Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndiffz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndiffz1 30435
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12000 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
2 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 12885 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
5 3anass 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
64, 5syl6bb 288 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁))))
76baibd 540 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
87baibd 540 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑗𝑁))
98notbid 319 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑗𝑁))
10 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
1312zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
1411, 13ltnled 10775 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
15 zltp1le 12020 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1614, 15bitr3d 282 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
172, 16sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1817adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
199, 18bitrd 280 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
21 1red 10630 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
22 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 11944 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423, 21readdcld 10658 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
2625zred 12075 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
27 0p1e1 11747 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
28 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ∈ ℝ)
2922nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑁)
3028, 23, 21, 29leadd1dd 11242 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (0 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
3127, 30eqbrtrrid 5093 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
32 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)
3321, 24, 26, 31, 32letrd 10785 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ 𝑗)
3433ex 413 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 → 1 ≤ 𝑗))
3534pm4.71rd 563 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
3620, 35bitr4d 283 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
3736pm5.32da 579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
38 eldif 3943 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
39 elnnz1 11996 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
4039anbi1i 623 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
41 anass 469 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4238, 40, 413bitri 298 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4342a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))))
44 peano2nn0 11925 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12073 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
46 eluz1 12235 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4745, 46syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4837, 43, 473bitr4d 312 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4948eqrdv 2816 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  31517  eulerpartlemsv3  31518  eulerpartlemgc  31519
  Copyright terms: Public domain W3C validator