Theorem dp2lt10 32866

Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1	⊢ 𝐴 < ;10
dp2lt10.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dp2lt10	⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Proof of Theorem dp2lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32854	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dp2lt10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 < ;10
3		9p1e10 12735	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = ;10
4	2, 3	breqtrri 5170	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
5		dp2lt10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12642	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
7		9nn0 12550	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12642	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
9		zleltp1 12668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
10	6, 8, 9	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
11	4, 10	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 9
12		dp2lt10.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
13		rpssre 13042	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
14		dp2lt10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
15	13, 14	sselii 3980	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
16		10re 12752	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17		10pos 12750	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;10
18	16, 17	elrpii 13037	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
19		divlt1lt 13104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
20	15, 18, 19	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
21	12, 20	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
22	5	nn0rei 12537	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
23		0re 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23, 17	gtneii 11373	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
25	15, 16, 24	redivcli 12034	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
26	22, 25	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
27		9re 12365	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
28		1re 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30		leltadd 11747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)))
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1))
32	11, 21, 31	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)
33	32, 3	breqtri 5168	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < ;10
34	1, 33	eqbrtri 5164	1 ⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ;cdc 12733  ℝ⁺crp 13034  _cdp2 32853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-rp 13035  df-dp2 32854

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34666  hgt750lem2  34667