Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 45078
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐢 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐢 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if π‘Ÿ and 𝑑 are distinct points in 𝑇, then there exists a function β„Ž in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual Ξ΅ value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [π‘Ž, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [π‘Ž, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweid.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweid.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweid.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweid.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweid.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
stoweid.12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
stoweid.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑑   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,π‘Ÿ,𝑑   𝑇,𝑓,𝑔,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   β„Ž,𝐸,π‘Ÿ,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯   𝑇,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,β„Ž,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)   𝐹(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑔,β„Ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 = βˆ…)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4 1re 11218 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ π‘₯ = 1)
65mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3609 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 β†’ (1 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 45024 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 Ⅎ𝑑𝐹
13 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘“πœ‘
14 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑓 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1513, 14nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
16 stoweid.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
17 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑑 Β¬ 𝑇 = βˆ…
1816, 17nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
19 eqid 2732 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
2625adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1177 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1177 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
312adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
3332adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (β„Žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (β„Žβ€˜π‘‘))
34 stoweid.12 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
3534adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 12300 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 12323 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 12981 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 13030 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4574 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2948 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 = βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4544adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
4636rpred 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 12324 . . . . . . . . 9 4 β‰  0
4837, 47rereccli 11983 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4574 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 12296 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 12322 . . . . . . . 8 3 β‰  0
5351, 52rereccli 11983 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 13021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 13021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 13161 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ (1 / 4))
59 3lt4 12390 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 12321 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 12134 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 11376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 45077 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑇 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑓 ∈ 𝐴
6916, 68nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70 xrmin1 13160 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7271ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸)
7325ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
74 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
7573, 74sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝐢)
7620, 21, 24, 75fcnre 44011 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
77 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
7876, 77jca 512 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
79 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
80 recn 11202 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8234ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
8320, 21, 24, 82fcnre 44011 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
8483, 77jca 512 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇))
85 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
86 recn 11202 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8881, 87subcld 11575 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
8988abscld 15387 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1339 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0)
91 redivcl 11937 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 β‰  0) β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4574 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 11310 . . . . . 6 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≀ 𝐸) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 692 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10099reximdva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < if(𝐸 ≀ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  3c3 12272  4c4 12273  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  abscabs 15185  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048
This theorem is referenced by:  stowei  45079
  Copyright terms: Public domain W3C validator