MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem3 26401
Description: Lemma for aaliou3 26408. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem3 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (ℤ𝐴) = (ℤ𝐴)
2 nnz 12632 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 uzid 12891 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
5 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
65aaliou3lem1 26399 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℝ)
7 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
85, 7aaliou3lem2 26400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)))
9 0xr 11306 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
10 elioc2 13447 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
119, 6, 10sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
128, 11mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)))
1312simp1d 1141 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
14 halfcn 12479 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16 halfre 12478 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 12480 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 13035 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 rprege0 13048 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20 absid 15332 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22 halflt1 12482 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2321, 22eqbrtri 5169 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25 2rp 13037 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
26 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2726faccld 14320 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2827nnzd 12638 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
2928znegcld 12722 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30 rpexpcl 14118 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3125, 29, 30sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3231rpcnd 13077 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
332, 15, 24, 32, 5geolim3 26396 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34 seqex 14041 . . . . 5 seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35 ovex 7464 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
3634, 35breldm 5922 . . . 4 (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3733, 36syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3812simp2d 1142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝑏))
3913, 38elrpd 13072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
4039rpge0d 13079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑏))
4112simp3d 1143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))
421, 4, 6, 13, 37, 40, 41cvgcmp 15849 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43 eqidd 2736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
441, 1, 4, 43, 39, 42isumrpcl 15876 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
45 eqidd 2736 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑏))
461, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37isumle 15877 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏))
476recnd 11287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℂ)
481, 2, 45, 47, 33isumclim 15790 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49 1mhlfehlf 12483 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5049oveq2i 7442 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51 2cn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
52 mulcl 11237 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5332, 51, 52sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5453div1d 12033 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55 1rp 13036 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
56 rpcnne0 13051 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58 2cnne0 12474 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59 divdiv2 11977 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6057, 58, 59mp3an23 1452 . . . . . . 7 ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6132, 60syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62 mulcom 11239 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6351, 32, 62sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6454, 61, 633eqtr4d 2785 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6550, 64eqtrid 2787 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6648, 65eqtrd 2775 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6746, 66breqtrd 5174 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6842, 44, 673jca 1127 1 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  (,]cioc 13385  seqcseq 14039  cexp 14099  !cfa 14309  abscabs 15270  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  26403  aaliou3lem7  26406
  Copyright terms: Public domain W3C validator