Theorem eluzel2 12792

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6899	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12790	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6700	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2842	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  𝒫 cpw 4580  dom cdm 5653  ‘cfv 6516  ℤcz 12523  ℤ_≥cuz 12787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-ov 7380  df-neg 11412  df-z 12524  df-uz 12788

This theorem is referenced by:  eluz2  12793  uztrn  12805  uzneg  12807  uzss  12810  uz11  12812  eluzadd  12816  eluzaddOLD  12822  subeluzsub  12824  uzm1  12825  uzin  12827  uzind4  12855  uzsupss  12889  elfz5  13458  elfzel1  13465  eluzfz1  13473  fzsplit2  13491  fzopth  13503  ssfzunsn  13512  fzpred  13514  fzpreddisj  13515  uzsplit  13538  uzdisj  13539  fzm1  13546  uznfz  13549  nn0disj  13582  preduz  13588  fzolb  13603  fzoss2  13625  fzouzdisj  13633  fzoun  13634  ige2m2fzo  13660  fzen2  13899  seqp1  13946  seqcl  13953  seqfeq2  13956  seqfveq  13957  seqshft2  13959  seqsplit  13966  seqcaopr3  13968  seqf1olem2a  13971  seqf1olem1  13972  seqf1olem2  13973  seqid  13978  seqhomo  13980  seqz  13981  leexp2a  14102  hashfz  14352  fzsdom2  14353  hashfzo  14354  hashfzp1  14356  seqcoll  14390  rexanuz2  15261  cau4  15268  clim2ser  15566  clim2ser2  15567  climserle  15574  caurcvg  15588  caucvg  15590  fsumcvg  15623  fsumcvg2  15638  fsumsers  15639  fsumm1  15662  fsum1p  15664  fsumrev2  15693  telfsumo  15713  fsumparts  15717  cvgcmp  15727  cvgcmpub  15728  cvgcmpce  15729  isumsplit  15751  clim2prod  15799  clim2div  15800  prodfrec  15806  ntrivcvgtail  15811  fprodcvg  15839  fprodser  15858  fprodm1  15876  fprodeq0  15884  pcaddlem  16786  vdwnnlem2  16894  prmlem0  17004  gsumval2a  18569  telgsumfzs  19795  dvfsumle  25437  dvfsumge  25438  dvfsumabs  25439  coeid3  25653  ulmres  25799  ulmss  25808  chtdif  26559  ppidif  26564  bcmono  26677  axlowdimlem6  27993  inffz  34422  mettrifi  36323  jm2.25  41414  jm2.16nn0  41419  dvgrat  42747  ssinc  43452  ssdec  43453  fzdifsuc2  43698  iuneqfzuzlem  43722  ssuzfz  43737  ioodvbdlimc1lem2  44326  ioodvbdlimc2lem  44328  carageniuncllem1  44915  caratheodorylem1  44920