Theorem eluz 12836

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12826	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2	1	baibd 541	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  uzneg  12842  uztric  12846  uzwo3  12927  fzn  13517  fzsplit2  13526  fznn  13569  uzsplit  13573  elfz2nn0  13592  fzouzsplit  13667  faclbnd  14250  bcval5  14278  fz1isolem  14422  seqcoll  14425  rexuzre  15299  caurcvg  15623  caucvg  15625  summolem2a  15661  fsum0diaglem  15722  climcnds  15797  mertenslem1  15830  ntrivcvgmullem  15847  prodmolem2a  15878  ruclem10  16182  eulerthlem2  16715  pcpremul  16776  pcdvdsb  16802  pcadd  16822  pcfac  16832  pcbc  16833  prmunb  16847  prmreclem5  16853  vdwnnlem3  16930  lt6abl  19763  ovolunlem1a  25013  mbflimsup  25183  plyco0  25706  plyeq0lem  25724  aannenlem1  25841  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem8  25858  chtublem  26714  bcmax  26781  bpos1lem  26785  bposlem1  26787  axlowdimlem16  28215  fzsplit3  32005  cycpmco2lem7  32291  ballotlem2  33487  ballotlemimin  33504  breprexplemc  33644  elfzm12  34660  poimirlem3  36491  poimirlem4  36492  poimirlem28  36516  mblfinlem2  36526  incsequz  36616  incsequz2  36617  aks4d1p1  40941  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  nacsfix  41450  ellz1  41505  eluzrabdioph  41544  monotuz  41680  expdiophlem1  41760  nznngen  43075  fzisoeu  44010  fmul01  44296  climsuselem1  44323  climsuse  44324  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  wallispilem5  44785  stirlinglem8  44797  dirkertrigeqlem1  44814  fourierdlem12  44835  ssfz12  46022