Theorem stoweid 46092

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweid.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweid.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweid.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweid.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweid.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stoweid.12	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweid.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweid	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝜑,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stoweid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2		stoweid.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
4		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
6	5	mpteq2dv 5215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1))
7	6	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
8	7	rspccv 3598	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
9	3, 4, 8	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
11	1, 10	stoweidlem9 46038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12		stoweid.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
13		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
14		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
15	13, 14	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16		stoweid.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
17		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
18	16, 17	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20		stoweid.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21		stoweid.5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
22		stoweid.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24		stoweid.6	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25		stoweid.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27		stoweid.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
28	27	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29		stoweid.9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30	29	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
32		stoweid.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
33	32	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
34		stoweid.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹 ∈ 𝐶)
36		stoweid.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
37		4re 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4pos 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
39	37, 38	elrpii 13011	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
41	40	rpreccld 13061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
42	36, 41	ifcld 4547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44		neqne 2940	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
46	36	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47		4ne0 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
48	37, 47	rereccli 12006	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
50	46, 49	ifcld 4547	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51		3re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
52		3ne0 12346	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
53	51, 52	rereccli 12006	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
55	36	rpxrd 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
56	41	rpxrd 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57		xrmin2 13194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
58	55, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59		3lt4 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
60		3pos 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
61	51, 37, 60, 38	ltrecii 12158	. . . . . . . 8 ⊢ (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
62	59, 61	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < (1 / 3)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
64	50, 49, 54, 58, 63	lelttrd 11393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
66	12, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65	stoweidlem62 46091	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
67	11, 66	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 ∈ 𝐴
69	16, 68	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70		xrmin1 13193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
71	55, 56, 70	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
72	71	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
73	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐴)
75	73, 74	sseldd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐶)
76	20, 21, 24, 75	fcnre 45049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
78	76, 77	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
79		ffvelcdm 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℝ)
80		recn 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
82	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐶)
83	20, 21, 24, 82	fcnre 45049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
84	83, 77	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
85		ffvelcdm 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
86		recn 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
88	81, 87	subcld 11594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
90	4, 37, 47	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91		redivcl 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
93	46, 92	ifcld 4547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
94	93	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
95	46	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96		ltletr 11327	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
97	89, 94, 95, 96	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
98	72, 97	mpan2d 694	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
99	69, 98	ralimdaa 3243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
100	99	reximdva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
101	67, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ifcif 4500  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  infcinf 9453  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  3c3 12296  4c4 12297  ℝ⁺crp 13008  (,)cioo 13362  abscabs 15253  topGenctg 17451   Cn ccn 23162  Compccmp 23324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261

This theorem is referenced by:  stowei  46093