Theorem eluz 12890

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12880	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  uzneg  12896  uztric  12900  uzwo3  12983  fzn  13577  fzsplit2  13586  fznn  13629  uzsplit  13633  elfz2nn0  13655  fzouzsplit  13731  faclbnd  14326  bcval5  14354  fz1isolem  14497  seqcoll  14500  rexuzre  15388  caurcvg  15710  caucvg  15712  summolem2a  15748  fsum0diaglem  15809  climcnds  15884  mertenslem1  15917  ntrivcvgmullem  15934  prodmolem2a  15967  ruclem10  16272  eulerthlem2  16816  pcpremul  16877  pcdvdsb  16903  pcadd  16923  pcfac  16933  pcbc  16934  prmunb  16948  prmreclem5  16954  vdwnnlem3  17031  lt6abl  19928  ovolunlem1a  25545  mbflimsup  25715  plyco0  26246  plyeq0lem  26264  aannenlem1  26385  aaliou3lem2  26400  aaliou3lem8  26402  chtublem  27270  bcmax  27337  bpos1lem  27341  bposlem1  27343  axlowdimlem16  28987  fzsplit3  32802  cycpmco2lem7  33135  ballotlem2  34470  ballotlemimin  34487  breprexplemc  34626  elfzm12  35660  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem28  37635  mblfinlem2  37645  incsequz  37735  incsequz2  37736  aks4d1p1  42058  primrootspoweq0  42088  aks6d1c2  42112  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  aks6d1c6lem3  42154  nacsfix  42700  ellz1  42755  eluzrabdioph  42794  monotuz  42930  expdiophlem1  43010  nznngen  44312  fzisoeu  45251  fmul01  45536  climsuselem1  45563  climsuse  45564  iblspltprt  45929  itgspltprt  45935  wallispilem5  46025  stirlinglem8  46037  dirkertrigeqlem1  46054  fourierdlem12  46075  ssfz12  47264