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Theorem lgsdir2lem4 27306
Description: Lemma for lgsdir2 27308. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7452 . . 3 (𝐴 mod 8) ∈ V
21elpr 4654 . 2 ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3 zre 12595 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
43ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1red 11247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 8re 12341 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
8 8pos 12357 . . . . . . . 8 0 < 8
97, 8elrpii 13012 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12 lgsdir2lem1 27303 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
1312simpli 482 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
1413simpli 482 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
1511, 14eqtr4di 2783 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16 modmul1 13925 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
174, 5, 6, 10, 15, 16syl221anc 1378 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18 zcn 12596 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mullidd 11264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2120oveq1d 7434 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2217, 21eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2322eleq1d 2810 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
243ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25 neg1rr 12360 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
289a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
3013simpri 484 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
3129, 30eqtr4di 2783 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32 modmul1 13925 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3324, 26, 27, 28, 31, 32syl221anc 1378 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3418ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534mulm1d 11698 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
3635oveq1d 7434 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3733, 36eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3837eleq1d 2810 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39 znegcl 12630 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40 oveq1 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4140eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42 negeq 11484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
4342oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
4443eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
4541, 44imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46 zcn 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47 neg1cn 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
48 mulcom 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
4947, 48mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50 mulm1 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
5149, 50eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5453oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58 neg1z 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
609a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
6261, 14eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63 modmul1 13925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6456, 57, 59, 60, 62, 63syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6554, 64eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6647mullidi 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · -1) = -1
6766oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
6867, 30eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · -1) mod 8) = 7
6965, 68eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
7069ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
7152adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
7271oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
7355adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
7425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
7558a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
7877, 30eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79 modmul1 13925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8073, 74, 75, 76, 78, 79syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8172, 80eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82 neg1mulneg1e1 12458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · -1) = 1
8382oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
8483, 14eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1) mod 8) = 1
8581, 84eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
8685ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
8770, 86orim12d 962 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88 ovex 7452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 mod 8) ∈ V
8988elpr 4654 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90 ovex 7452 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑥 mod 8) ∈ V
9190elpr 4654 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9391, 92bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9487, 89, 933imtr4g 295 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
9545, 94vtoclga 3556 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9639, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9718negnegd 11594 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
9897oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
9998eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
10096, 99sylibd 238 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101 oveq1 7426 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102101eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103 negeq 11484 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104103oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105104eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106102, 105imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107106, 94vtoclga 3556 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108100, 107impbid 211 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109108ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11038, 109bitrd 278 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11123, 110jaodan 955 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
1122, 111sylan2b 592 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4632  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  1c1 11141   · cmul 11145  -cneg 11477  3c3 12301  5c5 12303  7c7 12305  8c8 12306  cz 12591  +crp 13009   mod cmo 13870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871
This theorem is referenced by:  lgsdir2  27308
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