Theorem eluzel2 12908

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6957	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12906	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6758	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2854	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  eluz2  12909  uztrn  12921  uzneg  12923  uzss  12926  uz11  12928  eluzadd  12932  eluzaddOLD  12938  subeluzsub  12940  uzm1  12941  uzin  12943  uzind4  12971  uzsupss  13005  elfz5  13576  elfzel1  13583  eluzfz1  13591  fzsplit2  13609  fzopth  13621  ssfzunsn  13630  fzpred  13632  fzpreddisj  13633  uzsplit  13656  uzdisj  13657  fzm1  13664  uznfz  13667  nn0disj  13701  preduz  13707  fzolb  13722  fzoss2  13744  fzouzdisj  13752  fzoun  13753  ige2m2fzo  13779  fzen2  14020  seqp1  14067  seqcl  14073  seqfeq2  14076  seqfveq  14077  seqshft2  14079  seqsplit  14086  seqcaopr3  14088  seqf1olem2a  14091  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  seqid  14098  seqhomo  14100  seqz  14101  leexp2a  14222  hashfz  14476  fzsdom2  14477  hashfzo  14478  hashfzp1  14480  seqcoll  14513  rexanuz2  15398  cau4  15405  clim2ser  15703  clim2ser2  15704  climserle  15711  caurcvg  15725  caucvg  15727  fsumcvg  15760  fsumcvg2  15775  fsumsers  15776  fsumm1  15799  fsum1p  15801  fsumrev2  15830  telfsumo  15850  fsumparts  15854  cvgcmp  15864  cvgcmpub  15865  cvgcmpce  15866  isumsplit  15888  clim2prod  15936  clim2div  15937  prodfrec  15943  ntrivcvgtail  15948  fprodcvg  15978  fprodser  15997  fprodm1  16015  fprodeq0  16023  pcaddlem  16935  vdwnnlem2  17043  prmlem0  17153  gsumval2a  18723  telgsumfzs  20031  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumge  26082  dvfsumabs  26083  coeid3  26299  ulmres  26449  ulmss  26458  chtdif  27219  ppidif  27224  bcmono  27339  axlowdimlem6  28980  inffz  35692  mettrifi  37717  jm2.25  42956  jm2.16nn0  42961  dvgrat  44281  ssinc  44989  ssdec  44990  fzdifsuc2  45225  iuneqfzuzlem  45249  ssuzfz  45264  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  carageniuncllem1  46442  caratheodorylem1  46447