Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 46019
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 𝑡𝐹
stoweid.2 𝑡𝜑
stoweid.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = 𝐽
stoweid.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweid.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
stoweid.12 (𝜑𝐹𝐶)
stoweid.13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ,𝐸,𝑟,𝑥   ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,,𝑟,𝑥   𝜑,,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
65mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3619 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 45965 . . 3 ((𝜑𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 𝑡𝐹
13 nfv 1912 . . . . 5 𝑓𝜑
14 nfv 1912 . . . . 5 𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
1513, 14nfan 1897 . . . 4 𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16 stoweid.2 . . . . 5 𝑡𝜑
17 nfv 1912 . . . . 5 𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
1816, 17nfan 1897 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19 eqid 2735 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴𝐶)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1176 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1176 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
312adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
3332adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
34 stoweid.12 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹𝐶)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 12348 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 12371 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 13035 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 13085 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4577 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2946 . . . . 5 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
4544adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
4636rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 12372 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
4837, 47rereccli 12030 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4577 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 12344 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 12370 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
5351, 52rereccli 12030 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 13076 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 13076 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 13217 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59 3lt4 12438 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 12182 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 230 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 11417 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 46018 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1912 . . . . 5 𝑡 𝑓𝐴
6916, 68nfan 1897 . . . 4 𝑡(𝜑𝑓𝐴)
70 xrmin1 13216 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7271ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7325ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐴𝐶)
74 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐴)
7573, 74sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐶)
7620, 21, 24, 75fcnre 44963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
7876, 77jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
79 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
80 recn 11243 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑡) ∈ ℝ → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8234ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐶)
8320, 21, 24, 82fcnre 44963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
8483, 77jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
85 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
86 recn 11243 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8881, 87subcld 11618 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
8988abscld 15472 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1338 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91 redivcl 11984 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4577 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 11351 . . . . . 6 (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 694 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3258 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10099reximdva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  3c3 12320  4c4 12321  +crp 13032  (,)cioo 13384  abscabs 15270  topGenctg 17484   Cn ccn 23248  Compccmp 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  stowei  46020
  Copyright terms: Public domain W3C validator