Theorem uzssico 31007

Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uzssico	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12256	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
4	3	anim1d 610	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
5		eluz1 12515	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
6		zre 12253	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicopnf 13106	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
9	4, 5, 8	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
10	9	ssrdv 3923	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  [,)cico 13010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-ico 13014

This theorem is referenced by:  chtvalz  32509