Theorem lgsdir2lem4 27688

Description: Lemma for lgsdir2 27690. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7479	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4609	. 2 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3		zre 12727	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1red 11339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		8re 12469	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
8		8pos 12488	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
9	7, 8	elrpii 13153	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12		lgsdir2lem1 27685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ ( -3 mod 8) = 5))
13	12	simpli 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ ( -1 mod 8) = 7)
14	13	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 8) = 1
15	11, 14	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16		modmul1 14097	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
17	4, 5, 6, 10, 15, 16	syl221anc 1409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18		zcn 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11357	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	20	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
22	17, 21	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
23	22	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
24	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25		neg1rr 12336	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
30	13	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 mod 8) = 7
31	29, 30	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = ( -1 mod 8))
32		modmul1 14097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = ( -1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (( -1 · 𝐵) mod 8))
33	24, 26, 27, 28, 31, 32	syl221anc 1409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (( -1 · 𝐵) mod 8))
34	18	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	mulm1d 11798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ( -1 · 𝐵) = -𝐵)
36	35	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (( -1 · 𝐵) mod 8) = ( -𝐵 mod 8))
37	33, 36	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ( -𝐵 mod 8))
38	37	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39		znegcl 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40		oveq1 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = ( -𝐵 mod 8))
41	40	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42		negeq 11579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = - -𝐵)
43	42	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ( -𝑥 mod 8) = ( - -𝐵 mod 8))
44	43	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ( - -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
45	41, 44	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → ( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → ( - -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46		zcn 12728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47		neg1cn 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
48		mulcom 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = ( -1 · 𝑥))
49	47, 48	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = ( -1 · 𝑥))
50		mulm1 11787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( -1 · 𝑥) = -𝑥)
51	49, 50	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
52	46, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
54	53	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ( -𝑥 mod 8))
55		zre 12727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		1red 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58		neg1z 12762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
60	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
62	61, 14	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63		modmul1 14097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ( -1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
64	56, 57, 59, 60, 62, 63	syl221anc 1409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
65	54, 64	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ( -𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
66	47	mullidi 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · -1) = -1
67	66	oveq1i 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = ( -1 mod 8)
68	67, 30	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = 7
69	65, 68	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ( -𝑥 mod 8) = 7)
70	69	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → ( -𝑥 mod 8) = 7))
71	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
72	71	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ( -𝑥 mod 8))
73	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
75	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
76	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
78	77, 30	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = ( -1 mod 8))
79		modmul1 14097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ ( -1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = ( -1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (( -1 · -1) mod 8))
80	73, 74, 75, 76, 78, 79	syl221anc 1409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (( -1 · -1) mod 8))
81	72, 80	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ( -𝑥 mod 8) = (( -1 · -1) mod 8))
82		neg1mulneg1e1 12588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -1 · -1) = 1
83	82	oveq1i 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
84	83, 14	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 · -1) mod 8) = 1
85	81, 84	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ( -𝑥 mod 8) = 1)
86	85	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → ( -𝑥 mod 8) = 1))
87	70, 86	orim12d 979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → (( -𝑥 mod 8) = 7 ∨ ( -𝑥 mod 8) = 1)))
88		ovex 7479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 mod 8) ∈ V
89	88	elpr 4609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90		ovex 7479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -𝑥 mod 8) ∈ V
91	90	elpr 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (( -𝑥 mod 8) = 1 ∨ ( -𝑥 mod 8) = 7))
92		orcom 884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -𝑥 mod 8) = 1 ∨ ( -𝑥 mod 8) = 7) ↔ (( -𝑥 mod 8) = 7 ∨ ( -𝑥 mod 8) = 1))
93	91, 92	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (( -𝑥 mod 8) = 7 ∨ ( -𝑥 mod 8) = 1))
94	87, 89, 93	3imtr4g 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → ( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	45, 94	vtoclga 3540	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℤ → (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → ( - -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	39, 95	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → ( - -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	18	negnegd 11690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → - -𝐵 = 𝐵)
98	97	oveq1d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ( - -𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
99	98	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (( - -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
100	96, 99	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101		oveq1 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102	101	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103		negeq 11579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104	103	oveq1d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ( -𝑥 mod 8) = ( -𝐵 mod 8))
105	104	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106	102, 105	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → ( -𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → ( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107	106, 94	vtoclga 3540	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → ( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108	100, 107	impbid 215	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109	108	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (( -𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
110	38, 109	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
111	23, 110	jaodan 972	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	2, 111	sylan2b 606	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  1c1 11231   · cmul 11235   -cneg 11572  3c3 12428  5c5 12430  7c7 12432  8c8 12433  ℤcz 12723  ℝ⁺crp 13150   mod cmo 14039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fl 13962  df-mod 14040

This theorem is used by:  lgsdir2  27690