MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem discr 14201
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
discr.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
discr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
discr.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
discr (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 resqcl 14087 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
54recnd 11240 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 4re 12294 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11242 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
12 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
136, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11240 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
15 4pos 12317 . . . . . . . . . 10 0 < 4
166, 15elrpii 12975 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„+
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
188, 17elrpd 13011 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
19 rpmulcl 12995 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2016, 18, 19sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpcnd 13016 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2220rpne0d 13019 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โ‰  0)
235, 14, 21, 22divsubdird 12027 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))))
2411recnd 11240 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11240 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 4cn 12295 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
2818rpne0d 13019 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
29 4ne0 12318 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โ‰  0)
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 12014 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด))
3210recnd 11240 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3332, 25, 28divcan3d 11993 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด) = ๐ถ)
3431, 33eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ๐ถ)
3534oveq2d 7418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
3623, 35eqtrd 2764 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
374, 20rerpdivcld 13045 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
3837recnd 11240 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
39382timesd 12453 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
40 2t2e4 12374 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 2) = 4
4140oveq1i 7412 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (4 ยท ๐ด)
42 2cnd 12288 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4342, 42, 25mulassd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4441, 43eqtr3id 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4544oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))))
4642, 5, 21, 22divassd 12023 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
47 2rp 12977 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
48 rpmulcl 12995 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
4947, 18, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
5049rpcnd 13016 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5149rpne0d 13019 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
52 2ne0 12314 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰  0)
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 12014 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5545, 46, 543eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5639, 55eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
57 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
5857oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)))
59 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))))
6058, 59oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))))
6160oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6261breq2d 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ)))
63 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6463ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
662, 49rerpdivcld 13045 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6766renegcld 11639 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6862, 65, 67rspcdva 3605 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6966recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
70 sqneg 14079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
722recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73 sqdiv 14084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
7472, 50, 51, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
75 sqval 14078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7650, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7750, 42, 25mulassd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7842, 25, 42mul32d 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = ((2 ยท 2) ยท ๐ด))
7978, 41eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = (4 ยท ๐ด))
8079oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8176, 77, 803eqtr2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8281oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8371, 74, 823eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
845, 21, 25, 22, 28divdiv1d 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8583, 84eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด))
8685oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)))
8738, 25, 28divcan2d 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8886, 87eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8972, 69mulneg2d 11666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
90 sqval 14078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9172, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9291oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)))
9372, 72, 50, 51divassd 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9492, 93eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9594negeqd 11452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9689, 95eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
9788, 96oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
984, 49rerpdivcld 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
9998recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10038, 99negsubd 11575 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10197, 100eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
102101oveq1d 7417 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
10338, 32, 99addsubd 11590 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
104102, 103eqtr4d 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10568, 104breqtrd 5165 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10637, 10readdcld 11241 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
107106, 98subge0d 11802 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
108105, 107mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
10956, 108eqbrtrd 5161 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
11037, 10, 37leadd2d 11807 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ โ†” (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
111109, 110mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ)
11237, 10suble0d 11803 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ))
113111, 112mpbird 257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0)
11436, 113eqbrtrd 5161 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
1154, 13resubcld 11640 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
116 0red 11215 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
117115, 116, 20ledivmuld 13067 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0)))
118114, 117mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0))
11921mul01d 11411 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท ๐ด) ยท 0) = 0)
120118, 119breqtrd 5165 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
1219adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122121ltp1d 12142 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ < (๐ถ + 1))
123 peano2re 11385 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
124121, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
125121, 124ltnegd 11790 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ < (๐ถ + 1) โ†” -(๐ถ + 1) < -๐ถ))
126122, 125mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < -๐ถ)
127 df-neg 11445 . . . . . . . . . 10 -๐ถ = (0 โˆ’ ๐ถ)
128126, 127breqtrdi 5180 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ))
129124renegcld 11639 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
130 0red 11215 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
131129, 121, 130ltaddsubd 11812 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0 โ†” -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ)))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
133132expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
134 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2))
135134oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
136 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)))
137135, 136oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))))
138137oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
139138breq2d 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ)))
14064adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
1411adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
142 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
143129, 141, 142redivcld 12040 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
144139, 140, 143rspcdva 3605 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
145 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 = ๐ด)
146145oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
147143recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
148 sqcl 14081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
150149mul02d 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
151146, 150eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
152129recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚)
153141recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
154152, 153, 142divcan2d 11990 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)) = -(๐ถ + 1))
155151, 154oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = (0 + -(๐ถ + 1)))
156152addlidd 11413 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 + -(๐ถ + 1)) = -(๐ถ + 1))
157155, 156eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = -(๐ถ + 1))
158157oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ) = (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
159144, 158breqtrd 5165 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
160 0re 11214 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
161129, 121readdcld 11241 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
162 lenlt 11290 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
163160, 161, 162sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
164159, 163mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
165164expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
166133, 165pm2.65d 195 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต โ‰  0)
167 nne 2936 . . . . . 6 (ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ๐ต = 0)
168166, 167sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ต = 0)
169168sq0id 14156 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
170 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ 0 = ๐ด)
171170oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
1729recnd 11240 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
173172adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
174173mul02d 11410 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = 0)
175171, 174eqtr3d 2766 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = 0)
176175oveq2d 7418 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = (4 ยท 0))
17726mul01i 11402 . . . . 5 (4 ยท 0) = 0
178176, 177eqtrdi 2780 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = 0)
179169, 178oveq12d 7420 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) = (0 โˆ’ 0))
180 0m0e0 12330 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
181 0le0 12311 . . . 4 0 โ‰ค 0
182180, 181eqbrtri 5160 . . 3 (0 โˆ’ 0) โ‰ค 0
183179, 182eqbrtrdi 5178 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
184 eqid 2724 . . . 4 if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) = if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1)
1857, 1, 9, 63, 184discr1 14200 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
186 leloe 11298 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
187160, 7, 186sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
188185, 187mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
189120, 183, 188mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  ifcif 4521   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11246   โ‰ค cle 11247   โˆ’ cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11869  2c2 12265  4c4 12267  โ„+crp 12972  โ†‘cexp 14025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026
This theorem is referenced by:  csbren  25251  normlem6  30840
  Copyright terms: Public domain W3C validator