Theorem stoweid 46223

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweid.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweid.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweid.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweid.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweid.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stoweid.12	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweid.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweid	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝜑,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stoweid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2		stoweid.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
4		1re 11123	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
6	5	mpteq2dv 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1))
7	6	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
8	7	rspccv 3570	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
9	3, 4, 8	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
11	1, 10	stoweidlem9 46169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12		stoweid.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
13		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
14		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
15	13, 14	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16		stoweid.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
17		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
18	16, 17	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20		stoweid.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21		stoweid.5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
22		stoweid.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24		stoweid.6	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25		stoweid.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27		stoweid.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
28	27	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29		stoweid.9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30	29	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
32		stoweid.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
33	32	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
34		stoweid.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹 ∈ 𝐶)
36		stoweid.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
37		4re 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4pos 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
39	37, 38	elrpii 12899	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
41	40	rpreccld 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
42	36, 41	ifcld 4523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44		neqne 2937	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
46	36	rpred 12940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47		4ne0 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
48	37, 47	rereccli 11897	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
50	46, 49	ifcld 4523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51		3re 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
52		3ne0 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
53	51, 52	rereccli 11897	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
55	36	rpxrd 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
56	41	rpxrd 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57		xrmin2 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
58	55, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59		3lt4 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
60		3pos 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
61	51, 37, 60, 38	ltrecii 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
62	59, 61	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < (1 / 3)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
64	50, 49, 54, 58, 63	lelttrd 11282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
66	12, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65	stoweidlem62 46222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
67	11, 66	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 ∈ 𝐴
69	16, 68	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70		xrmin1 13083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
71	55, 56, 70	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
72	71	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
73	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐴)
75	73, 74	sseldd 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐶)
76	20, 21, 24, 75	fcnre 45186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
78	76, 77	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
79		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℝ)
80		recn 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
82	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐶)
83	20, 21, 24, 82	fcnre 45186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
84	83, 77	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
85		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
86		recn 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
88	81, 87	subcld 11483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15353	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
90	4, 37, 47	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91		redivcl 11851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
93	46, 92	ifcld 4523	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
94	93	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
95	46	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96		ltletr 11216	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
97	89, 94, 95, 96	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
98	72, 97	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
99	69, 98	ralimdaa 3234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
100	99	reximdva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
101	67, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2880   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ifcif 4476  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  infcinf 9336  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  3c3 12192  4c4 12193  ℝ⁺crp 12896  (,)cioo 13252  abscabs 15148  topGenctg 17348   Cn ccn 23159  Compccmp 23321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-cmp 23322  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257

This theorem is referenced by:  stowei  46224