Theorem eluzel2 12851

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6928	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12849	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6728	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  𝒫 cpw 4598  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-neg 11471  df-z 12583  df-uz 12847

This theorem is referenced by:  eluz2  12852  uztrn  12864  uzneg  12866  uzss  12869  uz11  12871  eluzadd  12875  eluzaddOLD  12881  subeluzsub  12883  uzm1  12884  uzin  12886  uzind4  12914  uzsupss  12948  elfz5  13519  elfzel1  13526  eluzfz1  13534  fzsplit2  13552  fzopth  13564  ssfzunsn  13573  fzpred  13575  fzpreddisj  13576  uzsplit  13599  uzdisj  13600  fzm1  13607  uznfz  13610  nn0disj  13643  preduz  13649  fzolb  13664  fzoss2  13686  fzouzdisj  13694  fzoun  13695  ige2m2fzo  13721  fzen2  13960  seqp1  14007  seqcl  14013  seqfeq2  14016  seqfveq  14017  seqshft2  14019  seqsplit  14026  seqcaopr3  14028  seqf1olem2a  14031  seqf1olem1  14032  seqf1olem2  14033  seqid  14038  seqhomo  14040  seqz  14041  leexp2a  14162  hashfz  14412  fzsdom2  14413  hashfzo  14414  hashfzp1  14416  seqcoll  14451  rexanuz2  15322  cau4  15329  clim2ser  15627  clim2ser2  15628  climserle  15635  caurcvg  15649  caucvg  15651  fsumcvg  15684  fsumcvg2  15699  fsumsers  15700  fsumm1  15723  fsum1p  15725  fsumrev2  15754  telfsumo  15774  fsumparts  15778  cvgcmp  15788  cvgcmpub  15789  cvgcmpce  15790  isumsplit  15812  clim2prod  15860  clim2div  15861  prodfrec  15867  ntrivcvgtail  15872  fprodcvg  15900  fprodser  15919  fprodm1  15937  fprodeq0  15945  pcaddlem  16850  vdwnnlem2  16958  prmlem0  17068  gsumval2a  18638  telgsumfzs  19937  dvfsumle  25947  dvfsumleOLD  25948  dvfsumge  25949  dvfsumabs  25950  coeid3  26167  ulmres  26317  ulmss  26326  chtdif  27083  ppidif  27088  bcmono  27203  axlowdimlem6  28751  inffz  35314  mettrifi  37219  jm2.25  42392  jm2.16nn0  42397  dvgrat  43721  ssinc  44425  ssdec  44426  fzdifsuc2  44664  iuneqfzuzlem  44688  ssuzfz  44703  ioodvbdlimc1lem2  45292  ioodvbdlimc2lem  45294  carageniuncllem1  45881  caratheodorylem1  45886