bposlem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem6 27228

Description: Lemma for bpos 27232. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for 𝑁 large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Wolf Lammen, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem6	⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12215	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		5nn 12218	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
4		eluznn 12818	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
7		nnexpcl 13983	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℝ)
10	9, 5	nndivred 12186	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
11		fzctr 13542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	6, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnred 12147	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
16		2nn 12205	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12156	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 12934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
20	18	nnred 12147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	19	rpge0d 12940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
22	20, 21	resqrtcld 15327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
23		3nn 12211	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
24		nndivre 12173	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
26		2re 12206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		readdcl 11096	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
29	19, 28	rpcxpcld 26670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 12936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
31		2rp 12897	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
32		nnmulcl 12156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
33	1, 5, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nnred 12147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
35		nndivre 12173	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
36	34, 23, 35	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
37		5re 12219	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
38		resubcl 11432	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
40		rpcxpcl 26613	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
41	31, 39, 40	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ⁺)
42	41	rpred 12936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ)
43	30, 42	remulcld 11149	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) ∈ ℝ)
44		df-5 12198	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
45		4z 12512	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
46		uzid 12753	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ_≥‘4))
47		peano2uz 12801	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘4) → (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4))
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) ∈ (ℤ_≥‘4)
49	44, 48	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘4)
50		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘4) = (ℤ_≥‘4)
51	50	uztrn2 12757	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
52	49, 3, 51	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4))
53		bclbnd 27219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
54	52, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
55		bpos.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
57		pccl 16763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
58	56, 14, 57	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
59	58	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
60	55, 59	pcmptcl 16805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
61	60	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
62		bpos.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
63		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
64		bpos.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
65	3, 62, 55, 63, 64	bposlem4 27226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))
66		elfzuz 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
68		eluznn 12818	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
69	23, 67, 68	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	61, 69	ffvelcdmd 7024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
71	70	nnred 12147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
72		2z 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73		nndivre 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
74	20, 23, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
75	74	flcld 13704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
76	63, 75	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
77		zmulcl 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
78	72, 76, 77	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
79	2	nnzi 12502	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
80		zsubcl 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
81	78, 79, 80	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
82	81	zred 12583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ)
83		rpcxpcl 26613	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
84	31, 82, 83	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ⁺)
85	84	rpred 12936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ)
86	71, 85	remulcld 11149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
87	3, 62, 55, 63	bposlem3 27225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
88		elfzuz3 13423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
89	65, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
90	55, 59, 69, 89	pcmptdvds 16808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾))
91	70	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
92	70	nnne0d 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
93		uztrn 12756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
94	89, 67, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3))
95		eluznn 12818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
96	23, 94, 95	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
97	61, 96	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ)
99		dvdsval2 16168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
100	91, 92, 98, 99	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
101	90, 100	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ)
102	101	zred 12583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℝ)
103	69	nnred 12147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
104	76	zred 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
105		eluzle 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
106	89, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
107		efchtdvds 27097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
109		efchtcl 27049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
110	103, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
111	110	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ)
112	110	nnne0d 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0)
113		efchtcl 27049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
114	104, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
115	114	nnzd 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ)
116		dvdsval2 16168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
117	111, 112, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
118	108, 117	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ)
119	118	zred 12583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℝ)
120		prmz 16588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
121		fllt 13712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
122	22, 120, 121	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
123	64	breq1i 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝)
124	122, 123	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ 𝑀 < 𝑝))
125	120	zred 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
126		ltnle 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
127	103, 125, 126	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
128	124, 127	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀))
129		bposlem1 27223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
130	5, 129	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
131	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
132		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
133		pccl 16763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
134	132, 14, 133	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
135	131, 134	reexpcld 14072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
136	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137	131	resqcld 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℝ)
138		lelttr 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
140	130, 139	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) < (𝑝↑2) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
141		resqrtth 15164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
142	20, 21, 141	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
143	142	breq1d 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
145	134	nn0zd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
146	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
147		prmgt1 16610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
148	147	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
149	131, 145, 146, 148	ltexp2d 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
150	140, 144, 149	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2))
151		df-2 12195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
152	151	breq2i 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1))
153	150, 152	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
154	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
155	20, 21	sqrtge0d 15330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
156	155	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
157		prmnn 16587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
158	157	nnrpd 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ⁺)
159	158	rpge0d 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑝)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝)
161	154, 131, 156, 160	lt2sqd 14165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2)))
162		1z 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
163		zleltp1 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
164	145, 162, 163	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
165	153, 161, 164	3imtr4d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
166	128, 165	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑀 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
167	166	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
168	167	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
169		iftrue 4480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
170	169	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
171		iftrue 4480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 1)
173	168, 170, 172	3brtr4d 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
174		0le0 12233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 0
175		iffalse 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
176		iffalse 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) = 0)
177	175, 176	breq12d 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → (if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0) ↔ 0 ≤ 0))
178	174, 177	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
179	178	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ (𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀)) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
180	173, 179	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
181	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
182	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
183		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
184		oveq1 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
185	89	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
186	55, 181, 182, 183, 184, 185	pcmpt2 16807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
187		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
188	187	prmorcht 27116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
189	96, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
190	187	prmorcht 27116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
191	69, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
192	189, 191	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
193	192	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
194	193	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))))
195		nncn 12140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
196	195	exp1d 14050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
197	196	ifeq1d 4494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
198	197	mpteq2ia 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
199	198	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
200		1nn0 12404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ₀)
202	201	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
203	202	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ₀)
204		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
205	199, 203, 182, 183, 204, 185	pcmpt2 16807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
206	194, 205	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = if((𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀), 1, 0))
207	180, 186, 206	3brtr4d 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
208	207	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
209		pc2dvds 16793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
210	101, 118, 209	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
211	208, 210	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
212	114	nnred 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ)
213	110	nnred 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ)
214	114	nngt0d 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))
215	110	nngt0d 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝑀)))
216	212, 213, 214, 215	divgt0d 12064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
217		elnnz 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ ↔ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
218	118, 216, 217	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ)
219		dvdsle 16223	. . . . . . . 8 ⊢ ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
220	101, 218, 219	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
221	211, 220	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
222		nndivre 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
223	212, 1, 222	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
224		4re 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
225	224	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
226		6re 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
227	226	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ∈ ℝ)
228		4lt6 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < 6
229	228	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 < 6)
230		cht3 27111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)
231	230	fveq2i 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = (exp‘(log‘6))
232		6pos 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 6
233	226, 232	elrpii 12895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
234		reeflog 26517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ⁺ → (exp‘(log‘6)) = 6)
235	233, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(log‘6)) = 6
236	231, 235	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(θ‘3)) = 6
237		3re 12212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
239		eluzle 12751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
240	67, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑀)
241		chtwordi 27094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑀) → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
242	238, 103, 240, 241	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
243		chtcl 27047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ → (θ‘3) ∈ ℝ)
244	237, 243	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (θ‘3) ∈ ℝ
245		chtcl 27047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
246	103, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
247		efle 16029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘3) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑀) ∈ ℝ) → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
248	244, 246, 247	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
249	242, 248	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
250	236, 249	eqbrtrrid 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 6 ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
251	225, 227, 213, 229, 250	ltletrd 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 < (exp‘(θ‘𝑀)))
252		4pos 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
254		ltdiv2 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ ((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝑀))) ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))) → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
255	225, 253, 213, 215, 212, 214, 254	syl222anc 1388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
256	251, 255	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4))
257	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
258		2lt3 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 < 3)
260	238, 103, 104, 240, 106	letrd 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝐾)
261	257, 238, 104, 259, 260	ltletrd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐾)
262		chtub 27151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐾) → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
263	104, 261, 262	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
264		chtcl 27047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
265	104, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
266		relogcl 26512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
267	31, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
268		3z 12511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
269		zsubcl 12520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
270	78, 268, 269	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
271	270	zred 12583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ)
272		remulcl 11098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
273	267, 271, 272	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
274		eflt 16028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((θ‘𝐾) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ) → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
275	265, 273, 274	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
276	263, 275	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
277		reexplog 26532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
278	31, 270, 277	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
279	270	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ)
280	267	recni 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
281		mulcom 11099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
282	279, 280, 281	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
283	282	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
284	278, 283	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
285	276, 284	breqtrrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
286		3p2e5 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 2) = 5
287	286	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = (5 − 2)
288		3cn 12213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
289		2cn 12207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
290	288, 289	pncan3oi 11383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 2) = 3
291	287, 290	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 2) = 3
292	291	oveq2i 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = ((2 · 𝐾) − 3)
293	78	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
294		5cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℂ
295		subsub 11398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
296	294, 289, 295	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
297	293, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
298	292, 297	eqtr3id 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
299	298	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)))
300		2ne0 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
301		cxpexpz 26604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
302	289, 300, 270, 301	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
303	81	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ)
304		2cnne0 12337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
305		cxpadd 26616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
306	304, 289, 305	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
307	303, 306	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
308	299, 302, 307	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)))
309		2nn0 12405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
310		cxpexp 26605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (2↑_𝑐2) = (2↑2))
311	289, 309, 310	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑_𝑐2) = (2↑2)
312		sq2 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
313	311, 312	eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑_𝑐2) = 4
314	313	oveq2i 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑_𝑐2)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)
315	308, 314	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
316	285, 315	breqtrd 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
317	224, 252	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
319		ltdivmul2 12006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
320	212, 85, 318, 319	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
321	316, 320	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
322	119, 223, 85, 256, 321	lttrd 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
323	102, 119, 85, 221, 322	lelttrd 11278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
324	97	nnred 12147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ)
325		nnre 12139	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
326		nngt0 12163	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
327	325, 326	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
328	70, 327	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
329		ltdivmul 12004	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
330	324, 85, 328, 329	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
331	323, 330	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
332	87, 331	eqbrtrrd 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
333	30, 85	remulcld 11149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
334	3, 62, 55, 63, 64	bposlem5 27227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
335	71, 30, 84	lemul1d 12979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
336	334, 335	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
337	78	zred 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
338	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
339		flle 13705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
340	74, 339	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
341	63, 340	eqbrtrid 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
342		2pos 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
343	26, 342	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
344	343	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
345		lemul2 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
346	104, 74, 344, 345	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
347	341, 346	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
348	18	nncnd 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
349		3ne0 12238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
350	288, 349	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
351		divass 11801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
352	289, 350, 351	mp3an13 1454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
353	348, 352	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
354	5	nncnd 12148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
355		mulass 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
356	289, 289, 354, 355	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
357		2t2e4 12291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
358	357	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁)
359	356, 358	eqtr3di 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
360	359	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = ((4 · 𝑁) / 3))
361	353, 360	eqtr3d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑁) / 3)) = ((4 · 𝑁) / 3))
362	347, 361	breqtrd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ ((4 · 𝑁) / 3))
363	337, 36, 338, 362	lesub1dd 11740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5))
364		1lt2 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
365	364	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
366	257, 365, 82, 39	cxpled 26657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ↔ (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
367	363, 366	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))
368	85, 42, 29	lemul2d 12980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ↔ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))))
369	367, 368	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
370	86, 333, 43, 336, 369	letrd 11277	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑_𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
371	15, 86, 43, 332, 370	ltletrd 11280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
372	10, 15, 43, 54, 371	lttrd 11281	1 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 ∀wral 3048 ∃wrex 3057 ifcif 4474 class class class wbr 5093 ↦ cmpt 5174 ⟶wf 6482 ‘cfv 6486 (class class class)co 7352 ℂcc 11011 ℝcr 11012 0cc0 11013 1c1 11014 + caddc 11016 · cmul 11018 < clt 11153 ≤ cle 11154 − cmin 11351 / cdiv 11781 ℕcn 12132 2c2 12187 3c3 12188 4c4 12189 5c5 12190 6c6 12191 ℕ₀cn0 12388 ℤcz 12475 ℤ_≥cuz 12738 ℝ⁺crp 12892 ...cfz 13409 ⌊cfl 13696 seqcseq 13910 ↑cexp 13970 Ccbc 14211 √csqrt 15142 expce 15970 ∥ cdvds 16165 ℙcprime 16584 pCnt cpc 16750 logclog 26491 ↑_𝑐ccxp 26492 θccht 27029

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5219 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-inf2 9538 ax-cnex 11069 ax-resscn 11070 ax-1cn 11071 ax-icn 11072 ax-addcl 11073 ax-addrcl 11074 ax-mulcl 11075 ax-mulrcl 11076 ax-mulcom 11077 ax-addass 11078 ax-mulass 11079 ax-distr 11080 ax-i2m1 11081 ax-1ne0 11082 ax-1rid 11083 ax-rnegex 11084 ax-rrecex 11085 ax-cnre 11086 ax-pre-lttri 11087 ax-pre-lttrn 11088 ax-pre-ltadd 11089 ax-pre-mulgt0 11090 ax-pre-sup 11091 ax-addf 11092

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-tp 4580 df-op 4582 df-uni 4859 df-int 4898 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-of 7616 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-supp 8097 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-1o 8391 df-2o 8392 df-oadd 8395 df-er 8628 df-map 8758 df-pm 8759 df-ixp 8828 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-fin 8879 df-fsupp 9253 df-fi 9302 df-sup 9333 df-inf 9334 df-oi 9403 df-dju 9801 df-card 9839 df-pnf 11155 df-mnf 11156 df-xr 11157 df-ltxr 11158 df-le 11159 df-sub 11353 df-neg 11354 df-div 11782 df-nn 12133 df-2 12195 df-3 12196 df-4 12197 df-5 12198 df-6 12199 df-7 12200 df-8 12201 df-9 12202 df-n0 12389 df-xnn0 12462 df-z 12476 df-dec 12595 df-uz 12739 df-q 12849 df-rp 12893 df-xneg 13013 df-xadd 13014 df-xmul 13015 df-ioo 13251 df-ioc 13252 df-ico 13253 df-icc 13254 df-fz 13410 df-fzo 13557 df-fl 13698 df-mod 13776 df-seq 13911 df-exp 13971 df-fac 14183 df-bc 14212 df-hash 14240 df-shft 14976 df-cj 15008 df-re 15009 df-im 15010 df-sqrt 15144 df-abs 15145 df-limsup 15380 df-clim 15397 df-rlim 15398 df-sum 15596 df-ef 15976 df-sin 15978 df-cos 15979 df-pi 15981 df-dvds 16166 df-gcd 16408 df-prm 16585 df-pc 16751 df-struct 17060 df-sets 17077 df-slot 17095 df-ndx 17107 df-base 17123 df-ress 17144 df-plusg 17176 df-mulr 17177 df-starv 17178 df-sca 17179 df-vsca 17180 df-ip 17181 df-tset 17182 df-ple 17183 df-ds 17185 df-unif 17186 df-hom 17187 df-cco 17188 df-rest 17328 df-topn 17329 df-0g 17347 df-gsum 17348 df-topgen 17349 df-pt 17350 df-prds 17353 df-xrs 17408 df-qtop 17413 df-imas 17414 df-xps 17416 df-mre 17490 df-mrc 17491 df-acs 17493 df-mgm 18550 df-sgrp 18629 df-mnd 18645 df-submnd 18694 df-mulg 18983 df-cntz 19231 df-cmn 19696 df-psmet 21285 df-xmet 21286 df-met 21287 df-bl 21288 df-mopn 21289 df-fbas 21290 df-fg 21291 df-cnfld 21294 df-top 22810 df-topon 22827 df-topsp 22849 df-bases 22862 df-cld 22935 df-ntr 22936 df-cls 22937 df-nei 23014 df-lp 23052 df-perf 23053 df-cn 23143 df-cnp 23144 df-haus 23231 df-tx 23478 df-hmeo 23671 df-fil 23762 df-fm 23854 df-flim 23855 df-flf 23856 df-xms 24236 df-ms 24237 df-tms 24238 df-cncf 24799 df-limc 25795 df-dv 25796 df-log 26493 df-cxp 26494 df-cht 27035 df-ppi 27038

This theorem is referenced by: bposlem9 27231

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