Theorem dp2lt10 31158

Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1	⊢ 𝐴 < ;10
dp2lt10.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dp2lt10	⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Proof of Theorem dp2lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 31146	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dp2lt10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 < ;10
3		9p1e10 12439	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = ;10
4	2, 3	breqtrri 5101	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
5		dp2lt10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12345	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
7		9nn0 12257	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12345	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
9		zleltp1 12371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
10	6, 8, 9	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
11	4, 10	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 9
12		dp2lt10.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
13		rpssre 12737	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
14		dp2lt10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
15	13, 14	sselii 3918	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
16		10re 12456	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17		10pos 12454	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;10
18	16, 17	elrpii 12733	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
19		divlt1lt 12799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
20	15, 18, 19	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
21	12, 20	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
22	5	nn0rei 12244	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
23		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23, 17	gtneii 11087	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
25	15, 16, 24	redivcli 11742	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
26	22, 25	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
27		9re 12072	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
28		1re 10975	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30		leltadd 11459	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)))
31	26, 29, 30	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1))
32	11, 21, 31	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)
33	32, 3	breqtri 5099	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < ;10
34	1, 33	eqbrtri 5095	1 ⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730  _cdp2 31145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-rp 12731  df-dp2 31146

This theorem is referenced by:  hgt750lem  32631  hgt750lem2  32632