Proof of Theorem discr
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | discr.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 3 | | resqcl 14164 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈
ℝ) |
| 4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ) |
| 5 | 4 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ) |
| 6 | | 4re 12350 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 7 | | discr.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 9 | | discr.3 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 10 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 11 | 8, 10 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) |
| 12 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ (𝐴
· 𝐶) ∈ ℝ)
→ (4 · (𝐴
· 𝐶)) ∈
ℝ) |
| 13 | 6, 11, 12 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 14 | 13 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ) |
| 15 | | 4pos 12373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 <
4 |
| 16 | 6, 15 | elrpii 13037 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℝ+ |
| 17 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴) |
| 18 | 8, 17 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈
ℝ+) |
| 19 | | rpmulcl 13058 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (4
· 𝐴) ∈
ℝ+) |
| 20 | 16, 18, 19 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈
ℝ+) |
| 21 | 20 | rpcnd 13079 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 22 | 20 | rpne0d 13082 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0) |
| 23 | 5, 14, 21, 22 | divsubdird 12082 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)))) |
| 24 | 11 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) |
| 25 | 8 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 26 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ) |
| 28 | 18 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0) |
| 29 | | 4ne0 12374 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
| 30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0) |
| 31 | 24, 25, 27, 28, 30 | divcan5d 12069 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴)) |
| 32 | 10 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 33 | 32, 25, 28 | divcan3d 12048 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶) |
| 34 | 31, 33 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶) |
| 35 | 34 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶)) |
| 36 | 23, 35 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶)) |
| 37 | 4, 20 | rerpdivcld 13108 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 38 | 37 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 39 | 38 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))) |
| 40 | | 2t2e4 12430 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2
· 2) = 4 |
| 41 | 40 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
· 2) · 𝐴) =
(4 · 𝐴) |
| 42 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ) |
| 43 | 42, 42, 25 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 ·
𝐴))) |
| 44 | 41, 43 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))) |
| 45 | 44 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴)))) |
| 46 | 42, 5, 21, 22 | divassd 12078 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))) |
| 47 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 48 | | rpmulcl 13058 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2
· 𝐴) ∈
ℝ+) |
| 49 | 47, 18, 48 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈
ℝ+) |
| 50 | 49 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 51 | 49 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0) |
| 52 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ≠
0 |
| 53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0) |
| 54 | 5, 50, 42, 51, 53 | divcan5d 12069 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) |
| 55 | 45, 46, 54 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) |
| 56 | 39, 55 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) |
| 57 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) |
| 58 | 57 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))) |
| 59 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) |
| 60 | 58, 59 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))) |
| 61 | 60 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)) |
| 62 | 61 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))) |
| 63 | | discr.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶)) |
| 64 | 63 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶)) |
| 65 | 64 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶)) |
| 66 | 2, 49 | rerpdivcld 13108 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 67 | 66 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 68 | 62, 65, 67 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)) |
| 69 | 66 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 70 | | sqneg 14156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) |
| 71 | 69, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) |
| 72 | 2 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 73 | | sqdiv 14161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2
· 𝐴) ∈ ℂ
∧ (2 · 𝐴) ≠
0) → ((𝐵 / (2 ·
𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))) |
| 74 | 72, 50, 51, 73 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))) |
| 75 | | sqval 14155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((2
· 𝐴) ∈ ℂ
→ ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))) |
| 76 | 50, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))) |
| 77 | 50, 42, 25 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))) |
| 78 | 42, 25, 42 | mul32d 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) ·
𝐴)) |
| 79 | 78, 41 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴)) |
| 80 | 79 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴)) |
| 81 | 76, 77, 80 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴)) |
| 82 | 81 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))) |
| 83 | 71, 74, 82 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))) |
| 84 | 5, 21, 25, 22, 28 | divdiv1d 12074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))) |
| 85 | 83, 84 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) |
| 86 | 85 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))) |
| 87 | 38, 25, 28 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) |
| 88 | 86, 87 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) |
| 89 | 72, 69 | mulneg2d 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))) |
| 90 | | sqval 14155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)) |
| 91 | 72, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)) |
| 92 | 91 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴))) |
| 93 | 72, 72, 50, 51 | divassd 12078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))) |
| 94 | 92, 93 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))) |
| 95 | 94 | negeqd 11502 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))) |
| 96 | 89, 95 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) |
| 97 | 88, 96 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))) |
| 98 | 4, 49 | rerpdivcld 13108 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 99 | 98 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 100 | 38, 99 | negsubd 11626 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))) |
| 101 | 97, 100 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))) |
| 102 | 101 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) |
| 103 | 38, 32, 99 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) |
| 104 | 102, 103 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))) |
| 105 | 68, 104 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))) |
| 106 | 37, 10 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ) |
| 107 | 106, 98 | subge0d 11853 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))) |
| 108 | 105, 107 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)) |
| 109 | 56, 108 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)) |
| 110 | 37, 10, 37 | leadd2d 11858 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))) |
| 111 | 109, 110 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶) |
| 112 | 37, 10 | suble0d 11854 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)) |
| 113 | 111, 112 | mpbird 257 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0) |
| 114 | 36, 113 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0) |
| 115 | 4, 13 | resubcld 11691 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ) |
| 116 | | 0red 11264 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ) |
| 117 | 115, 116,
20 | ledivmuld 13130 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))) |
| 118 | 114, 117 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)) |
| 119 | 21 | mul01d 11460 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0) |
| 120 | 118, 119 | breqtrd 5169 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0) |
| 121 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 122 | 121 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1)) |
| 123 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈
ℝ) |
| 124 | 121, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ) |
| 125 | 121, 124 | ltnegd 11841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶)) |
| 126 | 122, 125 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶) |
| 127 | | df-neg 11495 |
. . . . . . . . . 10
⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶) |
| 128 | 126, 127 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)) |
| 129 | 124 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ) |
| 130 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈
ℝ) |
| 131 | 129, 121,
130 | ltaddsubd 11863 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))) |
| 132 | 128, 131 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0) |
| 133 | 132 | expr 456 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)) |
| 134 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) |
| 135 | 134 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))) |
| 136 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) |
| 137 | 135, 136 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))) |
| 138 | 137 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)) |
| 139 | 138 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))) |
| 140 | 64 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶)) |
| 141 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 142 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0) |
| 143 | 129, 141,
142 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ) |
| 144 | 139, 140,
143 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)) |
| 145 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴) |
| 146 | 145 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))) |
| 147 | 143 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ) |
| 148 | | sqcl 14158 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ) |
| 149 | 147, 148 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ) |
| 150 | 149 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0) |
| 151 | 146, 150 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0) |
| 152 | 129 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ) |
| 153 | 141 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 154 | 152, 153,
142 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1)) |
| 155 | 151, 154 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1))) |
| 156 | 152 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1)) |
| 157 | 155, 156 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1)) |
| 158 | 157 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶)) |
| 159 | 144, 158 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶)) |
| 160 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 161 | 129, 121 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) |
| 162 | | lenlt 11339 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (-(𝐶 +
1) + 𝐶) ∈ ℝ)
→ (0 ≤ (-(𝐶 + 1) +
𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)) |
| 163 | 160, 161,
162 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)) |
| 164 | 159, 163 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0) |
| 165 | 164 | expr 456 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)) |
| 166 | 133, 165 | pm2.65d 196 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0) |
| 167 | | nne 2944 |
. . . . . 6
⊢ (¬
𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0) |
| 168 | 166, 167 | sylib 218 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0) |
| 169 | 168 | sq0id 14233 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0) |
| 170 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴) |
| 171 | 170 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶)) |
| 172 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 173 | 172 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 174 | 173 | mul02d 11459 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0) |
| 175 | 171, 174 | eqtr3d 2779 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0) |
| 176 | 175 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0)) |
| 177 | 26 | mul01i 11451 |
. . . . 5
⊢ (4
· 0) = 0 |
| 178 | 176, 177 | eqtrdi 2793 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0) |
| 179 | 169, 178 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0)) |
| 180 | | 0m0e0 12386 |
. . . 4
⊢ (0
− 0) = 0 |
| 181 | | 0le0 12367 |
. . . 4
⊢ 0 ≤
0 |
| 182 | 180, 181 | eqbrtri 5164 |
. . 3
⊢ (0
− 0) ≤ 0 |
| 183 | 179, 182 | eqbrtrdi 5182 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0) |
| 184 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢ if(1 ≤
(((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) |
| 185 | 7, 1, 9, 63, 184 | discr1 14278 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴) |
| 186 | | leloe 11347 |
. . . 4
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))) |
| 187 | 160, 7, 186 | sylancr 587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))) |
| 188 | 185, 187 | mpbid 232 |
. 2
⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)) |
| 189 | 120, 183,
188 | mpjaodan 961 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0) |