Theorem stoweid 46634

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweid.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweid.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweid.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweid.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweid.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweid.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweid.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweid.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweid.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweid.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stoweid.12	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweid.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweid	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝜑,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stoweid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → 𝑇 = ∅)
2		stoweid.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
4		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
6	5	mpteq2dv 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1))
7	6	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
8	7	rspccv 3578	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴 → (1 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴))
9	3, 4, 8	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) ∈ 𝐴)
11	1, 10	stoweidlem9 46580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
12		stoweid.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
13		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
14		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 ¬ 𝑇 = ∅
15	13, 14	nfan 1919	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
16		stoweid.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
17		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑇 = ∅
18	16, 17	nfan 1919	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
20		stoweid.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
21		stoweid.5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
22		stoweid.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
23	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
24		stoweid.6	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
25		stoweid.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
26	25	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27		stoweid.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
28	27	3adant1r 1191	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29		stoweid.9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30	29	3adant1r 1191	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	2	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
32		stoweid.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
33	32	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
34		stoweid.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
35	34	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝐹 ∈ 𝐶)
36		stoweid.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
37		4re 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4pos 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
39	37, 38	elrpii 12996	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ+
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
41	40	rpreccld 13047	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ+)
42	36, 41	ifcld 4527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
43	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ+)
44		neqne 2965	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 = ∅ → 𝑇 ≠ ∅)
45	44	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
46	36	rpred 13037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
47		4ne0 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
48	37, 47	rereccli 11956	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
50	46, 49	ifcld 4527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
51		3re 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
52		3ne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
53	51, 52	rereccli 11956	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
55	36	rpxrd 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
56	41	rpxrd 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ*)
57		xrmin2 13181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
58	55, 56, 57	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ (1 / 4))
59		3lt4 12394	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
60		3pos 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
61	51, 37, 60, 38	ltrecii 12108	. . . . . . . 8 ⊢ (3 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 3))
62	59, 61	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) < (1 / 3)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) < (1 / 3))
64	50, 49, 54, 58, 63	lelttrd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
65	64	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) < (1 / 3))
66	12, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 43, 45, 65	stoweidlem62 46633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
67	11, 66	pm2.61dan 822	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)))
68		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑓 ∈ 𝐴
69	16, 68	nfan 1919	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴)
70		xrmin1 13180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ (1 / 4) ∈ ℝ*) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
71	55, 56, 70	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
72	71	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸)
73	25	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
74		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐴)
75	73, 74	sseldd 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝐶)
76	20, 21, 24, 75	fcnre 45602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
77		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
78	76, 77	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
79		ffvelcdm 7062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℝ)
80		recn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
81	78, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑡) ∈ ℂ)
82	34	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝐶)
83	20, 21, 24, 82	fcnre 45602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
84	83, 77	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
85		ffvelcdm 7062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
86		recn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
88	81, 87	subcld 11542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
90	4, 37, 47	3pm3.2i 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0)
91		redivcl 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
93	46, 92	ifcld 4527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
94	93	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ)
95	46	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
96		ltletr 11275	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
97	89, 94, 95, 96	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ∧ if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) ≤ 𝐸) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
98	72, 97	mpan2d 704	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
99	69, 98	ralimdaa 3263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
100	99	reximdva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < if(𝐸 ≤ (1 / 4), 𝐸, (1 / 4)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸))
101	67, 100	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4480  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  infcinf 9387  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414   / cdiv 11844  3c3 12273  4c4 12274  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  abscabs 15261  topGenctg 17466   Cn ccn 23281  Compccmp 23443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-cmp 23444  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379

This theorem is referenced by:  stowei  46635