Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | discr.2 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
3 | | resqcl 14038 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) โ
โ) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ตโ2) โ โ) |
5 | 4 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ตโ2) โ โ) |
6 | | 4re 12245 |
. . . . . . . . 9
โข 4 โ
โ |
7 | | discr.1 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
9 | | discr.3 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
11 | 8, 10 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
12 | | remulcl 11144 |
. . . . . . . . 9
โข ((4
โ โ โง (๐ด
ยท ๐ถ) โ โ)
โ (4 ยท (๐ด
ยท ๐ถ)) โ
โ) |
13 | 6, 11, 12 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) |
14 | 13 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) |
15 | | 4pos 12268 |
. . . . . . . . . 10
โข 0 <
4 |
16 | 6, 15 | elrpii 12926 |
. . . . . . . . 9
โข 4 โ
โ+ |
17 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 0 < ๐ด) |
18 | 8, 17 | elrpd 12962 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ด โ
โ+) |
19 | | rpmulcl 12946 |
. . . . . . . . 9
โข ((4
โ โ+ โง ๐ด โ โ+) โ (4
ยท ๐ด) โ
โ+) |
20 | 16, 18, 19 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท ๐ด) โ
โ+) |
21 | 20 | rpcnd 12967 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท ๐ด) โ โ) |
22 | 20 | rpne0d 12970 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท ๐ด) โ 0) |
23 | 5, 14, 21, 22 | divsubdird 11978 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)))) |
24 | 11 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
25 | 8 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
26 | | 4cn 12246 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
โ |
27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 4 โ โ) |
28 | 18 | rpne0d 12970 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ด โ 0) |
29 | | 4ne0 12269 |
. . . . . . . . . 10
โข 4 โ
0 |
30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 4 โ 0) |
31 | 24, 25, 27, 28, 30 | divcan5d 11965 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด)) |
32 | 10 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
33 | 32, 25, 28 | divcan3d 11944 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด) = ๐ถ) |
34 | 31, 33 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ๐ถ) |
35 | 34 | oveq2d 7377 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ๐ถ)) |
36 | 23, 35 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ๐ถ)) |
37 | 4, 20 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ โ) |
38 | 37 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ โ) |
39 | 38 | 2timesd 12404 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (2 ยท ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)))) |
40 | | 2t2e4 12325 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (2
ยท 2) = 4 |
41 | 40 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((2
ยท 2) ยท ๐ด) =
(4 ยท ๐ด) |
42 | | 2cnd 12239 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 2 โ โ) |
43 | 42, 42, 25 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท
๐ด))) |
44 | 41, 43 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (4 ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด))) |
45 | 44 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท (๐ตโ2)) / (4 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (๐ตโ2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด)))) |
46 | 42, 5, 21, 22 | divassd 11974 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท (๐ตโ2)) / (4 ยท ๐ด)) = (2 ยท ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)))) |
47 | | 2rp 12928 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 2 โ
โ+ |
48 | | rpmulcl 12946 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((2
โ โ+ โง ๐ด โ โ+) โ (2
ยท ๐ด) โ
โ+) |
49 | 47, 18, 48 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (2 ยท ๐ด) โ
โ+) |
50 | 49 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (2 ยท ๐ด) โ โ) |
51 | 49 | rpne0d 12970 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (2 ยท ๐ด) โ 0) |
52 | | 2ne0 12265 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 2 โ
0 |
53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 2 โ 0) |
54 | 5, 50, 42, 51, 53 | divcan5d 11965 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท (๐ตโ2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) |
55 | 45, 46, 54 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (2 ยท ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) |
56 | 39, 55 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) |
57 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ (๐ฅโ2) = (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) |
58 | 57 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ (๐ด ยท (๐ฅโ2)) = (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2))) |
59 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ (๐ต ยท ๐ฅ) = (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) |
60 | 58, 59 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ ((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) = ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))))) |
61 | 60 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ)) |
62 | 61 | breq2d 5121 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ (0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ) โ 0 โค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))) |
63 | | discr.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ 0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ)) |
64 | 63 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ)) |
65 | 64 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ)) |
66 | 2, 49 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ โ) |
67 | 66 | renegcld 11590 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ โ) |
68 | 62, 65, 67 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 0 โค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ)) |
69 | 66 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ โ) |
70 | | sqneg 14030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ โ โ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) |
71 | 69, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) |
72 | 2 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
73 | | sqdiv 14035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ต โ โ โง (2
ยท ๐ด) โ โ
โง (2 ยท ๐ด) โ
0) โ ((๐ต / (2 ยท
๐ด))โ2) = ((๐ตโ2) / ((2 ยท ๐ด)โ2))) |
74 | 72, 50, 51, 73 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2) = ((๐ตโ2) / ((2 ยท ๐ด)โ2))) |
75 | | sqval 14029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((2
ยท ๐ด) โ โ
โ ((2 ยท ๐ด)โ2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด))) |
76 | 50, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท ๐ด)โ2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด))) |
77 | 50, 42, 25 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด))) |
78 | 42, 25, 42 | mul32d 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = ((2 ยท 2) ยท
๐ด)) |
79 | 78, 41 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = (4 ยท ๐ด)) |
80 | 79 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)) |
81 | 76, 77, 80 | 3eqtr2d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((2 ยท ๐ด)โ2) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)) |
82 | 81 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / ((2 ยท ๐ด)โ2)) = ((๐ตโ2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))) |
83 | 71, 74, 82 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2) = ((๐ตโ2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))) |
84 | 5, 21, 25, 22, 28 | divdiv1d 11970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด) = ((๐ตโ2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))) |
85 | 83, 84 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)) |
86 | 85 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) = (๐ด ยท (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด))) |
87 | 38, 25, 28 | divcan2d 11941 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)) = ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) |
88 | 86, 87 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) = ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) |
89 | 72, 69 | mulneg2d 11617 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด)))) |
90 | | sqval 14029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
91 | 72, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
92 | 91 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด))) |
93 | 72, 72, 50, 51 | divassd 11974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด)))) |
94 | 92, 93 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด)))) |
95 | 94 | negeqd 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ -((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด)))) |
96 | 89, 95 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) |
97 | 88, 96 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)))) |
98 | 4, 49 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) โ โ) |
99 | 98 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) โ โ) |
100 | 38, 99 | negsubd 11526 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)))) |
101 | 97, 100 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)))) |
102 | 101 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) |
103 | 38, 32, 99 | addsubd 11541 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) = ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) |
104 | 102, 103 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)))) |
105 | 68, 104 | breqtrd 5135 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 0 โค ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)))) |
106 | 37, 10 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โ โ) |
107 | 106, 98 | subge0d 11753 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (0 โค ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด))) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) โค (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))) |
108 | 105, 107 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (2 ยท ๐ด)) โค (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)) |
109 | 56, 108 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) โค (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)) |
110 | 37, 10, 37 | leadd2d 11758 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โค ๐ถ โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด))) โค (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))) |
111 | 109, 110 | mpbird 257 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โค ๐ถ) |
112 | 37, 10 | suble0d 11754 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ๐ถ) โค 0 โ ((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โค ๐ถ)) |
113 | 111, 112 | mpbird 257 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) / (4 ยท ๐ด)) โ ๐ถ) โค 0) |
114 | 36, 113 | eqbrtrd 5131 |
. . . 4
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ (((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โค 0) |
115 | 4, 13 | resubcld 11591 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ โ) |
116 | | 0red 11166 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ 0 โ โ) |
117 | 115, 116,
20 | ledivmuld 13018 |
. . . 4
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โค 0 โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โค ((4 ยท ๐ด) ยท 0))) |
118 | 114, 117 | mpbid 231 |
. . 3
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โค ((4 ยท ๐ด) ยท 0)) |
119 | 21 | mul01d 11362 |
. . 3
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((4 ยท ๐ด) ยท 0) = 0) |
120 | 118, 119 | breqtrd 5135 |
. 2
โข ((๐ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โค 0) |
121 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ๐ถ โ โ) |
122 | 121 | ltp1d 12093 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ๐ถ < (๐ถ + 1)) |
123 | | peano2re 11336 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ถ โ โ โ (๐ถ + 1) โ
โ) |
124 | 121, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (๐ถ + 1) โ โ) |
125 | 121, 124 | ltnegd 11741 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (๐ถ < (๐ถ + 1) โ -(๐ถ + 1) < -๐ถ)) |
126 | 122, 125 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ -(๐ถ + 1) < -๐ถ) |
127 | | df-neg 11396 |
. . . . . . . . . 10
โข -๐ถ = (0 โ ๐ถ) |
128 | 126, 127 | breqtrdi 5150 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ -(๐ถ + 1) < (0 โ ๐ถ)) |
129 | 124 | renegcld 11590 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ -(๐ถ + 1) โ โ) |
130 | | 0red 11166 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ 0 โ
โ) |
131 | 129, 121,
130 | ltaddsubd 11763 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ((-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0 โ -(๐ถ + 1) < (0 โ ๐ถ))) |
132 | 128, 131 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0) |
133 | 132 | expr 458 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (๐ต โ 0 โ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)) |
134 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ (๐ฅโ2) = ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) |
135 | 134 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ (๐ด ยท (๐ฅโ2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2))) |
136 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ (๐ต ยท ๐ฅ) = (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) |
137 | 135, 136 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ ((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) = ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)))) |
138 | 137 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ)) |
139 | 138 | breq2d 5121 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ (0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ) โ 0 โค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))) |
140 | 64 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ด ยท (๐ฅโ2)) + (๐ต ยท ๐ฅ)) + ๐ถ)) |
141 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ๐ต โ โ) |
142 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ๐ต โ 0) |
143 | 129, 141,
142 | redivcld 11991 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ โ) |
144 | 139, 140,
143 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ 0 โค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ)) |
145 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ 0 = ๐ด) |
146 | 145 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2))) |
147 | 143 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ โ) |
148 | | sqcl 14032 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ โ โ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2) โ โ) |
149 | 147, 148 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2) โ โ) |
150 | 149 | mul02d 11361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) = 0) |
151 | 146, 150 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) = 0) |
152 | 129 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ -(๐ถ + 1) โ โ) |
153 | 141 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ๐ต โ โ) |
154 | 152, 153,
142 | divcan2d 11941 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)) = -(๐ถ + 1)) |
155 | 151, 154 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = (0 + -(๐ถ + 1))) |
156 | 152 | addlidd 11364 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (0 + -(๐ถ + 1)) = -(๐ถ + 1)) |
157 | 155, 156 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = -(๐ถ + 1)) |
158 | 157 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ) = (-(๐ถ + 1) + ๐ถ)) |
159 | 144, 158 | breqtrd 5135 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ 0 โค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ)) |
160 | | 0re 11165 |
. . . . . . . . . 10
โข 0 โ
โ |
161 | 129, 121 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ โ) |
162 | | lenlt 11241 |
. . . . . . . . . 10
โข ((0
โ โ โง (-(๐ถ +
1) + ๐ถ) โ โ)
โ (0 โค (-(๐ถ + 1) +
๐ถ) โ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)) |
163 | 160, 161,
162 | sylancr 588 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ (0 โค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)) |
164 | 159, 163 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (0 = ๐ด โง ๐ต โ 0)) โ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0) |
165 | 164 | expr 458 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (๐ต โ 0 โ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)) |
166 | 133, 165 | pm2.65d 195 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ ยฌ ๐ต โ 0) |
167 | | nne 2944 |
. . . . . 6
โข (ยฌ
๐ต โ 0 โ ๐ต = 0) |
168 | 166, 167 | sylib 217 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ ๐ต = 0) |
169 | 168 | sq0id 14107 |
. . . 4
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (๐ตโ2) = 0) |
170 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ 0 = ๐ด) |
171 | 170 | oveq1d 7376 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (0 ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
172 | 9 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
173 | 172 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
174 | 173 | mul02d 11361 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (0 ยท ๐ถ) = 0) |
175 | 171, 174 | eqtr3d 2775 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ถ) = 0) |
176 | 175 | oveq2d 7377 |
. . . . 5
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = (4 ยท 0)) |
177 | 26 | mul01i 11353 |
. . . . 5
โข (4
ยท 0) = 0 |
178 | 176, 177 | eqtrdi 2789 |
. . . 4
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = 0) |
179 | 169, 178 | oveq12d 7379 |
. . 3
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) = (0 โ 0)) |
180 | | 0m0e0 12281 |
. . . 4
โข (0
โ 0) = 0 |
181 | | 0le0 12262 |
. . . 4
โข 0 โค
0 |
182 | 180, 181 | eqbrtri 5130 |
. . 3
โข (0
โ 0) โค 0 |
183 | 179, 182 | eqbrtrdi 5148 |
. 2
โข ((๐ โง 0 = ๐ด) โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โค 0) |
184 | | eqid 2733 |
. . . 4
โข if(1 โค
(((๐ต + if(0 โค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) = if(1 โค (((๐ต + if(0 โค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) |
185 | 7, 1, 9, 63, 184 | discr1 14151 |
. . 3
โข (๐ โ 0 โค ๐ด) |
186 | | leloe 11249 |
. . . 4
โข ((0
โ โ โง ๐ด
โ โ) โ (0 โค ๐ด โ (0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด))) |
187 | 160, 7, 186 | sylancr 588 |
. . 3
โข (๐ โ (0 โค ๐ด โ (0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด))) |
188 | 185, 187 | mpbid 231 |
. 2
โข (๐ โ (0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด)) |
189 | 120, 183,
188 | mpjaodan 958 |
1
โข (๐ โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โค 0) |