Theorem aaliou3lem3 24499

Description: Lemma for aaliou3 24506. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
aaliou3lem.b	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem3	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2826	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘𝐴)
2		nnz 11728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		uzid 11984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
6	5	aaliou3lem1 24497	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ)
7		aaliou3lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	5, 7	aaliou3lem2 24498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)))
9		0xr 10404	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		elioc2 12525	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
11	9, 6, 10	sylancr 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
12	8, 11	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏)))
13	12	simp1d 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14		halfcn 11574	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16		halfre 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 12116	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		rprege0 12130	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20		absid 14414	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
21	18, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22		halflt1 11577	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
23	21, 22	eqbrtri 4895	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25		2rp 12118	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		nnnn0 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27		faccl 13364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
30	29	znegcld 11813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
31		rpexpcl 13174	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
32	25, 30, 31	sylancr 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 12159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	2, 15, 24, 33, 5	geolim3 24494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
35		seqex 13098	. . . . 5 ⊢ seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
36		ovex 6938	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
37	35, 36	breldm 5562	. . . 4 ⊢ (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
38	34, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
39	12	simp2d 1179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝑏))
40	13, 39	elrpd 12154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
41	40	rpge0d 12161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑏))
42	12	simp3d 1180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))
43	1, 4, 6, 13, 38, 41, 42	cvgcmp 14923	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
44		eqidd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏))
45	1, 1, 4, 44, 40, 43	isumrpcl 14950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
46		eqidd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑏))
47	1, 2, 44, 13, 46, 6, 42, 43, 38	isumle 14951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏))
48	6	recnd 10386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℂ)
49	1, 2, 46, 48, 34	isumclim 14864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
50		1mhlfehlf 11578	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
51	50	oveq2i 6917	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
52		2cn 11427	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
53		mulcl 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
54	33, 52, 53	sylancl 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
55	54	div1d 11120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
56		1rp 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
57		rpcnne0 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
59		2cnne0 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
60		divdiv2 11064	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
61	58, 59, 60	mp3an23 1583	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62	33, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
63		mulcom 10339	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
64	52, 33, 63	sylancr 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
65	55, 62, 64	3eqtr4d 2872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
66	51, 65	syl5eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
67	49, 66	eqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
68	47, 67	breqtrd 4900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
69	43, 45, 68	3jca 1164	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  dom cdm 5343  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  ℝ^*cxr 10391   < clt 10392   ≤ cle 10393   − cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010  ℕcn 11351  2c2 11407  ℕ₀cn0 11619  ℤcz 11705  ℤ_≥cuz 11969  ℝ⁺crp 12113  (,]cioc 12465  seqcseq 13096  ↑cexp 13155  !cfa 13354  abscabs 14352   ⇝ cli 14593  Σcsu 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795

This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  24501  aaliou3lem7  24504