Theorem eluz 12646

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12636	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 541	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458   ≤ cle 11060  ℤcz 12369  ℤ_≥cuz 12632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-neg 11258  df-z 12370  df-uz 12633

This theorem is referenced by:  uzneg  12652  uztric  12656  uzwo3  12733  fzn  13322  fzsplit2  13331  fznn  13374  uzsplit  13378  elfz2nn0  13397  fzouzsplit  13472  faclbnd  14054  bcval5  14082  fz1isolem  14224  seqcoll  14227  rexuzre  15113  caurcvg  15437  caucvg  15439  summolem2a  15476  fsum0diaglem  15537  climcnds  15612  mertenslem1  15645  ntrivcvgmullem  15662  prodmolem2a  15693  ruclem10  15997  eulerthlem2  16532  pcpremul  16593  pcdvdsb  16619  pcadd  16639  pcfac  16649  pcbc  16650  prmunb  16664  prmreclem5  16670  vdwnnlem3  16747  lt6abl  19545  ovolunlem1a  24709  mbflimsup  24879  plyco0  25402  plyeq0lem  25420  aannenlem1  25537  aaliou3lem2  25552  aaliou3lem8  25554  chtublem  26408  bcmax  26475  bpos1lem  26479  bposlem1  26481  axlowdimlem16  27374  fzsplit3  31164  cycpmco2lem7  31448  ballotlem2  32504  ballotlemimin  32521  breprexplemc  32661  elfzm12  33682  poimirlem3  35828  poimirlem4  35829  poimirlem28  35853  mblfinlem2  35863  incsequz  35954  incsequz2  35955  aks4d1p1  40284  sticksstones12a  40313  sticksstones12  40314  nacsfix  40729  ellz1  40784  eluzrabdioph  40823  monotuz  40959  expdiophlem1  41039  nznngen  42147  fzisoeu  43067  fmul01  43350  climsuselem1  43377  climsuse  43378  iblspltprt  43743  itgspltprt  43749  wallispilem5  43839  stirlinglem8  43851  dirkertrigeqlem1  43868  fourierdlem12  43889  ssfz12  45050