Theorem eluzel2 12737

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 12735	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6662	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	eleqtrdi 2841	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4547  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  eluz2  12738  uztrn  12750  uzneg  12752  uzss  12755  uz11  12757  eluzadd  12761  eluzaddOLD  12767  subeluzsub  12769  uzm1  12770  uzin  12772  uzind4  12804  uzsupss  12838  elfz5  13416  elfzel1  13423  eluzfz1  13431  fzsplit2  13449  fzopth  13461  ssfzunsn  13470  fzpred  13472  fzpreddisj  13473  uzsplit  13496  uzdisj  13497  fzdif1  13505  fzm1  13507  uznfz  13510  nn0disj  13544  preduz  13550  fzolb  13565  fzoss2  13587  fzouzdisj  13595  fzoun  13596  ige2m2fzo  13628  fzen2  13876  seqp1  13923  seqcl  13929  seqfeq2  13932  seqfveq  13933  seqshft2  13935  seqsplit  13942  seqcaopr3  13944  seqf1olem2a  13947  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqid  13954  seqhomo  13956  seqz  13957  leexp2a  14079  hashfz  14334  fzsdom2  14335  hashfzo  14336  hashfzp1  14338  seqcoll  14371  rexanuz2  15257  cau4  15264  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  climserle  15570  caurcvg  15584  caucvg  15586  fsumcvg  15619  fsumcvg2  15634  fsumsers  15635  fsumm1  15658  fsum1p  15660  fsumrev2  15689  telfsumo  15709  fsumparts  15713  cvgcmp  15723  cvgcmpub  15724  cvgcmpce  15725  isumsplit  15747  clim2prod  15795  clim2div  15796  prodfrec  15802  ntrivcvgtail  15807  fprodcvg  15837  fprodser  15856  fprodm1  15874  fprodeq0  15882  pcaddlem  16800  vdwnnlem2  16908  prmlem0  17017  gsumval2a  18593  telgsumfzs  19901  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumge  25955  dvfsumabs  25956  coeid3  26172  ulmres  26324  ulmss  26333  chtdif  27095  ppidif  27100  bcmono  27215  axlowdimlem6  28925  inffz  35774  mettrifi  37807  jm2.25  43102  jm2.16nn0  43107  dvgrat  44415  ssinc  45194  ssdec  45195  fzdifsuc2  45421  iuneqfzuzlem  45443  ssuzfz  45458  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  carageniuncllem1  46629  caratheodorylem1  46634