Theorem discr 14212

Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
discr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
discr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
discr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
discr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
discr	⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resqcl 14096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6		4re 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		discr.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		discr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
12		remulcl 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
15		4pos 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
16	6, 15	elrpii 12961	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	8, 17	elrpd 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19		rpmulcl 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 13007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0)
23	5, 14, 21, 22	divsubdird 12004	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))))
24	11	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25	8	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		4cn 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ)
28	18	rpne0d 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
29		4ne0 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0)
31	24, 25, 27, 28, 30	divcan5d 11991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴))
32	10	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32, 25, 28	divcan3d 11970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶)
34	31, 33	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶)
35	34	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
36	23, 35	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
37	4, 20	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	2timesd 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
40		2t2e4 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
42		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
43	42, 42, 25	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
44	41, 43	eqtr3id 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
45	44	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))))
46	42, 5, 21, 22	divassd 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
47		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
48		rpmulcl 12983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
49	47, 18, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
50	49	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
51	49	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
52		2ne0 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0)
54	5, 50, 42, 51, 53	divcan5d 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
55	45, 46, 54	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
56	39, 55	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
57		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
58	57	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)))
59		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))
60	58, 59	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))))
61	60	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
62	61	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
63		discr.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
64	63	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
66	2, 49	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
67	66	renegcld 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
68	62, 65, 67	rspcdva 3592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
69	66	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70		sqneg 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
72	2	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
73		sqdiv 14093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
74	72, 50, 51, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
75		sqval 14086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
76	50, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
77	50, 42, 25	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
78	42, 25, 42	mul32d 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) · 𝐴))
79	78, 41	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴))
80	79	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
81	76, 77, 80	3eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
82	81	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
83	71, 74, 82	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
84	5, 21, 25, 22, 28	divdiv1d 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
85	83, 84	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))
86	85	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)))
87	38, 25, 28	divcan2d 11967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
88	86, 87	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
89	72, 69	mulneg2d 11639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
90		sqval 14086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
91	72, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
92	91	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)))
93	72, 72, 50, 51	divassd 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
94	92, 93	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
95	94	negeqd 11422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
96	89, 95	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
97	88, 96	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
98	4, 49	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	98	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
100	38, 99	negsubd 11546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
101	97, 100	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
102	101	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
103	38, 32, 99	addsubd 11561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
104	102, 103	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
105	68, 104	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
106	37, 10	readdcld 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ)
107	106, 98	subge0d 11775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
108	105, 107	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
109	56, 108	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
110	37, 10, 37	leadd2d 11780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
111	109, 110	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)
112	37, 10	suble0d 11776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶))
113	111, 112	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0)
114	36, 113	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0)
115	4, 13	resubcld 11613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
116		0red 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
117	115, 116, 20	ledivmuld 13055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)))
118	114, 117	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))
119	21	mul01d 11380	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
120	118, 119	breqtrd 5136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
121	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
122	121	ltp1d 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
123		peano2re 11354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
124	121, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
125	121, 124	ltnegd 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶))
126	122, 125	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶)
127		df-neg 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
128	126, 127	breqtrdi 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))
129	124	renegcld 11612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ)
130		0red 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
131	129, 121, 130	ltaddsubd 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)))
132	128, 131	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
133	132	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
134		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))
135	134	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
136		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))
137	135, 136	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))))
138	137	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
139	138	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
140	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
141	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
142		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
143	129, 141, 142	redivcld 12017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
144	139, 140, 143	rspcdva 3592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
145		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴)
146	145	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
147	143	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ)
148		sqcl 14090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mul02d 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
151	146, 150	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
152	129	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ)
153	141	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
154	152, 153, 142	divcan2d 11967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1))
155	151, 154	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1)))
156	152	addlidd 11382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1))
157	155, 156	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1))
158	157	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
159	144, 158	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
160		0re 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
161	129, 121	readdcld 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ)
162		lenlt 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
163	160, 161, 162	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
164	159, 163	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
165	164	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
166	133, 165	pm2.65d 196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
167		nne 2930	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
168	166, 167	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0)
169	168	sq0id 14166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0)
170		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
171	170	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
172	9	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
173	172	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
174	173	mul02d 11379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0)
175	171, 174	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0)
176	175	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0))
177	26	mul01i 11371	. . . . 5 ⊢ (4 · 0) = 0
178	176, 177	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0)
179	169, 178	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0))
180		0m0e0 12308	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
181		0le0 12294	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
182	180, 181	eqbrtri 5131	. . 3 ⊢ (0 − 0) ≤ 0
183	179, 182	eqbrtrdi 5149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
184		eqid 2730	. . . 4 ⊢ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
185	7, 1, 9, 63, 184	discr1 14211	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
186		leloe 11267	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
187	160, 7, 186	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
188	185, 187	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
189	120, 183, 188	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  4c4 12250  ℝ⁺crp 12958  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  csbren  25306  normlem6  31051