Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndiffz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndiffz1 32794
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12644 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
2 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 13548 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
5 3anass 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
64, 5bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁))))
76baibd 539 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
87baibd 539 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑗𝑁))
98notbid 318 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑗𝑁))
10 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 12719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
1312zred 12719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
1411, 13ltnled 11405 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
15 zltp1le 12664 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑗 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1614, 15bitr3d 281 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
172, 16sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
199, 18bitrd 279 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ 1 ≤ 𝑗) → (¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
21 1red 11259 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
22 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 12585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423, 21readdcld 11287 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
2625zred 12719 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
27 0p1e1 12385 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
28 0red 11261 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ∈ ℝ)
2922nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑁)
3028, 23, 21, 29leadd1dd 11874 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (0 + 1) ≤ (𝑁 + 1))
3127, 30eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
32 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)
3321, 24, 26, 31, 32letrd 11415 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗) → 1 ≤ 𝑗)
3433ex 412 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 → 1 ≤ 𝑗))
3534pm4.71rd 562 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (1 ≤ 𝑗 ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
3620, 35bitr4d 282 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗))
3736pm5.32da 579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
38 eldif 3972 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
39 elnnz1 12640 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
4039anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))
41 anass 468 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4238, 40, 413bitri 297 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁))))
4342a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ ¬ 𝑗 ∈ (1...𝑁)))))
44 peano2nn0 12563 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12636 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
46 eluz1 12879 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4745, 46syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑗)))
4837, 43, 473bitr4d 311 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑗 ∈ (ℕ ∖ (1...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4948eqrdv 2732 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...𝑁)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34341  eulerpartlemsv3  34342  eulerpartlemgc  34343
  Copyright terms: Public domain W3C validator