Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 44390
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐢 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐢 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if π‘Ÿ and 𝑑 are distinct points in 𝑇, then there exists a function β„Ž in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual Ξ΅ value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [π‘Ž, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [π‘Ž, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweid.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweid.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweid.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweid.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweid.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
stoweid.12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweid.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   β„Ž,𝐸,π‘Ÿ,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)   𝐹(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,β„Ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 = βˆ…)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4 1re 11160 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ π‘₯ = 1)
65mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3577 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 β†’ (1 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 44336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐹
13 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
14 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑓 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1513, 14nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
16 stoweid.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
17 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1816, 17nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
19 eqid 2733 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
2625adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1178 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1178 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
312adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
3332adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
34 stoweid.12 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3534adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 12242 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 12265 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 12923 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 12972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4533 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2948 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 = βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4544adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4636rpred 12962 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 12266 . . . . . . . . 9 4 β‰  0
4837, 47rereccli 11925 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4533 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 12238 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 12264 . . . . . . . 8 3 β‰  0
5351, 52rereccli 11925 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 12963 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 12963 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 13103 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
59 3lt4 12332 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 12076 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 11318 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 44389 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑓 ∈ 𝐴
6916, 68nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70 xrmin1 13102 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7271ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7325ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
74 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
7573, 74sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐢)
7620, 21, 24, 75fcnre 43318 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
77 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
7876, 77jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
79 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . 9 ((𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
80 recn 11146 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
8320, 21, 24, 82fcnre 43318 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
8483, 77jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
85 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
86 recn 11146 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8881, 87subcld 11517 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
8988abscld 15327 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1340 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0)
91 redivcl 11879 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0) β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 11252 . . . . . 6 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 693 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3242 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10099reximdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  3c3 12214  4c4 12215  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  abscabs 15125  topGenctg 17324   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stowei  44391
  Copyright terms: Public domain W3C validator