MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem3 24389
Description: Lemma for aaliou3 24396. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem3 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2764 . . 3 (ℤ𝐴) = (ℤ𝐴)
2 nnz 11645 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 uzid 11900 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
5 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
65aaliou3lem1 24387 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℝ)
7 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
85, 7aaliou3lem2 24388 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)))
9 0xr 10339 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
10 elioc2 12437 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
119, 6, 10sylancr 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
128, 11mpbid 223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)))
1312simp1d 1172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
14 halfcn 11492 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16 halfre 11491 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 11493 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 12030 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 rprege0 12044 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20 absid 14322 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22 halflt1 11495 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2321, 22eqbrtri 4829 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25 2rp 12032 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
26 nnnn0 11545 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27 faccl 13273 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2928nnzd 11727 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
3029znegcld 11730 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
31 rpexpcl 13085 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3225, 30, 31sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 12071 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
342, 15, 24, 33, 5geolim3 24384 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
35 seqex 13009 . . . . 5 seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
36 ovex 6873 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
3735, 36breldm 5496 . . . 4 (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3834, 37syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3912simp2d 1173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝑏))
4013, 39elrpd 12066 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
4140rpge0d 12073 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑏))
4212simp3d 1174 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))
431, 4, 6, 13, 38, 41, 42cvgcmp 14833 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
44 eqidd 2765 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
451, 1, 4, 44, 40, 43isumrpcl 14860 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
46 eqidd 2765 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑏))
471, 2, 44, 13, 46, 6, 42, 43, 38isumle 14861 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏))
486recnd 10321 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℂ)
491, 2, 46, 48, 34isumclim 14774 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
50 1mhlfehlf 11496 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5150oveq2i 6852 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
52 2cn 11346 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
53 mulcl 10272 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5433, 52, 53sylancl 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5554div1d 11046 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
56 1rp 12031 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
57 rpcnne0 12047 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
59 2cnne0 11487 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
60 divdiv2 10990 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6158, 59, 60mp3an23 1577 . . . . . . 7 ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6233, 61syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
63 mulcom 10274 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6452, 33, 63sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6555, 62, 643eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6651, 65syl5eq 2810 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6749, 66eqtrd 2798 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6847, 67breqtrd 4834 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6943, 45, 683jca 1158 1 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936   class class class wbr 4808  cmpt 4887  dom cdm 5276  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  *cxr 10326   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  -cneg 10520   / cdiv 10937  cn 11273  2c2 11326  0cn0 11537  cz 11623  cuz 11885  +crp 12027  (,]cioc 12377  seqcseq 13007  cexp 13066  !cfa 13263  abscabs 14260  cli 14501  Σcsu 14702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-hash 13321  df-shft 14093  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-limsup 14488  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703
This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  24391  aaliou3lem7  24394
  Copyright terms: Public domain W3C validator