MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem3 24499
Description: Lemma for aaliou3 24506. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem3 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (ℤ𝐴) = (ℤ𝐴)
2 nnz 11728 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 uzid 11984 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
5 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
65aaliou3lem1 24497 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℝ)
7 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
85, 7aaliou3lem2 24498 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)))
9 0xr 10404 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
10 elioc2 12525 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
119, 6, 10sylancr 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
128, 11mpbid 224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)))
1312simp1d 1178 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
14 halfcn 11574 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16 halfre 11573 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 11575 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 12116 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 rprege0 12130 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20 absid 14414 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22 halflt1 11577 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2321, 22eqbrtri 4895 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25 2rp 12118 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
26 nnnn0 11627 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27 faccl 13364 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2928nnzd 11810 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
3029znegcld 11813 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
31 rpexpcl 13174 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3225, 30, 31sylancr 583 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 12159 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
342, 15, 24, 33, 5geolim3 24494 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
35 seqex 13098 . . . . 5 seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
36 ovex 6938 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
3735, 36breldm 5562 . . . 4 (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3834, 37syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3912simp2d 1179 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝑏))
4013, 39elrpd 12154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
4140rpge0d 12161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑏))
4212simp3d 1180 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))
431, 4, 6, 13, 38, 41, 42cvgcmp 14923 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
44 eqidd 2827 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
451, 1, 4, 44, 40, 43isumrpcl 14950 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
46 eqidd 2827 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑏))
471, 2, 44, 13, 46, 6, 42, 43, 38isumle 14951 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏))
486recnd 10386 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℂ)
491, 2, 46, 48, 34isumclim 14864 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
50 1mhlfehlf 11578 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5150oveq2i 6917 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
52 2cn 11427 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
53 mulcl 10337 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5433, 52, 53sylancl 582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5554div1d 11120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
56 1rp 12117 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
57 rpcnne0 12133 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
59 2cnne0 11569 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
60 divdiv2 11064 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6158, 59, 60mp3an23 1583 . . . . . . 7 ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6233, 61syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
63 mulcom 10339 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6452, 33, 63sylancr 583 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6555, 62, 643eqtr4d 2872 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6651, 65syl5eq 2874 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6749, 66eqtrd 2862 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6847, 67breqtrd 4900 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6943, 45, 683jca 1164 1 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000   class class class wbr 4874  cmpt 4953  dom cdm 5343  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010  cn 11351  2c2 11407  0cn0 11619  cz 11705  cuz 11969  +crp 12113  (,]cioc 12465  seqcseq 13096  cexp 13155  !cfa 13354  abscabs 14352  cli 14593  Σcsu 14794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795
This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  24501  aaliou3lem7  24504
  Copyright terms: Public domain W3C validator