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Theorem chtublem 27199

Description: Lemma for chtub 27200. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
chtublem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem chtublem Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12252	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 12196	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 696	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12187	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11459	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
7		chtcl 27097	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
9		nnre 12179	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		chtcl 27097	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
12		nnnn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
13		2m1e1 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
14	13	oveq2i 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 1)
15	3	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16		2cn 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		subsub 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
19	16, 17, 18	mp3an23 1461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
21		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		subdi 11581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
23	16, 17, 22	mp3an13 1460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
25		2t1e2 12337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) − (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) − 2)
27	24, 26	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
28	27	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
29	20, 28	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
30	14, 29	eqtr3id 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
31		2nn0 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
32		nnm1nn0 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
33		nn0mulcl 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
34	31, 32, 33	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
35		nn0p1nn 12474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
37	30, 36	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
38		nnnn0 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
40		1re 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42		nnge1 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
43	41, 9, 9, 42	leadd2dd 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
44	21	2timesd 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
45	43, 44	breqtrrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
46		leaddsub 11624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
47	9, 41, 4, 46	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
48	45, 47	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
49		elfz2nn0 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
50	12, 39, 48, 49	syl3anbrc 1350	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
51		bccl2 14283	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 12982	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ⁺)
54	53	relogcld 26612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
55	11, 54	readdcld 11172	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56		4re 12263	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		4pos 12286	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
58	56, 57	elrpii 12943	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
59		relogcl 26564	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℝ⁺ → (log‘4) ∈ ℝ)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘4) ∈ ℝ
61	32	nn0red 12497	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62		remulcl 11121	. . . 4 ⊢ (((log‘4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
64	11, 63	readdcld 11172	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
65		iftrue 4467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
67		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
68	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
69	67, 68	pccld 16819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
70		nn0addge1 12481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
71	40, 69, 70	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
72		iftrue 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) = 1)
73	72	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
74	73	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → (1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
75	71, 74	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
77		prmnn 16641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
80		prmz 16642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
81	37	nnzd 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
82		eluz 12800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
83	80, 81, 82	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
85	79, 84	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝))
86		dvdsfac 16293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
87	78, 85, 86	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
88		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
89	39	faccld 14244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
90		pcelnn 16839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
91	88, 89, 90	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
93	87, 92	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
94	93	nnge1d 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
95		iffalse 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) = 0)
96	95	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
97	96	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
98	69	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
99	98	addlidd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
101		bcval2 14265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
102	50, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
103	32	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
105	44	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((𝑁 + 𝑁) − 1))
106	21, 21, 104, 105	assraddsubd 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = (𝑁 + (𝑁 − 1)))
107	21, 103, 106	mvrladdd 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁) = (𝑁 − 1))
108	107	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 − 1)))
109	108	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))
110	109	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
111	102, 110	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
113	112	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
114		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
115		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0)
116	114, 115	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
117	89, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
119	32	faccld 14244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
120	12	faccld 14244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
121	119, 120	nnmulcld 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
123		pcdiv 16821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
124	67, 118, 122, 123	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
125		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
126		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
127	125, 126	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
128	119, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
130		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
131		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132	130, 131	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
133	120, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
135		pcmul 16820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
136	67, 129, 134, 135	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
137	136	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
138	113, 124, 137	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
140		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
141		prmfac1 16688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
142	141	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
143	12, 142	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
145	140, 144	mtod 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
146	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
147	129	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
148		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
150		dvdsmultr1 16263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
151	146, 147, 149, 150	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
152		facnn2 14242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
154	153	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
155	151, 154	sylibrd 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
157	145, 156	mtod 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
158		pceq0 16840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
159	88, 119, 158	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
161	157, 160	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0)
162		pceq0 16840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
163	88, 120, 162	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
165	145, 164	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0)
166	161, 165	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = (0 + 0))
167		00id 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 0) = 0
168	166, 167	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = 0)
169	168	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0))
170		pccl 16818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ₀)
171	88, 89, 170	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ₀)
172	171	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
173	172	subid1d 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
175	139, 169, 174	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
176	97, 100, 175	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
177	94, 176	breqtrrd 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
178	177	expr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
179	76, 178	pm2.61d 180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
180	66, 179	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
181	180	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
182		1nn0 12451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
183		0nn0 12450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
184	182, 183	ifcli 4509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) ∈ ℕ₀
185		nn0addcl 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ₀)
186	184, 69, 185	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ₀)
187	186	nn0ge0d 12499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
188		iffalse 4470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 0)
189	188	breq1d 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → (if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 0 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
190	187, 189	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
191	181, 190	pm2.61d 180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
192		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
193	192	prmorcht 27166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
194	37, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
195	194	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
196	195	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
197		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198	197	exp1d 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
199	198	ifeq1d 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
200	199	mpteq2ia 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
201	200	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
202	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ₀)
203	202	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
204	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
205		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
206	201, 203, 204, 67, 205	pcmpt 16861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
207	196, 206	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
208		efchtcl 27099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
209	9, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
211		nnz 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ)
212		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0)
213	211, 212	jca 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
214	210, 213	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
215		nnz 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ)
216		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)
217	215, 216	jca 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
218	68, 217	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
219		pcmul 16820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0) ∧ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
220	67, 214, 218, 219	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
221	192	prmorcht 27166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁))
222	221	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
223	222	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
224		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
225	201, 203, 224, 67, 205	pcmpt 16861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)) = if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0))
226	223, 225	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0))
227	226	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
228	220, 227	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
229	191, 207, 228	3brtr4d 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
230	229	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
231		efchtcl 27099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
232	6, 231	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
233	232	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ)
234	209, 52	nnmulcld 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ)
235	234	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ)
236		pc2dvds 16848	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
237	233, 235, 236	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
238	230, 237	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
239		dvdsle 16277	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
240	233, 234, 239	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
241	238, 240	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
242	11	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℂ)
243	54	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
244		efadd 16057	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
245	242, 243, 244	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
246	53	reeflogd 26613	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
247	246	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
248	245, 247	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
249	241, 248	breqtrrd 5107	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
250		efle 16083	. . . 4 ⊢ (((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ) → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
251	8, 55, 250	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
252	249, 251	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
253		fzfid 13933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((2 · 𝑁) − 1)) ∈ Fin)
254		elfzelz 13476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
255		bccl 14282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ₀)
256	39, 254, 255	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ₀)
257	256	nn0red 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℝ)
258	256	nn0ge0d 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → 0 ≤ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
259		nn0uz 12824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
260	32, 259	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
261		fzss1 13515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
263		eluz 12800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
264	148, 81, 263	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
265	48, 264	mpbird 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
266		fzss2 13516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
268	262, 267	sstrd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
269	253, 257, 258, 268	fsumless 15757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
270	32	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
271		bccmpl 14269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
272	39, 148, 271	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
273	107	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
274	272, 273	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
275	52	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ)
276	274, 275	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
277		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
278	277	fsum1 15707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
279	270, 276, 278	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
280	279, 274	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
281	280	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
282	21, 104	npcand 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
283		uzid 12801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
284	270, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
285		peano2uz 12849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
286	284, 285	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
287	282, 286	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
288	268	sselda 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
289	256	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
290	288, 289	syldan 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
291		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
292	287, 290, 291	fsumm1 15711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
293	275	2timesd 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
294	281, 292, 293	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
295		binom11 15795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
296	39, 295	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
297	269, 294, 296	3brtr4d 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) − 1)))
298		mulcom 11122	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
299	16, 275, 298	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
300	30	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)))
301		expp1 14028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀) → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
302	16, 34, 301	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
303	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
304	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
305	303, 32, 304	expmuld 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 − 1)))
306		sq2 14157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
307	306	oveq1i 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑2)↑(𝑁 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))
308	305, 307	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
309	308	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
310	300, 302, 309	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
311	297, 299, 310	3brtr3d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
312	52	nnred 12187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313		reexpcl 14038	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
314	56, 32, 313	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
315		2re 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
316		2pos 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
317	315, 316	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318	317	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319		lemul1 12005	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
320	312, 314, 318, 319	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
321	311, 320	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)))
322	60	recni 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘4) ∈ ℂ
323		mulcom 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘4) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
324	322, 103, 323	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
325	324	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
326		reexplog 26584	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
327	58, 270, 326	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
328	325, 327	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
329	321, 246, 328	3brtr4d 5111	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))))
330		efle 16083	. . . . 5 ⊢ (((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
331	54, 63, 330	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
332	329, 331	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)))
333	54, 63, 11, 332	leadd2dd 11763	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
334	8, 55, 64, 252, 333	letrd 11301	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 ∀wral 3054 ⊆ wss 3890 ifcif 4461 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5160 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 ℝcr 11035 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 < clt 11177 ≤ cle 11178 − cmin 11375 / cdiv 11805 ℕcn 12172 2c2 12234 4c4 12236 ℕ₀cn0 12435 ℤcz 12522 ℤ_≥cuz 12786 ℝ⁺crp 12940 ...cfz 13459 seqcseq 13961 ↑cexp 14021 !cfa 14233 Ccbc 14262 Σcsu 15646 expce 16024 ∥ cdvds 16219 ℙcprime 16638 pCnt cpc 16805 logclog 26543 θccht 27079

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114 ax-addf 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-tp 4567 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-iin 4931 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-of 7627 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-supp 8108 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-2o 8403 df-er 8640 df-map 8772 df-pm 8773 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9272 df-fi 9321 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-5 12245 df-6 12246 df-7 12247 df-8 12248 df-9 12249 df-n0 12436 df-z 12523 df-dec 12643 df-uz 12787 df-q 12897 df-rp 12941 df-xneg 13061 df-xadd 13062 df-xmul 13063 df-ioo 13300 df-ioc 13301 df-ico 13302 df-icc 13303 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-mod 13827 df-seq 13962 df-exp 14022 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15027 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-limsup 15431 df-clim 15448 df-rlim 15449 df-sum 15647 df-ef 16030 df-sin 16032 df-cos 16033 df-pi 16035 df-dvds 16220 df-gcd 16462 df-prm 16639 df-pc 16806 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17178 df-ress 17199 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17383 df-topn 17384 df-0g 17402 df-gsum 17403 df-topgen 17404 df-pt 17405 df-prds 17408 df-xrs 17464 df-qtop 17469 df-imas 17470 df-xps 17472 df-mre 17546 df-mrc 17547 df-acs 17549 df-mgm 18606 df-sgrp 18685 df-mnd 18701 df-submnd 18750 df-mulg 19042 df-cntz 19290 df-cmn 19755 df-psmet 21346 df-xmet 21347 df-met 21348 df-bl 21349 df-mopn 21350 df-fbas 21351 df-fg 21352 df-cnfld 21355 df-top 22884 df-topon 22901 df-topsp 22923 df-bases 22936 df-cld 23009 df-ntr 23010 df-cls 23011 df-nei 23088 df-lp 23126 df-perf 23127 df-cn 23217 df-cnp 23218 df-haus 23305 df-tx 23552 df-hmeo 23745 df-fil 23836 df-fm 23928 df-flim 23929 df-flf 23930 df-xms 24310 df-ms 24311 df-tms 24312 df-cncf 24870 df-limc 25858 df-dv 25859 df-log 26545 df-cht 27085

This theorem is referenced by: chtub 27200

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