Theorem eluzel2 12893

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6913	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12891	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6715	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2870	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4557  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  eluz2  12894  uztrn  12906  uzneg  12908  uzss  12911  uz11  12913  eluzadd  12917  subeluzsub  12921  uzm1  12922  uzin  12924  uzind4  12956  uzsupss  12990  elfz5  13571  elfzel1  13578  eluzfz1  13586  fzsplit2  13605  fzopth  13617  ssfzunsn  13626  fzpred  13628  fzpreddisj  13629  uzsplit  13652  uzdisj  13653  fzdif1  13661  fzm1  13663  uznfz  13666  nn0disj  13700  preduz  13706  fzolb  13722  fzoss2  13744  fzouzdisj  13752  fzoun  13753  ige2m2fzo  13785  fzen2  14034  seqp1  14081  seqcl  14087  seqfeq2  14090  seqfveq  14091  seqshft2  14093  seqsplit  14100  seqcaopr3  14102  seqf1olem2a  14105  seqf1olem1  14106  seqf1olem2  14107  seqid  14112  seqhomo  14114  seqz  14115  leexp2a  14237  hashfz  14493  fzsdom2  14494  hashfzo  14495  hashfzp1  14497  seqcoll  14530  rexanuz2  15438  cau4  15445  clim2ser  15743  clim2ser2  15744  climserle  15751  caurcvg  15765  caucvg  15767  fsumcvg  15799  fsumcvg2  15814  fsumsers  15815  fsumm1  15838  fsum1p  15840  fsumrev2  15869  telfsumo  15890  fsumparts  15894  cvgcmp  15904  cvgcmpub  15905  cvgcmpce  15906  isumsplit  15930  clim2prod  15978  clim2div  15979  prodfrec  15985  ntrivcvgtail  15990  fprodcvg  16018  fprodser  16037  fprodm1  16055  fprodeq0  16063  pcaddlem  16981  vdwnnlem2  17089  prmlem0  17198  gsumval2a  18788  telgsumfzs  20117  dvfsumle  26249  dvfsumge  26250  dvfsumabs  26251  coeid3  26467  ulmres  26625  ulmss  26634  chtdif  27395  ppidif  27400  bcmono  27514  axlowdimlem6  29405  inffz  36310  mettrifi  38508  jm2.25  43841  jm2.16nn0  43846  dvgrat  45137  ssinc  45920  ssdec  45921  fzdifsuc2  46144  iuneqfzuzlem  46165  ssuzfz  46180  ioodvbdlimc1lem2  46761  ioodvbdlimc2lem  46763  carageniuncllem1  47350  caratheodorylem1  47355