Theorem dp2lt10 32748

Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1	⊢ 𝐴 < ;10
dp2lt10.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dp2lt10	⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Proof of Theorem dp2lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32736	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dp2lt10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 < ;10
3		9p1e10 12725	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = ;10
4	2, 3	breqtrri 5172	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
5		dp2lt10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12633	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
7		9nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12633	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
9		zleltp1 12659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
10	6, 8, 9	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
11	4, 10	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 9
12		dp2lt10.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
13		rpssre 13029	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
14		dp2lt10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
15	13, 14	sselii 3975	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
16		10re 12742	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17		10pos 12740	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;10
18	16, 17	elrpii 13025	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
19		divlt1lt 13091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
20	15, 18, 19	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
21	12, 20	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
22	5	nn0rei 12529	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
23		0re 11257	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23, 17	gtneii 11367	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
25	15, 16, 24	redivcli 12026	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
26	22, 25	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
27		9re 12357	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
28		1re 11255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30		leltadd 11739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)))
31	26, 29, 30	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1))
32	11, 21, 31	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)
33	32, 3	breqtri 5170	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < ;10
34	1, 33	eqbrtri 5166	1 ⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289   ≤ cle 11290   / cdiv 11912  9c9 12320  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ;cdc 12723  ℝ⁺crp 13022  _cdp2 32735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-rp 13023  df-dp2 32736

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34510  hgt750lem2  34511