Theorem eluzel2 12516

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6788	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12514	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6596	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2849	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4530  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluz2  12517  uztrn  12529  uzneg  12531  uzss  12534  uz11  12536  eluzadd  12542  subeluzsub  12544  uzm1  12545  uzin  12547  uzind4  12575  uzsupss  12609  elfz5  13177  elfzel1  13184  eluzfz1  13192  fzsplit2  13210  fzopth  13222  ssfzunsn  13231  fzpred  13233  fzpreddisj  13234  uzsplit  13257  uzdisj  13258  fzm1  13265  uznfz  13268  nn0disj  13301  preduz  13307  fzolb  13322  fzoss2  13343  fzouzdisj  13351  fzoun  13352  ige2m2fzo  13378  fzen2  13617  seqp1  13664  seqcl  13671  seqfeq2  13674  seqfveq  13675  seqshft2  13677  seqsplit  13684  seqcaopr3  13686  seqf1olem2a  13689  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  seqid  13696  seqhomo  13698  seqz  13699  leexp2a  13818  hashfz  14070  fzsdom2  14071  hashfzo  14072  hashfzp1  14074  seqcoll  14106  rexanuz2  14989  cau4  14996  clim2ser  15294  clim2ser2  15295  climserle  15302  caurcvg  15316  caucvg  15318  fsumcvg  15352  fsumcvg2  15367  fsumsers  15368  fsumm1  15391  fsum1p  15393  fsumrev2  15422  telfsumo  15442  fsumparts  15446  cvgcmp  15456  cvgcmpub  15457  cvgcmpce  15458  isumsplit  15480  clim2prod  15528  clim2div  15529  prodfrec  15535  ntrivcvgtail  15540  fprodcvg  15568  fprodser  15587  fprodm1  15605  fprodeq0  15613  pcaddlem  16517  vdwnnlem2  16625  prmlem0  16735  gsumval2a  18284  telgsumfzs  19505  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  coeid3  25306  ulmres  25452  ulmss  25461  chtdif  26212  ppidif  26217  bcmono  26330  axlowdimlem6  27218  inffz  33601  mettrifi  35842  jm2.25  40737  jm2.16nn0  40742  dvgrat  41819  ssinc  42526  ssdec  42527  fzdifsuc2  42739  iuneqfzuzlem  42763  ssuzfz  42778  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  carageniuncllem1  43949  caratheodorylem1  43954