Theorem aaliou3lem3 26310

Description: Lemma for aaliou3 26317. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
aaliou3lem.b	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem3	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘𝐴)
2		nnz 12545	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		uzid 12803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
6	5	aaliou3lem1 26308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ)
7		aaliou3lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	5, 7	aaliou3lem2 26309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)))
9		0xr 11192	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		elioc2 13362	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
11	9, 6, 10	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
12	8, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏)))
13	12	simp1d 1143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14		halfcn 12391	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16		halfre 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 12945	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		rprege0 12958	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20		absid 15258	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
21	18, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22		halflt1 12394	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
23	21, 22	eqbrtri 5106	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25		2rp 12947	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		nnnn0 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
29	28	znegcld 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30		rpexpcl 14042	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
31	25, 29, 30	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 12988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	2, 15, 24, 32, 5	geolim3 26305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34		seqex 13965	. . . . 5 ⊢ seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
36	34, 35	breldm 5863	. . . 4 ⊢ (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
38	12	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝑏))
39	13, 38	elrpd 12983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
40	39	rpge0d 12990	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑏))
41	12	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))
42	1, 4, 6, 13, 37, 40, 41	cvgcmp 15779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏))
44	1, 1, 4, 43, 39, 42	isumrpcl 15808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
45		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑏))
46	1, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37	isumle 15809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏))
47	6	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℂ)
48	1, 2, 45, 47, 33	isumclim 15719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49		1mhlfehlf 12396	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
50	49	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51		2cn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
52		mulcl 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
53	32, 51, 52	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
54	53	div1d 11923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55		1rp 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
56		rpcnne0 12961	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58		2cnne0 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divdiv2 11867	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
60	57, 58, 59	mp3an23 1456	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
61	32, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62		mulcom 11124	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
63	51, 32, 62	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
64	54, 61, 63	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
65	50, 64	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
66	48, 65	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
67	46, 66	breqtrd 5111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
68	42, 44, 67	3jca 1129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  (,]cioc 13299  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  !cfa 14235  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  26312  aaliou3lem7  26315  nthrucw  47316