Theorem discr 14143

Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
discr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
discr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
discr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
discr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
discr	⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resqcl 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6		4re 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		discr.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		discr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
12		remulcl 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
15		4pos 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
16	6, 15	elrpii 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	8, 17	elrpd 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19		rpmulcl 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 12959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 12962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0)
23	5, 14, 21, 22	divsubdird 11970	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))))
24	11	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25	8	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		4cn 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ)
28	18	rpne0d 12962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
29		4ne0 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0)
31	24, 25, 27, 28, 30	divcan5d 11957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴))
32	10	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32, 25, 28	divcan3d 11936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶)
34	31, 33	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶)
35	34	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
36	23, 35	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
37	4, 20	rerpdivcld 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	2timesd 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
40		2t2e4 12317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
42		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
43	42, 42, 25	mulassd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
44	41, 43	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
45	44	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))))
46	42, 5, 21, 22	divassd 11966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
47		2rp 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
48		rpmulcl 12938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
49	47, 18, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
50	49	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
51	49	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
52		2ne0 12257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0)
54	5, 50, 42, 51, 53	divcan5d 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
55	45, 46, 54	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
56	39, 55	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
57		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
58	57	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)))
59		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))
60	58, 59	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))))
61	60	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
62	61	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
63		discr.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
64	63	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
66	2, 49	rerpdivcld 12988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
67	66	renegcld 11582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
68	62, 65, 67	rspcdva 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
69	66	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70		sqneg 14021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
72	2	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
73		sqdiv 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
74	72, 50, 51, 73	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
75		sqval 14020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
76	50, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
77	50, 42, 25	mulassd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
78	42, 25, 42	mul32d 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) · 𝐴))
79	78, 41	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴))
80	79	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
81	76, 77, 80	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
82	81	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
83	71, 74, 82	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
84	5, 21, 25, 22, 28	divdiv1d 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
85	83, 84	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))
86	85	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)))
87	38, 25, 28	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
88	86, 87	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
89	72, 69	mulneg2d 11609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
90		sqval 14020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
91	72, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
92	91	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)))
93	72, 72, 50, 51	divassd 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
94	92, 93	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
95	94	negeqd 11395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
96	89, 95	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
97	88, 96	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
98	4, 49	rerpdivcld 12988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	98	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
100	38, 99	negsubd 11518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
101	97, 100	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
102	101	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
103	38, 32, 99	addsubd 11533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
104	102, 103	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
105	68, 104	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
106	37, 10	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ)
107	106, 98	subge0d 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
108	105, 107	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
109	56, 108	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
110	37, 10, 37	leadd2d 11750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
111	109, 110	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)
112	37, 10	suble0d 11746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶))
113	111, 112	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0)
114	36, 113	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0)
115	4, 13	resubcld 11583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
116		0red 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
117	115, 116, 20	ledivmuld 13010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)))
118	114, 117	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))
119	21	mul01d 11354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
120	118, 119	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
121	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
122	121	ltp1d 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
123		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
124	121, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
125	121, 124	ltnegd 11733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶))
126	122, 125	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶)
127		df-neg 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
128	126, 127	breqtrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))
129	124	renegcld 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ)
130		0red 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
131	129, 121, 130	ltaddsubd 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)))
132	128, 131	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
133	132	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
134		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))
135	134	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
136		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))
137	135, 136	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))))
138	137	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
139	138	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
140	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
141	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
142		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
143	129, 141, 142	redivcld 11983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
144	139, 140, 143	rspcdva 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
145		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴)
146	145	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
147	143	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ)
148		sqcl 14023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mul02d 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
151	146, 150	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
152	129	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ)
153	141	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
154	152, 153, 142	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1))
155	151, 154	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1)))
156	152	addid2d 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1))
157	155, 156	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1))
158	157	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
159	144, 158	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
160		0re 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
161	129, 121	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ)
162		lenlt 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
163	160, 161, 162	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
164	159, 163	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
165	164	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
166	133, 165	pm2.65d 195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
167		nne 2947	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
168	166, 167	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0)
169	168	sq0id 14098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0)
170		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
171	170	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
172	9	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
173	172	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
174	173	mul02d 11353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0)
175	171, 174	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0)
176	175	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0))
177	26	mul01i 11345	. . . . 5 ⊢ (4 · 0) = 0
178	176, 177	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0)
179	169, 178	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0))
180		0m0e0 12273	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
181		0le0 12254	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
182	180, 181	eqbrtri 5126	. . 3 ⊢ (0 − 0) ≤ 0
183	179, 182	eqbrtrdi 5144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
184		eqid 2736	. . . 4 ⊢ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
185	7, 1, 9, 63, 184	discr1 14142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
186		leloe 11241	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
187	160, 7, 186	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
188	185, 187	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
189	120, 183, 188	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ifcif 4486   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  ℝ⁺crp 12915  ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968

This theorem is referenced by:  csbren  24763  normlem6  30057