MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem4 27177
Description: Lemma for lgsdir2 27179. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7434 . . 3 (๐ด mod 8) โˆˆ V
21elpr 4643 . 2 ((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((๐ด mod 8) = 1 โˆจ (๐ด mod 8) = 7))
3 zre 12559 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 1red 11212 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6 simplr 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7 8re 12305 . . . . . . . 8 8 โˆˆ โ„
8 8pos 12321 . . . . . . . 8 0 < 8
97, 8elrpii 12974 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„+
109a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
11 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ (๐ด mod 8) = 1)
12 lgsdir2lem1 27174 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 โˆง (-1 mod 8) = 7) โˆง ((3 mod 8) = 3 โˆง (-3 mod 8) = 5))
1312simpli 483 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 โˆง (-1 mod 8) = 7)
1413simpli 483 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
1511, 14eqtr4di 2782 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ (๐ด mod 8) = (1 mod 8))
16 modmul1 13886 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod 8) = (1 mod 8)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = ((1 ยท ๐ต) mod 8))
174, 5, 6, 10, 15, 16syl221anc 1378 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = ((1 ยท ๐ต) mod 8))
18 zcn 12560 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2019mullidd 11229 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2120oveq1d 7416 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ((1 ยท ๐ต) mod 8) = (๐ต mod 8))
2217, 21eqtrd 2764 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = (๐ต mod 8))
2322eleq1d 2810 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 1) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
243ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
25 neg1rr 12324 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ -1 โˆˆ โ„)
27 simplr 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
289a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
29 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ (๐ด mod 8) = 7)
3013simpri 485 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
3129, 30eqtr4di 2782 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ (๐ด mod 8) = (-1 mod 8))
32 modmul1 13886 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod 8) = (-1 mod 8)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = ((-1 ยท ๐ต) mod 8))
3324, 26, 27, 28, 31, 32syl221anc 1378 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = ((-1 ยท ๐ต) mod 8))
3418ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3534mulm1d 11663 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต)
3635oveq1d 7416 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ((-1 ยท ๐ต) mod 8) = (-๐ต mod 8))
3733, 36eqtrd 2764 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod 8) = (-๐ต mod 8))
3837eleq1d 2810 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
39 znegcl 12594 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ -๐ต โˆˆ โ„ค)
40 oveq1 7408 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = (-๐ต mod 8))
4140eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ ((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
42 negeq 11449 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ -๐‘ฅ = --๐ต)
4342oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = (--๐ต mod 8))
4443eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ ((-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (--๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
4541, 44imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = -๐ต โ†’ (((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7}) โ†” ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (--๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7})))
46 zcn 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
47 neg1cn 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โˆˆ โ„‚
48 mulcom 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = (-1 ยท ๐‘ฅ))
4947, 48mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = (-1 ยท ๐‘ฅ))
50 mulm1 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐‘ฅ) = -๐‘ฅ)
5149, 50eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = -๐‘ฅ)
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = -๐‘ฅ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = -๐‘ฅ)
5453oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = (-๐‘ฅ mod 8))
55 zre 12559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
57 1red 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
58 neg1z 12595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 โˆˆ โ„ค
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
609a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = 1)
6261, 14eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = (1 mod 8))
63 modmul1 13886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (-1 โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ฅ mod 8) = (1 mod 8)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = ((1 ยท -1) mod 8))
6456, 57, 59, 60, 62, 63syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = ((1 ยท -1) mod 8))
6554, 64eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = ((1 ยท -1) mod 8))
6647mullidi 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท -1) = -1
6766oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ยท -1) mod 8) = (-1 mod 8)
6867, 30eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ยท -1) mod 8) = 7
6965, 68eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 1) โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = 7)
7069ex 412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ mod 8) = 1 โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = 7))
7152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ฅ ยท -1) = -๐‘ฅ)
7271oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = (-๐‘ฅ mod 8))
7355adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ -1 โˆˆ โ„)
7558a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = 7)
7877, 30eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = (-1 mod 8))
79 modmul1 13886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง -1 โˆˆ โ„) โˆง (-1 โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ฅ mod 8) = (-1 mod 8)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = ((-1 ยท -1) mod 8))
8073, 74, 75, 76, 78, 79syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ ((๐‘ฅ ยท -1) mod 8) = ((-1 ยท -1) mod 8))
8172, 80eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = ((-1 ยท -1) mod 8))
82 neg1mulneg1e1 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยท -1) = 1
8382oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 ยท -1) mod 8) = (1 mod 8)
8483, 14eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ยท -1) mod 8) = 1
8581, 84eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = 1)
8685ex 412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ mod 8) = 7 โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = 1))
8770, 86orim12d 961 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ฅ mod 8) = 1 โˆจ (๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†’ ((-๐‘ฅ mod 8) = 7 โˆจ (-๐‘ฅ mod 8) = 1)))
88 ovex 7434 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ mod 8) โˆˆ V
8988elpr 4643 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((๐‘ฅ mod 8) = 1 โˆจ (๐‘ฅ mod 8) = 7))
90 ovex 7434 . . . . . . . . . . . 12 (-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ V
9190elpr 4643 . . . . . . . . . . 11 ((-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((-๐‘ฅ mod 8) = 1 โˆจ (-๐‘ฅ mod 8) = 7))
92 orcom 867 . . . . . . . . . . 11 (((-๐‘ฅ mod 8) = 1 โˆจ (-๐‘ฅ mod 8) = 7) โ†” ((-๐‘ฅ mod 8) = 7 โˆจ (-๐‘ฅ mod 8) = 1))
9391, 92bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((-๐‘ฅ mod 8) = 7 โˆจ (-๐‘ฅ mod 8) = 1))
9487, 89, 933imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
9545, 94vtoclga 3558 . . . . . . . 8 (-๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (--๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
9639, 95syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (--๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
9718negnegd 11559 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ --๐ต = ๐ต)
9897oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (--๐ต mod 8) = (๐ต mod 8))
9998eleq1d 2810 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((--๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
10096, 99sylibd 238 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
101 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ mod 8) = (๐ต mod 8))
102101eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
103 negeq 11449 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ -๐‘ฅ = -๐ต)
104103oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) = (-๐ต mod 8))
105104eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
106102, 105imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (((๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (-๐‘ฅ mod 8) โˆˆ {1, 7}) โ†” ((๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7})))
107106, 94vtoclga 3558 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ (-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
108100, 107impbid 211 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
109108ad2antlr 724 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ ((-๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
11038, 109bitrd 279 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) = 7) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
11123, 110jaodan 954 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด mod 8) = 1 โˆจ (๐ด mod 8) = 7)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
1122, 111sylan2b 593 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ต mod 8) โˆˆ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cpr 4622  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  1c1 11107   ยท cmul 11111  -cneg 11442  3c3 12265  5c5 12267  7c7 12269  8c8 12270  โ„คcz 12555  โ„+crp 12971   mod cmo 13831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832
This theorem is referenced by:  lgsdir2  27179
  Copyright terms: Public domain W3C validator