Theorem eluzel2 12236

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6677	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12234	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6498	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2900	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4497  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  eluz2  12237  uztrn  12249  uzneg  12251  uzss  12253  uz11  12255  eluzadd  12261  subeluzsub  12263  uzm1  12264  uzin  12266  uzind4  12294  uzsupss  12328  elfz5  12894  elfzel1  12901  eluzfz1  12909  fzsplit2  12927  fzopth  12939  ssfzunsn  12948  fzpred  12950  fzpreddisj  12951  uzsplit  12974  uzdisj  12975  fzm1  12982  uznfz  12985  nn0disj  13018  preduz  13024  fzolb  13039  fzoss2  13060  fzouzdisj  13068  fzoun  13069  ige2m2fzo  13095  fzen2  13332  seqp1  13379  seqcl  13386  seqfeq2  13389  seqfveq  13390  seqshft2  13392  seqsplit  13399  seqcaopr3  13401  seqf1olem2a  13404  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  seqid  13411  seqhomo  13413  seqz  13414  leexp2a  13532  hashfz  13784  fzsdom2  13785  hashfzo  13786  hashfzp1  13788  seqcoll  13818  rexanuz2  14701  cau4  14708  clim2ser  15003  clim2ser2  15004  climserle  15011  caurcvg  15025  caucvg  15027  fsumcvg  15061  fsumcvg2  15076  fsumsers  15077  fsumm1  15098  fsum1p  15100  fsumrev2  15129  telfsumo  15149  fsumparts  15153  cvgcmp  15163  cvgcmpub  15164  cvgcmpce  15165  isumsplit  15187  clim2prod  15236  clim2div  15237  prodfrec  15243  ntrivcvgtail  15248  fprodcvg  15276  fprodser  15295  fprodm1  15313  fprodeq0  15321  pcaddlem  16214  vdwnnlem2  16322  prmlem0  16431  gsumval2a  17887  telgsumfzs  19102  dvfsumle  24624  dvfsumge  24625  dvfsumabs  24626  coeid3  24837  ulmres  24983  ulmss  24992  chtdif  25743  ppidif  25748  bcmono  25861  axlowdimlem6  26741  inffz  33074  mettrifi  35195  jm2.25  39940  jm2.16nn0  39945  dvgrat  41016  ssinc  41723  ssdec  41724  fzdifsuc2  41942  iuneqfzuzlem  41966  ssuzfz  41981  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  carageniuncllem1  43160  caratheodorylem1  43165