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Theorem lgsdir2lem4 26676
Description: Lemma for lgsdir2 26678. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7390 . . 3 (𝐴 mod 8) ∈ V
21elpr 4609 . 2 ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3 zre 12503 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
43ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1red 11156 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 8re 12249 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
8 8pos 12265 . . . . . . . 8 0 < 8
97, 8elrpii 12918 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12 lgsdir2lem1 26673 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
1312simpli 484 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
1413simpli 484 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
1511, 14eqtr4di 2794 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16 modmul1 13829 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
174, 5, 6, 10, 15, 16syl221anc 1381 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18 zcn 12504 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mulid2d 11173 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2120oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2217, 21eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2322eleq1d 2822 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
243ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25 neg1rr 12268 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
289a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
3013simpri 486 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
3129, 30eqtr4di 2794 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32 modmul1 13829 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3324, 26, 27, 28, 31, 32syl221anc 1381 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3418ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534mulm1d 11607 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
3635oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3733, 36eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3837eleq1d 2822 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39 znegcl 12538 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4140eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42 negeq 11393 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
4342oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
4443eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
4541, 44imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
48 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
4947, 48mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50 mulm1 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
5149, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58 neg1z 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
609a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
6261, 14eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63 modmul1 13829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6456, 57, 59, 60, 62, 63syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6554, 64eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6647mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · -1) = -1
6766oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
6867, 30eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · -1) mod 8) = 7
6965, 68eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
7069ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
7152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
7271oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
7355adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
7425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
7558a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
7877, 30eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79 modmul1 13829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8073, 74, 75, 76, 78, 79syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8172, 80eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82 neg1mulneg1e1 12366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · -1) = 1
8382oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
8483, 14eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1) mod 8) = 1
8581, 84eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
8685ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
8770, 86orim12d 963 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 mod 8) ∈ V
8988elpr 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑥 mod 8) ∈ V
9190elpr 4609 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9391, 92bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9487, 89, 933imtr4g 295 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
9545, 94vtoclga 3534 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9639, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9718negnegd 11503 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
9897oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
9998eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
10096, 99sylibd 238 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102101eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103 negeq 11393 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104103oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105104eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106102, 105imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107106, 94vtoclga 3534 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108100, 107impbid 211 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109108ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11038, 109bitrd 278 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11123, 110jaodan 956 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
1122, 111sylan2b 594 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {cpr 4588  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   · cmul 11056  -cneg 11386  3c3 12209  5c5 12211  7c7 12213  8c8 12214  cz 12499  +crp 12915   mod cmo 13774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775
This theorem is referenced by:  lgsdir2  26678
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