Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzssico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzssico 30536
Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
uzssico (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11980 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
21sseli 3914 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
43anim1d 613 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
5 eluz1 12239 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
6 zre 11977 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7 elicopnf 12827 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
94, 5, 83imtr4d 297 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
109ssrdv 3924 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112  wss 3884   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  +∞cpnf 10665  cle 10669  cz 11973  cuz 12235  [,)cico 12732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-ico 12736
This theorem is referenced by:  chtvalz  32008
  Copyright terms: Public domain W3C validator