Theorem eluzel2 12827

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6929	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12825	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6730	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2844	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  eluz2  12828  uztrn  12840  uzneg  12842  uzss  12845  uz11  12847  eluzadd  12851  eluzaddOLD  12857  subeluzsub  12859  uzm1  12860  uzin  12862  uzind4  12890  uzsupss  12924  elfz5  13493  elfzel1  13500  eluzfz1  13508  fzsplit2  13526  fzopth  13538  ssfzunsn  13547  fzpred  13549  fzpreddisj  13550  uzsplit  13573  uzdisj  13574  fzm1  13581  uznfz  13584  nn0disj  13617  preduz  13623  fzolb  13638  fzoss2  13660  fzouzdisj  13668  fzoun  13669  ige2m2fzo  13695  fzen2  13934  seqp1  13981  seqcl  13988  seqfeq2  13991  seqfveq  13992  seqshft2  13994  seqsplit  14001  seqcaopr3  14003  seqf1olem2a  14006  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  seqid  14013  seqhomo  14015  seqz  14016  leexp2a  14137  hashfz  14387  fzsdom2  14388  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  seqcoll  14425  rexanuz2  15296  cau4  15303  clim2ser  15601  clim2ser2  15602  climserle  15609  caurcvg  15623  caucvg  15625  fsumcvg  15658  fsumcvg2  15673  fsumsers  15674  fsumm1  15697  fsum1p  15699  fsumrev2  15728  telfsumo  15748  fsumparts  15752  cvgcmp  15762  cvgcmpub  15763  cvgcmpce  15764  isumsplit  15786  clim2prod  15834  clim2div  15835  prodfrec  15841  ntrivcvgtail  15846  fprodcvg  15874  fprodser  15893  fprodm1  15911  fprodeq0  15919  pcaddlem  16821  vdwnnlem2  16929  prmlem0  17039  gsumval2a  18604  telgsumfzs  19857  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  coeid3  25754  ulmres  25900  ulmss  25909  chtdif  26662  ppidif  26667  bcmono  26780  axlowdimlem6  28205  inffz  34699  gg-dvfsumle  35182  mettrifi  36625  jm2.25  41738  jm2.16nn0  41743  dvgrat  43071  ssinc  43776  ssdec  43777  fzdifsuc2  44020  iuneqfzuzlem  44044  ssuzfz  44059  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  carageniuncllem1  45237  caratheodorylem1  45242