Theorem eluz 12892

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12882	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  uzneg  12898  uztric  12902  uzwo3  12985  fzn  13580  fzsplit2  13589  fznn  13632  uzsplit  13636  elfz2nn0  13658  fzouzsplit  13734  faclbnd  14329  bcval5  14357  fz1isolem  14500  seqcoll  14503  rexuzre  15391  caurcvg  15713  caucvg  15715  summolem2a  15751  fsum0diaglem  15812  climcnds  15887  mertenslem1  15920  ntrivcvgmullem  15937  prodmolem2a  15970  ruclem10  16275  eulerthlem2  16819  pcpremul  16881  pcdvdsb  16907  pcadd  16927  pcfac  16937  pcbc  16938  prmunb  16952  prmreclem5  16958  vdwnnlem3  17035  lt6abl  19913  ovolunlem1a  25531  mbflimsup  25701  plyco0  26231  plyeq0lem  26249  aannenlem1  26370  aaliou3lem2  26385  aaliou3lem8  26387  chtublem  27255  bcmax  27322  bpos1lem  27326  bposlem1  27328  axlowdimlem16  28972  fzsplit3  32795  cycpmco2lem7  33152  ballotlem2  34491  ballotlemimin  34508  breprexplemc  34647  elfzm12  35680  poimirlem3  37630  poimirlem4  37631  poimirlem28  37655  mblfinlem2  37665  incsequz  37755  incsequz2  37756  aks4d1p1  42077  primrootspoweq0  42107  aks6d1c2  42131  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  aks6d1c6lem3  42173  nacsfix  42723  ellz1  42778  eluzrabdioph  42817  monotuz  42953  expdiophlem1  43033  nznngen  44335  fzisoeu  45312  fmul01  45595  climsuselem1  45622  climsuse  45623  iblspltprt  45988  itgspltprt  45994  wallispilem5  46084  stirlinglem8  46096  dirkertrigeqlem1  46113  fourierdlem12  46134  ssfz12  47326