MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem discr 14152
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
discr.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
discr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
discr.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
discr (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 resqcl 14038 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
54recnd 11191 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 4re 12245 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11193 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
12 remulcl 11144 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
136, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11191 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
15 4pos 12268 . . . . . . . . . 10 0 < 4
166, 15elrpii 12926 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„+
17 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
188, 17elrpd 12962 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
19 rpmulcl 12946 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2016, 18, 19sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2120rpcnd 12967 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2220rpne0d 12970 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) โ‰  0)
235, 14, 21, 22divsubdird 11978 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))))
2411recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 4cn 12246 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
2818rpne0d 12970 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
29 4ne0 12269 . . . . . . . . . 10 4 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 4 โ‰  0)
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 11965 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด))
3210recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3332, 25, 28divcan3d 11944 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ด) = ๐ถ)
3431, 33eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด)) = ๐ถ)
3534oveq2d 7377 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
3623, 35eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ))
374, 20rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
3837recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
39382timesd 12404 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
40 2t2e4 12325 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 2) = 4
4140oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (4 ยท ๐ด)
42 2cnd 12239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4342, 42, 25mulassd 11186 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4441, 43eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (4 ยท ๐ด) = (2 ยท (2 ยท ๐ด)))
4544oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))))
4642, 5, 21, 22divassd 11974 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (4 ยท ๐ด)) = (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))))
47 2rp 12928 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
48 rpmulcl 12946 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
4947, 18, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
5049rpcnd 12967 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5149rpne0d 12970 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
52 2ne0 12265 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰  0)
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 11965 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / (2 ยท (2 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5545, 46, 543eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
5639, 55eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) = ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
57 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
5857oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)))
59 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))))
6058, 59oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))))
6160oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6261breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ)))
63 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6463ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
662, 49rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6766renegcld 11590 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -(๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
6862, 65, 67rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ))
6966recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
70 sqneg 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
722recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73 sqdiv 14035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
7472, 50, 51, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)))
75 sqval 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7650, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7750, 42, 25mulassd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((2 ยท ๐ด) ยท (2 ยท ๐ด)))
7842, 25, 42mul32d 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = ((2 ยท 2) ยท ๐ด))
7978, 41eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท 2) = (4 ยท ๐ด))
8079oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ด) ยท 2) ยท ๐ด) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8176, 77, 803eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด))
8281oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / ((2 ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8371, 74, 823eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
845, 21, 25, 22, 28divdiv1d 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด) = ((๐ตโ†‘2) / ((4 ยท ๐ด) ยท ๐ด)))
8583, 84eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด))
8685oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)))
8738, 25, 28divcan2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) / ๐ด)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8886, 87eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)))
8972, 69mulneg2d 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
90 sqval 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9172, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
9291oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)))
9372, 72, 50, 51divassd 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9492, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = (๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9594negeqd 11403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) = -(๐ต ยท (๐ต / (2 ยท ๐ด))))
9689, 95eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด))) = -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)))
9788, 96oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
984, 49rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
9998recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10038, 99negsubd 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + -((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10197, 100eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) = (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
102101oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
10338, 32, 99addsubd 11541 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
104102, 103eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ด ยท (-(๐ต / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + (๐ต ยท -(๐ต / (2 ยท ๐ด)))) + ๐ถ) = ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10568, 104breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))))
10637, 10readdcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
107106, 98subge0d 11753 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
108105, 107mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (2 ยท ๐ด)) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
10956, 108eqbrtrd 5131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ))
11037, 10, 37leadd2d 11758 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ โ†” (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด))) โ‰ค (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) + ๐ถ)))
111109, 110mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ)
11237, 10suble0d 11754 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค ๐ถ))
113111, 112mpbird 257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (4 ยท ๐ด)) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค 0)
11436, 113eqbrtrd 5131 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
1154, 13resubcld 11591 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
116 0red 11166 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
117115, 116, 20ledivmuld 13018 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) / (4 ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0)))
118114, 117mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค ((4 ยท ๐ด) ยท 0))
11921mul01d 11362 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((4 ยท ๐ด) ยท 0) = 0)
120118, 119breqtrd 5135 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
1219adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122121ltp1d 12093 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ < (๐ถ + 1))
123 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
124121, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
125121, 124ltnegd 11741 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ < (๐ถ + 1) โ†” -(๐ถ + 1) < -๐ถ))
126122, 125mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < -๐ถ)
127 df-neg 11396 . . . . . . . . . 10 -๐ถ = (0 โˆ’ ๐ถ)
128126, 127breqtrdi 5150 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ))
129124renegcld 11590 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
130 0red 11166 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
131129, 121, 130ltaddsubd 11763 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0 โ†” -(๐ถ + 1) < (0 โˆ’ ๐ถ)))
132128, 131mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
133132expr 458 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
134 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2))
135134oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
136 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)))
137135, 136oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))))
138137oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
139138breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ)))
14064adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
1411adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
142 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
143129, 141, 142redivcld 11991 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
144139, 140, 143rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ))
145 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 = ๐ด)
146145oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)))
147143recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
148 sqcl 14032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-(๐ถ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
150149mul02d 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
151146, 150eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) = 0)
152129recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ -(๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚)
153141recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
154152, 153, 142divcan2d 11941 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต)) = -(๐ถ + 1))
155151, 154oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = (0 + -(๐ถ + 1)))
156152addlidd 11364 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 + -(๐ถ + 1)) = -(๐ถ + 1))
157155, 156eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) = -(๐ถ + 1))
158157oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ด ยท ((-(๐ถ + 1) / ๐ต)โ†‘2)) + (๐ต ยท (-(๐ถ + 1) / ๐ต))) + ๐ถ) = (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
159144, 158breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ))
160 0re 11165 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
161129, 121readdcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
162 lenlt 11241 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
163160, 161, 162sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) โ†” ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
164159, 163mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0 = ๐ด โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0)
165164expr 458 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ยฌ (-(๐ถ + 1) + ๐ถ) < 0))
166133, 165pm2.65d 195 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ต โ‰  0)
167 nne 2944 . . . . . 6 (ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ๐ต = 0)
168166, 167sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ต = 0)
169168sq0id 14107 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) = 0)
170 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ 0 = ๐ด)
171170oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
1729recnd 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
173172adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
174173mul02d 11361 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (0 ยท ๐ถ) = 0)
175171, 174eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = 0)
176175oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = (4 ยท 0))
17726mul01i 11353 . . . . 5 (4 ยท 0) = 0
178176, 177eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = 0)
179169, 178oveq12d 7379 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) = (0 โˆ’ 0))
180 0m0e0 12281 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
181 0le0 12262 . . . 4 0 โ‰ค 0
182180, 181eqbrtri 5130 . . 3 (0 โˆ’ 0) โ‰ค 0
183179, 182eqbrtrdi 5148 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
184 eqid 2733 . . . 4 if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) = if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1)
1857, 1, 9, 63, 184discr1 14151 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
186 leloe 11249 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
187160, 7, 186sylancr 588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
188185, 187mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
189120, 183, 188mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ‰ค 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  ifcif 4490   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  4c4 12218  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  csbren  24786  normlem6  30106
  Copyright terms: Public domain W3C validator