Theorem eluzp1m1 12779

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3		zre 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		1re 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		leaddsub 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
7	5, 6	mp3an2 1452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
8	3, 4, 7	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
9	8	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
10	9	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	2, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
13		peano2z 12534	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		eluz1 12757	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
16		eluz1 12757	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
17	12, 15, 16	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754

This theorem is referenced by:  peano2uzr  12818  fzosplitsnm1  13658  fzofzp1b  13683  seqm1  13944  monoord  13957  seqf1olem2  13967  seqid  13972  seqz  13975  serf0  15606  fsumm1  15676  telfsumo  15727  fsumparts  15731  isumsplit  15765  climcnds  15776  fprodm1  15892  pockthlem  16835  vdwnnlem2  16926  efgs1b  19667  imasdsf1olem  24319  wwlksubclwwlk  30114  fltnltalem  42942  monoordxrv  45762  stoweidlem11  46292  smonoord  47654