Theorem uzssico 32876

Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uzssico	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12526	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
4	3	anim1d 612	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
5		eluz1 12787	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
6		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicopnf 13393	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
9	4, 5, 8	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
10	9	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  +∞cpnf 11171   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  [,)cico 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-ico 13299

This theorem is referenced by:  chtvalz  34793