Theorem uzssico 32715

Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uzssico	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12552	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
4	3	anim1d 611	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
5		eluz1 12813	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
6		zre 12549	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicopnf 13419	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
9	4, 5, 8	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
10	9	ssrdv 3960	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3922   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ℝcr 11085  +∞cpnf 11223   ≤ cle 11227  ℤcz 12545  ℤ_≥cuz 12809  [,)cico 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-po 5554  df-so 5555  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-neg 11426  df-z 12546  df-uz 12810  df-ico 13325

This theorem is referenced by:  chtvalz  34628