Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzssico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzssico 32500
Description: Upper integer sets are a subset of the corresponding closed-below, open-above intervals. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
uzssico (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))

Proof of Theorem uzssico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12566 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
21sseli 3973 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ))
43anim1d 610 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
5 eluz1 12827 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
6 zre 12563 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7 elicopnf 13425 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑥)))
94, 5, 83imtr4d 294 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)))
109ssrdv 3983 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ⊆ (𝑀[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wss 3943   class class class wbr 5141  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  +∞cpnf 11246  cle 11250  cz 12559  cuz 12823  [,)cico 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-z 12560  df-uz 12824  df-ico 13333
This theorem is referenced by:  chtvalz  34170
  Copyright terms: Public domain W3C validator