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Theorem chtublem 27269
Description: Lemma for chtub 27270. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12336 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 12287 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 690 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43nnred 12278 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5 peano2rem 11573 . . . 4 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
7 chtcl 27166 . . 3 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
9 nnre 12270 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 chtcl 27166 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
12 nnnn0 12530 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
1413oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 1)
153nncnd 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
18 subsub 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
1916, 17, 18mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
21 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subdi 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2316, 17, 22mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
25 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
2625oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) − (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) − 2)
2724, 26eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
2827oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
2920, 28eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
3014, 29eqtr3id 2788 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
31 2nn0 12540 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
32 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 12559 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
3431, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 12562 . . . . . . . . . 10 ((2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
3730, 36eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
38 nnnn0 12530 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
40 1re 11258 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42 nnge1 12291 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
4341, 9, 9, 42leadd2dd 11875 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
44212timesd 12506 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4543, 44breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
46 leaddsub 11736 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
479, 41, 4, 46syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
4845, 47mpbid 232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
49 elfz2nn0 13654 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1342 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
51 bccl2 14358 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
5352nnrpd 13072 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ+)
5453relogcld 26679 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
5511, 54readdcld 11287 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56 4re 12347 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
57 4pos 12370 . . . . . 6 0 < 4
5856, 57elrpii 13034 . . . . 5 4 ∈ ℝ+
59 relogcl 26631 . . . . 5 (4 ∈ ℝ+ → (log‘4) ∈ ℝ)
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (log‘4) ∈ ℝ
6132nn0red 12585 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62 remulcl 11237 . . . 4 (((log‘4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6360, 61, 62sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
6411, 63readdcld 11287 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
65 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
67 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6852adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
6967, 68pccld 16883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0)
70 nn0addge1 12569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7140, 69, 70sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
72 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 1)
7372oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
7473breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑁 → (1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7571, 74syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
77 prmnn 16707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7877ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
80 prmz 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8137nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
82 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8380, 81, 82syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
8579, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝))
86 dvdsfac 16359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
8778, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
8939faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
90 pcelnn 16903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9188, 89, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
9387, 92mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
9493nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
95 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, 1, 0) = 0)
9695oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝𝑁 → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9796ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
9869nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
9998addlidd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
101 bcval2 14340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10250, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10332nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
10417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
10544oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((𝑁 + 𝑁) − 1))
10621, 21, 104, 105assraddsubd 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = (𝑁 + (𝑁 − 1)))
10721, 103, 106mvrladdd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁) = (𝑁 − 1))
108107fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 − 1)))
109108oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))
110109oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
111102, 110eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
113112oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
114 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
115 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0)
116114, 115jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11789, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
11932faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
12012faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
121119, 120nnmulcld 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
123 pcdiv 16885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
12467, 118, 122, 123syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
125 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
126 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
127125, 126jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
128119, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
130 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
131 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132130, 131jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
133120, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
135 pcmul 16884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
13667, 129, 134, 135syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
137136oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
138113, 124, 1373eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
140 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝𝑁)
141 prmfac1 16753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑝𝑁)
1421413expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
14312, 142sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝𝑁))
145140, 144mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
14680adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
147129simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
148 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
150 dvdsmultr1 16329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
151146, 147, 149, 150syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
152 facnn2 14317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
154153breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
155151, 154sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
157145, 156mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
158 pceq0 16904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
15988, 119, 158syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
161157, 160mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0)
162 pceq0 16904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
16388, 120, 162syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
165145, 164mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0)
166161, 165oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = (0 + 0))
167 00id 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
168166, 167eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = 0)
169168oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0))
170 pccl 16882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
17188, 89, 170syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
172171nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
173172subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
175139, 169, 1743eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17697, 100, 1753eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
17794, 176breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
178177expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (¬ 𝑝𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
17976, 178pm2.61d 179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → 1 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
18066, 179eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
181180ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
182 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
183 0nn0 12538 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
184182, 183ifcli 4577 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0
185 nn0addcl 12558 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑝𝑁, 1, 0) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ0) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
186184, 69, 185sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ0)
187186nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
188 iffalse 4539 . . . . . . . . . . 11 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 0)
189188breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → (if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 0 ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
190187, 189syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
191181, 190pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
192 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
193192prmorcht 27235 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
19437, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
195194oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
196195adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
197 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198197exp1d 14177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
199198ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
200199mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
201200eqcomi 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
202182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ0)
203202ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0)
20437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
205 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
206201, 203, 204, 67, 205pcmpt 16925 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
207196, 206eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
208 efchtcl 27168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
2099, 208syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
210209adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
211 nnz 12631 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ)
212 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . 12 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0)
213211, 212jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
214210, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
215 nnz 12631 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ)
216 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)
217215, 216jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
21868, 217syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
219 pcmul 16884 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0) ∧ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
22067, 214, 218, 219syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
221192prmorcht 27235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁))
222221oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
223222adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
224 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
225201, 203, 224, 67, 205pcmpt 16925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
226223, 225eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = if(𝑝𝑁, 1, 0))
227226oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
228220, 227eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
229191, 207, 2283brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
230229ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
231 efchtcl 27168 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
2326, 231syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
233232nnzd 12637 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ)
234209, 52nnmulcld 12316 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ)
235234nnzd 12637 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ)
236 pc2dvds 16912 . . . . . . 7 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
237233, 235, 236syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
238230, 237mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
239 dvdsle 16343 . . . . . 6 (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
240233, 234, 239syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
241238, 240mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
24211recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℂ)
24354recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
244 efadd 16126 . . . . . 6 (((θ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
245242, 243, 244syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
24653reeflogd 26680 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
247246oveq2d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
248245, 247eqtrd 2774 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
249241, 248breqtrrd 5175 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
250 efle 16150 . . . 4 (((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ) → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
2518, 55, 250syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
252249, 251mpbird 257 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
253 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((2 · 𝑁) − 1)) ∈ Fin)
254 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
255 bccl 14357 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
25639, 254, 255syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
257256nn0red 12585 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℝ)
258256nn0ge0d 12587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → 0 ≤ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
259 nn0uz 12917 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
26032, 259eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
261 fzss1 13599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
263 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
264148, 81, 263syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
26548, 264mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁))
266 fzss2 13600 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
267265, 266syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
268262, 267sstrd 4005 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
269253, 257, 258, 268fsumless 15828 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
27032nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
271 bccmpl 14344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
27239, 148, 271syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
273107oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
274272, 273eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
27552nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ)
276274, 275eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
277 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 − 1) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
278277fsum1 15779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
279270, 276, 278syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
280279, 274eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
281280oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
28221, 104npcand 11621 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
283 uzid 12890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
284270, 283syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
285 peano2uz 12940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
287282, 286eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
288268sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
289256nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
290288, 289syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
291 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑁 → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
292287, 290, 291fsumm1 15783 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
2932752timesd 12506 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
294281, 292, 2933eqtr4rd 2785 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
295 binom11 15864 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ0 → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
29639, 295syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
297269, 294, 2963brtr4d 5179 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) − 1)))
298 mulcom 11238 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
29916, 275, 298sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
30030oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)))
301 expp1 14105 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30216, 34, 301sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
30316a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
30431a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
305303, 32, 304expmuld 14185 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 − 1)))
306 sq2 14232 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
307306oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((2↑2)↑(𝑁 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))
308305, 307eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
309308oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
310300, 302, 3093eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
311297, 299, 3103brtr3d 5178 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
31252nnred 12278 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313 reexpcl 14115 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31456, 32, 313sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
315 2re 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
316 2pos 12366 . . . . . . . . 9 0 < 2
317315, 316pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318317a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319 lemul1 12116 . . . . . . 7 (((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
320312, 314, 318, 319syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
321311, 320mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)))
32260recni 11272 . . . . . . . 8 (log‘4) ∈ ℂ
323 mulcom 11238 . . . . . . . 8 (((log‘4) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
324322, 103, 323sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
325324fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
326 reexplog 26651 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
32758, 270, 326sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
328325, 327eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
329321, 246, 3283brtr4d 5179 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))))
330 efle 16150 . . . . 5 (((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
33154, 63, 330syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
332329, 331mpbird 257 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)))
33354, 63, 11, 332leadd2dd 11875 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
3348, 55, 64, 252, 333letrd 11415 1 (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  4c4 12320  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  seqcseq 14038  cexp 14098  !cfa 14308  Ccbc 14337  Σcsu 15718  expce 16093  cdvds 16286  cprime 16704   pCnt cpc 16869  logclog 26610  θccht 27148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cht 27154
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