9, 10, 11, 12	mp4an 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 mod 4) = 2
14	5, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 2)
15	14	neeq1d 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 4) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
16	4, 15	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) ≠ 1)
17	16	necon2i 2992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 4) = 1 → 𝑃 ≠ 2)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ≠ 2)
19		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
20	2, 18, 19	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21		m1lgs 27727	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (( -1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (( -1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
23	1, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ( -1 /L 𝑃) = 1)
24		neg1z 12742	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
25		lgsqr 27690	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (( -1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
26	24, 20, 25	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (( -1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))))
27	23, 26	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1)))
28	27	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
29		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
30		1zzd 12737	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 1 ∈ ℤ)
31		gcd1 16713	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 gcd 1) = 1)
32	31	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛 gcd 1) = 1)
33		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))
34		oveq1 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 𝑦))
35	34	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑦) = 1))
36		oveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑2) = (𝑛↑2))
37	36	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))
38	37	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))))
39	35, 38	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)))))
40		oveq2 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑛 gcd 𝑦) = (𝑛 gcd 1))
41	40	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑛 gcd 1) = 1))
42		oveq1 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
43		sq1 14348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
45	44	oveq2d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑛↑2) + 1))
46	45	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1)))
47	41, 46	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (((𝑛 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))))
48	39, 47	rspc2ev 3591	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 gcd 1) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑛↑2) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
49	29, 30, 32, 33, 48	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
50		ovex 7460	. . . . 5 ⊢ ((𝑛↑2) + 1) ∈ V
51		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
52	51	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
53	52	2rexbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑛↑2) + 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
54		2sqlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
55	50, 53, 54	elab2 3638	. . . 4 ⊢ (((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝑛↑2) + 1) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
56	49, 55	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌)
57		prmnn 16861	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
59		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))
60	29	zcnd 12814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
61	60	sqcld 14297	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
62		ax-1cn 11268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		subneg 11617	. . . . 5 ⊢ (((𝑛↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
64	61, 62, 63	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → ((𝑛↑2) − -1) = ((𝑛↑2) + 1))
65	59, 64	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1))
66		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
67	66, 54	2sqlem10 27767	. . 3 ⊢ ((((𝑛↑2) + 1) ∈ 𝑌 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) + 1)) → 𝑃 ∈ 𝑆)
68	56, 58, 65, 67	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑛↑2) − -1))) → 𝑃 ∈ 𝑆)
69	28, 68	rexlimddv 3172	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 4047  {csn 4587   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   -cneg 11552  ℕcn 12345  2c2 12407  4c4 12409  ℤcz 12703  ℝ⁺crp 13130   mod cmo 14019  ↑cexp 14214  abscabs 15413   ∥ cdvds 16434   gcd cgcd 16676  ℙcprime 16858  ℤ[i]cgz 17119   /_L clgs 27633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-phi 16955  df-pc 17027  df-gz 17120  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-imas 17692  df-qus 17693  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-nsg 19346  df-eqg 19347  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-srg 20425  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-nzr 20775  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-rlreg 20958  df-domn 20959  df-idom 20960  df-drng 20994  df-field 20995  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-2idl 21555  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-zn 21824  df-assa 22173  df-asp 22174  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-evls 22395  df-evl 22396  df-psr1 22510  df-vr1 22511  df-ply1 22512  df-coe1 22513  df-evl1 22646  df-mdeg 26385  df-deg1 26386  df-mon1 26461  df-uc1p 26462  df-q1p 26463  df-r1p 26464  df-lgs 27634

This theorem is used by:  2sq  27769