Theorem uzssico 32791

Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uzssico	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12648	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2	1	sseli 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
4	3	anim1d 610	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
5		eluz1 12909	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
6		zre 12645	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicopnf 13507	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
9	4, 5, 8	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
10	9	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℝcr 11185  +∞cpnf 11323   ≤ cle 11327  ℤcz 12641  ℤ_≥cuz 12905  [,)cico 13411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-neg 11525  df-z 12642  df-uz 12906  df-ico 13415

This theorem is referenced by:  chtvalz  34608