Theorem aaliou3lem3 25409

Description: Lemma for aaliou3 25416. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
aaliou3lem.b	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem3	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) = (ℤ≥‘𝐴)
2		nnz 12272	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3		uzid 12526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
6	5	aaliou3lem1 25407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ)
7		aaliou3lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	5, 7	aaliou3lem2 25408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)))
9		0xr 10953	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		elioc2 13071	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
11	9, 6, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (0(,](𝐺‘𝑏)) ↔ ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))))
12	8, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏)))
13	12	simp1d 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
14		halfcn 12118	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16		halfre 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17		halfgt0 12119	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
18	16, 17	elrpii 12662	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
19		rprege0 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20		absid 14936	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
21	18, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22		halflt1 12121	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
23	21, 22	eqbrtri 5091	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25		2rp 12664	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		nnnn0 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27	26	faccld 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
29	28	znegcld 12357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
30		rpexpcl 13729	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
31	25, 29, 30	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	2, 15, 24, 32, 5	geolim3 25404	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
34		seqex 13651	. . . . 5 ⊢ seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
35		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
36	34, 35	breldm 5806	. . . 4 ⊢ (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
38	12	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝑏))
39	13, 38	elrpd 12698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
40	39	rpge0d 12705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑏))
41	12	simp3d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐺‘𝑏))
42	1, 4, 6, 13, 37, 40, 41	cvgcmp 15456	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏))
44	1, 1, 4, 43, 39, 42	isumrpcl 15483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
45		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑏))
46	1, 2, 43, 13, 45, 6, 41, 42, 37	isumle 15484	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏))
47	6	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝑏) ∈ ℂ)
48	1, 2, 45, 47, 33	isumclim 15397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
49		1mhlfehlf 12122	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
50	49	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
51		2cn 11978	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
52		mulcl 10886	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
53	32, 51, 52	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
54	53	div1d 11673	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
55		1rp 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
56		rpcnne0 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
58		2cnne0 12113	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divdiv2 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
60	57, 58, 59	mp3an23 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
61	32, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
62		mulcom 10888	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
63	51, 32, 62	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
64	54, 61, 63	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
65	50, 64	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
66	48, 65	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐺‘𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
67	46, 66	breqtrd 5096	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
68	42, 44, 67	3jca 1126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  (,]cioc 13009  seqcseq 13649  ↑cexp 13710  !cfa 13915  abscabs 14873   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  25411  aaliou3lem7  25414