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Theorem chtublem 27099
Description: Lemma for chtub 27100. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))))

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . . . 6 2 ∈ β„•
2 nnmulcl 12240 . . . . . 6 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
31, 2mpan 687 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
43nnred 12231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
5 peano2rem 11531 . . . 4 ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7 chtcl 26996 . . 3 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
9 nnre 12223 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
10 chtcl 26996 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
12 nnnn0 12483 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
13 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . 11 (2 βˆ’ 1) = 1
1413oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)
153nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
16 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
17 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
18 subsub 11494 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2) + 1))
1916, 17, 18mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2) + 1))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2) + 1))
21 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
22 subdi 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 Β· 1)))
2316, 17, 22mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 Β· 1)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 Β· 1)))
25 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· 1) = 2
2625oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2)
2724, 26eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2))
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 2) + 1))
2920, 28eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1))
3014, 29eqtr3id 2780 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) = ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1))
31 2nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
32 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
33 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
3431, 32, 33sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
35 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•)
3730, 36eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•)
38 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
40 1re 11218 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
42 nnge1 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑁)
4341, 9, 9, 42leadd2dd 11833 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑁))
44212timesd 12459 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4543, 44breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
46 leaddsub 11694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
479, 41, 4, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))
49 elfz2nn0 13598 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
51 bccl2 14288 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„•)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„•)
5352nnrpd 13020 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ ℝ+)
5453relogcld 26512 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
5511, 54readdcld 11247 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56 4re 12300 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
57 4pos 12323 . . . . . 6 0 < 4
5856, 57elrpii 12983 . . . . 5 4 ∈ ℝ+
59 relogcl 26464 . . . . 5 (4 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜4) ∈ ℝ)
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (logβ€˜4) ∈ ℝ
6132nn0red 12537 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
62 remulcl 11197 . . . 4 (((logβ€˜4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6360, 61, 62sylancr 586 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6411, 63readdcld 11247 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) + ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
65 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) = 1)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) = 1)
67 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
6852adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„•)
6967, 68pccld 16792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„•0)
70 nn0addge1 12522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (1 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
7140, 69, 70sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 1 ≀ (1 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
72 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) = 1)
7372oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
7473breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ (1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ↔ 1 ≀ (1 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
7571, 74syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ 1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ 1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
77 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7877ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
79 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))
80 prmz 16619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8137nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„€)
82 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
8380, 81, 82syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
8579, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
86 dvdsfac 16276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ β„• ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
8778, 85, 86syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8939faccld 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
90 pcelnn 16812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
9188, 89, 90syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
9387, 92mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„•)
9493nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 1 ≀ (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
95 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) = 0)
9695oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
9796ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
9869nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„‚)
9998addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (0 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (0 + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
101 bcval2 14270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) Β· (!β€˜π‘))))
10250, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) Β· (!β€˜π‘))))
10332nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
10417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
10544oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 𝑁) βˆ’ 1))
10621, 21, 104, 105assraddsubd 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) = (𝑁 + (𝑁 βˆ’ 1)))
10721, 103, 106mvrladdd 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁) = (𝑁 βˆ’ 1))
108107fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) = (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
109108oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) Β· (!β€˜π‘)) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))
110109oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) Β· (!β€˜π‘))) = ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘))))
111102, 110eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘))))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘))))
113112oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))))
114 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
115 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β‰  0)
116114, 115jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β‰  0))
11789, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β‰  0))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β‰  0))
11932faccld 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
12012faccld 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
121119, 120nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„•)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„•)
123 pcdiv 16794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β‰  0) ∧ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„•) β†’ (𝑝 pCnt ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ (𝑝 pCnt ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))))
12467, 118, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ (𝑝 pCnt ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))))
125 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
126 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0)
127125, 126jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0))
128119, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0))
130 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!β€˜π‘) ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„€)
131 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!β€˜π‘) ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) β‰  0)
132130, 131jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!β€˜π‘) ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (!β€˜π‘) β‰  0))
133120, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (!β€˜π‘) β‰  0))
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((!β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (!β€˜π‘) β‰  0))
135 pcmul 16793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0) ∧ ((!β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (!β€˜π‘) β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘))))
13667, 129, 134, 135syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘))))
137136oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ (𝑝 pCnt ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (!β€˜π‘)))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘)))))
138113, 124, 1373eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘)))))
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘)))))
140 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
141 prmfac1 16665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁)
1421413expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁))
14312, 142sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁))
145140, 144mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘))
14680adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
147129simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
148 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
150 dvdsmultr1 16246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑝 βˆ₯ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝑁)))
151146, 147, 149, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑝 βˆ₯ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝑁)))
152 facnn2 14247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
154153breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘) ↔ 𝑝 βˆ₯ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝑁)))
155151, 154sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)))
157145, 156mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
158 pceq0 16813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
15988, 119, 158syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
161157, 160mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0)
162 pceq0 16813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (!β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜π‘)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)))
16388, 120, 162syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜π‘)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)))
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜π‘)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜π‘)))
165145, 164mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜π‘)) = 0)
166161, 165oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘))) = (0 + 0))
167 00id 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
168166, 167eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘))) = 0)
169168oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ ((𝑝 pCnt (!β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + (𝑝 pCnt (!β€˜π‘)))) = ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ 0))
170 pccl 16791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„•) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
17188, 89, 170syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
172171nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
173172subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ 0) = (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ’ 0) = (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
175139, 169, 1743eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
17697, 100, 1753eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
17794, 176breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
178177expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ 1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
17976, 178pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
18066, 179eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
181180ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
182 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•0
183 0nn0 12491 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„•0
184182, 183ifcli 4570 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) ∈ β„•0
185 nn0addcl 12511 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) ∈ β„•0 ∧ (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„•0) β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ∈ β„•0)
186184, 69, 185sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ∈ β„•0)
187186nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
188 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) = 0)
189188breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) β†’ (if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ↔ 0 ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
190187, 189syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
191181, 190pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0) ≀ (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
192 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
193192prmorcht 27065 . . . . . . . . . . . 12 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
19437, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
195194oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
196195adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))))
197 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
198197exp1d 14111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛↑1) = 𝑛)
199198ifeq1d 4542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
200199mpteq2ia 5244 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
201200eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑1), 1))
202182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 1 ∈ β„•0)
203202ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 1 ∈ β„•0)
20437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•)
205 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 β†’ 1 = 1)
206201, 203, 204, 67, 205pcmpt 16834 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) = if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0))
207196, 206eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) = if(𝑝 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1), 1, 0))
208 efchtcl 26998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„•)
2099, 208syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„•)
210209adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„•)
211 nnz 12583 . . . . . . . . . . . 12 ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„€)
212 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) β‰  0)
213211, 212jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„€ ∧ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) β‰  0))
214210, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„€ ∧ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) β‰  0))
215 nnz 12583 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„€)
216 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) β‰  0)
217215, 216jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„• β†’ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) β‰  0))
21868, 217syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) β‰  0))
219 pcmul 16793 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) ∈ β„€ ∧ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) β‰  0) ∧ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
22067, 214, 218, 219syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
221192prmorcht 27065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜π‘))
222221oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) = (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜π‘)))
223222adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) = (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜π‘)))
224 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
225201, 203, 224, 67, 205pcmpt 16834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1)))β€˜π‘)) = if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0))
226223, 225eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) = if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0))
227226oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘))) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
228220, 227eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≀ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
229191, 207, 2283brtr4d 5173 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) ≀ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
230229ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) ≀ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
231 efchtcl 26998 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„•)
2326, 231syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„•)
233232nnzd 12589 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„€)
234209, 52nnmulcld 12269 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„•)
235234nnzd 12589 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„€)
236 pc2dvds 16821 . . . . . . 7 (((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ₯ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) ≀ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
237233, 235, 236syl2anc 583 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ₯ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))) ≀ (𝑝 pCnt ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
238230, 237mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ₯ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
239 dvdsle 16260 . . . . . 6 (((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ∈ β„€ ∧ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„•) β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ₯ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
240233, 234, 239syl2anc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) βˆ₯ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
241238, 240mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
24211recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ β„‚)
24354recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„‚)
244 efadd 16044 . . . . . 6 (((ΞΈβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))) = ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
245242, 243, 244syl2anc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))) = ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
24653reeflogd 26513 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))
247246oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))) = ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
248245, 247eqtrd 2766 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))) = ((expβ€˜(ΞΈβ€˜π‘)) Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
249241, 248breqtrrd 5169 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))))
250 efle 16068 . . . 4 (((ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ∈ ℝ) β†’ ((ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ↔ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))))
2518, 55, 250syl2anc 583 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ↔ (expβ€˜(ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) ≀ (expβ€˜((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))))
252249, 251mpbird 257 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))))
253 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
254 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
255 bccl 14287 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ∈ β„•0)
25639, 254, 255syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ∈ β„•0)
257256nn0red 12537 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ∈ ℝ)
258256nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜))
259 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
26032, 259eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
261 fzss1 13546 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁) βŠ† (0...𝑁))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁) βŠ† (0...𝑁))
263 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
264148, 81, 263syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑁 ≀ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
26548, 264mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
266 fzss2 13547 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
268262, 267sstrd 3987 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁) βŠ† (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
269253, 257, 258, 268fsumless 15748 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁)(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜))
27032nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
271 bccmpl 14274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)))
27239, 148, 271syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)))
273107oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑁)) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)))
274272, 273eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)))
27552nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„‚)
276274, 275eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
277 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)))
278277fsum1 15699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)))
279270, 276, 278syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C(𝑁 βˆ’ 1)))
280279, 274eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))
281280oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) + (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) + (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
28221, 104npcand 11579 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
283 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
284270, 283syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
285 peano2uz 12889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
287282, 286eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
288268sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
289256nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ∈ β„‚)
290288, 289syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) ∈ β„‚)
291 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))
292287, 290, 291fsumm1 15703 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁)(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜) + (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
2932752timesd 12459 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) + (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)))
294281, 292, 2933eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑁 βˆ’ 1)...𝑁)(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜))
295 binom11 15784 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (2↑((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜))
29639, 295syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1))(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)Cπ‘˜))
297269, 294, 2963brtr4d 5173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ≀ (2↑((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)))
298 mulcom 11198 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) Β· 2))
29916, 275, 298sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) = ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) Β· 2))
30030oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) = (2↑((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
301 expp1 14039 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0) β†’ (2↑((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) = ((2↑(2 Β· (𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))
30216, 34, 301sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2 Β· (𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) = ((2↑(2 Β· (𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))
30316a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
30431a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
305303, 32, 304expmuld 14119 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2 Β· (𝑁 βˆ’ 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
306 sq2 14166 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
307306oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((2↑2)↑(𝑁 βˆ’ 1)) = (4↑(𝑁 βˆ’ 1))
308305, 307eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2 Β· (𝑁 βˆ’ 1))) = (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))
309308oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(2 Β· (𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2) = ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))
310300, 302, 3093eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) = ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))
311297, 299, 3103brtr3d 5172 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) Β· 2) ≀ ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))
31252nnred 12231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313 reexpcl 14049 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
31456, 32, 313sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
315 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
316 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
317315, 316pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318317a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319 lemul1 12070 . . . . . . 7 (((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ≀ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) Β· 2) ≀ ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
320312, 314, 318, 319syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ≀ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) Β· 2) ≀ ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
321311, 320mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁) ≀ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))
32260recni 11232 . . . . . . . 8 (logβ€˜4) ∈ β„‚
323 mulcom 11198 . . . . . . . 8 (((logβ€˜4) ∈ β„‚ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (logβ€˜4)))
324322, 103, 323sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (logβ€˜4)))
325324fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))) = (expβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) Β· (logβ€˜4))))
326 reexplog 26484 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) = (expβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) Β· (logβ€˜4))))
32758, 270, 326sylancr 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) = (expβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) Β· (logβ€˜4))))
328325, 327eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))) = (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))
329321, 246, 3283brtr4d 5173 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ≀ (expβ€˜((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))))
330 efle 16068 . . . . 5 (((logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ≀ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ≀ (expβ€˜((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)))))
33154, 63, 330syl2anc 583 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ≀ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ≀ (expβ€˜((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)))))
332329, 331mpbird 257 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁)) ≀ ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1)))
33354, 63, 11, 332leadd2dd 11833 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) + (logβ€˜(((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)C𝑁))) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))))
3348, 55, 64, 252, 333letrd 11375 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜((2 Β· 𝑁) βˆ’ 1)) ≀ ((ΞΈβ€˜π‘) + ((logβ€˜4) Β· (𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ccbc 14267  Ξ£csu 15638  expce 16011   βˆ₯ cdvds 16204  β„™cprime 16615   pCnt cpc 16778  logclog 26443  ΞΈccht 26978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cht 26984
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