Theorem eluz 12866

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12856	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853

This theorem is referenced by:  uzneg  12872  uztric  12876  uzwo3  12959  fzn  13557  fzsplit2  13566  fznn  13609  uzsplit  13613  elfz2nn0  13635  fzouzsplit  13711  faclbnd  14308  bcval5  14336  fz1isolem  14479  seqcoll  14482  rexuzre  15371  caurcvg  15693  caucvg  15695  summolem2a  15731  fsum0diaglem  15792  climcnds  15867  mertenslem1  15900  ntrivcvgmullem  15917  prodmolem2a  15950  ruclem10  16257  eulerthlem2  16801  pcpremul  16863  pcdvdsb  16889  pcadd  16909  pcfac  16919  pcbc  16920  prmunb  16934  prmreclem5  16940  vdwnnlem3  17017  lt6abl  19876  ovolunlem1a  25449  mbflimsup  25619  plyco0  26149  plyeq0lem  26167  aannenlem1  26288  aaliou3lem2  26303  aaliou3lem8  26305  chtublem  27174  bcmax  27241  bpos1lem  27245  bposlem1  27247  axlowdimlem16  28936  fzsplit3  32770  cycpmco2lem7  33143  ballotlem2  34521  ballotlemimin  34538  breprexplemc  34664  elfzm12  35697  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem28  37672  mblfinlem2  37682  incsequz  37772  incsequz2  37773  aks4d1p1  42089  primrootspoweq0  42119  aks6d1c2  42143  sticksstones12a  42170  sticksstones12  42171  aks6d1c6lem3  42185  nacsfix  42735  ellz1  42790  eluzrabdioph  42829  monotuz  42965  expdiophlem1  43045  nznngen  44340  fzisoeu  45329  fmul01  45609  climsuselem1  45636  climsuse  45637  iblspltprt  46002  itgspltprt  46008  wallispilem5  46098  stirlinglem8  46110  dirkertrigeqlem1  46127  fourierdlem12  46148  ssfz12  47343