MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem discr 14228
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
discr.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
discr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
discr.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
discr (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 resqcl 14114 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
54recnd 11266 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 4re 12320 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11268 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
12 remulcl 11217 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
136, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11266 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
15 4pos 12343 . . . . . . . . . 10 0 < 4
166, 15elrpii 13003 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„+
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
188, 17elrpd 13039 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
19 rpmulcl 13023 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2016, 18, 19sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpcnd 13044 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2220rpne0d 13047 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โ‰  0)
235, 14, 21, 22divsubdird 12053 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))))
2411recnd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 4cn 12321 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
2818rpne0d 13047 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
29 4ne0 12344 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โ‰  0)
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 12040 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด))
3210recnd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3332, 25, 28divcan3d 12019 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด) = ๐ถ)
3431, 33eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ๐ถ)
3534oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
3623, 35eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
374, 20rerpdivcld 13073 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
3837recnd 11266 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
39382timesd 12479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
40 2t2e4 12400 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 2) = 4
4140oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (4 ยท ๐ด)
42 2cnd 12314 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4342, 42, 25mulassd 11261 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4441, 43eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4544oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))))
4642, 5, 21, 22divassd 12049 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
47 2rp 13005 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
48 rpmulcl 13023 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
4947, 18, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
5049rpcnd 13044 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5149rpne0d 13047 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
52 2ne0 12340 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰  0)
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 12040 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5545, 46, 543eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5639, 55eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
57 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
5857oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)))
59 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))))
6058, 59oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))))
6160oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6261breq2d 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ)))
63 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6463ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
662, 49rerpdivcld 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6766renegcld 11665 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6862, 65, 67rspcdva 3609 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6966recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
70 sqneg 14106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
722recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73 sqdiv 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
7472, 50, 51, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
75 sqval 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7650, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7750, 42, 25mulassd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7842, 25, 42mul32d 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = ((2 ยท 2) ยท ๐ด))
7978, 41eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = (4 ยท ๐ด))
8079oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8176, 77, 803eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8281oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8371, 74, 823eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
845, 21, 25, 22, 28divdiv1d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8583, 84eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด))
8685oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)))
8738, 25, 28divcan2d 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8886, 87eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8972, 69mulneg2d 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
90 sqval 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9172, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9291oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)))
9372, 72, 50, 51divassd 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9492, 93eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9594negeqd 11478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9689, 95eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
9788, 96oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
984, 49rerpdivcld 13073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
9998recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10038, 99negsubd 11601 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10197, 100eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
102101oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
10338, 32, 99addsubd 11616 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
104102, 103eqtr4d 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10568, 104breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10637, 10readdcld 11267 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
107106, 98subge0d 11828 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
108105, 107mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
10956, 108eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
11037, 10, 37leadd2d 11833 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ โ†” (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
111109, 110mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ)
11237, 10suble0d 11829 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ))
113111, 112mpbird 257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0)
11436, 113eqbrtrd 5164 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
1154, 13resubcld 11666 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
116 0red 11241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
117115, 116, 20ledivmuld 13095 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0)))
118114, 117mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0))
11921mul01d 11437 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท ๐ด) ยท 0) = 0)
120118, 119breqtrd 5168 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
1219adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122121ltp1d 12168 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ < (๐ถ + 1))
123 peano2re 11411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
124121, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
125121, 124ltnegd 11816 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ < (๐ถ + 1) โ†” -(๐ถ + 1) < -๐ถ))
126122, 125mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < -๐ถ)
127 df-neg 11471 . . . . . . . . . 10 -๐ถ = (0 โˆ’ ๐ถ)
128126, 127breqtrdi 5183 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ))
129124renegcld 11665 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
130 0red 11241 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
131129, 121, 130ltaddsubd 11838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0 โ†” -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ)))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
133132expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
134 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2))
135134oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
136 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)))
137135, 136oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))))
138137oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
139138breq2d 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ)))
14064adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
1411adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
142 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
143129, 141, 142redivcld 12066 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
144139, 140, 143rspcdva 3609 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
145 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 = ๐ด)
146145oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
147143recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
148 sqcl 14108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
150149mul02d 11436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
151146, 150eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
152129recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚)
153141recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
154152, 153, 142divcan2d 12016 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)) = -(๐ถ + 1))
155151, 154oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = (0 + -(๐ถ + 1)))
156152addlidd 11439 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 + -(๐ถ + 1)) = -(๐ถ + 1))
157155, 156eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = -(๐ถ + 1))
158157oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ) = (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
159144, 158breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
160 0re 11240 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
161129, 121readdcld 11267 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
162 lenlt 11316 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
163160, 161, 162sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
164159, 163mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
165164expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
166133, 165pm2.65d 195 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต โ‰  0)
167 nne 2940 . . . . . 6 (ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ๐ต = 0)
168166, 167sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ต = 0)
169168sq0id 14183 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
170 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ 0 = ๐ด)
171170oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
1729recnd 11266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
173172adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
174173mul02d 11436 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = 0)
175171, 174eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = 0)
176175oveq2d 7430 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = (4 ยท 0))
17726mul01i 11428 . . . . 5 (4 ยท 0) = 0
178176, 177eqtrdi 2784 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = 0)
179169, 178oveq12d 7432 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) = (0 โˆ’ 0))
180 0m0e0 12356 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
181 0le0 12337 . . . 4 0 โ‰ค 0
182180, 181eqbrtri 5163 . . 3 (0 โˆ’ 0) โ‰ค 0
183179, 182eqbrtrdi 5181 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
184 eqid 2728 . . . 4 if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) = if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1)
1857, 1, 9, 63, 184discr1 14227 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
186 leloe 11324 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
187160, 7, 186sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
188185, 187mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
189120, 183, 188mpjaodan 957 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057  ifcif 4524   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   < clt 11272   โ‰ค cle 11273   โˆ’ cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11895  2c2 12291  4c4 12293  โ„+crp 13000  โ†‘cexp 14052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053
This theorem is referenced by:  csbren  25320  normlem6  30918
  Copyright terms: Public domain W3C validator