Theorem dp2lt10 33337

Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1	⊢ 𝐴 < ;10
dp2lt10.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dp2lt10	⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Proof of Theorem dp2lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 33325	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dp2lt10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 < ;10
3		9p1e10 12742	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = ;10
4	2, 3	breqtrri 5136	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
5		dp2lt10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12647	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
7		9nn0 12556	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12647	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
9		zleltp1 12673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
10	6, 8, 9	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
11	4, 10	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 9
12		dp2lt10.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
13		rpssre 13054	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
14		dp2lt10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
15	13, 14	sselii 3931	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
16		10re 12763	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17		10pos 12761	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;10
18	16, 17	elrpii 13049	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
19		divlt1lt 13117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
20	15, 18, 19	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
21	12, 20	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
22	5	nn0rei 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
23		0re 11238	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23, 17	gtneii 11350	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
25	15, 16, 24	redivcli 12010	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
26	22, 25	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
27		9re 12368	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
28		1re 11236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30		leltadd 11726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)))
31	26, 29, 30	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1))
32	11, 21, 31	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)
33	32, 3	breqtri 5134	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < ;10
34	1, 33	eqbrtri 5130	1 ⊢ _𝐴𝐵 < ;10

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272   / cdiv 11899  9c9 12330  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ;cdc 12740  ℝ⁺crp 13046  _cdp2 33324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-rp 13047  df-dp2 33325

This theorem is used by:  hgt750lem  35167  hgt750lem2  35168