Theorem aaliou3lem3 26328

Description: Lemma for aaliou3 26335. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
aaliou3lem.b	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem3	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘𝐴)
2		nnz 12536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		uzid 12794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
6	5	aaliou3lem1 26326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ)
7		aaliou3lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	5, 7	aaliou3lem2 26327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)))
9		0xr 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		elioc2 13353	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
11	9, 6, 10	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
12	8, 11	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏)))
13	12	simp1d 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14		halfcn 12382	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16		halfre 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 12936	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		rprege0 12949	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20		absid 15249	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
21	18, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22		halflt1 12385	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
23	21, 22	eqbrtri 5093	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25		2rp 12938	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		nnnn0 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
29	28	znegcld 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30		rpexpcl 14033	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
31	25, 29, 30	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 12979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	2, 15, 24, 32, 5	geolim3 26323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34		seqex 13956	. . . . 5 ⊢ seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
36	34, 35	breldm 5850	. . . 4 ⊢ (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
38	12	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝑏))
39	13, 38	elrpd 12974	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
40	39	rpge0d 12981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑏))
41	12	simp3d 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))
42	1, 4, 6, 13, 37, 40, 41	cvgcmp 15770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏))
44	1, 1, 4, 43, 39, 42	isumrpcl 15799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
45		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑏))
46	1, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37	isumle 15800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏))
47	6	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℂ)
48	1, 2, 45, 47, 33	isumclim 15710	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49		1mhlfehlf 12387	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
50	49	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51		2cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
52		mulcl 11113	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
53	32, 51, 52	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
54	53	div1d 11914	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55		1rp 12937	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
56		rpcnne0 12952	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58		2cnne0 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divdiv2 11858	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
60	57, 58, 59	mp3an23 1461	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
61	32, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62		mulcom 11115	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
63	51, 32, 62	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
64	54, 61, 63	3eqtr4d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
65	50, 64	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
66	48, 65	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
67	46, 66	breqtrd 5098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
68	42, 44, 67	3jca 1134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,]cioc 13290  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  26330  aaliou3lem7  26333  nthrucw  47331