Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt10 32748
Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1 𝐴 < 10
dp2lt10.2 𝐵 < 10
Assertion
Ref Expression
dp2lt10 𝐴𝐵 < 10

Proof of Theorem dp2lt10
StepHypRef Expression
1 df-dp2 32736 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dp2lt10.1 . . . . . 6 𝐴 < 10
3 9p1e10 12725 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
42, 3breqtrri 5172 . . . . 5 𝐴 < (9 + 1)
5 dp2lt10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
65nn0zi 12633 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
7 9nn0 12542 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
87nn0zi 12633 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
9 zleltp1 12659 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
106, 8, 9mp2an 690 . . . . 5 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
114, 10mpbir 230 . . . 4 𝐴 ≤ 9
12 dp2lt10.2 . . . . 5 𝐵 < 10
13 rpssre 13029 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
14 dp2lt10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
1513, 14sselii 3975 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
16 10re 12742 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
17 10pos 12740 . . . . . . 7 0 < 10
1816, 17elrpii 13025 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
19 divlt1lt 13091 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
2015, 18, 19mp2an 690 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
2112, 20mpbir 230 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
225nn0rei 12529 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
23 0re 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2423, 17gtneii 11367 . . . . . . 7 10 ≠ 0
2515, 16, 24redivcli 12026 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
2622, 25pm3.2i 469 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
27 9re 12357 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
28 1re 11255 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 469 . . . . 5 (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30 leltadd 11739 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)))
3126, 29, 30mp2an 690 . . . 4 ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1))
3211, 21, 31mp2an 690 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)
3332, 3breqtri 5170 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 10
341, 33eqbrtri 5166 1 𝐴𝐵 < 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289  cle 11290   / cdiv 11912  9c9 12320  0cn0 12518  cz 12604  cdc 12723  +crp 13022  cdp2 32735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-rp 13023  df-dp2 32736
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34510  hgt750lem2  34511
  Copyright terms: Public domain W3C validator