Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 44779
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐢 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐢 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if π‘Ÿ and 𝑑 are distinct points in 𝑇, then there exists a function β„Ž in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual Ξ΅ value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [π‘Ž, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [π‘Ž, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweid.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweid.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweid.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweid.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweid.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
stoweid.12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweid.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   β„Ž,𝐸,π‘Ÿ,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)   𝐹(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,β„Ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 = βˆ…)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4 1re 11214 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ π‘₯ = 1)
65mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3610 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 β†’ (1 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 44725 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐹
13 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
14 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑓 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1513, 14nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
16 stoweid.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
17 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1816, 17nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
19 eqid 2733 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
2625adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1178 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1178 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
312adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
3332adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
34 stoweid.12 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3534adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 12296 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 12977 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 13026 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4575 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2949 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 = βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4544adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4636rpred 13016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 12320 . . . . . . . . 9 4 β‰  0
4837, 47rereccli 11979 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4575 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 12292 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 12318 . . . . . . . 8 3 β‰  0
5351, 52rereccli 11979 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 13017 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 13017 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 13157 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
59 3lt4 12386 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 12317 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 12130 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 11372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 44778 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑓 ∈ 𝐴
6916, 68nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70 xrmin1 13156 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7271ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7325ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
74 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
7573, 74sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐢)
7620, 21, 24, 75fcnre 43709 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
77 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
7876, 77jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
79 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
80 recn 11200 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
8320, 21, 24, 82fcnre 43709 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
8483, 77jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
85 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
86 recn 11200 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8881, 87subcld 11571 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
8988abscld 15383 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1340 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0)
91 redivcl 11933 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0) β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4575 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 11306 . . . . . 6 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 693 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3258 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10099reximdva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  3c3 12268  4c4 12269  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181  topGenctg 17383   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  stowei  44780
  Copyright terms: Public domain W3C validator