Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem3 24925
 Description: Lemma for aaliou3 24932. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem3 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . 3 (ℤ𝐴) = (ℤ𝐴)
2 nnz 11996 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 uzid 12250 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
5 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
65aaliou3lem1 24923 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℝ)
7 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
85, 7aaliou3lem2 24924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)))
9 0xr 10680 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
10 elioc2 12791 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
119, 6, 10sylancr 589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
128, 11mpbid 234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)))
1312simp1d 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
14 halfcn 11844 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16 halfre 11843 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 11845 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 12384 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 rprege0 12396 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20 absid 14648 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22 halflt1 11847 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2321, 22eqbrtri 5078 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25 2rp 12386 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
26 nnnn0 11896 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2726faccld 13636 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2827nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
2928znegcld 12081 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30 rpexpcl 13440 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3125, 29, 30sylancr 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3231rpcnd 12425 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
332, 15, 24, 32, 5geolim3 24920 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34 seqex 13363 . . . . 5 seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35 ovex 7181 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
3634, 35breldm 5770 . . . 4 (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3733, 36syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3812simp2d 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝑏))
3913, 38elrpd 12420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
4039rpge0d 12427 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑏))
4112simp3d 1139 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))
421, 4, 6, 13, 37, 40, 41cvgcmp 15163 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43 eqidd 2820 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
441, 1, 4, 43, 39, 42isumrpcl 15190 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
45 eqidd 2820 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑏))
461, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37isumle 15191 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏))
476recnd 10661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℂ)
481, 2, 45, 47, 33isumclim 15104 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49 1mhlfehlf 11848 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5049oveq2i 7159 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51 2cn 11704 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
52 mulcl 10613 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5332, 51, 52sylancl 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5453div1d 11400 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55 1rp 12385 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
56 rpcnne0 12399 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58 2cnne0 11839 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59 divdiv2 11344 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6057, 58, 59mp3an23 1447 . . . . . . 7 ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6132, 60syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62 mulcom 10615 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6351, 32, 62sylancr 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6454, 61, 633eqtr4d 2864 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6550, 64syl5eq 2866 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6648, 65eqtrd 2854 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6746, 66breqtrd 5083 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6842, 44, 673jca 1123 1 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  ℕcn 11630  2c2 11684  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  (,]cioc 12731  seqcseq 13361  ↑cexp 13421  !cfa 13625  abscabs 14585   ⇝ cli 14833  Σcsu 15034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035 This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  24927  aaliou3lem7  24930
 Copyright terms: Public domain W3C validator