Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt10 32850
Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1 𝐴 < 10
dp2lt10.2 𝐵 < 10
Assertion
Ref Expression
dp2lt10 𝐴𝐵 < 10

Proof of Theorem dp2lt10
StepHypRef Expression
1 df-dp2 32838 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dp2lt10.1 . . . . . 6 𝐴 < 10
3 9p1e10 12732 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
42, 3breqtrri 5174 . . . . 5 𝐴 < (9 + 1)
5 dp2lt10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
65nn0zi 12639 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
7 9nn0 12547 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
87nn0zi 12639 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
9 zleltp1 12665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
106, 8, 9mp2an 692 . . . . 5 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
114, 10mpbir 231 . . . 4 𝐴 ≤ 9
12 dp2lt10.2 . . . . 5 𝐵 < 10
13 rpssre 13039 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
14 dp2lt10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
1513, 14sselii 3991 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
16 10re 12749 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
17 10pos 12747 . . . . . . 7 0 < 10
1816, 17elrpii 13034 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
19 divlt1lt 13101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
2015, 18, 19mp2an 692 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
2112, 20mpbir 231 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
225nn0rei 12534 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
23 0re 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2423, 17gtneii 11370 . . . . . . 7 10 ≠ 0
2515, 16, 24redivcli 12031 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
2622, 25pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
27 9re 12362 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
28 1re 11258 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 470 . . . . 5 (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30 leltadd 11744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)))
3126, 29, 30mp2an 692 . . . 4 ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1))
3211, 21, 31mp2an 692 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)
3332, 3breqtri 5172 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 10
341, 33eqbrtri 5168 1 𝐴𝐵 < 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  9c9 12325  0cn0 12523  cz 12610  cdc 12730  +crp 13031  cdp2 32837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-rp 13032  df-dp2 32838
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34644  hgt750lem2  34645
  Copyright terms: Public domain W3C validator