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Theorem chtublem 25492

Description: Lemma for chtub 25493. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
chtublem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem chtublem Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11516	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 11466	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 677	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	nnred 11458	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		peano2rem 10756	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
7		chtcl 25391	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
9		nnre 11449	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		chtcl 25391	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
12		nnnn0 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
13		2m1e1 11576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
14	13	oveq2i 6989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 1)
15	3	nncnd 11459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
16		2cn 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		ax-1cn 10395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		subsub 10719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
19	16, 17, 18	mp3an23 1432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
21		nncn 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		subdi 10876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
23	16, 17, 22	mp3an13 1431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − (2 · 1)))
25		2t1e2 11613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq2i 6989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) − (2 · 1)) = ((2 · 𝑁) − 2)
27	24, 26	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
28	27	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) = (((2 · 𝑁) − 2) + 1))
29	20, 28	eqtr4d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − (2 − 1)) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
30	14, 29	syl5eqr 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((2 · (𝑁 − 1)) + 1))
31		2nn0 11729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
32		nnm1nn0 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
33		nn0mulcl 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
34	31, 32, 33	sylancr 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
35		nn0p1nn 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ)
37	30, 36	eqeltrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
38		nnnn0 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
40		1re 10441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42		nnge1 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
43	41, 9, 9, 42	leadd2dd 11058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
44	21	2timesd 11693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
45	43, 44	breqtrrd 4958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
46		leaddsub 10919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
47	9, 41, 4, 46	syl3anc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
48	45, 47	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
49		elfz2nn0 12817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
50	12, 39, 48, 49	syl3anbrc 1323	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
51		bccl2 13501	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 12249	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ⁺)
54	53	relogcld 24910	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ)
55	11, 54	readdcld 10471	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ)
56		4re 11528	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		4pos 11557	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
58	56, 57	elrpii 12210	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
59		relogcl 24863	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℝ⁺ → (log‘4) ∈ ℝ)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘4) ∈ ℝ
61	32	nn0red 11771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62		remulcl 10422	. . . 4 ⊢ (((log‘4) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
64	11, 63	readdcld 10471	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
65		iftrue 4357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
66	65	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 1)
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
68	52	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ)
69	67, 68	pccld 16046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
70		nn0addge1 11758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
71	40, 69, 70	sylancr 578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
72		iftrue 4357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) = 1)
73	72	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
74	73	breq2d 4942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → (1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
75	71, 74	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
76	75	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
77		prmnn 15877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79		simprl 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1))
80		prmz 15878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
81	37	nnzd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
82		eluz 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
83	80, 81, 82	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
84	83	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
85	79, 84	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝))
86		dvdsfac 15539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
87	78, 85, 86	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1)))
88		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
89	39	faccld 13462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
90		pcelnn 16065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
91	88, 89, 90	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
92	91	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
93	87, 92	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
94	93	nnge1d 11491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
95		iffalse 4360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) = 0)
96	95	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
97	96	ad2antll 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
98	69	nn0cnd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
99	98	addid2d 10643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
100	99	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (0 + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
101		bcval2 13483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
102	50, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
103	32	nn0cnd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
104	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
105	44	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = ((𝑁 + 𝑁) − 1))
106	21, 21, 104, 105	assraddsubd 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) = (𝑁 + (𝑁 − 1)))
107	21, 103, 106	mvrladdd 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁) = (𝑁 − 1))
108	107	fveq2d 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (!‘(𝑁 − 1)))
109	108	oveq1d 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))
110	109	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
111	102, 110	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
112	111	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))))
113	112	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
114		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
115		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0)
116	114, 115	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
117	89, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
118	117	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0))
119	32	faccld 13462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
120	12	faccld 13462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
121	119, 120	nnmulcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
122	121	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
123		pcdiv 16048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
124	67, 118, 122, 123	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘((2 · 𝑁) − 1)) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))))
125		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
126		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
127	125, 126	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
128	119, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
129	128	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
130		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
131		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132	130, 131	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
133	120, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
134	133	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0))
135		pcmul 16047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
136	67, 129, 134, 135	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁))) = ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))))
137	136	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − (𝑝 pCnt ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
138	113, 124, 137	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
139	138	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))))
140		simprr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
141		prmfac1 15922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
142	141	3expia 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
143	12, 142	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
144	143	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
145	140, 144	mtod 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
146	80	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
147	129	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
148		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
149	148	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
150		dvdsmultr1 15510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
151	146, 147, 149, 150	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
152		facnn2 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
153	152	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
154	153	breq2d 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)))
155	151, 154	sylibrd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
156	155	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
157	145, 156	mtod 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
158		pceq0 16066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
159	88, 119, 158	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
160	159	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
161	157, 160	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) = 0)
162		pceq0 16066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
163	88, 120, 162	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
164	163	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)))
165	145, 164	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (!‘𝑁)) = 0)
166	161, 165	oveq12d 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = (0 + 0))
167		00id 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 0) = 0
168	166, 167	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁))) = 0)
169	168	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − ((𝑝 pCnt (!‘(𝑁 − 1))) + (𝑝 pCnt (!‘𝑁)))) = ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0))
170		pccl 16045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (!‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ₀)
171	88, 89, 170	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ₀)
172	171	nn0cnd 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
173	172	subid1d 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
174	173	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))) − 0) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
175	139, 169, 174	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
176	97, 100, 175	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (𝑝 pCnt (!‘((2 · 𝑁) − 1))))
177	94, 176	breqtrrd 4958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
178	177	expr 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
179	76, 178	pm2.61d 172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → 1 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
180	66, 179	eqbrtrd 4952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
181	180	ex 405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
182		1nn0 11728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
183		0nn0 11727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
184	182, 183	ifcli 4397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) ∈ ℕ₀
185		nn0addcl 11747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ₀) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ₀)
186	184, 69, 185	sylancr 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℕ₀)
187	186	nn0ge0d 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
188		iffalse 4360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) = 0)
189	188	breq1d 4940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → (if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ 0 ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
190	187, 189	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
191	181, 190	pm2.61d 172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0) ≤ (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
192		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
193	192	prmorcht 25460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
194	37, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1)))
195	194	oveq2d 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
196	195	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))))
197		nncn 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198	197	exp1d 13323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
199	198	ifeq1d 4369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
200	199	mpteq2ia 5019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
201	200	eqcomi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
202	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ₀)
203	202	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
204	37	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ)
205		eqidd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
206	201, 203, 204, 67, 205	pcmpt 16087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘((2 · 𝑁) − 1))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
207	196, 206	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) = if(𝑝 ≤ ((2 · 𝑁) − 1), 1, 0))
208		efchtcl 25393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
209	9, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
210	209	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ)
211		nnz 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ)
212		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0)
213	211, 212	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
214	210, 213	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0))
215		nnz 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ)
216		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)
217	215, 216	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
218	68, 217	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0))
219		pcmul 16047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑁)) ≠ 0) ∧ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
220	67, 214, 218, 219	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
221	192	prmorcht 25460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁))
222	221	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
223	222	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)))
224		simpl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
225	201, 203, 224, 67, 205	pcmpt 16087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑁)) = if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0))
226	223, 225	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) = if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0))
227	226	oveq1d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (exp‘(θ‘𝑁))) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
228	220, 227	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (if(𝑝 ≤ 𝑁, 1, 0) + (𝑝 pCnt (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
229	191, 207, 228	3brtr4d 4962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
230	229	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
231		efchtcl 25393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℝ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
232	6, 231	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℕ)
233	232	nnzd 11902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ)
234	209, 52	nnmulcld 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ)
235	234	nnzd 11902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ)
236		pc2dvds 16074	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
237	233, 235, 236	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1)))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
238	230, 237	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
239		dvdsle 15523	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
240	233, 234, 239	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ∥ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
241	238, 240	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
242	11	recnd 10470	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘𝑁) ∈ ℂ)
243	54	recnd 10470	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ)
244		efadd 15310	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
245	242, 243, 244	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
246	53	reeflogd 24911	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
247	246	oveq2d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((exp‘(θ‘𝑁)) · (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
248	245, 247	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))) = ((exp‘(θ‘𝑁)) · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
249	241, 248	breqtrrd 4958	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))))
250		efle 15334	. . . 4 ⊢ (((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ∈ ℝ) → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
251	8, 55, 250	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ↔ (exp‘(θ‘((2 · 𝑁) − 1))) ≤ (exp‘((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))))
252	249, 251	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))))
253		fzfid 13159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((2 · 𝑁) − 1)) ∈ Fin)
254		elfzelz 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
255		bccl 13500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ₀)
256	39, 254, 255	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℕ₀)
257	256	nn0red 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℝ)
258	256	nn0ge0d 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → 0 ≤ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
259		nn0uz 12097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
260	32, 259	syl6eleq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
261		fzss1 12765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
263		eluz 12075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
264	148, 81, 263	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 1)))
265	48, 264	mpbird 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
266		fzss2 12766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
268	262, 267	sstrd 3870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)...𝑁) ⊆ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
269	253, 257, 258, 268	fsumless 15014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
270	32	nn0zd 11901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
271		bccmpl 13487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
272	39, 148, 271	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)))
273	107	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(((2 · 𝑁) − 1) − 𝑁)) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
274	272, 273	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
275	52	nncnd 11459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ)
276	274, 275	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
277		oveq2 6986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 − 1) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
278	277	fsum1 14965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
279	270, 276, 278	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C(𝑁 − 1)))
280	279, 274	eqtr4d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
281	280	oveq1d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
282	21, 104	npcand 10804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
283		uzid 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
284	270, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
285		peano2uz 12118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
286	284, 285	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
287	282, 286	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
288	268	sselda 3860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1)))
289	256	nn0cnd 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
290	288, 289	syldan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
291		oveq2 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))
292	287, 290, 291	fsumm1 14969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...(𝑁 − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
293	275	2timesd 11693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)))
294	281, 292, 293	3eqtr4rd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑁 − 1)...𝑁)(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
295		binom11 15050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
296	39, 295	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...((2 · 𝑁) − 1))(((2 · 𝑁) − 1)C𝑘))
297	269, 294, 296	3brtr4d 4962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) − 1)))
298		mulcom 10423	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
299	16, 275, 298	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2))
300	30	oveq2d 6994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)))
301		expp1 13254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀) → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
302	16, 34, 301	sylancr 578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · (𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2))
303	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
304	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
305	303, 32, 304	expmuld 13331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = ((2↑2)↑(𝑁 − 1)))
306		sq2 13378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
307	306	oveq1i 6988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑2)↑(𝑁 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1))
308	305, 307	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2 · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
309	308	oveq1d 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2 · (𝑁 − 1))) · 2) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
310	300, 302, 309	3eqtrd 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑁) − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
311	297, 299, 310	3brtr3d 4961	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2))
312	52	nnred 11458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ)
313		reexpcl 13264	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
314	56, 32, 313	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
315		2re 11517	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
316		2pos 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
317	315, 316	pm3.2i 463	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
318	317	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
319		lemul1 11295	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ∈ ℝ ∧ (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
320	312, 314, 318, 319	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)) ↔ ((((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) · 2) ≤ ((4↑(𝑁 − 1)) · 2)))
321	311, 320	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) − 1)C𝑁) ≤ (4↑(𝑁 − 1)))
322	60	recni 10456	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘4) ∈ ℂ
323		mulcom 10423	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘4) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
324	322, 103, 323	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘4) · (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) · (log‘4)))
325	324	fveq2d 6505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
326		reexplog 24882	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
327	58, 270, 326	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4↑(𝑁 − 1)) = (exp‘((𝑁 − 1) · (log‘4))))
328	325, 327	eqtr4d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))) = (4↑(𝑁 − 1)))
329	321, 246, 328	3brtr4d 4962	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1))))
330		efle 15334	. . . . 5 ⊢ (((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
331	54, 63, 330	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)) ↔ (exp‘(log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ (exp‘((log‘4) · (𝑁 − 1)))))
332	329, 331	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁)) ≤ ((log‘4) · (𝑁 − 1)))
333	54, 63, 11, 332	leadd2dd 11058	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((θ‘𝑁) + (log‘(((2 · 𝑁) − 1)C𝑁))) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))
334	8, 55, 64, 252, 333	letrd 10599	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (θ‘((2 · 𝑁) − 1)) ≤ ((θ‘𝑁) + ((log‘4) · (𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ≠ wne 2967 ∀wral 3088 ⊆ wss 3831 ifcif 4351 class class class wbr 4930 ↦ cmpt 5009 ‘cfv 6190 (class class class)co 6978 ℂcc 10335 ℝcr 10336 0cc0 10337 1c1 10338 + caddc 10340 · cmul 10342 < clt 10476 ≤ cle 10477 − cmin 10672 / cdiv 11100 ℕcn 11441 2c2 11498 4c4 11500 ℕ₀cn0 11710 ℤcz 11796 ℤ_≥cuz 12061 ℝ⁺crp 12207 ...cfz 12711 seqcseq 13187 ↑cexp 13247 !cfa 13451 Ccbc 13480 Σcsu 14906 expce 15278 ∥ cdvds 15470 ℙcprime 15874 pCnt cpc 16032 logclog 24842 θccht 25373

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2750 ax-rep 5050 ax-sep 5061 ax-nul 5068 ax-pow 5120 ax-pr 5187 ax-un 7281 ax-inf2 8900 ax-cnex 10393 ax-resscn 10394 ax-1cn 10395 ax-icn 10396 ax-addcl 10397 ax-addrcl 10398 ax-mulcl 10399 ax-mulrcl 10400 ax-mulcom 10401 ax-addass 10402 ax-mulass 10403 ax-distr 10404 ax-i2m1 10405 ax-1ne0 10406 ax-1rid 10407 ax-rnegex 10408 ax-rrecex 10409 ax-cnre 10410 ax-pre-lttri 10411 ax-pre-lttrn 10412 ax-pre-ltadd 10413 ax-pre-mulgt0 10414 ax-pre-sup 10415 ax-addf 10416 ax-mulf 10417

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-fal 1520 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2583 df-clab 2759 df-cleq 2771 df-clel 2846 df-nfc 2918 df-ne 2968 df-nel 3074 df-ral 3093 df-rex 3094 df-reu 3095 df-rmo 3096 df-rab 3097 df-v 3417 df-sbc 3684 df-csb 3789 df-dif 3834 df-un 3836 df-in 3838 df-ss 3845 df-pss 3847 df-nul 4181 df-if 4352 df-pw 4425 df-sn 4443 df-pr 4445 df-tp 4447 df-op 4449 df-uni 4714 df-int 4751 df-iun 4795 df-iin 4796 df-br 4931 df-opab 4993 df-mpt 5010 df-tr 5032 df-id 5313 df-eprel 5318 df-po 5327 df-so 5328 df-fr 5367 df-se 5368 df-we 5369 df-xp 5414 df-rel 5415 df-cnv 5416 df-co 5417 df-dm 5418 df-rn 5419 df-res 5420 df-ima 5421 df-pred 5988 df-ord 6034 df-on 6035 df-lim 6036 df-suc 6037 df-iota 6154 df-fun 6192 df-fn 6193 df-f 6194 df-f1 6195 df-fo 6196 df-f1o 6197 df-fv 6198 df-isom 6199 df-riota 6939 df-ov 6981 df-oprab 6982 df-mpo 6983 df-of 7229 df-om 7399 df-1st 7503 df-2nd 7504 df-supp 7636 df-wrecs 7752 df-recs 7814 df-rdg 7852 df-1o 7907 df-2o 7908 df-oadd 7911 df-er 8091 df-map 8210 df-pm 8211 df-ixp 8262 df-en 8309 df-dom 8310 df-sdom 8311 df-fin 8312 df-fsupp 8631 df-fi 8672 df-sup 8703 df-inf 8704 df-oi 8771 df-card 9164 df-cda 9390 df-pnf 10478 df-mnf 10479 df-xr 10480 df-ltxr 10481 df-le 10482 df-sub 10674 df-neg 10675 df-div 11101 df-nn 11442 df-2 11506 df-3 11507 df-4 11508 df-5 11509 df-6 11510 df-7 11511 df-8 11512 df-9 11513 df-n0 11711 df-z 11797 df-dec 11915 df-uz 12062 df-q 12166 df-rp 12208 df-xneg 12327 df-xadd 12328 df-xmul 12329 df-ioo 12561 df-ioc 12562 df-ico 12563 df-icc 12564 df-fz 12712 df-fzo 12853 df-fl 12980 df-mod 13056 df-seq 13188 df-exp 13248 df-fac 13452 df-bc 13481 df-hash 13509 df-shft 14290 df-cj 14322 df-re 14323 df-im 14324 df-sqrt 14458 df-abs 14459 df-limsup 14692 df-clim 14709 df-rlim 14710 df-sum 14907 df-ef 15284 df-sin 15286 df-cos 15287 df-pi 15289 df-dvds 15471 df-gcd 15707 df-prm 15875 df-pc 16033 df-struct 16344 df-ndx 16345 df-slot 16346 df-base 16348 df-sets 16349 df-ress 16350 df-plusg 16437 df-mulr 16438 df-starv 16439 df-sca 16440 df-vsca 16441 df-ip 16442 df-tset 16443 df-ple 16444 df-ds 16446 df-unif 16447 df-hom 16448 df-cco 16449 df-rest 16555 df-topn 16556 df-0g 16574 df-gsum 16575 df-topgen 16576 df-pt 16577 df-prds 16580 df-xrs 16634 df-qtop 16639 df-imas 16640 df-xps 16642 df-mre 16718 df-mrc 16719 df-acs 16721 df-mgm 17713 df-sgrp 17755 df-mnd 17766 df-submnd 17807 df-mulg 18015 df-cntz 18221 df-cmn 18671 df-psmet 20242 df-xmet 20243 df-met 20244 df-bl 20245 df-mopn 20246 df-fbas 20247 df-fg 20248 df-cnfld 20251 df-top 21209 df-topon 21226 df-topsp 21248 df-bases 21261 df-cld 21334 df-ntr 21335 df-cls 21336 df-nei 21413 df-lp 21451 df-perf 21452 df-cn 21542 df-cnp 21543 df-haus 21630 df-tx 21877 df-hmeo 22070 df-fil 22161 df-fm 22253 df-flim 22254 df-flf 22255 df-xms 22636 df-ms 22637 df-tms 22638 df-cncf 23192 df-limc 24170 df-dv 24171 df-log 24844 df-cht 25379

This theorem is referenced by: chtub 25493

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