Theorem lgsdir2lem4 26831

Description: Lemma for lgsdir2 26833. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 mod 8) ∈ V
2	1	elpr 4652	. 2 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3		zre 12562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1red 11215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		8re 12308	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
8		8pos 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
9	7, 8	elrpii 12977	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12		lgsdir2lem1 26828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
13	12	simpli 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
14	13	simpli 485	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 8) = 1
15	11, 14	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16		modmul1 13889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
17	4, 5, 6, 10, 15, 16	syl221anc 1382	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18		zcn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	20	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
22	17, 21	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
23	22	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
24	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25		neg1rr 12327	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
30	13	simpri 487	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 mod 8) = 7
31	29, 30	eqtr4di 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32		modmul1 13889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
33	24, 26, 27, 28, 31, 32	syl221anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
34	18	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	mulm1d 11666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
36	35	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
37	33, 36	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
38	37	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39		znegcl 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40		oveq1 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
41	40	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42		negeq 11452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
43	42	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
44	43	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
45	41, 44	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46		zcn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47		neg1cn 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
48		mulcom 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
49	47, 48	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50		mulm1 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
51	49, 50	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
53	52	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
54	53	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55		zre 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58		neg1z 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℤ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
60	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
62	61, 14	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63		modmul1 13889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
64	56, 57, 59, 60, 62, 63	syl221anc 1382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
65	54, 64	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
66	47	mullidi 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · -1) = -1
67	66	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
68	67, 30	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = 7
69	65, 68	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
70	69	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
71	52	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
72	71	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
73	55	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
75	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
76	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
78	77, 30	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79		modmul1 13889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
80	73, 74, 75, 76, 78, 79	syl221anc 1382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
81	72, 80	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82		neg1mulneg1e1 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · -1) = 1
83	82	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
84	83, 14	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = 1
85	81, 84	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
86	85	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
87	70, 86	orim12d 964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88		ovex 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 mod 8) ∈ V
89	88	elpr 4652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90		ovex 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑥 mod 8) ∈ V
91	90	elpr 4652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92		orcom 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
93	91, 92	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
94	87, 89, 93	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	45, 94	vtoclga 3566	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	39, 95	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	18	negnegd 11562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
98	97	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
99	98	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
100	96, 99	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101		oveq1 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102	101	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103		negeq 11452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104	103	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105	104	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106	102, 105	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107	106, 94	vtoclga 3566	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108	100, 107	impbid 211	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109	108	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
110	38, 109	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
111	23, 110	jaodan 957	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	2, 111	sylan2b 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cpr 4631  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  1c1 11111   · cmul 11115  -cneg 11445  3c3 12268  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835

This theorem is referenced by:  lgsdir2  26833