Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt10 30240
Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1 𝐴 < 10
dp2lt10.2 𝐵 < 10
Assertion
Ref Expression
dp2lt10 𝐴𝐵 < 10

Proof of Theorem dp2lt10
StepHypRef Expression
1 df-dp2 30228 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dp2lt10.1 . . . . . 6 𝐴 < 10
3 9p1e10 11954 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
42, 3breqtrri 4995 . . . . 5 𝐴 < (9 + 1)
5 dp2lt10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
65nn0zi 11861 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
7 9nn0 11775 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
87nn0zi 11861 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
9 zleltp1 11887 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
106, 8, 9mp2an 688 . . . . 5 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
114, 10mpbir 232 . . . 4 𝐴 ≤ 9
12 dp2lt10.2 . . . . 5 𝐵 < 10
13 rpssre 12250 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
14 dp2lt10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
1513, 14sselii 3892 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
16 10re 11971 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
17 10pos 11969 . . . . . . 7 0 < 10
1816, 17elrpii 12246 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
19 divlt1lt 12312 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
2015, 18, 19mp2an 688 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
2112, 20mpbir 232 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
225nn0rei 11762 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
23 0re 10496 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2423, 17gtneii 10605 . . . . . . 7 10 ≠ 0
2515, 16, 24redivcli 11261 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
2622, 25pm3.2i 471 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
27 9re 11590 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
28 1re 10494 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 471 . . . . 5 (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30 leltadd 10978 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)))
3126, 29, 30mp2an 688 . . . 4 ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1))
3211, 21, 31mp2an 688 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)
3332, 3breqtri 4993 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 10
341, 33eqbrtri 4989 1 𝐴𝐵 < 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   < clt 10528  cle 10529   / cdiv 11151  9c9 11553  0cn0 11751  cz 11835  cdc 11952  +crp 12243  cdp2 30227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-rp 12244  df-dp2 30228
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31535  hgt750lem2  31536
  Copyright terms: Public domain W3C validator