Theorem eluz 12802

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12792	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  uzneg  12808  uztric  12812  uzwo3  12893  fzn  13494  fzsplit2  13503  fznn  13546  uzsplit  13550  elfz2nn0  13572  fzouzsplit  13649  faclbnd  14252  bcval5  14280  fz1isolem  14423  seqcoll  14426  rexuzre  15315  caurcvg  15639  caucvg  15641  summolem2a  15677  fsum0diaglem  15738  climcnds  15816  mertenslem1  15849  ntrivcvgmullem  15866  prodmolem2a  15899  ruclem10  16206  eulerthlem2  16752  pcpremul  16814  pcdvdsb  16840  pcadd  16860  pcfac  16870  pcbc  16871  prmunb  16885  prmreclem5  16891  vdwnnlem3  16968  lt6abl  19870  ovolunlem1a  25463  mbflimsup  25633  plyco0  26157  plyeq0lem  26175  aannenlem1  26294  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem8  26311  chtublem  27174  bcmax  27241  bpos1lem  27245  bposlem1  27247  axlowdimlem16  29026  fzsplit3  32866  cycpmco2lem7  33193  ballotlem2  34633  ballotlemimin  34650  breprexplemc  34776  elfzm12  35857  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem28  37969  mblfinlem2  37979  incsequz  38069  incsequz2  38070  aks4d1p1  42515  primrootspoweq0  42545  aks6d1c2  42569  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem3  42611  nacsfix  43144  ellz1  43199  eluzrabdioph  43234  monotuz  43369  expdiophlem1  43449  nznngen  44743  fzisoeu  45733  fmul01  46010  climsuselem1  46037  climsuse  46038  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  wallispilem5  46497  stirlinglem8  46509  dirkertrigeqlem1  46526  fourierdlem12  46547  ssfz12  47762