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Theorem discr 14143
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
discr.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
discr.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
discr.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
discr (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 resqcl 14029 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
54recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6 4re 12237 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
12 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
136, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1413recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
15 4pos 12260 . . . . . . . . . 10 0 < 4
166, 15elrpii 12918 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ+
17 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
188, 17elrpd 12954 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19 rpmulcl 12938 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
2120rpcnd 12959 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2220rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0)
235, 14, 21, 22divsubdird 11970 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))))
2411recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
258recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 4cn 12238 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ)
2818rpne0d 12962 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
29 4ne0 12261 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0)
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 11957 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴))
3210recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3332, 25, 28divcan3d 11936 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶)
3431, 33eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶)
3534oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
3623, 35eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
374, 20rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ)
39382timesd 12396 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
40 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
4140oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
42 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
4342, 42, 25mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
4441, 43eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
4544oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))))
4642, 5, 21, 22divassd 11966 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
47 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
48 rpmulcl 12938 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
4947, 18, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5149rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
52 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0)
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 11957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
5545, 46, 543eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
5639, 55eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
57 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
5857oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)))
59 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))
6058, 59oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))))
6160oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
6261breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
63 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
6463ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
662, 49rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
6766renegcld 11582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
6862, 65, 67rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
6966recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70 sqneg 14021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
722recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
73 sqdiv 14026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
7472, 50, 51, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
75 sqval 14020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7650, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7750, 42, 25mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7842, 25, 42mul32d 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) · 𝐴))
7978, 41eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴))
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
8176, 77, 803eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
8281oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
8371, 74, 823eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
845, 21, 25, 22, 28divdiv1d 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
8583, 84eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))
8685oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)))
8738, 25, 28divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
8886, 87eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
8972, 69mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
90 sqval 14020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
9172, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
9291oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)))
9372, 72, 50, 51divassd 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9492, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9594negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9689, 95eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
9788, 96oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
984, 49rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9998recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10038, 99negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10197, 100eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
102101oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
10338, 32, 99addsubd 11533 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
104102, 103eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10568, 104breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10637, 10readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ)
107106, 98subge0d 11745 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
108105, 107mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
10956, 108eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
11037, 10, 37leadd2d 11750 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
111109, 110mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)
11237, 10suble0d 11746 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶))
113111, 112mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0)
11436, 113eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0)
1154, 13resubcld 11583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
116 0red 11158 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
117115, 116, 20ledivmuld 13010 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)))
118114, 117mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))
11921mul01d 11354 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
120118, 119breqtrd 5131 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
1219adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
122121ltp1d 12085 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
123 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
124121, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
125121, 124ltnegd 11733 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶))
126122, 125mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶)
127 df-neg 11388 . . . . . . . . . 10 -𝐶 = (0 − 𝐶)
128126, 127breqtrdi 5146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))
129124renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ)
130 0red 11158 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
131129, 121, 130ltaddsubd 11755 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)))
132128, 131mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
133132expr 457 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
134 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))
135134oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
136 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))
137135, 136oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))))
138137oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
139138breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
14064adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
1411adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
142 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
143129, 141, 142redivcld 11983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
144139, 140, 143rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
145 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴)
146145oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
147143recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ)
148 sqcl 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
150149mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
151146, 150eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
152129recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ)
153141recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
154152, 153, 142divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1))
155151, 154oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1)))
156152addid2d 11356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1))
157155, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1))
158157oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
159144, 158breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
160 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
161129, 121readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ)
162 lenlt 11233 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
163160, 161, 162sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
164159, 163mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
165164expr 457 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
166133, 165pm2.65d 195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
167 nne 2947 . . . . . 6 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
168166, 167sylib 217 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0)
169168sq0id 14098 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0)
170 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
171170oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
1729recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
173172adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
174173mul02d 11353 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0)
175171, 174eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0)
176175oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0))
17726mul01i 11345 . . . . 5 (4 · 0) = 0
178176, 177eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0)
179169, 178oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0))
180 0m0e0 12273 . . . 4 (0 − 0) = 0
181 0le0 12254 . . . 4 0 ≤ 0
182180, 181eqbrtri 5126 . . 3 (0 − 0) ≤ 0
183179, 182eqbrtrdi 5144 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
184 eqid 2736 . . . 4 if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
1857, 1, 9, 63, 184discr1 14142 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
186 leloe 11241 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
187160, 7, 186sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
188185, 187mpbid 231 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
189120, 183, 188mpjaodan 957 1 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  ifcif 4486   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  +crp 12915  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  csbren  24763  normlem6  30057
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