Theorem lgsdir2lem4 27305

Description: Lemma for lgsdir2 27307. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7393	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4593	. 2 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3		zre 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1red 11136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		8re 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
8		8pos 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
9	7, 8	elrpii 12936	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12		lgsdir2lem1 27302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
13	12	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
14	13	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 8) = 1
15	11, 14	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16		modmul1 13877	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
17	4, 5, 6, 10, 15, 16	syl221anc 1384	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18		zcn 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	20	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
22	17, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
23	22	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
24	3	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25		neg1rr 12136	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
30	13	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 mod 8) = 7
31	29, 30	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32		modmul1 13877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
33	24, 26, 27, 28, 31, 32	syl221anc 1384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
34	18	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	mulm1d 11593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
36	35	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
37	33, 36	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
38	37	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39		znegcl 12553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40		oveq1 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
41	40	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42		negeq 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
43	42	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
44	43	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
45	41, 44	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47		neg1cn 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
48		mulcom 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
49	47, 48	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50		mulm1 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
51	49, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
54	53	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58		neg1z 12554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
60	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
62	61, 14	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63		modmul1 13877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
64	56, 57, 59, 60, 62, 63	syl221anc 1384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
65	54, 64	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
66	47	mullidi 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · -1) = -1
67	66	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
68	67, 30	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = 7
69	65, 68	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
71	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
72	71	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
73	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
75	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
76	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
78	77, 30	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79		modmul1 13877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
80	73, 74, 75, 76, 78, 79	syl221anc 1384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
81	72, 80	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82		neg1mulneg1e1 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · -1) = 1
83	82	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
84	83, 14	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = 1
85	81, 84	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
86	85	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
87	70, 86	orim12d 967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88		ovex 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 mod 8) ∈ V
89	88	elpr 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90		ovex 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑥 mod 8) ∈ V
91	90	elpr 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92		orcom 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
93	91, 92	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
94	87, 89, 93	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	45, 94	vtoclga 3521	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	39, 95	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	18	negnegd 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
98	97	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
99	98	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
100	96, 99	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102	101	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103		negeq 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104	103	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105	104	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106	102, 105	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107	106, 94	vtoclga 3521	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108	100, 107	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109	108	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
110	38, 109	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
111	23, 110	jaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	2, 111	sylan2b 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   · cmul 11034  -cneg 11369  3c3 12228  5c5 12230  7c7 12232  8c8 12233  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  lgsdir2  27307