Theorem eluz 13019

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 13009	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 549	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  uzneg  13025  uztric  13029  uzwo3  13110  fzn  13713  fzsplit2  13723  fznn  13766  uzsplit  13770  elfz2nn0  13792  fzouzsplit  13869  faclbnd  14475  bcval5  14503  fz1isolem  14647  seqcoll  14650  rexuzre  15564  caurcvg  15888  caucvg  15890  summolem2a  15925  fsum0diaglem  15986  climcnds  16064  mertenslem1  16097  ntrivcvgmullem  16114  prodmolem2a  16145  ruclem10  16451  eulerthlem2  17003  pcpremul  17065  pcdvdsb  17091  pcadd  17111  pcfac  17121  pcbc  17122  prmunb  17136  prmreclem5  17142  vdwnnlem3  17219  lt6abl  20160  ovolunlem1a  25872  mbflimsup  26042  plyco0  26565  plyeq0lem  26584  aannenlem1  26712  aaliou3lem2  26727  aaliou3lem8  26729  chtublem  27595  bcmax  27662  bpos1lem  27666  bposlem1  27668  axlowdimlem16  29592  fzsplit3  33481  cycpmco2lem7  33792  ballotlem2  35232  ballotlemimin  35249  breprexplemc  35372  elfzm12  36648  poimirlem3  38809  poimirlem4  38810  poimirlem28  38834  mblfinlem2  38844  incsequz  38948  incsequz2  38949  aks4d1p1  43392  primrootspoweq0  43422  aks6d1c2  43446  sticksstones12a  43473  sticksstones12  43474  aks6d1c6lem3  43488  nacsfix  43989  ellz1  44044  eluzrabdioph  44079  monotuz  44214  expdiophlem1  44294  nznngen  45561  fzisoeu  46589  fmul01  46865  climsuselem1  46892  climsuse  46893  iblspltprt  47256  itgspltprt  47262  wallispilem5  47352  stirlinglem8  47364  dirkertrigeqlem1  47381  fourierdlem12  47402  ssfz12  48657