Theorem aaliou3lem3 26560

Description: Lemma for aaliou3 26567. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
aaliou3lem.b	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem3	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘𝐴)
2		nnz 12629	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		uzid 12895	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
6	5	aaliou3lem1 26558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ)
7		aaliou3lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	5, 7	aaliou3lem2 26559	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)))
9		0xr 11273	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		elioc2 13454	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
11	9, 6, 10	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
12	8, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏)))
13	12	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14		halfcn 12475	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16		halfre 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 13037	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		rprege0 13050	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20		absid 15373	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
21	18, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22		halflt1 12478	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
23	21, 22	eqbrtri 5134	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25		2rp 13039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		nnnn0 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
29	28	znegcld 12720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30		rpexpcl 14136	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
31	25, 29, 30	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 13080	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	2, 15, 24, 32, 5	geolim3 26555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34		seqex 14059	. . . . 5 ⊢ seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
36	34, 35	breldm 5900	. . . 4 ⊢ (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
38	12	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝑏))
39	13, 38	elrpd 13075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
40	39	rpge0d 13082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑏))
41	12	simp3d 1162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))
42	1, 4, 6, 13, 37, 40, 41	cvgcmp 15893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏))
44	1, 1, 4, 43, 39, 42	isumrpcl 15922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
45		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑏))
46	1, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37	isumle 15923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏))
47	6	recnd 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℂ)
48	1, 2, 45, 47, 33	isumclim 15833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49		1mhlfehlf 12480	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
50	49	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51		2cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
52		mulcl 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
53	32, 51, 52	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
54	53	div1d 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55		1rp 13038	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
56		rpcnne0 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58		2cnne0 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divdiv2 11944	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
60	57, 58, 59	mp3an23 1482	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
61	32, 60	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62		mulcom 11203	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
63	51, 32, 62	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
64	54, 61, 63	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
65	50, 64	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
66	48, 65	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
67	46, 66	breqtrd 5139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
68	42, 44, 67	3jca 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  (,]cioc 13391  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  !cfa 14329  abscabs 15311   ⇝ cli 15561  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764

This theorem is used by:  aaliou3lem4  26562  aaliou3lem7  26565