Theorem eluz 12983

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12973	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 549	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539   ≤ cle 11348  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-neg 11548  df-z 12698  df-uz 12970

This theorem is used by:  uzneg  12989  uztric  12993  uzwo3  13074  fzn  13677  fzsplit2  13687  fznn  13730  uzsplit  13734  elfz2nn0  13756  fzouzsplit  13833  faclbnd  14438  bcval5  14466  fz1isolem  14610  seqcoll  14613  rexuzre  15526  caurcvg  15850  caucvg  15852  summolem2a  15887  fsum0diaglem  15948  climcnds  16026  mertenslem1  16059  ntrivcvgmullem  16076  prodmolem2a  16107  ruclem10  16413  eulerthlem2  16965  pcpremul  17027  pcdvdsb  17053  pcadd  17073  pcfac  17083  pcbc  17084  prmunb  17098  prmreclem5  17104  vdwnnlem3  17181  lt6abl  20115  ovolunlem1a  25823  mbflimsup  25993  plyco0  26516  plyeq0lem  26535  aannenlem1  26661  aaliou3lem2  26676  aaliou3lem8  26678  chtublem  27544  bcmax  27611  bpos1lem  27615  bposlem1  27617  axlowdimlem16  29541  fzsplit3  33432  cycpmco2lem7  33740  ballotlem2  35168  ballotlemimin  35185  breprexplemc  35308  elfzm12  36527  poimirlem3  38635  poimirlem4  38636  poimirlem28  38660  mblfinlem2  38670  incsequz  38776  incsequz2  38777  aks4d1p1  43220  primrootspoweq0  43250  aks6d1c2  43274  sticksstones12a  43301  sticksstones12  43302  aks6d1c6lem3  43316  nacsfix  43817  ellz1  43872  eluzrabdioph  43907  monotuz  44042  expdiophlem1  44122  nznngen  45394  fzisoeu  46410  fmul01  46686  climsuselem1  46713  climsuse  46714  iblspltprt  47077  itgspltprt  47083  wallispilem5  47173  stirlinglem8  47185  dirkertrigeqlem1  47202  fourierdlem12  47223  ssfz12  48478