Theorem lgsdir2lem4 27387

Description: Lemma for lgsdir2 27389. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4655	. 2 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3		zre 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1red 11260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		8re 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
8		8pos 12376	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
9	7, 8	elrpii 13035	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12		lgsdir2lem1 27384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
13	12	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
14	13	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 8) = 1
15	11, 14	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16		modmul1 13962	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
17	4, 5, 6, 10, 15, 16	syl221anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	20	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
22	17, 21	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
23	22	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
24	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25		neg1rr 12379	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
30	13	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 mod 8) = 7
31	29, 30	eqtr4di 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32		modmul1 13962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
33	24, 26, 27, 28, 31, 32	syl221anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
34	18	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	mulm1d 11713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
36	35	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
37	33, 36	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
38	37	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39		znegcl 12650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
41	40	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42		negeq 11498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
43	42	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
44	43	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
45	41, 44	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46		zcn 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47		neg1cn 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
48		mulcom 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
49	47, 48	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50		mulm1 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
51	49, 50	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
54	53	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55		zre 12615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58		neg1z 12651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
60	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
62	61, 14	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63		modmul1 13962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
64	56, 57, 59, 60, 62, 63	syl221anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
65	54, 64	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
66	47	mullidi 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · -1) = -1
67	66	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
68	67, 30	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = 7
69	65, 68	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
71	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
72	71	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
73	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
75	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
76	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
78	77, 30	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79		modmul1 13962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
80	73, 74, 75, 76, 78, 79	syl221anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
81	72, 80	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82		neg1mulneg1e1 12477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · -1) = 1
83	82	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
84	83, 14	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = 1
85	81, 84	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
86	85	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
87	70, 86	orim12d 966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88		ovex 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 mod 8) ∈ V
89	88	elpr 4655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90		ovex 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑥 mod 8) ∈ V
91	90	elpr 4655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92		orcom 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
93	91, 92	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
94	87, 89, 93	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	45, 94	vtoclga 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	39, 95	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	18	negnegd 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
98	97	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
99	98	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
100	96, 99	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102	101	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103		negeq 11498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104	103	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105	104	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106	102, 105	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107	106, 94	vtoclga 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108	100, 107	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109	108	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
110	38, 109	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
111	23, 110	jaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	2, 111	sylan2b 594	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cpr 4633  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  8c8 12325  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907

This theorem is referenced by:  lgsdir2  27389