Theorem stoweid 43279

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweid.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweid.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweid.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweid.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweid.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stoweid.12	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweid.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweid	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝜑,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stoweid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2		stoweid.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	ralrimiva 3105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
4		1re 10833	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
6	5	mpteq2dv 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1))
7	6	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
8	7	rspccv 3534	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
9	3, 4, 8	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
11	1, 10	stoweidlem9 43225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12		stoweid.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
13		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
14		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
15	13, 14	nfan 1907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16		stoweid.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
17		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
18	16, 17	nfan 1907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20		stoweid.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21		stoweid.5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
22		stoweid.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
23	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24		stoweid.6	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25		stoweid.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
26	25	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27		stoweid.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
28	27	3adant1r 1179	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29		stoweid.9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30	29	3adant1r 1179	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
32		stoweid.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
33	32	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
34		stoweid.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
35	34	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹 ∈ 𝐶)
36		stoweid.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
37		4re 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4pos 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
39	37, 38	elrpii 12589	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
41	40	rpreccld 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
42	36, 41	ifcld 4485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
43	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44		neqne 2948	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
45	44	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
46	36	rpred 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47		4ne0 11938	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
48	37, 47	rereccli 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
50	46, 49	ifcld 4485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51		3re 11910	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
52		3ne0 11936	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
53	51, 52	rereccli 11597	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
55	36	rpxrd 12629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
56	41	rpxrd 12629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57		xrmin2 12768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
58	55, 56, 57	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59		3lt4 12004	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
60		3pos 11935	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
61	51, 37, 60, 38	ltrecii 11748	. . . . . . . 8 ⊢ (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
62	59, 61	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < (1 / 3)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
64	50, 49, 54, 58, 63	lelttrd 10990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
65	64	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
66	12, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65	stoweidlem62 43278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
67	11, 66	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 ∈ 𝐴
69	16, 68	nfan 1907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70		xrmin1 12767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
71	55, 56, 70	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
72	71	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
73	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
74		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐴)
75	73, 74	sseldd 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐶)
76	20, 21, 24, 75	fcnre 42241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
78	76, 77	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
79		ffvelrn 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℝ)
80		recn 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
82	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐶)
83	20, 21, 24, 82	fcnre 42241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
84	83, 77	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
85		ffvelrn 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
86		recn 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
88	81, 87	subcld 11189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15000	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
90	4, 37, 47	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91		redivcl 11551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
93	46, 92	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
94	93	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
95	46	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96		ltletr 10924	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
97	89, 94, 95, 96	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
98	72, 97	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
99	69, 98	ralimdaa 3138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
100	99	reximdva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
101	67, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ifcif 4439  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ran crn 5552  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  3c3 11886  4c4 11887  ℝ⁺crp 12586  (,)cioo 12935  abscabs 14797  topGenctg 16942   Cn ccn 22121  Compccmp 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220

This theorem is referenced by:  stowei  43280