Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweid 42748
 Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1 𝑡𝐹
stoweid.2 𝑡𝜑
stoweid.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5 𝑇 = 𝐽
stoweid.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweid.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
stoweid.12 (𝜑𝐹𝐶)
stoweid.13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweid (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ,𝐸,𝑟,𝑥   ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,,𝑟,𝑥   𝜑,,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2 stoweid.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32ralrimiva 3149 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4 1re 10633 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
65mpteq2dv 5127 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ 1))
76eleq1d 2874 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
87rspccv 3568 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
93, 4, 8mpisyl 21 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
109adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑇 = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
111, 10stoweidlem9 42694 . . 3 ((𝜑𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12 stoweid.1 . . . 4 𝑡𝐹
13 nfv 1915 . . . . 5 𝑓𝜑
14 nfv 1915 . . . . 5 𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
1513, 14nfan 1900 . . . 4 𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16 stoweid.2 . . . . 5 𝑡𝜑
17 nfv 1915 . . . . 5 𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
1816, 17nfan 1900 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19 eqid 2798 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20 stoweid.3 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21 stoweid.5 . . . 4 𝑇 = 𝐽
22 stoweid.4 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24 stoweid.6 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25 stoweid.7 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2625adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴𝐶)
27 stoweid.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28273adant1r 1174 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
29 stoweid.9 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
30293adant1r 1174 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
312adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32 stoweid.11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
3332adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
34 stoweid.12 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
3534adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹𝐶)
36 stoweid.13 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
37 4re 11712 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4pos 11735 . . . . . . . . 9 0 < 4
3937, 38elrpii 12383 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
4140rpreccld 12432 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
4236, 41ifcld 4470 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
4342adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44 neqne 2995 . . . . 5 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
4544adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
4636rpred 12422 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
47 4ne0 11736 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
4837, 47rereccli 11397 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
5046, 49ifcld 4470 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51 3re 11708 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
52 3ne0 11734 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
5351, 52rereccli 11397 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
5536rpxrd 12423 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
5641rpxrd 12423 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57 xrmin2 12562 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
5855, 56, 57syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59 3lt4 11802 . . . . . . . 8 3 < 4
60 3pos 11733 . . . . . . . . 9 0 < 3
6151, 37, 60, 38ltrecii 11548 . . . . . . . 8 (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
6259, 61mpbi 233 . . . . . . 7 (1 / 4) < (1 / 3)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
6450, 49, 54, 58, 63lelttrd 10790 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6564adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
6612, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65stoweidlem62 42747 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
6711, 66pm2.61dan 812 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68 nfv 1915 . . . . 5 𝑡 𝑓𝐴
6916, 68nfan 1900 . . . 4 𝑡(𝜑𝑓𝐴)
70 xrmin1 12561 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7155, 56, 70syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7271ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
7325ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐴𝐶)
74 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐴)
7573, 74sseldd 3916 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓𝐶)
7620, 21, 24, 75fcnre 41697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
7876, 77jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
79 ffvelrn 6827 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
80 recn 10619 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑡) ∈ ℝ → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
8234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹𝐶)
8320, 21, 24, 82fcnre 41697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
8483, 77jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇))
85 ffvelrn 6827 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
86 recn 10619 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8881, 87subcld 10989 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
8988abscld 14791 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
904, 37, 473pm3.2i 1336 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91 redivcl 11351 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
9346, 92ifcld 4470 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9493ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
9546ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96 ltletr 10724 . . . . . 6 (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9789, 94, 95, 96syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9872, 97mpan2d 693 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
9969, 98ralimdaa 3181 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴) → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10099reximdva 3233 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
10167, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  infcinf 8892  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  3c3 11684  4c4 11685  ℝ+crp 12380  (,)cioo 12729  abscabs 14588  topGenctg 16706   Cn ccn 21839  Compccmp 22001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-cmp 22002  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939 This theorem is referenced by:  stowei  42749
 Copyright terms: Public domain W3C validator