Theorem eluzel2 12740

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6857	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12738	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6663	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4551  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  eluz2  12741  uztrn  12753  uzneg  12755  uzss  12758  uz11  12760  eluzadd  12764  eluzaddOLD  12770  subeluzsub  12772  uzm1  12773  uzin  12775  uzind4  12807  uzsupss  12841  elfz5  13419  elfzel1  13426  eluzfz1  13434  fzsplit2  13452  fzopth  13464  ssfzunsn  13473  fzpred  13475  fzpreddisj  13476  uzsplit  13499  uzdisj  13500  fzdif1  13508  fzm1  13510  uznfz  13513  nn0disj  13547  preduz  13553  fzolb  13568  fzoss2  13590  fzouzdisj  13598  fzoun  13599  ige2m2fzo  13631  fzen2  13876  seqp1  13923  seqcl  13929  seqfeq2  13932  seqfveq  13933  seqshft2  13935  seqsplit  13942  seqcaopr3  13944  seqf1olem2a  13947  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqid  13954  seqhomo  13956  seqz  13957  leexp2a  14079  hashfz  14334  fzsdom2  14335  hashfzo  14336  hashfzp1  14338  seqcoll  14371  rexanuz2  15257  cau4  15264  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  climserle  15570  caurcvg  15584  caucvg  15586  fsumcvg  15619  fsumcvg2  15634  fsumsers  15635  fsumm1  15658  fsum1p  15660  fsumrev2  15689  telfsumo  15709  fsumparts  15713  cvgcmp  15723  cvgcmpub  15724  cvgcmpce  15725  isumsplit  15747  clim2prod  15795  clim2div  15796  prodfrec  15802  ntrivcvgtail  15807  fprodcvg  15837  fprodser  15856  fprodm1  15874  fprodeq0  15882  pcaddlem  16800  vdwnnlem2  16908  prmlem0  17017  gsumval2a  18559  telgsumfzs  19868  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumge  25926  dvfsumabs  25927  coeid3  26143  ulmres  26295  ulmss  26304  chtdif  27066  ppidif  27071  bcmono  27186  axlowdimlem6  28892  inffz  35713  mettrifi  37747  jm2.25  42982  jm2.16nn0  42987  dvgrat  44295  ssinc  45075  ssdec  45076  fzdifsuc2  45302  iuneqfzuzlem  45324  ssuzfz  45339  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  carageniuncllem1  46512  caratheodorylem1  46517