Theorem stoweid 44294

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweid.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweid.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweid.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweid.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweid.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stoweid.12	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweid.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweid	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝜑,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stoweid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2		stoweid.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
4		1re 11155	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
6	5	mpteq2dv 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1))
7	6	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
8	7	rspccv 3578	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
9	3, 4, 8	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
11	1, 10	stoweidlem9 44240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12		stoweid.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
13		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
14		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
15	13, 14	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16		stoweid.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
17		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
18	16, 17	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20		stoweid.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21		stoweid.5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
22		stoweid.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
23	22	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24		stoweid.6	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25		stoweid.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
26	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27		stoweid.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
28	27	3adant1r 1177	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29		stoweid.9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30	29	3adant1r 1177	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	2	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
32		stoweid.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
33	32	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
34		stoweid.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹 ∈ 𝐶)
36		stoweid.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
37		4re 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4pos 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
39	37, 38	elrpii 12918	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
41	40	rpreccld 12967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
42	36, 41	ifcld 4532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
43	42	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44		neqne 2951	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
45	44	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
46	36	rpred 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47		4ne0 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
48	37, 47	rereccli 11920	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
50	46, 49	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51		3re 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
52		3ne0 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
53	51, 52	rereccli 11920	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
55	36	rpxrd 12958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
56	41	rpxrd 12958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57		xrmin2 13097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
58	55, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59		3lt4 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
60		3pos 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
61	51, 37, 60, 38	ltrecii 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
62	59, 61	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < (1 / 3)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
64	50, 49, 54, 58, 63	lelttrd 11313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
65	64	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
66	12, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65	stoweidlem62 44293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
67	11, 66	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 ∈ 𝐴
69	16, 68	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70		xrmin1 13096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
71	55, 56, 70	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
72	71	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
73	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
74		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐴)
75	73, 74	sseldd 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐶)
76	20, 21, 24, 75	fcnre 43220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
78	76, 77	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
79		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℝ)
80		recn 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
82	34	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐶)
83	20, 21, 24, 82	fcnre 43220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
84	83, 77	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
85		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
86		recn 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
88	81, 87	subcld 11512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
90	4, 37, 47	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91		redivcl 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
93	46, 92	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
94	93	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
95	46	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96		ltletr 11247	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
97	89, 94, 95, 96	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
98	72, 97	mpan2d 692	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
99	69, 98	ralimdaa 3243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
100	99	reximdva 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
101	67, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  3c3 12209  4c4 12210  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  topGenctg 17319   Cn ccn 22575  Compccmp 22737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675

This theorem is referenced by:  stowei  44295