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Theorem chtublem 25798
Description: Lemma for chtub 25799. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11707 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 11658 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 689 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43nnred 11649 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5 peano2rem 10951 . . . 4 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
7 chtcl 25697 . . 3 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
9 nnre 11641 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 chtcl 25697 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
12 nnnn0 11901 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 2m1e1 11760 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
1413oveq2i 7160 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 1)
153nncnd 11650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16 2cn 11709 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
18 subsub 10914 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
1916, 17, 18mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
21 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subdi 11071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2316, 17, 22mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
25 2t1e2 11797 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
2625oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) − (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) − 2)
2724, 26syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
2827oveq1d 7164 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2920, 28eqtr4d 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
3014, 29syl5eqr 2873 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
31 2nn0 11911 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
32 nnm1nn0 11935 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 11930 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
3431, 32, 33sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 11933 . . . . . . . . . 10 ((2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3730, 36eqeltrd 2916 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
38 nnnn0 11901 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
40 1re 10639 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42 nnge1 11662 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
4341, 9, 9, 42leadd2dd 11253 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
44212timesd 11877 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4543, 44breqtrrd 5080 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
46 leaddsub 11114 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
479, 41, 4, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
4845, 47mpbid 235 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
49 elfz2nn0 13002 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
51 bccl2 13688 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5352nnrpd 12426 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ+)
5453relogcld 25217 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
5511, 54readdcld 10668 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56 4re 11718 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
57 4pos 11741 . . . . . 6 0 < 4
5856, 57elrpii 12389 . . . . 5 4 ∈ ℝ+
59 relogcl 25170 . . . . 5 (4 ∈ ℝ+ → (log‘4) ∈ ℝ)
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (log‘4) ∈ ℝ
6132nn0red 11953 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62 remulcl 10620 . . . 4 (((log‘4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6360, 61, 62sylancr 590 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6411, 63readdcld 10668 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
65 iftrue 4456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
6665adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
67 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6852adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
6967, 68pccld 16185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0)
70 nn0addge1 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7140, 69, 70sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
72 iftrue 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 1)
7372oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7473breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑁 → (1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7571, 74syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
77 prmnn 16016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7877ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
80 prmz 16017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8137nnzd 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
82 eluz 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8380, 81, 82syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8579, 84mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝))
86 dvdsfac 15676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
8778, 85, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
8939faccld 13649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
90 pcelnn 16204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9188, 89, 90syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9291adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9387, 92mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
9493nnge1d 11682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
95 iffalse 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 0)
9695oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9796ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9869nn0cnd 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
9998addid2d 10839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
10099adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
101 bcval2 13670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10250, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10332nn0cnd 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
10544oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((𝑁 + 𝑁) − 1))
10621, 21, 104, 105assraddsubd 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = (𝑁 + (𝑁 − 1)))
10721, 103, 106mvrladdd 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁) = (𝑁 − 1))
108107fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 − 1)))
109108oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))
110109oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
111102, 110eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
112111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
113112oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
114 nnz 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
115 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0)
116114, 115jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11789, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
118117adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11932faccld 13649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
12012faccld 13649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
121119, 120nnmulcld 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
122121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
123 pcdiv 16187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
12467, 118, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
125 nnz 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
126 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
127125, 126jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
128119, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
129128adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
130 nnz 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
131 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132130, 131jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
133120, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
134133adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
135 pcmul 16186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
13667, 129, 134, 135syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
137136oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
138113, 124, 1373eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
139138adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
140 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝𝑁)
141 prmfac1 16061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑝𝑁)
1421413expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
14312, 142sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
144143adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
145140, 144mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
14680adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
147129simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
148 nnz 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
149148adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
150 dvdsmultr1 15647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
151146, 147, 149, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
152 facnn2 13647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
153152adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
154153breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
155151, 154sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
156155adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
157145, 156mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
158 pceq0 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
15988, 119, 158syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
160159adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
161157, 160mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0)
162 pceq0 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
16388, 120, 162syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
164163adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
165145, 164mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0)
166161, 165oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = (0 + 0))
167 00id 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
168166, 167syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = 0)
169168oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0))
170 pccl 16184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
17188, 89, 170syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
172171nn0cnd 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
173172subid1d 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
174173adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
175139, 169, 1743eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17697, 100, 1753eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17794, 176breqtrrd 5080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
178177expr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (¬ 𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
17976, 178pm2.61d 182 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
18066, 179eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
181180ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
182 1nn0 11910 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
183 0nn0 11909 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
184182, 183ifcli 4496 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0
185 nn0addcl 11929 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
186184, 69, 185sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
187186nn0ge0d 11955 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
188 iffalse 4459 . . . . . . . . . . 11 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 0)
189188breq1d 5062 . . . . . . . . . 10 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → (if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
190187, 189syl5ibrcom 250 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
191181, 190pm2.61d 182 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
192 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
193192prmorcht 25766 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
19437, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
195194oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
196195adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
197 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198197exp1d 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
199198ifeq1d 4468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
200199mpteq2ia 5143 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
201200eqcomi 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
202182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ0)
203202ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0)
20437adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
205 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
206201, 203, 204, 67, 205pcmpt 16226 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
207196, 206eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
208 efchtcl 25699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
2099, 208syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
210209adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
211 nnz 12001 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ)
212 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0)
213211, 212jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
214210, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
215 nnz 12001 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ)
216 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)
217215, 216jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
21868, 217syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
219 pcmul 16186 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0) ∧ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
22067, 214, 218, 219syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
221192prmorcht 25766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁))
222221oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
223222adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
224 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
225201, 203, 224, 67, 205pcmpt 16226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
226223, 225eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
227226oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
228220, 227eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
229191, 207, 2283brtr4d 5084 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
230229ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
231 efchtcl 25699 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
2326, 231syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
233232nnzd 12083 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ)
234209, 52nnmulcld 11687 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ)
235234nnzd 12083 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ)
236 pc2dvds 16213 . . . . . . 7 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
237233, 235, 236syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
238230, 237mpbird 260 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
239 dvdsle 15660 . . . . . 6 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
240233, 234, 239syl2anc 587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
241238, 240mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
24211recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℂ)
24354recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
244 efadd 15447 . . . . . 6 (((θ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
245242, 243, 244syl2anc 587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
24653reeflogd 25218 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
247246oveq2d 7165 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
248245, 247eqtrd 2859 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
249241, 248breqtrrd 5080 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
250 efle 15471 . . . 4 (((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ) → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
2518, 55, 250syl2anc 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
252249, 251mpbird 260 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
253 fzfid 13345 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((2 · 𝑁) − 1)) ∈ Fin)
254 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
255 bccl 13687 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
25639, 254, 255syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
257256nn0red 11953 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℝ)
258256nn0ge0d 11955 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → 0 ≤ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
259 nn0uz 12277 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
26032, 259eleqtrdi 2926 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
261 fzss1 12950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
263 eluz 12254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
264148, 81, 263syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
26548, 264mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁))
266 fzss2 12951 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
268262, 267sstrd 3963 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
269253, 257, 258, 268fsumless 15151 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
27032nn0zd 12082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
271 bccmpl 13674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
27239, 148, 271syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
273107oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
274272, 273eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
27552nncnd 11650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ)
276274, 275eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
277 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
278277fsum1 15102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
279270, 276, 278syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
280279, 274eqtr4d 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
281280oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
28221, 104npcand 10999 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
283 uzid 12255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
284270, 283syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
285 peano2uz 12298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
287282, 286eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
288268sselda 3953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
289256nn0cnd 11954 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
290288, 289syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
291 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
292287, 290, 291fsumm1 15106 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
2932752timesd 11877 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
294281, 292, 2933eqtr4rd 2870 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
295 binom11 15187 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0 → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
29639, 295syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
297269, 294, 2963brtr4d 5084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) − 1)))
298 mulcom 10621 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
29916, 275, 298sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
30030oveq2d 7165 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)))
301 expp1 13441 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30216, 34, 301sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30316a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30431a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
305303, 32, 304expmuld 13518 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 − 1)))
306 sq2 13565 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
307306oveq1i 7159 . . . . . . . . . 10 ((2↑2)↑(𝑁 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))
308305, 307syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
309308oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
310300, 302, 3093eqtrd 2863 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
311297, 299, 3103brtr3d 5083 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
31252nnred 11649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313 reexpcl 13451 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31456, 32, 313sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
315 2re 11708 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
316 2pos 11737 . . . . . . . . 9 0 < 2
317315, 316pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318317a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319 lemul1 11490 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
320312, 314, 318, 319syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
321311, 320mpbird 260 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)))
32260recni 10653 . . . . . . . 8 (log‘4) ∈ ℂ
323 mulcom 10621 . . . . . . . 8 (((log‘4) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
324322, 103, 323sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
325324fveq2d 6665 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
326 reexplog 25189 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
32758, 270, 326sylancr 590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
328325, 327eqtr4d 2862 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
329321, 246, 3283brtr4d 5084 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))))
330 efle 15471 . . . . 5 (((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
33154, 63, 330syl2anc 587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
332329, 331mpbird 260 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)))
33354, 63, 11, 332leadd2dd 11253 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
3348, 55, 64, 252, 333letrd 10795 1 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wss 3919  ifcif 4450   class class class wbr 5052  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  4c4 11691  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  +crp 12386  ...cfz 12894  seqcseq 13373  cexp 13434  !cfa 13638  Ccbc 13667  Σcsu 15042  expce 15415  cdvds 15607  cprime 16013   pCnt cpc 16171  logclog 25149  θccht 25679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15842  df-prm 16014  df-pc 16172  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cht 25685
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