Theorem eluz 12777

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12767	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500   ≤ cle 11179  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  uzneg  12783  uztric  12787  uzwo3  12868  fzn  13468  fzsplit2  13477  fznn  13520  uzsplit  13524  elfz2nn0  13546  fzouzsplit  13622  faclbnd  14225  bcval5  14253  fz1isolem  14396  seqcoll  14399  rexuzre  15288  caurcvg  15612  caucvg  15614  summolem2a  15650  fsum0diaglem  15711  climcnds  15786  mertenslem1  15819  ntrivcvgmullem  15836  prodmolem2a  15869  ruclem10  16176  eulerthlem2  16721  pcpremul  16783  pcdvdsb  16809  pcadd  16829  pcfac  16839  pcbc  16840  prmunb  16854  prmreclem5  16860  vdwnnlem3  16937  lt6abl  19836  ovolunlem1a  25465  mbflimsup  25635  plyco0  26165  plyeq0lem  26183  aannenlem1  26304  aaliou3lem2  26319  aaliou3lem8  26321  chtublem  27190  bcmax  27257  bpos1lem  27261  bposlem1  27263  axlowdimlem16  29042  fzsplit3  32883  cycpmco2lem7  33225  ballotlem2  34666  ballotlemimin  34683  breprexplemc  34809  elfzm12  35888  poimirlem3  37871  poimirlem4  37872  poimirlem28  37896  mblfinlem2  37906  incsequz  37996  incsequz2  37997  aks4d1p1  42443  primrootspoweq0  42473  aks6d1c2  42497  sticksstones12a  42524  sticksstones12  42525  aks6d1c6lem3  42539  nacsfix  43066  ellz1  43121  eluzrabdioph  43160  monotuz  43295  expdiophlem1  43375  nznngen  44669  fzisoeu  45659  fmul01  45937  climsuselem1  45964  climsuse  45965  iblspltprt  46328  itgspltprt  46334  wallispilem5  46424  stirlinglem8  46436  dirkertrigeqlem1  46453  fourierdlem12  46474  ssfz12  47671