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Theorem chtublem 26559
Description: Lemma for chtub 26560. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12226 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 12177 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43nnred 12168 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5 peano2rem 11468 . . . 4 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
7 chtcl 26458 . . 3 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
9 nnre 12160 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 chtcl 26458 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
12 nnnn0 12420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
1413oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 1)
153nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
18 subsub 11431 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
1916, 17, 18mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
21 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subdi 11588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2316, 17, 22mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
25 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
2625oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) − (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) − 2)
2724, 26eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
2827oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2920, 28eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
3014, 29eqtr3id 2790 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
31 2nn0 12430 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
32 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 12449 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
3431, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . 10 ((2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3730, 36eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
38 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
40 1re 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42 nnge1 12181 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
4341, 9, 9, 42leadd2dd 11770 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
44212timesd 12396 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4543, 44breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
46 leaddsub 11631 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
479, 41, 4, 46syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
49 elfz2nn0 13532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
51 bccl2 14223 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5352nnrpd 12955 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ+)
5453relogcld 25978 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
5511, 54readdcld 11184 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56 4re 12237 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
57 4pos 12260 . . . . . 6 0 < 4
5856, 57elrpii 12918 . . . . 5 4 ∈ ℝ+
59 relogcl 25931 . . . . 5 (4 ∈ ℝ+ → (log‘4) ∈ ℝ)
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (log‘4) ∈ ℝ
6132nn0red 12474 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62 remulcl 11136 . . . 4 (((log‘4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6360, 61, 62sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6411, 63readdcld 11184 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
65 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
67 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6852adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
6967, 68pccld 16722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0)
70 nn0addge1 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7140, 69, 70sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
72 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 1)
7372oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7473breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑁 → (1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7571, 74syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
77 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7877ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
80 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8137nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
82 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8380, 81, 82syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8579, 84mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝))
86 dvdsfac 16208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
8778, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
8939faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
90 pcelnn 16742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9188, 89, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9387, 92mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
9493nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
95 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 0)
9695oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9796ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9869nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
9998addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
101 bcval2 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10250, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10332nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
10544oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((𝑁 + 𝑁) − 1))
10621, 21, 104, 105assraddsubd 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = (𝑁 + (𝑁 − 1)))
10721, 103, 106mvrladdd 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁) = (𝑁 − 1))
108107fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 − 1)))
109108oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))
110109oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
111102, 110eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
113112oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
114 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
115 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0)
116114, 115jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11789, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11932faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
12012faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
121119, 120nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
123 pcdiv 16724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
12467, 118, 122, 123syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
125 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
126 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
127125, 126jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
128119, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
130 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
131 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132130, 131jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
133120, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
134133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
135 pcmul 16723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
13667, 129, 134, 135syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
137136oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
138113, 124, 1373eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
140 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝𝑁)
141 prmfac1 16597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑝𝑁)
1421413expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
14312, 142sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
145140, 144mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
14680adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
147129simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
148 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
150 dvdsmultr1 16178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
151146, 147, 149, 150syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
152 facnn2 14182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
154153breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
155151, 154sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
157145, 156mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
158 pceq0 16743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
15988, 119, 158syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
161157, 160mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0)
162 pceq0 16743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
16388, 120, 162syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
165145, 164mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0)
166161, 165oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = (0 + 0))
167 00id 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
168166, 167eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = 0)
169168oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0))
170 pccl 16721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
17188, 89, 170syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
172171nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
173172subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
174173adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
175139, 169, 1743eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17697, 100, 1753eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17794, 176breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
178177expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (¬ 𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
17976, 178pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
18066, 179eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
181180ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
182 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
183 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
184182, 183ifcli 4533 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0
185 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
186184, 69, 185sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
187186nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
188 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 0)
189188breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → (if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
190187, 189syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
191181, 190pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
192 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
193192prmorcht 26527 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
19437, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
195194oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
196195adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
197 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198197exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
199198ifeq1d 4505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
200199mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
201200eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
202182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ0)
203202ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0)
20437adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
205 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
206201, 203, 204, 67, 205pcmpt 16764 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
207196, 206eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
208 efchtcl 26460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
2099, 208syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
210209adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
211 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ)
212 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0)
213211, 212jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
214210, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
215 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ)
216 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)
217215, 216jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
21868, 217syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
219 pcmul 16723 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0) ∧ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
22067, 214, 218, 219syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
221192prmorcht 26527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁))
222221oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
223222adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
224 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
225201, 203, 224, 67, 205pcmpt 16764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
226223, 225eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
227226oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
228220, 227eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
229191, 207, 2283brtr4d 5137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
230229ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
231 efchtcl 26460 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
2326, 231syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
233232nnzd 12526 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ)
234209, 52nnmulcld 12206 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ)
235234nnzd 12526 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ)
236 pc2dvds 16751 . . . . . . 7 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
237233, 235, 236syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
238230, 237mpbird 256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
239 dvdsle 16192 . . . . . 6 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
240233, 234, 239syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
241238, 240mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
24211recnd 11183 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℂ)
24354recnd 11183 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
244 efadd 15976 . . . . . 6 (((θ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
245242, 243, 244syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
24653reeflogd 25979 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
247246oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
248245, 247eqtrd 2776 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
249241, 248breqtrrd 5133 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
250 efle 16000 . . . 4 (((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ) → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
2518, 55, 250syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
252249, 251mpbird 256 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
253 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((2 · 𝑁) − 1)) ∈ Fin)
254 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
255 bccl 14222 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
25639, 254, 255syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
257256nn0red 12474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℝ)
258256nn0ge0d 12476 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → 0 ≤ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
259 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
26032, 259eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
261 fzss1 13480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
263 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
264148, 81, 263syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
26548, 264mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁))
266 fzss2 13481 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
268262, 267sstrd 3954 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
269253, 257, 258, 268fsumless 15681 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
27032nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
271 bccmpl 14209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
27239, 148, 271syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
273107oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
274272, 273eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
27552nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ)
276274, 275eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
277 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
278277fsum1 15632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
279270, 276, 278syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
280279, 274eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
281280oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
28221, 104npcand 11516 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
283 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
284270, 283syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
285 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
287282, 286eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
288268sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
289256nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
290288, 289syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
291 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
292287, 290, 291fsumm1 15636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
2932752timesd 12396 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
294281, 292, 2933eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
295 binom11 15717 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0 → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
29639, 295syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
297269, 294, 2963brtr4d 5137 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) − 1)))
298 mulcom 11137 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
29916, 275, 298sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
30030oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)))
301 expp1 13974 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30216, 34, 301sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30316a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30431a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
305303, 32, 304expmuld 14054 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 − 1)))
306 sq2 14101 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
307306oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 ((2↑2)↑(𝑁 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))
308305, 307eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
309308oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
310300, 302, 3093eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
311297, 299, 3103brtr3d 5136 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
31252nnred 12168 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313 reexpcl 13984 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31456, 32, 313sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
315 2re 12227 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
316 2pos 12256 . . . . . . . . 9 0 < 2
317315, 316pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318317a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319 lemul1 12007 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
320312, 314, 318, 319syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
321311, 320mpbird 256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)))
32260recni 11169 . . . . . . . 8 (log‘4) ∈ ℂ
323 mulcom 11137 . . . . . . . 8 (((log‘4) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
324322, 103, 323sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
325324fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
326 reexplog 25950 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
32758, 270, 326sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
328325, 327eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
329321, 246, 3283brtr4d 5137 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))))
330 efle 16000 . . . . 5 (((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
33154, 63, 330syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
332329, 331mpbird 256 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)))
33354, 63, 11, 332leadd2dd 11770 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
3348, 55, 64, 252, 333letrd 11312 1 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  !cfa 14173  Ccbc 14202  Σcsu 15570  expce 15944  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708  logclog 25910  θccht 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cht 26446
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