Theorem eluzel2 12251

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6704	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12249	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6526	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2925	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by:  eluz2  12252  uztrn  12264  uzneg  12266  uzss  12268  uz11  12270  eluzadd  12276  subeluzsub  12278  uzm1  12279  uzin  12281  uzind4  12309  uzsupss  12343  elfz5  12903  elfzel1  12910  eluzfz1  12917  fzsplit2  12935  fzopth  12947  ssfzunsn  12956  fzpred  12958  fzpreddisj  12959  uzsplit  12982  uzdisj  12983  fzm1  12990  uznfz  12993  nn0disj  13026  preduz  13032  fzolb  13047  fzoss2  13068  fzouzdisj  13076  fzoun  13077  ige2m2fzo  13103  fzen2  13340  seqp1  13387  seqcl  13393  seqfeq2  13396  seqfveq  13397  seqshft2  13399  seqsplit  13406  seqcaopr3  13408  seqf1olem2a  13411  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  seqid  13418  seqhomo  13420  seqz  13421  leexp2a  13539  hashfz  13791  fzsdom2  13792  hashfzo  13793  hashfzp1  13795  seqcoll  13825  rexanuz2  14711  cau4  14718  clim2ser  15013  clim2ser2  15014  climserle  15021  caurcvg  15035  caucvg  15037  fsumcvg  15071  fsumcvg2  15086  fsumsers  15087  fsumm1  15108  fsum1p  15110  fsumrev2  15139  telfsumo  15159  fsumparts  15163  cvgcmp  15173  cvgcmpub  15174  cvgcmpce  15175  isumsplit  15197  clim2prod  15246  clim2div  15247  prodfrec  15253  ntrivcvgtail  15258  fprodcvg  15286  fprodser  15305  fprodm1  15323  fprodeq0  15331  pcaddlem  16226  vdwnnlem2  16334  prmlem0  16441  gsumval2a  17897  telgsumfzs  19111  dvfsumle  24620  dvfsumge  24621  dvfsumabs  24622  coeid3  24832  ulmres  24978  ulmss  24987  chtdif  25737  ppidif  25742  bcmono  25855  axlowdimlem6  26735  inffz  32963  mettrifi  35034  jm2.25  39603  jm2.16nn0  39608  dvgrat  40651  ssinc  41360  ssdec  41361  fzdifsuc2  41584  iuneqfzuzlem  41609  ssuzfz  41624  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  carageniuncllem1  42810  caratheodorylem1  42815