Theorem dp2lt10 30686

Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1	⊢ 𝐴 < ;10
dp2lt10.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dp2lt10	⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Proof of Theorem dp2lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 30674	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dp2lt10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 < ;10
3		9p1e10 12144	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) = ;10
4	2, 3	breqtrri 5062	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
5		dp2lt10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12051	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
7		9nn0 11963	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12051	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℤ
9		zleltp1 12077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
10	6, 8, 9	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
11	4, 10	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 9
12		dp2lt10.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
13		rpssre 12442	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
14		dp2lt10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
15	13, 14	sselii 3891	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
16		10re 12161	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17		10pos 12159	. . . . . . 7 ⊢ 0 < ;10
18	16, 17	elrpii 12438	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
19		divlt1lt 12504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
20	15, 18, 19	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
21	12, 20	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
22	5	nn0rei 11950	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
23		0re 10686	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23, 17	gtneii 10795	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ≠ 0
25	15, 16, 24	redivcli 11450	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
26	22, 25	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
27		9re 11778	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
28		1re 10684	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30		leltadd 11167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)))
31	26, 29, 30	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / ;10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1))
32	11, 21, 31	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (9 + 1)
33	32, 3	breqtri 5060	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < ;10
34	1, 33	eqbrtri 5056	1 ⊢ _𝐴𝐵 < ;10

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   < clt 10718   ≤ cle 10719   / cdiv 11340  9c9 11741  ℕ₀cn0 11939  ℤcz 12025  ;cdc 12142  ℝ⁺crp 12435  _cdp2 30673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-rp 12436  df-dp2 30674

This theorem is referenced by:  hgt750lem  32154  hgt750lem2  32155