bposlem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem6 26437

Description: Lemma for bpos 26441. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for 𝑁 large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Wolf Lammen, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem6	⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12056	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		5nn 12059	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
4		eluznn 12658	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
7		nnexpcl 13795	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℝ)
10	9, 5	nndivred 12027	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
11		fzctr 13368	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	6, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14037	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnred 11988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
16		2nn 12046	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 11997	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 12770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
20	18	nnred 11988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	19	rpge0d 12776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
22	20, 21	resqrtcld 15129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
23		3nn 12052	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
24		nndivre 12014	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
26		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		readdcl 10954	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
29	19, 28	rpcxpcld 25887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 12772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
31		2rp 12735	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
32		nnmulcl 11997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
33	1, 5, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
35		nndivre 12014	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
36	34, 23, 35	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
37		5re 12060	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
38		resubcl 11285	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
40		rpcxpcl 25831	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
41	31, 39, 40	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
42	41	rpred 12772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ)
43	30, 42	remulcld 11005	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) ∈ ℝ)
44		df-5 12039	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
45		4z 12354	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
46		uzid 12597	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ_≥‘4))
47		peano2uz 12641	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘4) → (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4))
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4)
49	44, 48	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘4)
50		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘4) = (ℤ_≥‘4)
51	50	uztrn2 12601	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
52	49, 3, 51	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
53		bclbnd 26428	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
54	52, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
55		bpos.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
57		pccl 16550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
58	56, 14, 57	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
59	58	ralrimiva 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
60	55, 59	pcmptcl 16592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
61	60	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
62		bpos.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
63		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
64		bpos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
65	3, 62, 55, 63, 64	bposlem4 26435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))
66		elfzuz 13252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
68		eluznn 12658	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
69	23, 67, 68	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	61, 69	ffvelrnd 6962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
71	70	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
72		2z 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73		nndivre 12014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
74	20, 23, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
75	74	flcld 13518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
76	63, 75	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
77		zmulcl 12369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
78	72, 76, 77	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
79	2	nnzi 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
80		zsubcl 12362	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
81	78, 79, 80	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
82	81	zred 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ)
83		rpcxpcl 25831	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
84	31, 82, 83	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
85	84	rpred 12772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ)
86	71, 85	remulcld 11005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
87	3, 62, 55, 63	bposlem3 26434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
88		elfzuz3 13253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
89	65, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
90	55, 59, 69, 89	pcmptdvds 16595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾))
91	70	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
92	70	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
93		uztrn 12600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
94	89, 67, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
95		eluznn 12658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
96	23, 94, 95	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
97	61, 96	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ)
99		dvdsval2 15966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
100	91, 92, 98, 99	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
101	90, 100	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ)
102	101	zred 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℝ)
103	69	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
104	76	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
105		eluzle 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
106	89, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
107		efchtdvds 26308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
109		efchtcl 26260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
110	103, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
111	110	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ)
112	110	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0)
113		efchtcl 26260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
114	104, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
115	114	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ)
116		dvdsval2 15966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
117	111, 112, 115, 116	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
118	108, 117	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ)
119	118	zred 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℝ)
120		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
121		fllt 13526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
122	22, 120, 121	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
123	64	breq1i 5081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝)
124	122, 123	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ 𝑀 < 𝑝))
125	120	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
126		ltnle 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
127	103, 125, 126	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
128	124, 127	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
129		bposlem1 26432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
130	5, 129	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
131	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
132		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
133		pccl 16550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
134	132, 14, 133	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
135	131, 134	reexpcld 13881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
136	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137	131	resqcld 13965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℝ)
138		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
140	130, 139	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) < (𝑝↑2) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
141		resqrtth 14967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
142	20, 21, 141	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
143	142	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
145	134	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
146	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
147		prmgt1 16402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
149	131, 145, 146, 148	ltexp2d 13968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
150	140, 144, 149	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2))
151		df-2 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
152	151	breq2i 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1))
153	150, 152	syl6ib 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
154	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
155	20, 21	sqrtge0d 15132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
157		prmnn 16379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
158	157	nnrpd 12770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ⁺)
159	158	rpge0d 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑝)
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝)
161	154, 131, 156, 160	lt2sqd 13973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2)))
162		1z 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
163		zleltp1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
164	145, 162, 163	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
165	153, 161, 164	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
166	128, 165	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑀 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
167	166	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
168	167	adantrl 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
169		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
170	169	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
171		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
173	168, 170, 172	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
174		0le0 12074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 0
175		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
176		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 0)
177	175, 176	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) ↔ 0 ≤ 0))
178	174, 177	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
179	178	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
180	173, 179	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
181	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
182	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
183		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
184		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
185	89	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
186	55, 181, 182, 183, 184, 185	pcmpt2 16594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
187		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
188	187	prmorcht 26327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
189	96, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
190	187	prmorcht 26327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
191	69, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
192	189, 191	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
193	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
194	193	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))))
195		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
196	195	exp1d 13859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
197	196	ifeq1d 4478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
198	197	mpteq2ia 5177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
199	198	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
200		1nn0 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ₀)
202	201	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
203	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
204		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
205	199, 203, 182, 183, 204, 185	pcmpt2 16594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
206	194, 205	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
207	180, 186, 206	3brtr4d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
208	207	ralrimiva 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
209		pc2dvds 16580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
210	101, 118, 209	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
211	208, 210	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
212	114	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ)
213	110	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ)
214	114	nngt0d 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))
215	110	nngt0d 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝑀)))
216	212, 213, 214, 215	divgt0d 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
217		elnnz 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ ↔ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
218	118, 216, 217	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ)
219		dvdsle 16019	. . . . . . . 8 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
220	101, 218, 219	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
221	211, 220	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
222		nndivre 12014	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
223	212, 1, 222	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
224		4re 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
225	224	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
226		6re 12063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
227	226	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ∈ ℝ)
228		4lt6 12155	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < 6
229	228	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 < 6)
230		cht3 26322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
231	230	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = (exp‘(log‘6))
232		6pos 12083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
233	226, 232	elrpii 12733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
234		reeflog 25736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ⁺ → (exp‘(log‘6)) = 6)
235	233, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(log‘6)) = 6
236	231, 235	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = 6
237		3re 12053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
239		eluzle 12595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
240	67, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑀)
241		chtwordi 26305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑀) → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
242	238, 103, 240, 241	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
243		chtcl 26258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ → (θ‘3) ∈ ℝ)
244	237, 243	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) ∈ ℝ
245		chtcl 26258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
246	103, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
247		efle 15827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘3) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑀) ∈ ℝ) → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
248	244, 246, 247	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
249	242, 248	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
250	236, 249	eqbrtrrid 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
251	225, 227, 213, 229, 250	ltletrd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 < (exp‘(θ‘𝑀)))
252		4pos 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
254		ltdiv2 11861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ ((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝑀))) ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))) → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
255	225, 253, 213, 215, 212, 214, 254	syl222anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
256	251, 255	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4))
257	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
258		2lt3 12145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 < 3)
260	238, 103, 104, 240, 106	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝐾)
261	257, 238, 104, 259, 260	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐾)
262		chtub 26360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐾) → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
263	104, 261, 262	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
264		chtcl 26258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
265	104, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
266		relogcl 25731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
267	31, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
268		3z 12353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
269		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
270	78, 268, 269	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
271	270	zred 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ)
272		remulcl 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
273	267, 271, 272	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
274		eflt 15826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘𝐾) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ) → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
275	265, 273, 274	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
276	263, 275	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
277		reexplog 25750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
278	31, 270, 277	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
279	270	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ)
280	267	recni 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
281		mulcom 10957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
282	279, 280, 281	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
283	282	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
284	278, 283	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
285	276, 284	breqtrrd 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
286		3p2e5 12124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 2) = 5
287	286	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = (5 − 2)
288		3cn 12054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
289		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
290	288, 289	pncan3oi 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = 3
291	287, 290	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 2) = 3
292	291	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = ((2 · 𝐾) − 3)
293	78	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
294		5cn 12061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℂ
295		subsub 11251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
296	294, 289, 295	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
297	293, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
298	292, 297	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
299	298	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)))
300		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
301		cxpexpz 25822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
302	289, 300, 270, 301	mp3an12i 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
303	81	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ)
304		2cnne0 12183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
305		cxpadd 25834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
306	304, 289, 305	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
307	303, 306	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
308	299, 302, 307	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
309		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
310		cxpexp 25823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (2↑_𝑐2) = (2↑2))
311	289, 309, 310	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑_𝑐2) = (2↑2)
312		sq2 13914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
313	311, 312	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑_𝑐2) = 4
314	313	oveq2i 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)
315	308, 314	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
316	285, 315	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
317	224, 252	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
319		ltdivmul2 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
320	212, 85, 318, 319	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
321	316, 320	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
322	119, 223, 85, 256, 321	lttrd 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
323	102, 119, 85, 221, 322	lelttrd 11133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
324	97	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ)
325		nnre 11980	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
326		nngt0 12004	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
327	325, 326	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
328	70, 327	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
329		ltdivmul 11850	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
330	324, 85, 328, 329	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
331	323, 330	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
332	87, 331	eqbrtrrd 5098	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
333	30, 85	remulcld 11005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
334	3, 62, 55, 63, 64	bposlem5 26436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
335	71, 30, 84	lemul1d 12815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
336	334, 335	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
337	78	zred 12426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
338	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
339		flle 13519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
340	74, 339	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
341	63, 340	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
342		2pos 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
343	26, 342	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
344	343	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
345		lemul2 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
346	104, 74, 344, 345	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
347	341, 346	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
348	18	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
349		3ne0 12079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
350	288, 349	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
351		divass 11651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
352	289, 350, 351	mp3an13 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
353	348, 352	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
354	5	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
355		mulass 10959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
356	289, 289, 354, 355	mp3an12i 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
357		2t2e4 12137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
358	357	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁)
359	356, 358	eqtr3di 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
360	359	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = ((4 · 𝑁) / 3))
361	353, 360	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑁) / 3)) = ((4 · 𝑁) / 3))
362	347, 361	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ ((4 · 𝑁) / 3))
363	337, 36, 338, 362	lesub1dd 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5))
364		1lt2 12144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
365	364	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
366	257, 365, 82, 39	cxpled 25875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ↔ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
367	363, 366	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))
368	85, 42, 29	lemul2d 12816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ↔ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))))
369	367, 368	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
370	86, 333, 43, 336, 369	letrd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
371	15, 86, 43, 332, 370	ltletrd 11135	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
372	10, 15, 43, 54, 371	lttrd 11136	1 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 ifcif 4459 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 3c3 12029 4c4 12030 5c5 12031 6c6 12032 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ℝ⁺crp 12730 ...cfz 13239 ⌊cfl 13510 seqcseq 13721 ↑cexp 13782 Ccbc 14016 √csqrt 14944 expce 15771 ∥ cdvds 15963 ℙcprime 16376 pCnt cpc 16537 logclog 25710 ↑_𝑐ccxp 25711 θccht 26240

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-oadd 8301 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ioc 13084 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988 df-bc 14017 df-hash 14045 df-shft 14778 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-ef 15777 df-sin 15779 df-cos 15780 df-pi 15782 df-dvds 15964 df-gcd 16202 df-prm 16377 df-pc 16538 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-fbas 20594 df-fg 20595 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-nei 22249 df-lp 22287 df-perf 22288 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-haus 22466 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-fil 22997 df-fm 23089 df-flim 23090 df-flf 23091 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-cncf 24041 df-limc 25030 df-dv 25031 df-log 25712 df-cxp 25713 df-cht 26246 df-ppi 26249

This theorem is referenced by: bposlem9 26440

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