Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt10 30686
 Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1 𝐴 < 10
dp2lt10.2 𝐵 < 10
Assertion
Ref Expression
dp2lt10 𝐴𝐵 < 10

Proof of Theorem dp2lt10
StepHypRef Expression
1 df-dp2 30674 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dp2lt10.1 . . . . . 6 𝐴 < 10
3 9p1e10 12144 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
42, 3breqtrri 5062 . . . . 5 𝐴 < (9 + 1)
5 dp2lt10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
65nn0zi 12051 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
7 9nn0 11963 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
87nn0zi 12051 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
9 zleltp1 12077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
106, 8, 9mp2an 691 . . . . 5 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
114, 10mpbir 234 . . . 4 𝐴 ≤ 9
12 dp2lt10.2 . . . . 5 𝐵 < 10
13 rpssre 12442 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
14 dp2lt10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
1513, 14sselii 3891 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
16 10re 12161 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
17 10pos 12159 . . . . . . 7 0 < 10
1816, 17elrpii 12438 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
19 divlt1lt 12504 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
2015, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
2112, 20mpbir 234 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
225nn0rei 11950 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
23 0re 10686 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2423, 17gtneii 10795 . . . . . . 7 10 ≠ 0
2515, 16, 24redivcli 11450 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
2622, 25pm3.2i 474 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
27 9re 11778 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
28 1re 10684 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 474 . . . . 5 (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30 leltadd 11167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)))
3126, 29, 30mp2an 691 . . . 4 ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1))
3211, 21, 31mp2an 691 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)
3332, 3breqtri 5060 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 10
341, 33eqbrtri 5056 1 𝐴𝐵 < 10
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   < clt 10718   ≤ cle 10719   / cdiv 11340  9c9 11741  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ;cdc 12142  ℝ+crp 12435  _cdp2 30673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-rp 12436  df-dp2 30674 This theorem is referenced by:  hgt750lem  32154  hgt750lem2  32155
 Copyright terms: Public domain W3C validator