bposlem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem6 27260

Description: Lemma for bpos 27264. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for 𝑁 large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Wolf Lammen, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem6	⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12232	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		5nn 12235	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
4		eluznn 12835	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
7		nnexpcl 14001	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℝ)
10	9, 5	nndivred 12203	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
11		fzctr 13560	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	6, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnred 12164	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
16		2nn 12222	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12173	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 12951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
20	18	nnred 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	19	rpge0d 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
22	20, 21	resqrtcld 15345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
23		3nn 12228	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
24		nndivre 12190	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
25	22, 23, 24	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
26		2re 12223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		readdcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
29	19, 28	rpcxpcld 26702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 12953	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
31		2rp 12914	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
32		nnmulcl 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
33	1, 5, 32	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nnred 12164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
35		nndivre 12190	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
36	34, 23, 35	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
37		5re 12236	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
38		resubcl 11449	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
40		rpcxpcl 26645	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
41	31, 39, 40	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
42	41	rpred 12953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ)
43	30, 42	remulcld 11166	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) ∈ ℝ)
44		df-5 12215	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
45		4z 12529	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
46		uzid 12770	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ_≥‘4))
47		peano2uz 12818	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘4) → (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4))
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4)
49	44, 48	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘4)
50		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘4) = (ℤ_≥‘4)
51	50	uztrn2 12774	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
52	49, 3, 51	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
53		bclbnd 27251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
54	52, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
55		bpos.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
57		pccl 16781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
58	56, 14, 57	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
59	58	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
60	55, 59	pcmptcl 16823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
61	60	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
62		bpos.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
63		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
64		bpos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
65	3, 62, 55, 63, 64	bposlem4 27258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))
66		elfzuz 13440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
68		eluznn 12835	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
69	23, 67, 68	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	61, 69	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
71	70	nnred 12164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
72		2z 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73		nndivre 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
74	20, 23, 73	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
75	74	flcld 13722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
76	63, 75	eqeltrid 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
77		zmulcl 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
78	72, 76, 77	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
79	2	nnzi 12519	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
80		zsubcl 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
81	78, 79, 80	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
82	81	zred 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ)
83		rpcxpcl 26645	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
84	31, 82, 83	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
85	84	rpred 12953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ)
86	71, 85	remulcld 11166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
87	3, 62, 55, 63	bposlem3 27257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
88		elfzuz3 13441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
89	65, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
90	55, 59, 69, 89	pcmptdvds 16826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾))
91	70	nnzd 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
92	70	nnne0d 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
93		uztrn 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
94	89, 67, 93	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
95		eluznn 12835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
96	23, 94, 95	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
97	61, 96	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ)
99		dvdsval2 16186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
100	91, 92, 98, 99	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
101	90, 100	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ)
102	101	zred 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℝ)
103	69	nnred 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
104	76	zred 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
105		eluzle 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
106	89, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
107		efchtdvds 27129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
109		efchtcl 27081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
110	103, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
111	110	nnzd 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ)
112	110	nnne0d 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0)
113		efchtcl 27081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
114	104, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
115	114	nnzd 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ)
116		dvdsval2 16186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
117	111, 112, 115, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
118	108, 117	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ)
119	118	zred 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℝ)
120		prmz 16606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
121		fllt 13730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
122	22, 120, 121	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
123	64	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝)
124	122, 123	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ 𝑀 < 𝑝))
125	120	zred 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
126		ltnle 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
127	103, 125, 126	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
128	124, 127	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
129		bposlem1 27255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
130	5, 129	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
131	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
132		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
133		pccl 16781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
134	132, 14, 133	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
135	131, 134	reexpcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
136	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137	131	resqcld 14052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℝ)
138		lelttr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
140	130, 139	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) < (𝑝↑2) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
141		resqrtth 15182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
142	20, 21, 141	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
143	142	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
145	134	nn0zd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
146	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
147		prmgt1 16628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
148	147	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
149	131, 145, 146, 148	ltexp2d 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
150	140, 144, 149	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2))
151		df-2 12212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
152	151	breq2i 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1))
153	150, 152	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
154	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
155	20, 21	sqrtge0d 15348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
156	155	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
157		prmnn 16605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
158	157	nnrpd 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ⁺)
159	158	rpge0d 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑝)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝)
161	154, 131, 156, 160	lt2sqd 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2)))
162		1z 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
163		zleltp1 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
164	145, 162, 163	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
165	153, 161, 164	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
166	128, 165	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑀 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
167	166	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
168	167	adantrl 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
169		iftrue 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
170	169	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
171		iftrue 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
173	168, 170, 172	3brtr4d 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
174		0le0 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 0
175		iffalse 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
176		iffalse 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 0)
177	175, 176	breq12d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) ↔ 0 ≤ 0))
178	174, 177	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
179	178	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
180	173, 179	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
181	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
182	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
183		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
184		oveq1 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
185	89	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
186	55, 181, 182, 183, 184, 185	pcmpt2 16825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
187		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
188	187	prmorcht 27148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
189	96, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
190	187	prmorcht 27148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
191	69, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
192	189, 191	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
193	192	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
194	193	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))))
195		nncn 12157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
196	195	exp1d 14068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
197	196	ifeq1d 4500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
198	197	mpteq2ia 5194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
199	198	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
200		1nn0 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ₀)
202	201	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
203	202	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
204		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
205	199, 203, 182, 183, 204, 185	pcmpt2 16825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
206	194, 205	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
207	180, 186, 206	3brtr4d 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
208	207	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
209		pc2dvds 16811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
210	101, 118, 209	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
211	208, 210	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
212	114	nnred 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ)
213	110	nnred 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ)
214	114	nngt0d 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))
215	110	nngt0d 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝑀)))
216	212, 213, 214, 215	divgt0d 12081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
217		elnnz 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ ↔ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
218	118, 216, 217	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ)
219		dvdsle 16241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
220	101, 218, 219	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
221	211, 220	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
222		nndivre 12190	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
223	212, 1, 222	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
224		4re 12233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
225	224	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
226		6re 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
227	226	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ∈ ℝ)
228		4lt6 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < 6
229	228	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 < 6)
230		cht3 27143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
231	230	fveq2i 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = (exp‘(log‘6))
232		6pos 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
233	226, 232	elrpii 12912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
234		reeflog 26549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ⁺ → (exp‘(log‘6)) = 6)
235	233, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(log‘6)) = 6
236	231, 235	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = 6
237		3re 12229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
239		eluzle 12768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
240	67, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑀)
241		chtwordi 27126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑀) → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
242	238, 103, 240, 241	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
243		chtcl 27079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ → (θ‘3) ∈ ℝ)
244	237, 243	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) ∈ ℝ
245		chtcl 27079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
246	103, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
247		efle 16047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘3) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑀) ∈ ℝ) → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
248	244, 246, 247	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
249	242, 248	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
250	236, 249	eqbrtrrid 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
251	225, 227, 213, 229, 250	ltletrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 < (exp‘(θ‘𝑀)))
252		4pos 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
254		ltdiv2 12032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ ((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝑀))) ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))) → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
255	225, 253, 213, 215, 212, 214, 254	syl222anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
256	251, 255	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4))
257	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
258		2lt3 12316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 < 3)
260	238, 103, 104, 240, 106	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝐾)
261	257, 238, 104, 259, 260	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐾)
262		chtub 27183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐾) → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
263	104, 261, 262	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
264		chtcl 27079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
265	104, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
266		relogcl 26544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
267	31, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
268		3z 12528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
269		zsubcl 12537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
270	78, 268, 269	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
271	270	zred 12600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ)
272		remulcl 11115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
273	267, 271, 272	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
274		eflt 16046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘𝐾) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ) → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
275	265, 273, 274	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
276	263, 275	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
277		reexplog 26564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
278	31, 270, 277	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
279	270	zcnd 12601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ)
280	267	recni 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
281		mulcom 11116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
282	279, 280, 281	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
283	282	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
284	278, 283	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
285	276, 284	breqtrrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
286		3p2e5 12295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 2) = 5
287	286	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = (5 − 2)
288		3cn 12230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
289		2cn 12224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
290	288, 289	pncan3oi 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = 3
291	287, 290	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 2) = 3
292	291	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = ((2 · 𝐾) − 3)
293	78	zcnd 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
294		5cn 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℂ
295		subsub 11415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
296	294, 289, 295	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
297	293, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
298	292, 297	eqtr3id 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
299	298	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)))
300		2ne0 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
301		cxpexpz 26636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
302	289, 300, 270, 301	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
303	81	zcnd 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ)
304		2cnne0 12354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
305		cxpadd 26648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
306	304, 289, 305	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
307	303, 306	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
308	299, 302, 307	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
309		2nn0 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
310		cxpexp 26637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (2↑_𝑐2) = (2↑2))
311	289, 309, 310	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑_𝑐2) = (2↑2)
312		sq2 14124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
313	311, 312	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑_𝑐2) = 4
314	313	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)
315	308, 314	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
316	285, 315	breqtrd 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
317	224, 252	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
319		ltdivmul2 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
320	212, 85, 318, 319	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
321	316, 320	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
322	119, 223, 85, 256, 321	lttrd 11298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
323	102, 119, 85, 221, 322	lelttrd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
324	97	nnred 12164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ)
325		nnre 12156	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
326		nngt0 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
327	325, 326	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
328	70, 327	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
329		ltdivmul 12021	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
330	324, 85, 328, 329	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
331	323, 330	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
332	87, 331	eqbrtrrd 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
333	30, 85	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
334	3, 62, 55, 63, 64	bposlem5 27259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
335	71, 30, 84	lemul1d 12996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
336	334, 335	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
337	78	zred 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
338	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
339		flle 13723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
340	74, 339	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
341	63, 340	eqbrtrid 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
342		2pos 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
343	26, 342	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
344	343	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
345		lemul2 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
346	104, 74, 344, 345	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
347	341, 346	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
348	18	nncnd 12165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
349		3ne0 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
350	288, 349	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
351		divass 11818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
352	289, 350, 351	mp3an13 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
353	348, 352	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
354	5	nncnd 12165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
355		mulass 11118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
356	289, 289, 354, 355	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
357		2t2e4 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
358	357	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁)
359	356, 358	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
360	359	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = ((4 · 𝑁) / 3))
361	353, 360	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑁) / 3)) = ((4 · 𝑁) / 3))
362	347, 361	breqtrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ ((4 · 𝑁) / 3))
363	337, 36, 338, 362	lesub1dd 11757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5))
364		1lt2 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
365	364	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
366	257, 365, 82, 39	cxpled 26689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ↔ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
367	363, 366	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))
368	85, 42, 29	lemul2d 12997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ↔ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))))
369	367, 368	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
370	86, 333, 43, 336, 369	letrd 11294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
371	15, 86, 43, 332, 370	ltletrd 11297	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
372	10, 15, 43, 54, 371	lttrd 11298	1 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3061 ifcif 4480 class class class wbr 5099 ↦ cmpt 5180 ⟶wf 6489 ‘cfv 6493 (class class class)co 7360 ℂcc 11028 ℝcr 11029 0cc0 11030 1c1 11031 + caddc 11033 · cmul 11035 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 / cdiv 11798 ℕcn 12149 2c2 12204 3c3 12205 4c4 12206 5c5 12207 6c6 12208 ℕ₀cn0 12405 ℤcz 12492 ℤ_≥cuz 12755 ℝ⁺crp 12909 ...cfz 13427 ⌊cfl 13714 seqcseq 13928 ↑cexp 13988 Ccbc 14229 √csqrt 15160 expce 15988 ∥ cdvds 16183 ℙcprime 16602 pCnt cpc 16768 logclog 26523 ↑_𝑐ccxp 26524 θccht 27061

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5225 ax-sep 5242 ax-nul 5252 ax-pow 5311 ax-pr 5378 ax-un 7682 ax-inf2 9554 ax-cnex 11086 ax-resscn 11087 ax-1cn 11088 ax-icn 11089 ax-addcl 11090 ax-addrcl 11091 ax-mulcl 11092 ax-mulrcl 11093 ax-mulcom 11094 ax-addass 11095 ax-mulass 11096 ax-distr 11097 ax-i2m1 11098 ax-1ne0 11099 ax-1rid 11100 ax-rnegex 11101 ax-rrecex 11102 ax-cnre 11103 ax-pre-lttri 11104 ax-pre-lttrn 11105 ax-pre-ltadd 11106 ax-pre-mulgt0 11107 ax-pre-sup 11108 ax-addf 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3401 df-v 3443 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4287 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4582 df-pr 4584 df-tp 4586 df-op 4588 df-uni 4865 df-int 4904 df-iun 4949 df-iin 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-supp 8105 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-oadd 8403 df-er 8637 df-map 8769 df-pm 8770 df-ixp 8840 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-fsupp 9269 df-fi 9318 df-sup 9349 df-inf 9350 df-oi 9419 df-dju 9817 df-card 9855 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12150 df-2 12212 df-3 12213 df-4 12214 df-5 12215 df-6 12216 df-7 12217 df-8 12218 df-9 12219 df-n0 12406 df-xnn0 12479 df-z 12493 df-dec 12612 df-uz 12756 df-q 12866 df-rp 12910 df-xneg 13030 df-xadd 13031 df-xmul 13032 df-ioo 13269 df-ioc 13270 df-ico 13271 df-icc 13272 df-fz 13428 df-fzo 13575 df-fl 13716 df-mod 13794 df-seq 13929 df-exp 13989 df-fac 14201 df-bc 14230 df-hash 14258 df-shft 14994 df-cj 15026 df-re 15027 df-im 15028 df-sqrt 15162 df-abs 15163 df-limsup 15398 df-clim 15415 df-rlim 15416 df-sum 15614 df-ef 15994 df-sin 15996 df-cos 15997 df-pi 15999 df-dvds 16184 df-gcd 16426 df-prm 16603 df-pc 16769 df-struct 17078 df-sets 17095 df-slot 17113 df-ndx 17125 df-base 17141 df-ress 17162 df-plusg 17194 df-mulr 17195 df-starv 17196 df-sca 17197 df-vsca 17198 df-ip 17199 df-tset 17200 df-ple 17201 df-ds 17203 df-unif 17204 df-hom 17205 df-cco 17206 df-rest 17346 df-topn 17347 df-0g 17365 df-gsum 17366 df-topgen 17367 df-pt 17368 df-prds 17371 df-xrs 17427 df-qtop 17432 df-imas 17433 df-xps 17435 df-mre 17509 df-mrc 17510 df-acs 17512 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-submnd 18713 df-mulg 19002 df-cntz 19250 df-cmn 19715 df-psmet 21305 df-xmet 21306 df-met 21307 df-bl 21308 df-mopn 21309 df-fbas 21310 df-fg 21311 df-cnfld 21314 df-top 22842 df-topon 22859 df-topsp 22881 df-bases 22894 df-cld 22967 df-ntr 22968 df-cls 22969 df-nei 23046 df-lp 23084 df-perf 23085 df-cn 23175 df-cnp 23176 df-haus 23263 df-tx 23510 df-hmeo 23703 df-fil 23794 df-fm 23886 df-flim 23887 df-flf 23888 df-xms 24268 df-ms 24269 df-tms 24270 df-cncf 24831 df-limc 25827 df-dv 25828 df-log 26525 df-cxp 26526 df-cht 27067 df-ppi 27070

This theorem is referenced by: bposlem9 27263

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