Theorem eluz 12765

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12755	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 539	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  uzneg  12771  uztric  12775  uzwo3  12856  fzn  13456  fzsplit2  13465  fznn  13508  uzsplit  13512  elfz2nn0  13534  fzouzsplit  13610  faclbnd  14213  bcval5  14241  fz1isolem  14384  seqcoll  14387  rexuzre  15276  caurcvg  15600  caucvg  15602  summolem2a  15638  fsum0diaglem  15699  climcnds  15774  mertenslem1  15807  ntrivcvgmullem  15824  prodmolem2a  15857  ruclem10  16164  eulerthlem2  16709  pcpremul  16771  pcdvdsb  16797  pcadd  16817  pcfac  16827  pcbc  16828  prmunb  16842  prmreclem5  16848  vdwnnlem3  16925  lt6abl  19824  ovolunlem1a  25453  mbflimsup  25623  plyco0  26153  plyeq0lem  26171  aannenlem1  26292  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem8  26309  chtublem  27178  bcmax  27245  bpos1lem  27249  bposlem1  27251  axlowdimlem16  29030  fzsplit3  32873  cycpmco2lem7  33214  ballotlem2  34646  ballotlemimin  34663  breprexplemc  34789  elfzm12  35869  poimirlem3  37824  poimirlem4  37825  poimirlem28  37849  mblfinlem2  37859  incsequz  37949  incsequz2  37950  aks4d1p1  42330  primrootspoweq0  42360  aks6d1c2  42384  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  aks6d1c6lem3  42426  nacsfix  42954  ellz1  43009  eluzrabdioph  43048  monotuz  43183  expdiophlem1  43263  nznngen  44557  fzisoeu  45548  fmul01  45826  climsuselem1  45853  climsuse  45854  iblspltprt  46217  itgspltprt  46223  wallispilem5  46313  stirlinglem8  46325  dirkertrigeqlem1  46342  fourierdlem12  46363  ssfz12  47560