Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndiffz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndiffz1 30189
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11862 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
2 nn0z 11855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 12747 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
5 3anass 1088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
64, 5syl6bb 288 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁))))
76baibd 540 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
87baibd 540 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑗𝑁))
98notbid 319 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑗𝑁))
10 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 11937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
1312zred 11937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
1411, 13ltnled 10636 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
15 zltp1le 11882 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1614, 15bitr3d 282 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
172, 16sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1817adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
199, 18bitrd 280 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
21 1red 10491 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
22 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 11806 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423, 21readdcld 10519 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
2625zred 11937 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
27 0p1e1 11609 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
28 0red 10493 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ∈ ℝ)
2922nn0ge0d 11808 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑁)
3028, 23, 21, 29leadd1dd 11104 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (0 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
3127, 30eqbrtrrid 5000 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
32 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)
3321, 24, 26, 31, 32letrd 10646 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ 𝑗)
3433ex 413 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 → 1 ≤ 𝑗))
3534pm4.71rd 563 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
3620, 35bitr4d 283 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
3736pm5.32da 579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
38 eldif 3871 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
39 elnnz1 11858 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
4039anbi1i 623 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
41 anass 469 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4238, 40, 413bitri 298 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4342a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))))
44 peano2nn0 11787 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 11935 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
46 eluz1 12097 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4745, 46syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4837, 43, 473bitr4d 312 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4948eqrdv 2792 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  cdif 3858   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524  cle 10525  cn 11488  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093  ...cfz 12742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  31227  eulerpartlemsv3  31228  eulerpartlemgc  31229
  Copyright terms: Public domain W3C validator